Holdet 3y MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2025/26
Institution Gladsaxe Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Marie Harpøth, Peter Chaplin Wulff
Hold 2023 MA/y (1y MA, 2y MA, 3y MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Renter og Annuiteter
Titel 2 Eksponentialfunktioner
Titel 3 Deskriptiv Statistik
Titel 4 Funktioner
Titel 5 Vektorer i 2D
Titel 6 SSH og kombinatorik
Titel 7 Differentialregning
Titel 8 Polynomier
Titel 9 Binomiafordelingen
Titel 10 Svingninger + splejsede funktioner
Titel 11 Linjer og cirkler
Titel 12 Diskret matematik - Moderne Kryptologi
Titel 13 Integralregning
Titel 14 Beviser fra differentialregning
Titel 15 Repetition
Titel 16 Repetition diff og int
Titel 17 Normalfordelingen
Titel 18 Funktioner af to variable
Titel 19 Lineær regression - Mindste kvadraters metode
Titel 20 Vektorfunktioner
Titel 21 Differentialligninger
Titel 22 Repetition + Mundtlig træning
Titel 23 Forberedelsesmateriale - Polære funktioner
Titel 24 Beviser
Titel 25 Historisk matematik
Titel 26 Repetition

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Renter og Annuiteter

Forløb om procentregning, kapitalfremskrivning, gennemsnitlig rente og annuitet.
Under annuitet er formel for annuitetsopsparing blevet bevist. Der er også arbejdet med formel for gældsannuitet (uden bevis) og der er lavet amortisationstabeller i Nspire.

Desuden er der arbejdet med talmængder (N, Z, Q, R) og det udvidede potensbegreb, som oplæg til eksponentialfunktionerne.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 3 Deskriptiv Statistik

- Ikke-grupperede observationer
- Observationssættets størrelse, typetal, variationsbredde, middelværdi, varians, standardafvigelse
- Frekvens og kumuleret frekvens
- Fraktiler
- Skævhed
- Boxplot
- Grupperede observationer
- Observationssættets størrelse, typeinterval, middelværdi
- Frekvens og kumuleret frekvens
- Fraktiler
- Boxplot
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Funktioner


Naturlige eksponentialfunktion
Logaritmer
Bevis for logaritmeregnereglerne
Fordoblingskonstanten til eksponentielle funktioner
Potensfunktioner

Generelt om funktioner:
Parallelforskydning af grafer
Sammensatte funktioner
Inverse funktioner

Læreplanen 2.1:
– Operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer
– håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge
symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold
– oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse

Læreplanen 2.2:
-funktionsbegrebet, sammensat funktion, stykkevist defineret funktion, invers funktion, karakteristiske egenskaber ved
følgende elementære funktioner og deres grafiske forløb: lineære funktioner, polynomier, eksponential-, potens- og
logaritmefunktioner
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 15,00 moduler
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Vektorer i 2D


- Vektorers egenskaber
- Sum og differens, parallelogramreglen
- Regneregler
- Regning med vektorers koordinater
- Vektorer og punkter, Indskudsreglen
- Stedvektor, cos, sin, tan
- Beregninger i retvinklede trekanter
- Skalarprodukt og regneregler for skalarprodukt
- Vinkel mellem vektorer
- Ortogonale og parallelle vektorer
- Projektion af vektor
- Tværvektor
- Determinant og vinkel
- Areal af parallelogram og trekant

Læreplanen 2.2:
– vektorer i to dimensioner givet ved koordinatsæt, herunder skalarprodukt, determinant, projektion, vinkler, areal, linje,
cirkel, skæringer og afstandsberegninger samt anvendelser af vektorbaseret koordinatgeometri til opstilling og løsning af
plangeometriske problemer, herunder trigonometriske problemer

Læreplanen 2.3 Supplerende stof:
- Skævvinklede trekanter
- Sinus- og cosinusrelationerne
– matematikhistorisk perspektiv
- Diskussion af matematisk metoder
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 13,00 moduler
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 SSH og kombinatorik

Introduktion til sandsynlighedsregning og grundlæggende begreber:
udfaldsrum, hændelse, symmetrisk sandsynlighedsfelt, uafhængige hændelser, fælles udfald.
Sandsynlighedstabel. Summen af alle sandsynligheder giver 1 (100%)
Bestemmelse af sandsynligheder i et symmetrisk sandsynlighedsfelt som "gunstige over mulige".

Introduktion til kombinatorik:
additionsprincippet, multiplikationsprincippet
Permutationer og kombinationer
Argumentation for formlerne for K(n,r) og P(n,r) ud fra eksempel.

Sandsynlighedsregning med kombinatorik: Bestemmelse af mere komplicerede sandsynligheder ved brug af formlen for K(n,r) samt "antal gunstige over antal mulige".

Læreplanen 2.2:
– kombinatorik, grundlæggende sandsynlighedsregning, sandsynlighedsfelt og stokastisk variabel
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Lytte
  • Selvrefleksion
  • Almene (tværfaglige)
  • Analytiske evner
  • Kommunikative færdigheder
  • IT
Væsentligste arbejdsformer
  • Individuelt arbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 7 Differentialregning

Sekant og tangent
Grænseværdi
Differentialkvotient
Tretrinsreglen
Beviser for differentialkvotienter af udvalgte funktioner og regneregler:
sumfunktion
produktfunktion
sammensat funktion
x^2 og e^x

Væksthastighed
Tangentbestemmelse
Monotoniforhold
Matematisk modellering og optimering:
"Projekt Julekegle" og "Projekt Mælkekarton"

Læreplanen 2.1:
- opstille geometriske modeller og løse geometriske problemer baseret på en analytisk beskrivelse af geometriske figurer

Læreplanen 2.2:
– definition og fortolkning af differentialkvotient, herunder væksthastighed, afledet funktion for de elementære funktioner
samt regnereglerne for differentiation af sum, differens og produkt af funktioner samt differentiation af sammensat funktion
– monotoniforhold, ekstrema og optimering samt sammenhængen mellem disse begreber og begrebet differentialkvotient
Optimering med differentialregning
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Polynomier

Andengradspolynomium og dets udseende
Polynomiel regression
Parallelforskydning af parabel
Nulpunkter, Løsning til andengradsligning + bevis
Faktorisering af polynomium
N'te gradspolynomium
Nulreglen
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Binomiafordelingen

Middelværdi og spredning for stokastisk variabel
Binomialfordelingen
Punktsandsynligheder
Kummulerede sandsynligheder
Middelværdi og spredning for binomialfordeling
Binomialformlen (p+q)^n
Binomialtest, højre, venstre og dobbeltsidet
Diskrete og kontinuerte fordelinger
Normalfordelingsapproksimation
Konfidensinterval for en andel

Læreplanen 2.1:
– anvende statistiske og sandsynlighedsteoretiske modeller til beskrivelse af data fra andre fagområder, foretage simuleringer,
gennemføre hypotesetest, bestemme konfidensintervaller, kunne stille spørgsmål ud fra modeller, have blik for hvilke svar,
der kan forventes, samt være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog

Læreplanen 2.2:
– kombinatorik, grundlæggende sandsynlighedsregning, sandsynlighedsfelt og stokastisk variabel, binomialfordeling og
normalfordeling, konfidensintervaller, hypotesetest i binomialfordelingen

Læreplanen 2.3:
– simulering af nulhypotese
- Binomialformlen (ophævning af paranteser (p+n)^n )
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 17,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Svingninger + splejsede funktioner

Kernestof: Vejen til Mat A2 s. 77-82
Radiantal
Grafiske forløb af de trigonometriske funktioner sinus og cosinus
Modellering af harmoniske svingninger
Trigonometriske ligninger

Læreplanen 2.1:
Supplerende stoft: Forberedelsesmateriale i "Splejsning af funktioner"
- Matematisk Modellering med splejsede funktioner
– anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og
problemløsning
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Linjer og cirkler

Projektion af vektor på vektor
Linjens ligning (normalvektor)
Parameterfremstilling
Ortogonale linjer og parallelle linjer
Distanceformlen (punkt til linje)
Vinkel, skæring og afstand mellem linjer
Cirklens ligning
Kvadratkomplettering
Tangent til cirkel
Skæring mellem linje og cirkel
Cirklens parameterfremstilling

Læreplanen 2.2:
– vektorer i to dimensioner givet ved koordinatsæt, herunder skalarprodukt, determinant, projektion, vinkler, areal, linje,
cirkel, skæringer og afstandsberegninger samt anvendelser af vektorbaseret koordinatgeometri til opstilling og løsning af
plangeometriske problemer, herunder trigonometriske problemer
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Diskret matematik - Moderne Kryptologi

Regning med Modulo
Gentagen kvadrering
Euklids algoritme
Indbyrdes primiske tal
Linearkombination af to indbyrdes primiske tal
Kryptering og dekryptering vha. moduloregning

Læreplanen 2.1:
– demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en
mere kompleks problemstilling
– anvende begreber og metoder fra diskret matematik inden for udvalgte områder

Læreplanen 2.3:
– begreber og metoder fra diskret matematik
– matematikhistorisk perspektiv
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13 Integralregning

Definition af stamfunktion F ' (x)=f(x)
Integrationsprøven:  undersøg om en bestemt funktion er en stamfunktion til f ved at differentiere funktionen.

Ubestemte integraler:
Stamfunktion gennem et punkt
Stamfunktion med given tangent

Bestemte integraler:
Arealsætning
Bestemmelser af arealer ved integration

Integration ved substition

MED HJÆLPEMIDLER:
kurvelænger
Rumfang af omdrejningslegeme

Beviser:
Arealsætningen
Kurvelængden

Læreplanen 2.2:
– stamfunktion for de elementære funktioner, ubestemte og bestemte integraler, sammenhængen mellem areal og
stamfunktion, regneregler for integration af sum og differens af funktioner samt af en funktion gange en konstant og
integration ved substitution, anvendelser af integraler
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer



Titel 16 Repetition diff og int

Ubestemte og Bestemte integraler
Areal under kurven og mellem grafer
Integration ved substitution både ubestemte og bestemte integraler
Middelværdi for en funktion
Kurvelængden fra a til b
Rumfang af omdrejningslegeme
Rumfang af hult omdrejningslegeme

Kernestof: Hæftet "Integralregning" af Mike Andal Auerbach, hentet fra mathematicus.dk

Bevis - Kurvelængde
https://www.youtube.com/watch?v=-XldAQCh5nw

Bevis - Rumfang af omdrejningslegeme
Fra hæftet "Integralregning" af Mike Andal Auerbach
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17 Normalfordelingen

Binomial approksimation til normalfordelingen
Forskel på diskrete og kontinuerte fordelinger
Introduktion til Normalfordelingens tæthedsfunktion og beregning af sandsynligheder
Normalfordelingens fordelingsfunktion og beregning af sandsynligheder
Statistik - Normalfordelingsplot, undersøg om et datasæt er normalfordelt
Statistik - Vurdering af lineær regression via. normalfordelingsplot af residualerne
Statistik - konfidensinterval for hældningskoefficienten
Standardnormalfordelings tætheds og fordelingsfunktion.
Transformation af generel normalfordeling til standardnormalfordeling
Bevis sætning 32 - at F(X)=Phi((x-middelværdi)/spredning)
Beregning af middelværdi eller spredning givet en sandsynlighed. Invers Phi(x).

Kernestof:  Kapitel 3 s. 46-55 i "Kernestof MAT3", forlaget Praxis
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 18 Funktioner af to variable

Definitionsmængde og værdimængde for funktioner af to variable
Graf for funktioner af to variable
Tegning af graf og punkt/kugle i Nspire
Partiel differentiation og gradienten
Gradienten til et punkt viser retningen hvor funktionen vokser hurtigst
Stationære punkter og dobbelt afledte
Snitkurver og Niveaukurver

Kernestof: Mathematicus-hæfte "Funktioner af to variable" se link: https://mathematicus.dk/matematik/noter/Funktioner_af_to_variable.pdf

Læreplanen 2.2:
– funktioner af to variable, partielle afledede og grafisk forløb, herunder niveaukurver

Læreplanen 2.3 Supplerende stof:
- tangentplaner
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 19 Lineær regression - Mindste kvadraters metode

LIneær regression og residualer
Sammenhænge vs. ikke-sammenhænge
Mindste kvadraters metode
Formlerne til at finde a og b i en lineær regression.
Regneregler for summer

Supplerende: Transformation af data - mhb. på at kunne benytte lineær regression til at bestemme koefficienter. Forskellige typer af sammenhænge.
Særlig vægt på log-transformation af eksponentiel og potensvækst.
Enkeltlogaritmisk og dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.

Læreplanen 2.1:
– demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en
mere kompleks problemstilling
– kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling

Læreplanen 2.2
– vægt på deduktive metoder og bevisførelse inden for udvalgte emner
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 20 Vektorfunktioner

Selvstændigt forløb med arbejde i grupper.
Kernestoffet: forberedelsesmaterialet for STX A 2019 "Vektorfunktioner"
- Vektorfunktioner og banekurver
- tangentvektorer
- dobbeltpunkter
- vinkel i et dobbeltpunkt
- kurvelængde af vektorfunktion
- krumning af vektorfunktion
- elimination af parameter, oversættelse fra ligning til parameterfremstilling.

Læreplanen 2.2:
– vektorfunktioner, grafisk forløb af banekurver, herunder tangentbestemmelse, samt anvendelser af vektorfunktioner

Læreplanen 2.3:
- supplerende stof kurvelængde og krumning af vektorfunktioner
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 21 Differentialligninger

Partikulære og fuldstændige løsninger
Tangenter og hældningsfelter

Bevis for løsningsformler til differentialligninger af typerne:
Eksponentiel vækst
Forskudt eksponentiel vækst
Logistisk vækst
Separation af de variable
Panserformlen

Beviserne er lavet ud fra hæftet "Differentialligninger" af Mike Vandal Auerbach downloadet fra https://www.mathematicus.dk/matematik/

Opstilling af differentialligninger ud fra en sproglig beskrivelse.

Læreplanen 2.1:
-anvende funktionsudtryk og udtryk for afledede funktioner i opstilling af matematiske modeller på baggrund af
datamateriale eller viden fra andre fagområder, kunne analysere givne matematiske modeller
– demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en
mere kompleks problemstilling
- Forskellige metoder til løsning af differentialligninger

Læreplanen 2.2:
– lineære og separable differentialligninger af første orden, herunder den logistiske differentialligning, kvalitativ analyse af
differentialligninger samt opstilling af simple differentialligninger

Læreplanen 2.3 Supplerende stof:
Eulers metode
Lotka-Volterra model for koblede differentialligninger (rovdyr/byttedyr-projekt)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 23 Forberedelsesmateriale - Polære funktioner

Polære koordinater
Omskrivning fra Polære til kartesiske koordinater
Polære funktioner, hvor vinklen er mellem 0 og 2pi samt r>0 sålede at r(v) angiver afstanden fra origo og ud til punktet.
Tegning af grafer for polære funktioner
Monotoniforhold, bestem største/mindste afstand fra origo
Skæringspunkter mellem to polære funktioner
Areal af polær funktion
Areal mellem to polære funktioner
Kurvelængde af polær funktioner

Bevis: Areal af polære funktion fra forberedelsesmaterialet.
Videolink til bevis: https://www.youtube.com/watch?v=Vtk71BNuD3Q
Indhold
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Lytte
  • Læse
  • Diskutere
  • Projektarbejde
  • Personlige
  • Selvstændighed
  • Ansvarlighed
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde

Titel 24 Beviser

Introduktion til induktivt og deduktivt ræsonnement
Direkte bevis
Indirekte bevis
Kontraposition
Eksistensbevis
Induktionsbevis

Kernestof:
Uddrag fra Jørgen Brandt's "Q.E.D - en introduktion til matematisk bevis" s. 7-10 + 45-48+53-60+67-70.
Kap 10 "Beviser" i Vejen til Matematik A

Læreplanen 2.1:
– operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved
opbygningen af matematisk teori
– demonstrere viden om fagets metoder og identitet
– inddragelse og diskussion af videnskabsteoriske spørgsmål og matematiske metoder.

Læreplanen 2.3:
– vægt på deduktive metoder og bevisførelse inden for udvalgte emner
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Skrive
  • Formidling
  • Selvrefleksion
  • Almene (tværfaglige)
  • Kommunikative færdigheder
  • Overskue og strukturere
  • Personlige
  • Selvtillid
  • Ansvarlighed
Væsentligste arbejdsformer
  • Pararbejde

Titel 25 Historisk matematik

Præsentation af udvalgte matematikere og deres betydning for matematikhistorien siden den naturvidenskabelige revoluion fra ca. 1400-tallet til 1900tallet.

Særligt fokus på Infinitesimalregningens udvikling og differentiations opgaver og beregning af subtangent fra udvalgte kapitler af L'Hospitals lærebog "Analyse des infiniment petits".

Særligt fokus på Verhulst og udviklingen af Logistisk Vækstkurve, gennem bogen "Vækst i nationens tjeneste" skrevet af Kristian Danielsen og Henrik Kragh Sørensen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer