|
Titel
5
|
Ma2a1 hele 2.g forløb
Undervisningsbeskrivelse MA2a 2.g aug2024-jun2025
-----------------------------------------------------------------------------
Funktionsbegrebet
Efter forløbet skal eleven kunne:
- Forklare funktionsbegrebet herunder definitionsmængde og værdimængde.
- Redegøre for polynomier af grad n, herunder grafens udseende og antallet af rødder når n er hhv. lige og ulige.
- Redegøre for stykkevis definerede funktion, herunder graf med lukkede og åbne punkter, samt kontinuert og diskontinuert værdimængde.
- Redegøre for regning med funktion, herunder addition, subtraktion, multiplikation, division, samt sammensat funktion.
- Redegøre for parallelforskydning af grafen for en funktion.
- Redegøre for invers funktion og injektive funktioner.
- Redegøre for absolut og relativ vækst, generelt og for den uafhængige variabel og funktionsværdier. Herunder specielt for vækstegenskaber for lineære funktioner og eksponentialfunktion.
Begreber:
Funktion, definitionsmængde, værdimængde, polynomium af grad n, led af højeste orden, rødder, stykkevis defineret funktion, åbent punkt, lukket punkt, kontinuert, diskontinuert, sammensat funktion, parallelforskydning, invers funktion, injektiv funktion, absolut vækst, relativ vækst, vækstegenskaber, absolut-absolut vækst, absolut-relativ vækst.
--------------------------------------------------------------------------------
Logaritmer
Efter forløbet skal eleven kunne:
- Forklare hvad en logaritmefunktion er, herunder grundtal og hvordan værdien af en logaritme bestemmes.
- Skitsere grafen for en logaritmefunktion, herunder forklare skæring med 1.-aksen, definitionsmængde og værdimængde.
- Redegøre for regneregler for logaritmer.
- Løse ligninger med logaritmer og med den ubekendte i en eksponent.
- Redegøre for den proportionelle sammenhæng mellem to logaritmefunktioner.
- Forklare eksempler på hvor logaritmisk skala anvendes og hvorfor. F.eks. lydniveau og pH-skala.
- Aflæse punkter i enkeltlogaritmisk koordinatsystem.
- Kunne forklare Eulers tal, den naturlige logaritme og den naturlige eksponentialfunktion.
Begreber:
Logaritme, grundtal, 10-tals logaritmen, den naturlige logaritme, den naturlige eksponentialfunktion, Eulers tal, logaritmisk skala, enkeltlogaritmisk koordinatsystem.
-------------------------------------------------------------------------------------
Differentialregning
I dette forløb introducerer vi differentialregning sideløbende med at vi arbejder med optimeringsproblemstillinger, hvor vi kan anvende differentialregningen. Derfor arbejder vi sideløbende ”i matematik” og ”med matematik”, og læringsmålene for forløbet er derfor inddelt i disse to kategorier.
Efter forløbet skal eleven kunne:
Differentialregning (”i matematik”):
- Forklare en funktions nulpunkter og fortegnsvariation.
- Forklare en funktions ekstremumsteder, lokale og globale ekstrema, og monotoniforhold.
- Forklare sammenhængen mellem begreberne sekant, tangent, differenskvotient, differentialkvotient.
- Forklare sammenhængen mellem grafen for en funktion og grafen for den afledede funktion.
- Bestemme den afledede funktion for funktionstyper i formelsamlingens tabel, samt anvende regneregler for bestemmelse af den afledede funktion ved sum, differens, produkt, kvotient, og sammensat funktion.
- Redegøre for bestemmelse af afledede funktion for et andengradspolynomium og kvadratrodsfunktionen ved brug af tre-trinsreglen.
Optimering (”med matematik”):
- Opstille funktionsudtryk ud fra en beskrivelse af en konkret problemstilling, herunder definere relevante variable og deres mulige værdier.
- Anvende afledede funktioner til at bestemme relevante ekstrema og ekstremumsteder i problemstillingerne der involverer optimering.
- Vurdere rækkevidde af model ud fra de idealiseringer der er foretaget, herunder bestemme definitionsmængde for de anvendte funktionsudtryk.
Begreber:
Funktion, graf, nulpunkter, fortegnsvariation, ekstremumsteder, ekstrema, lokalt ekstrema, globalt ekstrema, maksimum, minimum, monotoniforhold, sekant, tangent, differenskvotient, differentialkvotient, afledede funktion, idealisering, definitionsmængde.
-------------------------------------------------------------------------------------
Trigonometriske funktioner
Materialer:
hf matematik B, Vejledende forberedelsesmateriale Trigonometriske funktioner
Mathematicus lærebog
Efter forløbet skal eleven kunne:
- Redegøre af cos(x) og sin(x) ud fra enhedscirklen og radiantal.
- Forklare graferne, samt definitionsmængde og værdimængde, for cos(x) og sin(x).
- Forklar konstanternes betydningen for grafen for den harmoniske svingning: f(x)=A*sin(omega*x+phi)+B.
- Redegør for sammenhængen mellem vinkelhastigheden og perioden for en harmonisk svingning.
- Løse ligninger med trigonometriske funktioner.
- Bestemme den afledede funktion til harmoniske funktioner.
- Redegøre for den afledede funktion til sin(x) og cos(x) ved brug af et geometrisk bevis og tre-trinsreglen.
Begreber:
Enhedscirkel, radianer, retningspunkt, sinus, cosinus, amplitude, ligevægtsværdi, vinkelhastighed, faseforskydning, lodret forskydning, vandret forskydning, definitionsmængde, værdimængde.
-------------------------------------------------------------------------------------
Vilkårlige trekanter: sinus og cosinus relationer
Materialer:
Mathematicus lærebog
Efter forløbet skal eleven kunne:
- Anvende sinus- og cosinusrelationer for vilkårlige trekanter, samt formel for arealbestemmelse af vilkårlige trekanter.
- Redegøre for sinus- og cosinusrelationerne for spidsvinklede trekanter.
Begreber:
vinkel, linjestykke, retvinklet trekant, Pythagoras sætning, sinus, cosinus, tangens, ligedannede, areal, sinusfælden.
-------------------------------------------------------------------------------------
Analytisk geometri: cirkler og linjer
Materialer:
Mathematicus lærebog
Efter forløbet skal eleven kunne:
- Redegøre for hældningsvinkel for en ret linje.
- Forklare formlen for afstand mellem punkt og linje.
- Redegøre for cirklens ligning.
- Lave kvadratkomplementering for ligning og herudfra aflæse centrum og radius for cirkel.
- Forklare og bestemme skæringspunkter mellem cirkler og linjer, samt tangentlinjer til cirkel.
Begreber:
linje, hældningsvinkel, tangens, cirkel, kvadratkomplementering, centrum, radius, Pythagoras, skæringspunkter, tangent, ortogonale linjer.
-------------------------------------------------------------------------------------
Mængdelære
Materialer:
Mathematicus lærebog
Efter forløbet skal eleven kunne:
- Forklare og opskrive mængder, herunder mængdebygger, den tomme mængde, og intervaller.
- Forklare mængderne: de naturlige tal, de hele tal, de rationelle tal, og de reelle tal.
- Forklare, anvende og illustrere med Venn-diagrammer mængdeoperationerne: Fællesmængden, foreningsmængden, differensmængden, komplementærmængden.
- Forklare begreberne delmængde og disjunkte mængder.
- Forklare kardinalitet af mængde, samt anvende formlen for kardinalitet af foreningsmængde.
Begreber:
Mængde, element, univers, grundmængde, mængdebygger, Venn-diagram, fællesmængden, foreningsmængden, differensmængden, komplementærmængden, den tomme mængde, interval, de naturlige tal, de hele tal, de rationelle tal, de reelle tal, delmængde, disjunkte mængder, kardinalitet.
-------------------------------------------------------------------------------------
Binomialtest
Materialer:
Mathematicus lærebog
Lærebog i matematik A2 stx (udklip)
Eleverne har udført eksperiment i klassen med smagstest: kan man smage forskel på Coca Cola og Coca Cola Zero?
Eleverne har foretaget undersøgelser på studieturen i Prag hvor de i deres analyse har brugt binomialtest og konfidensinterval for hældning (forløb fra 1.g).
Efter forløbet skal eleven kunne:
- Forklare hvad der forstås ved en statistisk test, herunder population, stikprøve, hypotese, stikprøvestørrelse.
- Forklare binomialsandsynligheder og binomial test.
- Forklare og beregne den kritiske mængde og acceptmængden ud fra en hypotese og en teststørrelse.
- Afgøre om en hypotese skal forkastes ud fra en stikprøve.
- Forklare betydningen af signifikans niveauet og fejl af type 1 og type 2 ved statistiske test.
- Forklare hvornår det er rimeligt at bruge en normalfordelingsapproksimation for binomialfordelingen.
- Bestemme konfidensinterval for andelen p ud fra formlen baseret på normalfordelingsapproximationen.
- Forklare forskellen på én-sidet og to-sidet binomialtest.
Begreber:
Statistisk test, population, stikprøve, hypotese, nulhypotese, stikprøvestørrelse, teststørrelse, binomialforsøg, binomialsandsynligheder, binomial test, kritisk mængde, acceptmængde, signifikansniveau, konfidensinterval, type 1 fejl, type 2 fejl, normalfordelingsapproksimation, én-sidet test, to-sidet test.
-------------------------------------------------------------------------------------
Potensfunktioner
Materialer:
Mathematicus lærebog
Efter forløbet skal eleven kunne:
- Redegøre for konstanternes betydning for potensfunktioner f(x)=b*x^a
- Forklare grafen for potensfunktioner, herunder definitionsmængde og værdimængde.
- Redegøre for to-punktsformlen til bestemmelse af a og b i forskrift for potensfunktion.
- Forklare sammenhængen mellem den relative vækst for x og den relative vækst for f(x) for potensfunktioner.
- Lave regressionsanalyse med potensfunktion.
Begreber:
Potensfunktion, potens, eksponent, grundtal, definitionsmængde, værdimængde, monotoniforhold, relativ vækst, logaritme.
-------------------------------------------------------------------------------------
Beviser til differentialregning
Materialer:
Mathematicus lærebog
Efter forløbet skal eleven kunne:
- Redegøre for regneregler for bestemmelse af den afledte funktion til sum og differens af funktioner, produkt af funktioner, samt sammensat funktion.
Begreber:
Differenskvotient, sekant, differentialkvotient, tangent, tre-trinsreglen.
-------------------------------------------------------------------------------------
Integralregning intro
Materialer:
Mathematicus lærebog
Efter forløbet skal eleven kunne:
- Forklare hvad der forstås ved en stamfunktion til f(x), og sætte det i relation til det at bestemme den afledte funktion til f(x).
- Bestemme stamfunktioner hvis graf går gennem et givent punkt eller som har en given linje som tangent.
- Forklare hvad der forstås ved det ubestemte integral af f(x).
- Forklare hvad der forstås ved det bestemte integral af f(x) og sammenhængen med grafen for f(x).
- Bestemme ubestemte og bestemte integraler, herunder regneregler for sum, differens, og integration ved substitution.
- Bestemme areal mellem graferne for to funktioner i et interval.
Begreber:
Stamfunktion, afledt funktion, ubestemt integral, bestemt integral, areal, integration ved substitution.
|