Holdet 2022 MA/k - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2022/23 - 2024/25
Institution Aurehøj Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Lars Hvelplund, Søren Møller Hansen
Hold 2022 MA/k (1k MA, 2k MA, 3k MA)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Tal og Algebra
Titel 2 Funktioner og funktionsklasser 1
Titel 3 Euklids Elementer
Titel 4 Vektorer
Titel 5 Logaritmefunktioner+Potensfunktioner
Titel 6 Funktioner 3
Titel 7 Differentialregning 1
Titel 8 Kombinatorik og sandsynlighedsregning
Titel 9 Differentialregning 2
Titel 10 Trigonometriske funktioner
Titel 11 Analytisk geometri
Titel 12 Vektorfunktioner
Titel 13 Integralregning
Titel 14 Differentialligninger
Titel 15 Funktioner af to variable
Titel 16 Kontinuerte fordelinger og normalfordelingen
Titel 17 Forberedelsesmateriale, betinget sandsynlighed
Titel 18 Repetition

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Tal og Algebra

De reelle tal og lidt om talmængder samt intervaller
Regnearternes hierarki og parenteser
Afstand og numerisk værdi
Kvadratsætningerne
Potensregneregler
Eksponentiel notation
Brøkregneregler
Førstegradsligninger
Nulreglen+kvadratiske ligninger
2 ligninger med 2 ubekendte
1-tallets historie (matematikhistorisk indblik i tallenes udvikling)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 2 Funktioner og funktionsklasser 1

Indhold:

- Forskrift, graf, tabel - hvad er en funktion
- Definitionsmængde og værdimængde
Vækstegenskaber
- Aftagende, voksende, monotoniforhold, skæring med akserne,
nulpunkter - herunder grafiske løsninger.
- Kort repetition af lineære funktioner (til at sammenligne med de eksponentielle udviklinger. Reference til kapitalfremskrivningsformlen.)
Eksponentielle udviklinger
- Definition af eksponentielle funktioner (forskrift)
- Grafiske egenskaber og betydning af konstanterne a og b
- Bestemmelse af a og b ud fra to punkter på grafen
- Bevis for ovenstående formler.
- Indføring af logaritmefunktioner
- Fordoblingskonstant og halveringskonstant (+bevis af formler til bestemmelse af disse størrelser)
2.gradspolynomier:
- Definition af 2.gradsfunktioner (forskrift mm.)
- Grafiske egenskaber (herunder betydning af a, b og c)
- Diskriminant
- Bestemmelse af toppunkt og bevis af toppunktsformel
- Løsning af 2.gradsligninger+bevis af løsningsformel (formel til bestemmelse af rødder)
- Kvadratkomplettering
- Faktorisering af 2.gradspolynomier+udledning og forståelse af sammenhæng med løsningsformel.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 18,00 moduler
Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 3 Euklids Elementer

Indhold:

- Historisk indsigt inden for matematik i det Antikke Grækenland
- Behandling af Euklids Elementer (fokus på bog 1)
- Forståelse af ""matematisk deduktiv metode"
- Forståelse af "definitioner", "postulater" og "aksiomer"
- Øvelse i at forstå og fremføre geometriske beviser ud fra aksiomatisk system.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 Vektorer

Indhold:

Definition af en vektor
- Vektorkoordinater
- Nulvektor, egentlig vektor, stedvektor
- Forbindelsesvektor mellem to punkter
Vektorregneregler:
- Sum, differens, multiplikation med skalar, modsatte vektor, parallelle vektorer
- Kommutative lov for addition, associative lov for addition,distributive love(gange ind i parentes), associative lov for multiplikation vektor med skalarer
Anvendelse af vektorer:
- Længde af vektorer
- Skalarprodukt (herunder regneregler)
- Enhedscirklen og polære koordinater
- Vinkel mellem vektorer+sammenhæng mellem skalarprodukt og vinkel
- Tværvektor og determinant (herunder bestemmelse af areal af parallelogram og en trekant+egenskaber for parallelle vektorer)
- Projektionsvektor
- Gennemgang af beviser (se beviskompendium)
- Videoaflevering (fokus på bevisførelse)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 5 Logaritmefunktioner+Potensfunktioner

Logaritmefunktioner:
- Definition af logaritmefunktioner (10-logaritme+naturlig logaritme)
- Logaritmeregneregler (+beviser)
- Grafiske egenskaber (herunder indførelse af logaritmisk skala)
- Fokus på logaritmer i den virkelige verden (jorskælv+lydstyrke)
Potensfunktioner:
- Definition af potensfunktioner (konstanternes betydning)
- Grafiske egenskaber
- Bevis af formel til bestemmelse af a og b ud fra to punkter på grafen.
- Procent-procent vækst (herunder bevis af formel der beskriver sammenhæng mellem vækst af x og y).
- Funktionerne 1/x og √x får ekstra fokus
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 6 Funktioner 3

Indhold:

Repetition af potensfunktioner
Sammensatte funktioner og parallelforskydning af grafer.
Generelle polynomier

Residualplot:

- Tegne/bestemme residualplot tilhørende lineære, eksponentielle samt polynomisk regressionsmodeller
- Forståelse af residualplot ift. vurdering af modellers anvendelighed

Sideløbende arbejde med skriftlighed: Residualplot samt import af datasæt i Maple
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 7 Differentialregning 1

Indhold:

Definition af differentialkvotient (hældning af tangent til graf)
Tegne tangenter i bestemt 𝑥_0 til grafer for funktioner
Grænseværdibegreb+kontinuitet
Væksthastighed (fortolkning af differentialkvotient)
Definition af differentiabilitet (tegning med sekant der går mod tangent)
- Herunder viden om IKKE-differentiable funktioner (knæk og spring).
Tretrinsmetode (øvelse i at benytte metode på konkrete lineære funktioner)
Indførelse af afledede funktioner 𝑓′(𝑥)
-   Afledet funktion 𝑓′(𝑥) vs. differentialkvotient 𝑓′(𝑥_0)
Lære om forskellige differentiationsregneregler og øvelse/rutine i at differentiere funktioner.
- Sum/differensregel, konstantfaktorregel, potensregneregel, produktregel, sammensat funktion, konstante funktioner, 𝑒^𝑥,ln⁡(𝑥), 1/𝑥 og √𝑥.
Bestemme monotoniforhold for funktion.
- Herunder bestemme ekstrema (globale/lokale maximum og minimum), tegne monotonilinje og skitsere graf for funktion ud fra givne oplysninger samt monotonilinje.
Bestemme ligning for tangent til graf for funktion.
Benytte Maple til at differentiere funktioner og løse differentialregningsopgaver relateret til virkeligheden.

Beviser/ræsonnement:

- Definition af differentiabilitet (medfølgende indførelse af en masse begreber og symboler).
Bevise differentiabilitet i 𝑥_0 og bestemme differentialkvotient 𝑓′(𝑥_0) for konkrete funktioner vha. tretrinsmetoden
- Konkrete lineære funktioner
- 2.gradsfunktionen 𝑓(𝑥)=𝑥^2.
Beviser for differentiationsregneregler ved brug af tretrinsmetoden.
- Konstantfaktorregel
- Sumregel
Ligning for tangent til graf i 𝑃(𝑥_0,𝑓(𝑥_0)

Materialer:
- Kompendium om differentialregning (Se PDF modul 4 31/10-22)
- Kernestof Mat 2 Stx, side 92-125 (supplerende materiale)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 13,00 moduler
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 8 Kombinatorik og sandsynlighedsregning

Kombinatorik: Elementær mængdelære, permutationer og kombinatorik (binomialkoefficient og Pascals trekant).
Sandsynlighedsregning: Udfaldsrum, punktsandsynligheder, hændelser (herunder komplementærhændelser, 'både-og'- og 'enten-eller'-hændelser), sandsynlighedsfordeling, stokastisk variabel (herunder middelværdi og spredning for stok.var.), binomialfordelingen, binomialtest (dobbeltsidet).
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Aflevering 4 13-11-2023
Aflevering 5 01-12-2023
Prøve 1 07-12-2023
Aflevering 6 18-12-2023
Aflevering 09 07-04-2025
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 19 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 10 Trigonometriske funktioner

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 11 Analytisk geometri

Repetition af vektorregning.
Linjens parameterfremstilling og ligning - herunder retningsvektor og normalvektor. Skæringspunker og vinkel mellem to linjer samt en linje og koordinatakserne.
Ortogonale linjer.
Afstand fra punkt til linje.
Projektion af punkt på linje.
Cirklens ligning.
Skæringspunkter mellem cirkel og linje. Tangent til cirkel.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Aflevering 9 11-04-2024
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 12 Vektorfunktioner

Vektorfunktioner og parameterkurver (banekurver) - herunder eksempler, bl.a. cirklens parameterfremstilling.
Differentiation af vektorfunktion - hastighed, fart og acceleration.
Tangent til banekurve.
Kurveundersøgelse: Skæringspunkter med koordinatakser, bestemmelse af dobbeltpunkter, vandret og lodret tangent, symmetri, monotoniforhold for koordinatfunktionerne samt kurveforløb.
Modeller med vektorfunktioner: Månens bane om solen, epicykloider og hypocykloider .
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Aflevering 10 08-05-2024
Prøve 3 16-05-2024
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 13 Integralregning

Stamfunktion og ubestemt integral:
- Definition af stamfunktion og ubestemt integral.
- Samtlige stamfunktioner til en funktion (bevis).
- Graf for stamfunktion gennem punkt.
- Stamfunktioner for elementære funktioner.
- Regneregler for ubestemt integral (sum, differens, multiplikation med tal samt integration ved substitution - alle inkl. bevis).

Bestemt integral:
- Definition af bestemt integral.
- Regneregler for bestemt integral (samme værdi som øvre og nedre grænse, ombytning af grænserne, indskudssætningen, sum, differens, multiplikation med tal samt substitution med ændring af grænser - alle inkl. bevis).

Sammenhæng mellem areal og bestemt integral:
- Arealfunktionen for kontinuert funktion på lukket, begrænset interval (inkl. bevis for, at arealfunktionen er en stamfunktion),
- Areal afgrænset af 1. aksen og grafen for en kontinuert, ikke-negativ funktion på lukket, begrænset interval (bevis)
- Enhver kontinuert, ikke-negativ funktion på lukket, begrænset interval har stamfunktion (bevis)
- Areal mellem grafer for to kontinuerte funktioner på lukket, begrænset interval (bevis).

Anvendelser:
- Volumen af omdrejningslegeme (uden bevis).
- Kurvelængde (uden bevis).

Uegentlige integraler:
- Definition og eksempler på uegentlige integraler.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Aflevering 01 05-09-2024
Aflevering 02 19-09-2024
Prøve 1 08-10-2024
Aflevering 03 11-10-2024
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 18 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 14 Differentialligninger

Differentialligninger af 1. orden.

- Løsningskurve, linjeelement og retningsfelt.
- Løsning af differentialligningstyperne y'=ky, y'=b-ay samt y'=y(b-ay) - inkl. beviser for fuldstændig løsning af alle tre typer.
- Kort omtale af separation af de variable.
- Løsning af differentialligninger i Maple.
- Opstilling af diff.lign.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Aflevering 04 07-11-2024
Aflevering 05 21-11-2024
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 15 Funktioner af to variable

Funktioner af to variable.

- Graf, snitfunktion, konturplot.
- Partielle afledede af 1. og 2. orden.
- Gradient.
- Bevis for, at gradienten er normalvektor til tangenten i et punkt på en niveaukurve i en række specialtilfælde.
- Stationære punkter og ekstrema.
- Tangentplan.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Aflevering 06 13-12-2024
Aflevering 07 20-01-2025
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 16 Kontinuerte fordelinger og normalfordelingen

Kontinuerte fordelinger, tætheds- og fordelingsfunktion.
Middelværdig og spredning.
Normalfordelingen og standardnormalfordelingen.
Bevis for sammenhængen mellem en vilkårlig normalfordeling og standardnormalfordelingen.
Fraktilfunktion.
Residualer, residualplot og konfidensinterval.
Tjek for normalfordeling vha. Maple.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 18 Repetition

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer