Holdet 3x MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse - Lectio - X

Holdet 3x MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Termin(er)	2024/25 - 2025/26
Institution	X - Vordingborg Gymnasium & HF
Fag og niveau	Matematik A
Lærer(e)	Mette Stær
Hold	2023 MA/x (2x MA, 2x puljetid MA, 3x MA, 3x puljetid MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Titel 1	Opsamling på funktionsbegreber
Titel 2	Differentialregning
Titel 3	Plangeometri
Titel 4	Sandsynlighedsregning
Titel 5	Særlige funktioner
Titel 6	Bekræftende statistik
Titel 7	Integralregning del 1
Titel 8	Integralregning del 2
Titel 9	Harmoniske svingninger
Titel 10	Differentialligninger
Titel 11	Historisk forløb "Verhulst og logistisk vækst"
Titel 12	Vektorfunktioner
Titel 13	Funktioner af to variable
Titel 14	Forberedelsesmateriale
Titel 15	Normalfordeling
Titel 16	Forløb med beviser
Titel 17	Repetition

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)

Titel 1	Opsamling på funktionsbegreber Præsentation af ny lærer og skoleårets emner. Opsamling på 2. gradsfunktion og kvadratsætninger. Introduktion til intervalklammer og ulighedstegn. Udvider funktionsbegrebet med definitionsmængde, værdimængde, monotoniforhold og lokale ekstrema.
Indhold
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2	Differentialregning Introduktion til differentialregning gennem et praktisk eksempel, hvor der tegnes tangenter ved hjælp af TI-Nspire og der konkluderes på betydningen af tangenthældningen. Introduktion til differentiering af lineære og potensfunktioner samt sum-, differens- og koefficientreglerne. Bestemmelse af ligning for tangent ved først at bestemme hældningskoefficienten og herefter startværdien. Herefter introduceres og bevises formlen til bestemmelse af tangentens ligning. Arbejder med begrebet væksthastighed. Herefter arbejdes med sammenhængen mellem differentialkvotienten og funktionernes monotoniforhold. Bestemmer de lokale ekstrema herunder fortegnsvariation for f ’. Der arbejdes med simple optimeringsopgaver. Gennemfører bevis for toppunktsformlen samt forklaring af konstanterne b og c’s betydning i en andengradsfunktion. Viser faktorisering af en andengradsfunktion. Arbejder med graferne for f og f ’. Beviser differentialkvotienten generelt, lineære funktioner, f(x)=x^2 og f(x)=sqr(x). Eleverne arbejder selvstændigt med beviset for f(x)=1/x i en afleveringsopgave. (Eleverne har læst siderne 259-269, 276-206 og 297-300 i "Matema10k, Matematik for hf B-niveau" af Helle Groth Hovmand-Hansen, Caja Schmidt, Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen, 2019, 2. udgave,1. oplag)
Indhold	Kernestof: Gennemse noterne fra sidste gang. Brug max 10 minutter. Læs i jeres noter siderne om differentialregning. Brug max 15 minutter.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 21 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3	Plangeometri Samlede op på vektorregning fra første år med fokus på skalarproduktet. Introduktion til plangeometri ved at arbejde med cirklens ligning og kvadratkomplettering. Herefter blev der arbejdet og bevist formlerne for linjen beskrevet som ligning på normalform samt ved parameterfremstilling. Arbejder herefter med beregning af skæring mellem linjer (beskrevet både som ligning, parameterfremstilling og en blanding) og skæring mellem cirkel og linje. Bestemmer herefter en ligning for tangenten til en cirkel. Beregner vinkel med vandret og vinkel mellem linjer. Arbejder herefter med beregning af afstanden mellem to punkter samt korteste afstanden mellem punkt og linje. Afslutter forløbet med projektion af punkt på en linje samt ortogonale linjer. (Forløbet af dækket af "Hvad er matematik? 2", 2018, siderne 273-301.)
Indhold	Kernestof: I filen finder I et link til en video, som I skal skrive notater til.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4	Sandsynlighedsregning Introduktion til kombinatorik herunder multiplikations- og additionsprincippet samt fakultet, permutation og kombination. Introduktion til sandsynlighedsfordelinger herunder begreberne: stokastisk eksperiment, stokastisk variabel, udfald, udfaldsrum, sandsynlighedstabel samt hændelse. Arbejder med beregning af sandsynligheder ved hjælp af multiplikations- og additionsprincippet. Afslutter forløbet ved at beregne den gennemsnitlige gevinst i spil og beregne sandsynligheder i tilfælde, hvor der også bruges kombination. (Forløbet dækkes af siderne 304-311 og 313-316.)
Indhold	Kernestof: Løs opgave 22 fra opgavesættet "Kombinatorik og sandsynlighed". Brug max 20 minutter.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5	Særlige funktioner Eleverne introduceres til begrebet omvendte funktioner, først på de lineære funktioner, potensfunktioner og herefter videre med de eksponentielle funktioner. Der arbejdes både med log og ln samt eksponentielle funktioner udtrykt ved hjælp af e. Eleverne introduceres til den sammensatte funktion. Der arbejdes nu med differentiering af eksponentielle og logaritmiske funktioner samt sammensatte funktioner. Produktreglen introduceres og bevises. Eleverne introduceres til stykkevise funktioner. Afslutningsvis blev der arbejdet med Gini-koefficienten og matematik matematisk metode i forbindelse med elevernes SRO. (Forløbet af dækket af "Hvad er matematik? 2, 2018, siderne 127-136, 212-218, 222-223 og 320-323.)
Indhold	Kernestof: Læs (skim) siderne 273-302 i "Hvad er matematik?2". Spring alle øvelser over. Sammenhold det løbende med dine noter. Brug max 25 minutter. Læs SRO folderen samt filen "Erik Vestergård". Brug max 30 minutter. Ligger i mappen matematik, under SRO 2bx under dokumenter Opgave 31 i opgavesættet (Særlige funktioner). Brug max 20 minutter.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6	Bekræftende statistik Den bekræftende statistik blev introduceret med stikprøveteori, hvor vi arbejde med begreberne stikprøve, population, simpel tilfældig stikprøve samt skjulte variable og systematiske fejl. Herefter blev binomialfordelingen introduceret ved hjælp af et terningeforsøg og en introduktion til formlen til bestemmelse af binomialsandsynligheder. Gennemgår et konkret eksempel for at forstå formlens udseende. Herefter arbejdes med anvendelse af formlen og det vises hvordan sandsynlighedsmodellen kan illustreres i en graf. Herefter arbejdes med middelværdi og spredning generelt for sandsynligheder og for binomialfordelingen. Der arbejdes med mest sandsynlige udfald, hvorefter vi fortsætter med en 2-sidet binomialtest. Der arbejdes med både p-værdi og kritisk værdi. Der arbejdes med tilnærmelse til normalfordeling herunder begreberne højre- og venstre skæv samt centralfordeling. 95%-konfidensintervallet introduceres og bevises. (Eleverne har læst Matema10k Hf B, 2019, siderne 181-214 og 221-229.)
Indhold	Kernestof: Opgaver bekræftende statistik opg 1-6 2x 2025.docx description Løs opgave 5 fra opgavesættet "Bekræftende statistik"
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7	Integralregning del 1 Arbejder med begreberne kontinuitet og differentiabilitet ved at undersøge konkrete funktioner. Introduktion til arealberegning med fokus på opstilling af den geometriske arealfunktion. Der føres bevis for A'(x)=f(x). Herefter introduceres regneregler, som bevises ved hjælp af differentiationsprøven. Der arbejdes videre med det ubestemte integrale og bestemmelse af stamfunktioner. Herefter arbejdes med arealberegning af punktmængder og det bestemte integrale Læsestof: se det efterfølgende forløb
Indhold	Kernestof: X14 Afleveringsopgave 2025 2x.pdf description
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8	Integralregning del 2 Samler op på integralregning fra sidste år. Herefter arbejdes med arealberegning af punktmængder mellem to funktioner og punktmængder beliggende under x-aksen. Der arbejdes med integration ved substitution. Volumenberegninger af omdrejningsemner introduceres sammen med formlerne til beregning af hult omdrejningslegeme og kurvelængder. Der føres bevis for formlen til kurvelængder. Eleverne har læst notatet "Integralregning" fra hjemmesiden Mathemathicus LINK: https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Integralregning.pdf
Indhold	Kernestof: Vi skal videre med integralregning, så det ville være supergodt, hvis I læste jeres noter om integralregning fra sidste år igennem. Læg særligt mærke til hvordan vi bruger det bestemte integrale til arealberegning. Løs opgave 39 og 40 i opgavesættet "Integralregning del 2" Løs opgave 52 spm. g)
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9	Harmoniske svingninger Tager udgangspunkt i enhedscirklen og løsning af trigonometriske ligninger. Radianer introduceres og herefter arbejdes med udfoldning af sin og cos. Arbejder med de omvendte funktioner arcsin og arccos samt differentiering af cos og sin. Der arbejdes med dobbeltdifferentiering og dens anvendelse i bestemmelse af arten af lokale ekstrema. Den harmoniske svingning introduceres og der arbejdes med konstanternes betydning og anvendelse. Der arbejdes med bevis for værdimængden af en harmonisk svingning samt betydningen af begyndelsesfasen (φ). Eleverne læste siderne 55-63 i notatet "Funktioner" fra Mathematicus LINK: https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Funktioner.pdf
Indhold	Kernestof: Læs til og med s. 7 i "Forberedelsesmaterialet hf mat B 2025". I skal ikke ikke løse opgaverne. Brug max 20 minutter. Læs forberedelsesmaterialet s. 8-11. Spring øvelser og opgaver over, men brug gerne lidt tid på eksemplerne. Brug max 20 minutter. I modulet regnes der på øvelserne og opgaverne.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10	Differentialligninger Begrebet differentialligninger introduceres ved praktiske eksempler, først ved lineær vækst og herefter eksponentiel vækst. Separation af de variable bevises. Herefter arbejdes med kontrol af løsning og beregning af væksthastighed. Eleverne introduceres til linjeelementer, hældningsfelt, løsningskurve samt tangentligninger. Herefter arbejdes der videre med forskudt eksponentiel vækst og der føres bevis for både eksponentiel vækst og forskudt eksponentiel vækst. Der arbejdes med logistisk vækst herunder bevis for at den største væksthastighed er størst ved den halve bæreevne. Eleverne læser siderne 5-18 i notatet "Differentialligninger" LINK: https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Differentialligninger.pdf
Indhold	Kernestof: Løs opgave 3 i opgavehæftet "Differentialligninger". Brug max 20 minutter. Løs opgave 26 i opgavesættet "Differentialligninger". Brug max 20 minutter
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11	Historisk forløb "Verhulst og logistisk vækst" Eleverne introduceres til Verhulst logistisk vækst i et "arbejd selv" forløb, hvor de arbejdede i grupper på ca. 3 personer. Der tages udgangspunkt i bogen "Vækst i nationens tjeneste" af Kristian Danielsen og Henrik Kragh Sørensen, Matematiklærerforeningen, 2014. Eleverne læste siderne 1-8 omhandlende indledning og en oversættelse af den oprindelige artikel skrevet af Verhulst i 1838. Derudover blev datasættet s. 11 brugt og beviset s. 17-18. Eleverne arbejdede desuden med filmen "Historien om logistisk vækst" med Henrik Kragh Sørensen fra serien 10 danske matematikere fra lru.praxis Link: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/10danskematematikere/henrik_kragh_soerensen.html#
Indhold	Kernestof: Huskeseddel til skriftlig terminsprøve mat A 2025.docx description Træning til terminsprøven dec. 2025docx.docx description Løs opgaverne 33 og 34 i opgavesættet "differentialligninger". Brug højst 20 minutter.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12	Vektorfunktioner Introduktion til vektorfunktioner og deres banekurver ved at tage udgangspunkt i parameterfunktionen for en ret linje. Der arbejdes videre med skæring med akser og bestemmelse af dobbeltpunkter. Der arbejdes med bestemmelse af retningsvektoren og tangentens ligning herunder bestemmelse af vandrette og lodrette tangenter. Hastigheds- og accelerationsfunktionen introduceres og kurvelængder og areal bestemmes. Der føres bevis for formlen for kurvelængde. Eleverne læste notatet "Vektorfunktioner" fra Mathematicus LINK: https://www.mathematicus.dk/matematik/noter/Vektorfunktioner.pdf
Indhold	Kernestof: Læs Mathematicus, funktioner s. 5-27. Brug max 30 minutter. Læs Mathematicus: Funktioner s. 29-52. Brug max 30 minutter.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13	Funktioner af to variable Fuktioner af to variable og deres graf introduceres ved hjælp af TI-Nspire. Tegner snitkurver og bestemmer snitfunktioner. Tegner højdekurver og bestemmer niveaukurver. Inddrager kontinuitet og differentiabilitet og bestemmer af de partielt afledede og ligningen for tangentplan. Arbejder med gradienten og dens betydning. Kigger herefter på stationære punkter og anvender formelsamlingens formler til at bestemme arten af de stationære punkter. Fører bevis for tangentplanets ligning. Eleverne læser siderne 5-19 i notatet Mathematicus. LINK: https://www.mathematicus.dk/matematik/noter/Funktioner_af_to_variable.pdf
Indhold	Kernestof: Læs Mathematicus: Funktioner s. 55-63. Brug max 30 minutter. Læs Mathematicus: Integralregning s. 5-16. Brug max 30 minutter Læs Mathematicus: Integralregning s. 17-24. Brug max 30 minutter. Læs Mathematicus: Integralregning s. 28-32. Brug max 30 minutter. Læs Mathematicus: Differentialligninger s. 5-18. Brug max 30 minutter. Som aftalt har jeg delt forberedelsesmaterialet op i 4 dele, og jeg vil derfor anbefale, at I til dette modul læser indtil "Afstand til origo", som er på side 10. I skal ikke løse opgaverne, det arbejder vi med i modulet, men det er langt nemmere at
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14	Forberedelsesmateriale Arbejder med forberedelsesmaterialet under vejledning. Der er afsat 4 modul til arbejdet.
Indhold	Kernestof: Til dette modul, må I gerne læse indtil s. 14 dvs til og med "Skæringspunkter mellem grafer for polære funktioner" Til dette modul må I gerne læse til og med "Areal og polære funktioner" Nu er vi nået til det sidste modul, så der skal I helst være i stand til at læse til og med s. 20 Læs notatet vektorfunktioner i Mathematicus. Under Matematik og herefter supplerende stof. Brug max 20 minutter
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 15	Normalfordeling Introducerer normalfordelingen ved at arbejde med et konkret eksempel på grupperede observationer samt opsamling fra binomialfordelingen.. Herefter introduceres til standardnormalfordelingen, dens tætheds- og fordelingsfunktion, Gauss-funktionen samt de særlige egenskaber en standardnormalfordelingen har. Sandsynlighederne beregnes ved hjælp af integralregning. Herefter introduceres til normalfordelingen, Gauss-funktionen, tætheds- og fordelingsfunktionen. Fører bevis for sammenhængen mellem standardnormalfordelingen og normalfordelingen. Introducerer normalfordelingspapiret til brug i konkrete opgaver samt brug af normalfordelingsplottet i TI for at undersøge om et datasæt kan siges at være normalfordelt. Men udgangspunkt i TI-Nspire arbejdes der med lineær regression og bestemmelse af konfidensinterval på hældningskoefficienten. Eleverne læser siderne 31-39 i notatet "statistik" i Mathematicus LINK: https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Sandsynlighedsregning.pdf
Indhold	Kernestof: Læs om siderne 5-19 i notatet "Funktioner af to variable" under matematik/supplerende stof i Mathematicus. Brug max 20 minutter. I kan kigge på opgave 5 fra opgavesættet "Normalfordelingen" Læs siderne 31-39 i noterne "Statistik" fra Mathematicus. Brug max 20 minutter.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 16	Forløb med beviser Gennemgang af matematisk metode ud fra udleveret notat: Oversigt over begreber om metoder og basal videnskabseori i SRP med matematik, 2020 af Kasper Bjering Søby Jensen, for fagkonsulenten i Matematik, Børne- og undervisningensministeriet. Gennemgang af bevistyperne: direkte bevis (bevis for at et hvis x er et lige tal, så er kvadratet på x, også et lige tal), modstridsbevis (bevis for at kvadratrod 2 er et irrationelt tal) og endelig et induktionsbevis (at summen af n ulige tal kan beregnes ved kvadratet på n).
Indhold
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17	Repetition
Indhold
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Vis samlet undervisningsbeskrivelse samt elevtilknytning til forløb