Holdet 2024 bl 3 MaA/bs - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2024/25
Institution X - Slagelse Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) David Markvart Kristensen
Hold 2024 bl 3 MaA/bs (24 bl 3 MaA bs)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Forløb 1: Introduktion og mere om funktioner
Titel 2 Forløb 2: Mere om differentialregning
Titel 3 Forløb 3: Integralregning
Titel 4 Forløb 4: Vektorfunktioner og parameterkurver
Titel 5 Forløb 5: Differentialligninger
Titel 6 Forløb 6: Forberedelsesmaterialet
Titel 7 Forløb 7: Normalfordeling
Titel 8 Forløb 8: Funktioner af to variable
Titel 9 Repetitionsforløb

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Forløb 1: Introduktion og mere om funktioner

Matematisk emne: Mere om funktioner – herunder omvendte funktioner, trigonometriske funktioner og harmoniske svingninger

Klasse/hold: bl 3 MaA.

Standardmateriale:
Carstensen, J., Frandsen, J., Lorenzen, E., og Madsen, A.L. (2020). MAT B til A – stx. Aarhus: Systime A/S, s. 11-28.

Formål med forløbet: Efter forløbet skal eleverne kunne:
-       Anvende nulreglen til ligningsløsning
-       Løse ligningssystemer ved brug af substitutionsmetoden.  
-       Forklare egenskaberne ved funktioner – herunder omvendte funktioner, sammensatte funktioner og injektive funktioner.
-       Omregne grader til radianer og omvendt
-       Forklare egenskaber ved de trigonometriske funktioner
-       Forklare konstanterne A, b, c og d i denne sammenhæng: f(x)=A*sin(bx+c)+d.
- Forklare egenskaber ved log(x), 10^x, e^x og ln(x).

Antal moduler: ca. 5 moduler á 70 minutters varighed.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Forløb 2: Mere om differentialregning

Klasse/hold: bl 3 MaA

Standardmateriale:
- Egne noter: Beviser for differentialregning - både MaB og MaA (se 5. modul)
- Regneregler for differentialkvotienter - med henblik på produktreglen og kædereglen: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/differentialregning/regneregler-for-differentialkvotienter

Det faglige indhold:
- Grænseværdibegrebet samt anvendelse af notationen for denne.
- Differentialkvotient, differenskvotient og tretrinsregel.
- Kædereglen og produktreglen
- Monotoniforhold og vandrette tangenter

Formål med forløbet: Efter forløbet skal eleverne kunne:
- Anvende tretrinsreglen med brug af grænseværdisnotationen
- Differentiere forskellige typer af funktioner af forskellige sammensætninger – særligt kædereglen og produktreglen.
- Bevise differentialkvotienten af simple funktioner såsom lineær funktion, kvadratfunktionen, kvadratrodsfunktioner, reciprokfunktionen samt et vilkårligt andengradspolynomium.
- Bevise differentialkvotienten af sinusfunktionen
- Bevise centrale regnereglerne såsom sumreglen, differensreglen, konstantreglen, produktreglen og kædereglen.
- Bestemme ligning til tangenten ud fra et punkt
- Bestemme monotoniforholdet ved brug af den afledte funktion samt bestemme antallet af vandrette tangenter for et tredjegradspolynomium.

Beviser til eksamen:
- Bevis af differentialkvotienten for reciprokfunktionen, kvadratrodsfunktionen og sinusfunktionen ved brug af tretrinsreglen.
- Bevis for differentialkvotienten for produktreglen og kædereglen ved brug af tretrinsreglen.

Antal moduler: ca. 7 moduler á 70 minutters varighed.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Forløb 3: Integralregning

Matematisk emne: Integralregning – Stamfunktioner, arealer og regneregler

Klasse/hold: bl 3 MaA

Standardmateriale:
Carstensen, J., Frandsen, J., Lorenzen, E., og Madsen, A.L. (2020). MAT B til A – stx. Aarhus: Systime A/S, s. 66-106.

Dalby, P., Madsen, B. M., Overgaard, L. P. og Studsgaard, J. Plus B til A stx. Link: https://plusstxba.systime.dk/?id=2722

Det faglige indhold:
Bestemmelse af stamfunktioner F(x) samt deres forskrift.
Anvendelse af centrale regneregler for integration både for det ubestemte integral og det bestemte integral.
Udledning af regneregler, formlen for kurvelængden samt integralregningens hovedsætning.
Arealbestemmelse afhængig af grafens udseende mhp. x-aksen.

Formål med forløbet: Efter forløbet skal eleverne kunne:
- bestemme om en eller flere funktioner er en stamfunktion til en givet funktion ved brug af integrationsprøven
- bestemme det ubestemte integral af simple funktioner samt kan anvende regneregler som sumreglen, differensreglen og konstantreglen for integration, og dermed anvende integration ved substitution.
- bestemme forskriften for en stamfunktion ud fra et punkt eller en tangent til grafen.
- bestemme/evaluere bestemte integraler af vilkårlig sammenhæng, hvor eleverne kan anvende regneregler som sumreglen, differensreglen og konstantreglen for integration, og dermed anvende integration ved substitution uden at ændre grænserne.
- bestemme arealer over og under x-aksen samt mellem to grafer ved brug af det bestemte integral.
- undersøge sammenhængen mellem det bestemte integral og arealbestemmelse
- anvende formlen for kurvelængden af en graf f i et begrænset interval
- udlede regnereglen for ”Integration ved substitution” vha. metoden for integration ved substitution
- udlede formlen for kurvelængden af en graf f
- udlede for simple regneregler for integration mhp. det bestemte integral
- udlede integralregningens hovedsætning

Beviser til eksamen:
- Bevis af centrale regneregler for integralregning jf. sumregel, differensreglen og konstantreglen for både det ubestemte og bestemte integral.
- Bevis for formlen for kurvelængde for funktioner.
- Bevis for integralregningens hovedsætning.

Antal moduler: ca. 20 moduler á 70 minutters varighed.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 20,00 moduler
Dækker over: 21 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Forløb 4: Vektorfunktioner og parameterkurver

Matematisk emne: Vektorfunktioner og parameterkurver

Klasse/hold: bl 3 MaA

Standardmateriale:
Carstensen, J., Frandsen, J., Lorenzen, E., og Madsen, A.L. (2020). MAT B til A – stx. Aarhus: Systime A/S, s. 264-290, 305-307.

Supplerende stof:
Markvorsen, S. (2015). Indledende emner: Geometri, vektorregning og krumningsteori. København, L&R uddannelse Egmont, s. 27-28. Link: https://static.gymportalen.dk/sites/lru.dk/files/lru/docs/Projektmaterialer_i_tilknytning_til_Steens_film-1_del_samlet-geometri_vektorer_og_krumning.pdf

Det faglige indhold:
- Repetition af vektorregning og analytisk geometri
- Definitionen for en vektorfunktion
- Kurver, tangentvektorer og tangenter
- Hastighedsvektorer, fart og accelerationsvektorer.
- Skæringen mellem akserne og parameterkurven.
- Vandrette og lodrette tangenter
- Dobbeltpunkter og vinkler mellem tangentvektorerne til dobbeltpunktet.
- Kurvelængden for en vektorfunktion
- Korteste eller største afstand til et vilkårligt punkt og parameterkurven
- Cirklens parameterfremstilling

Supplerende stof: Krumningsteori (ca. 1 modul).
- Formlen for krumning af en vektorfunktion
- Bevis for krumningen af cirklens parameterfremstilling er k=1/r.

Formål med forløbet: Efter forløbet skal eleverne kunne:
- Tegne vektorfunktioner ved brug af CAS-værktøj
- Bestemme stedvektorer ved brug af vektorfunktionen
- Bestemme tangentvektorer samt opstille en ligning til en tangent til parameterkurven samt anvende den afledte vektorfunktion til at illustrere omløbsretningen.  
- Bestemme hastighedsvektoren, farten og accelerationsvektoren
- Bestemme skæringspunktet (og/eller det tidspunkt) mellem parameterkurven og akserne
- Bestemme tidspunktet hvor der en parallel lodret eller vandret tangent til akserne.
- Bestemme kurvelængder samt udlede formlen for kurvelængden til en vektorfunktion.
- Bestemme den korteste eller største afstand mellem et vilkårligt punkt og en given parameterkurve.
- Opstille samt aflæse centrum og radius ud fra cirklens parameterfremstilling.

Beviser til eksamen:
- Bevis for differentiabiliteten af en vektorfunktion
- Bevis for kurvelængden af en vektorfunktion
- Bevis for krumningen af cirklens parameterfremstilling

Antal moduler: ca. 10 moduler á 70 minutters varighed.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Forløb 5: Differentialligninger

Matematisk emne: Differentialligninger

Klasse/hold: bl 3 MaA

Standardmateriale:
Carstensen, J., Frandsen, J., Lorenzen, E., og Madsen, A.L. (2020). MAT B til A – stx. Aarhus: Systime A/S, s. 204-237.

Det faglige indhold:
- Definitionen på en differentialligning jf. orden, lineær, ikke-lineære, partikulær løsning og fuldstændigløsning.
- "At gøre prøve".
- Egenskaber ved første ordens differentialligninger
- Linjeelementer og hældningsfelter
- Opstilling af en differentialligning
- Fuldstændige og partikulære løsninger til lineære 1. ordens differentialligninger.
- Logistisk differentialligning
- Separation af variable.


Formål med forløbet: Efter forløbet skal eleverne kunne:
- Forklare egenskaber ved en differentialligning, herunder afgøre orden, type, partikulær - og fuldstændig løsning, samt forklare linjeelementer og dets rolle ifm. løsningskurven/hældningsfeltet.
- Kunne regne opgaver til skriftlige delprøve 1: Gøre prøve, bestemme tangentligninger samt monotoniforhold ud fra en differentialligning, løse simple 1. ordens differentialligninger ved beregning, analysere hældningsfelter, opstille differentialligningsmodeller ud fra tekst.
- Kunne anvende løsningsformlerne til følgende 1. ordens differentialligningstyper: Den generelle 1. ordens lineære differentialligning, herunder specialtilfældene: Uhæmmet eksponentiel vækst og forskudt eksponentiel vækst samt metoden separation af de variable.
- Kunne anvende TI-Nspire til opgaveløsning til 1. ordens differentialligninger, samt andre typer af differetialligninger.
- Kunne opstille en differentialligning ud fra tekstuelle oplysninger.

Beviser til eksamen:
- Bevis for løsningsformlen for den eksponentielle vækst ved brug af produktreglen og integration.
- Bevis for løsningsformlen for den forskudt eksponentielle vækst ved brug af produktreglen og integration.
- Bevis for løsningsformlen for 1. orden lineære differentialligningen (panserformlen) ved brug af produktreglen og integration.

Antal moduler: ca. 10 moduler á 70 minutters varighed.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Forløb 6: Forberedelsesmaterialet



Formål:
Efter forløbet skal eleven kunne:
-  Forklare hvad der forstås ved et udfaldsrum, en sandsynlighedsfunktioner, samt regne med sandsynligheder.
- Forklare begrebet betinget sandsynlighed og anvende ”Loven om totalsandsynlighed” og ”Bayes’ sætning” til beregning af betingende sandsynligheder.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Forløb 7: Normalfordeling

Matematisk emne: Normalfordeling

Klasse/hold: bl 3 MaA

Standardmateriale:
- Carstensen, J., Frandsen, J., Lorenzen, E., og Madsen, A.L. (2020). MAT B til A – stx. Aarhus: Systime A/S, s. 30-53.
- Egne noter til "Beviserne til normalfordeling" (se modul 7).

Det faglige indhold:
- Stokastisk variabel
- Grafen og forskriften for normalfordelingens tæthedsfunktion.
- Grafen for fordelingsfunktionen samt sammenhængen mellem fordelingsfunktionen og tæthedsfunktionen
- Normale og exceptionelle udfald
- Normalplot/QQ-plot

Formål med forløbet: Efter forløbet skal eleverne kunne:
- Aflæse middelværdien og spredning ud fra tæthedsfunktionen samt opstille tæthedsfunktionen ud fra en given middelværdi og spredning.
- Vurdere grafisk hvilken tæthedsfunktion har størst/mindst middelværdi og spredning.
- Aflæse og bestemme (kumulerede) sandsynligheder ud fra fordelingsfunktionen på papir, jf. at bestemme middelværdien.
- Tegne grafen samt bestemme sandsynligheder og grænser ved brug af CAS-værktøjets kommandoer, såsom normpdf() og normcdf().
- Opstille/bestemme normale udfald og exceptionelle udfald, herunder bestemme middelværdien og spredningen ud fra normale og exceptionelle udfald.
- Undersøge hvorvidt et datasæt er normalfordelt
- Undersøg sammenhængen ud fra konfidensintervallet på hældningen.

Beviser til eksamen:
- Bevis for fordelingsfunktion er stamfunktion til tæthedsfunktionen
- Bevis for sammenhængen mellem tæthedsfunktionen for den generelle normalfordeling samt standardnormalfordelingen.
- Bevis for sammenhængen mellem fordelingsfunktionen for den generelle normalfordeling samt standardnormalfordelingen.
- Bevis for den maksimale sandsynlighed for en normalfordeling er lokaliseret ved middelværdien

Antal moduler: ca. 10 moduler á 70 minutters varighed.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Forløb 8: Funktioner af to variable

Matematisk emne: Funktioner af to variable

Klasse/hold: bl 3 MaA

Standardmateriale:
Carstensen, J., Frandsen, J., Lorenzen, E., og Madsen, A.L. (2020). MAT B til A – stx. Aarhus: Systime A/S, s. 129-163.

Webmatematik. "Stationære punkter" mhp. afsnittet "Alternativ metode til at bestemme arten af et stationært punkt": Link: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/funktioner-af-to-variable/stationaere-punkter

Det faglige indhold:
- Forskriften og grafen for funktioner af to variable, f(x,y)=z.
- Niveaukurver
- Snitkurver og snitfunktioner
- Partielt afledede
- Gradienten
- Stationære punkter og arten af et stationært punkt.

Formål med forløbet: Efter forløbet skal eleverne kunne:
- Anvende en forskrift for en funktion af to variable til at bestemme funktionsværdi.
- Tegne funktioner af to variable i et 3D-koordinatsystem ved brug af CAS-værktøj.
- Bestemme skæringspunkter med koordinatakserne.
- Bestemme forskriften for niveaukurver og angive hvilken type funktion, der er tale om.
- Bestemme snitfunktioner g(x)=f(x,k) og h(y)=f(k,y).
- Bestemme de partielt afledede for en funktion af to variable.
- Bestemme tangentligninger for xz-planen (for fastholdt y) og tangentligning for yz-planen (for fastholdt x).
- Bestemme gradienten og de dobbelte afledede samt den blandede afledede og anvende disse til at bestemme de stationære punkter og arten af disse (minimum, maksimum eller saddelpunkt).

Beviser til eksamen:
- Der er ikke lavet nogle beviser inden for dette emne.

Antal moduler: ca. 10 moduler á 70 minutters varighed.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Repetitionsforløb

I dette forløb har vi repeteret de forrige emner som:
- Reduktion, nulreglen og to ligninger med to ubekendte.
- Trigonometriske funktioner og invense funktioner.
- Differentialregning mhp. kædereglen og produktreglen.
- Integralregning
- Vektorfunktioner
- Differentialligninger
- Betinget sandsynlighed
- Normalfordeling
- Funktioner af to variable

Der har været ladt vægt på skriftlighed.

Ydermere har vi også arbejdet med de forløbige eksamensspørgsmål.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer