Holdet 3z maA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2025/26
Institution Nykøbing Katedralskole
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Anders Ejlersgård Christensen
Hold 2023 maA-z (1z maA, 2z maA, 3z maA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Kapitalformlen og eksponentielle funktioner
Titel 2 Vektorregning
Titel 3 Potensfunktioner
Titel 4 Deskriptiv statistik
Titel 5 Intro til 2.gradspolynomier
Titel 6 Differentialregning
Titel 7 Analytisk Geometri del 1
Titel 8 SRO Forberedelse
Titel 9 SRO
Titel 10 Analytisk Geometri del 2
Titel 11 Splejsede grafer
Titel 12 Omvendte funktioner
Titel 13 Sandsynlighedsregning og Kombinatorik
Titel 14 Intro til integralregning
Titel 15 Intro til harmonisk svingning og vektorfunktioner
Titel 16 Repetition og forberedelse til mundtlig årsprøve
Titel 17 Intro til 3g emner
Titel 18 Trigonometriske funktioner
Titel 19 Integralregning
Titel 20 Historisk matematik
Titel 21 Differentialligninger
Titel 22 Lille supplement til differentialregning
Titel 23 Vektorfunktioner
Titel 24 Forberedelsesmateriale
Titel 25 Funktioner af to variable
Titel 26 Normalfordelingen
Titel 27 Repetition

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Kapitalformlen og eksponentielle funktioner

Indhold:

  -Procent regning S=B(1+r)
  -indekstal
  -Kapitalformlen.
  -Renters rente.
  -Opsparings- og gældsannuitet i et regneark.

  -En eksponentiel funktions forskrift.
  -En eksponentiel funktions graf.
    -Betydningen af begyndelsesværdien b for grafen.
    -Betydningen af fremskrivningsfaktoren a for om grafen er voksende eller aftagende.
  -En eksponentiel funktion vist i en tabel.
  -En eksponentiel funktions vækstegenskaber vist igennem en tabel .

  -Hvordan man ud fra a kan sige noget sige noget om modellen med hverdagssprog.
  -Betydningen af begyndelsesværdien b fortalt med hverdagssprog.
  -Oversætte tekst til en matematikopgave med eksponentielle funktioner.

  -Sammenhængen mellem vækstraten r og fremskrivningsfaktoren a.
  -a's betydning af om eksponentialfunktionen vokser eller aftager.
  -Beregning af a og b ud fra 2 punkter.

  -Brugen af logaritmen (log) til at løse ligninger med som indeholder en potens med ukendt eksponent

  -Beregning af halveringskonstant.
  -Beregning af fordoblingskonstant.
  -Betydningen af halveringskonstant.
  -Betydningen af fordoblingskonstant.

  -Eksponentiel regression.

  -Beviser:
    -Bevis for 2-punkts-formlen.
    -Bevis for fordoblingskonstanten.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 25 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Vektorregning

Indhold:

  -Notation for vektorer.
  -Grafisk repræsentation af en vektor.
  -En vektors koordinatform.

  -Gange en vektor med skalar, både på koordinatform og geometrisk.
  -Lægge vektorer sammen både på koordinatform og geometrisk.
  -Trække en vektor fra en anden vektor, både på koordinatform og geometrisk.

  -Stedvektor.
  -Forbindelsesvektor.
  -Indskudsreglen.
  -Tværvektoren.

  -Beregning af længden af en vektor ud fra koordinatformen.
  -Skalarproduktet.
    -Hvordan skalarproduktet benyttes til at undersøge om vektorer er ortogonale.
    -Hvordan skalarproduktet benyttes til at bestemme vinklen mellem to vektorer
    -Projektionen af en vektor på en anden vektor.

  -Determinanten af to vektorer .
    -Beregning af udspændte arealer.
    -Hvordan determinanten benyttes til at afgøre om vektorer er parallelle.

  -Vilkårlige trekanter
    -Kende til at bruge sinusrelationen og cosinusrelationen

Beviser:
  -Sinus, Cosinus og Tangens formlerne gældene for retvinklede trekanter.
  -Pythagoras' lærersætning
  -Formlen for arealet af et paralellogram udspændt af to vektorer.
  -Formlen for projektion af en vektor på en anden vektor.
  -Formlen til beregning af skalarproduktet ud fra to vektorers længder og vinklen mellem dem.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Potensfunktioner

Indhold:

  -Forklare gange vækst ud fra en tabel
  -Betydningen af a for grafens udseende.
  -Hvordan b kan aflæses på en graf.
  -Beregning af a og b ud fra 2 punkter.
  -Løsningen af de ligninger der kan forekomme inden for potenssammenhænge.
  -Beregning af y's procentvise stigning når x's procentvise stigning kendes.
  -Logaritmisk indeling af tallinjer

Beviser:
  -2-punktsformlen
  -Procent-procent-vækstformlen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Deskriptiv statistik

Indhold:

  -Observationer.
  -Hyppighed.
  -Frekvens.
  -Kumuleret frekvens.
  -Tegning af boksplot samt det at kunne sammenligne flere boksplot.
  -Kunne fortælle hvad medianen og kvartilerne betyder med hverdagssprog.

  Ugrupperede observationer
    -Tegning af prik/pindediagram.
    -Middeltal.
    -Spredning.
    -Kvartilsæt.
    -Kvartilbredde
    -Variationsbredde

  Grupperede observationer
    -Tegning af histogram med konstant interval længde på y-aksen.
    -Kvartilsæt.
    -Middeltal.
    -Spredning.
    -Kvartilbredde
    -Variationsbredde
    -Tegning af sumkurve.
    -Aflæsning af en sumkurve.
    -Brug af sumkurve til at bestemme kvartilsæt.

Outlier
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Intro til 2.gradspolynomier

Indhold: (IKKE JUSTERET)

-Polynomier.
  -Forskrifen.
  -Graden.

-Andengradspolynomiet på formen y=ax^2+bx+c:
   -Forklare betydningen af a for grafens udsende.
   -Forklare betydningen af b for grafens udsende.
   -Forklare betydningen af c for grafens udsende.
   -Forklare betydningen af d for grafens udsende.
   -Bestemme x og y koordinaten for toppunktet.

-Andengradsligningen:
   -d's betydning for antallet af løsninger.
   -Løsningsformlen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Differentialregning

Indhold:

Regler for differentiation.
-Ledreglen
-Koefficientregel
-Tabelreglen
-Produktreglen
-Differentiation af sammensatte funktioner

Bestemme en ligning for en tangent.
Den generelle tangentligning

Forståelse for f'(x) betydning for grafen af f's udseende.
Benytte den afledede funktion i forbindelse med monotonibestemmelse.
Bruge f'(x) til bestemmelse af maksimum og minimum samt brugen af dette i forbindelse med optimering.

Betydningen af f'(x) med ord (væksthastighed)

Beviser (Dem som vil blive brug til årsprøven):
  3-trins-reglen benyttet på:
  -x^3
  -1/x
  -kvadratroden af x

  En generel bestemmelse af andengradspolynomiets monotoniforhold.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 28 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Analytisk Geometri del 1

Indhold:

Parameterfremstillingen for en ret linje
-Retningsvektor
-Ankerpunkt
-Sammenhængen mellem retningsvektoren og hældningskoefficienten

Ligningen for en linje:
-På 1.g-form
-På normalform
-På udvidet form

Ligningen for en cirkel
-Kvadratkomplettering

Beregning af vinklen mellem linjer

Skæring mellem forskellige objekter

Afstanden mellem 2 punkter
Afstand fra punkt til linje

Midtpunktet af et linjestykke

Bevis: Afstand fra punkt til linje
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 9 SRO

Indhold:

Matematisk modellering
Intro til differentialligninger
SD-diagrammer
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Analytisk Geometri del 2

Indhold:

Parameterfremstillingen for en ret linje
-Retningsvektor
-Ankerpunkt
-Sammenhængen mellem retningsvektoren og hældningskoefficienten

Ligningen for en linje:
-På 1.g-form
-På normalform
-På udvidet form

Ligningen for en cirkel
-Kvadratkomplettering

Beregning af vinklen mellem linjer

Skæring mellem forskellige objekter

Afstanden mellem 2 punkter
Afstand fra punkt til linje

Midtpunktet af et linjestykke

Bevis: Afstand fra punkt til linje
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Splejsede grafer

Indhold:

Øvelse i at arbejde med forberedelsesmateriale
-HFB 2018-19 Splejsning

Splejsede grafer
Glatte grafer
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Omvendte funktioner

Indhold:

Betingelser som skal være opfyldt for at en kontinuert funktion skal have en omvendt funktion.
Definition af en omvendt funktion
Arbejde grafisk med omvendte funktioner
Bestemme forskrifter for omvendte funktioner i simple tilfælde
Definitionsmængde og Værdimængde for omvendte funktioner
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13 Sandsynlighedsregning og Kombinatorik

Indhold:

Kombinatorik
    -Tælletræ
    -Multiplikationsprincippet
    -Additionsprincippet
    -Antal permutationer
    -Antal kombinationer (Binomialkoefficienten)

Sandsynlighed
    -Udfald
    -Udfaldsrum
    -Symmetrisk sandsynlighedsfelt
    -Sandsynlighed som antal gunstige delt med antal mulige
    -Hændelse
    -Komplementær hændelse
    -Stokastisk variabel
      -Forventetværdi
      -Spredning

Stikprøve
    -Repræsentativ
    -Population
    -Estimat for middelværdi og spredning for en population ud fra en stikprøve

Binomialfordelingen
    -Succes
    -Basis eksperiment
    -Antalsparameteren
    -Sandsynlighedsparameteren (Basis sandsynligheden)
    -Binomial-sandsynligheden: Sandsynligheden for r successer ud af n forsøg
      -Exceptionelt udfald
      -Normalt udfald
    -Middelværdi og spredning for binomialfordelingen
    -Maplekommandoerne binpdf og bincdf
    -Binomialtest
      -Opskrive en nulhypotese og en alternativ hypotese
      -Signifikansniveau
      -Acceptmænge og kristiskmængde
      -Højre- venstre- og tosidet-test

Konfidensinterval
    -Bestemmelse af konfidensinterval
    -Fortolkening af konfidensinterval
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14 Intro til integralregning

Indhold:

  Integration som den omvendte proces af differentiation.
  Stamfunktionen og den kanoniske stamfunktion.
  Bestemmelse af stamfunktionen hvis graf går igennem et fast punkt.

  Det ubestemte integral og regneregler for det ubestemte integral.

  Benytte stamfunktionen til at udregne det bestemte integral.

  Benytte det bestemte integral til udregning af arealet under en graf i et interval hvor funktionen er positiv.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer



Titel 17 Intro til 3g emner

Indhold:

Intro til differentialligninger
-Hvad en differentialligning er
-Undersøge om en funktion er en løsning til en differentialligning
-Linjeelement
-Bruge Maple til at tegne linjeelementplots (hældningsfelter)
-Løsning af differentialligninger i Maple
-Tangentbestemmelse i forbindelse med differentialligninger

Intro til funktioner af 2 variable
-Hvad forstås ved en funktion af 2 variable
-3D-koordinatsystem
-Snitkurver
-Niveaukurver
-Gradienten
-Stationære punkter

Intro til normalfordelingen
-Hvad der forstås ved en kontinuert stokastisk variabel
-Hvordan tæthedsfunktionen er en vidreudvikling af et histogram
-Tæthedsfunktioners egenskaber
-Hvordan fordelingsfunktionen er en videreudvilking af sumkurven
-Standardnormalfordelingens tæthedsfunktion
-Standardnormalfordelingens fordelingsfunktion
-Normalfordelingens tæthedsfunktion
-Normalfordelingens fordelingsfunktion
-Hvordan Maple bruges til opgaver med normalfordelingen

Den anden afledede
-Hvordan den anden afledede anvendes i forbindelse med at afgøre et ekstremumspunkts art
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 14,00 moduler
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 18 Trigonometriske funktioner

Indhold:

Vinkler målt i radianer

Sin og Cos som funktioner
  -Definitionsmængde
  -Værdimængde
  -Differentialkvotient
  -Periodicitet
  -Deres omvendte funktioner

Harmonisk svingning
-Konstanternes betydning for grafens udsende
  -Amplitude
  -Vinkelhastighed
  -Begyndelses fasen
  -Ligevægtsværdien
  -Perioden

Løsning af trigonometriske grundligninger

Argumentation for forskellige overgangsformler.
Argumentation for additionsformlerne.
Argumentation for differentiation af sinus.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 19 Integralregning

Indhold:

  Integration som den omvendte proces af differentiation.
  Stamfunktionen og den kanoniske stamfunktion.
  Bestemmelse af stamfunktionen hvis graf går igennem et fast punkt.

  Integralregningens hovedsætning.
  -Udledning af integralregningens hovedsætning.

  Det ubestemte integral og regneregler for det ubestemte integral.

  Benytte stamfunktionen til at udregne det bestemte integral.
  Regneregler for det bestemte integral.
  Indskudssætningen.

  Benytte det bestemte integral til udregning af arealet under en graf i et interval hvor funktionen er positiv.
  Beregne arealet mellem graferne for to funktioner.
  Fortolke integralet af funktioner der ikke ligger over x-aksen.

  Integration ved substitution.
  -Samt argument for metoden

  Beregne volumen af omdrejningslegemer ved omdrejning omkring x-aksen.
  -Samt argument for formlen

  Beregne kurvelængden for grafen for en funktion.
  -Samt argument for formlen

  Definition af den naturlige logaritme som integralet af 1/x
  -Benytte definitionen til at udlede forskellige logaritmeregneregler
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 20 Historisk matematik

Matematisk argumentation i Euklids elementer.

Faglige krav:

1. Fremlæggelsen skal indeholde en beskrivelse af hvordan Euklids matematik er bygget op, samt hvordan det stemmer overens med den moderne aksiomatisk deduktive metode.

2. Fremlæggelsen skal være en moderne udlægning af et bevis for en af Euklids simple sætninger. Her er det vigtigt at bruge PowerPoint med egne tegninger til at gøre beviset nemmere at forstå, samt at holde styr på henvisninger der tydeliggør den aksiomatisk deduktive opbygningen af matematikken.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 21 Differentialligninger

Indhold:

Linjeelementer som en grafisk repræsentation af en differentialligning.
Løsningskurver

Opstilling af en differentialligning ud fra en tekst

Hvad det vil sige at løse en differentialligning
-Den fuldstændige løsning
-En partikulær løsning
-Bibetingelser og begyndelsesbetingelser
-Eftervise at en funktion er en løsning til en differentialligning

Benytte en differentialligning uden at løse den
-Til at bestemme væksthastighed
-Til at bestemme en tangentligning

Eksakt løsning af differentialligninger

Udledning af den fuldstændige løsning til differentialligningen:
y’= ky
y’=b-ay
y’=by-ay²

Egenskaber ved logistisk vækst
-Den øvre grænse for logistisk vækst
-Viden om ved hvilken værdi den maksimale væksthastighed indtræffer ved logistisk vækst
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 22 Lille supplement til differentialregning

Indhold:
Bevis for ledreglen
Bevis for koefficientreglen
Bevis for produktreglen (differentiation af et produkt)
Induktionsbevis for (x^n)'=n*x^(n-1) gælder når n er et naturligt tal
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 24 Forberedelsesmateriale

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 25 Funktioner af to variable

Funktioner af to variable

Indhold:

-Funktioner af to variable
-Snitfunktion og snitkurve
-Niveaukurve
-Partielt afledede
-Gradient
-Fortolkning af gradient
-Stationære punkter
-Saddelpunkt
-Dobbeltafledede og blandede afledede
-Arten af stationære punkter

Bevis:
-Vigtige egenskaber for gaussfunktionen i 2 variable.
-Andengradspolynomier i to variable - forskellige sætninger om stationært punkt og arten af dette punkt.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 26 Normalfordelingen


Indhold:
-Normalfordelingen
  -Tæthedsfunktionen
  -Fordelingsfunktionen
  -Standartnormalfordelingen
  -Linearisering af normalfordelingens fordelingsfunktion.
  -Metoder til at undersøge om data er normalfordelt

Lineær regression
  -Tjek om residualer er normalfordelte

Argumentation:
-Egenskaber for normalfordelingens tæthedsfunktion
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer