Holdet tmhh3xma MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2025/26
Institution X - UNORD
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Cæcilie Rueløkke Christoffersen
Hold tm25hh3xma MA (tmhh3xma MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Differentialteori - tilføjelser
Titel 2 Integralregning
Titel 3 Kvadratisk programmering og følsomhedsanalyse
Titel 4 Differentialligninger

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Differentialteori - tilføjelser

Differentialregning

”differentialregning; grænseværdi, kontinuitet, differentiabilitet, sammenhæng mellem differentialkvotient monotoniforhold og ekstrema, differentiation af sum, differens, produkt, sammensatte funktioner og konstant multipliceret med funktion, den anden afledede og konveks/konkav krumning”. [LPA 2.2]

- Forståelse af begreberne, grænseværdi, kontinuitet, differentiabilitet, sammenhæng mellem diffens- og differentialkvotient.
- Forståelse af sammenhæng mellem differentialkvotient og monotoniforhold & ekstrema.
- Bestemme differentiation af sum, differens, produkt, sammensatte funktioner og konstant mulitipliceret med en funktion. Bestemme de anden afledede af de omtalte funktionstyper og kende til krumnings-forhold.
- Bestemmelse af differentialkvotient for funktionerne: lineære, eksponentielle, polynomier, logaritme- samt de trigonometriske funktioner.
- Derudover beherskelse af matematisk modellering i økonomiske sammenhænge ved brug af differentialregning.
- Udledning af beviset for produktregnereglen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Integralregning

Integralregning

”integralregning: stamfunktion for polynomier og eksponentielle funktioner, ubestemte og bestemte integraler, regneregler for integration af sum, differens, konstant multipliceret med funktion samt integration ved substitution, arealer under og mellem grafer”.
Bestemmelse af stamfunktion for polynomier og eksponentielle funktioner.
Bestemmelse af ubestemte og bestemte integraler samt bestemmelse af arealer under/ mellem grafer.
Regneregler for integration af sum, differens, konstant multipliceret med funktion samt integration ved substitution.
Udledning af formler eller beviser for nogle af de sætninger, der anvendes indenfor emnet.

3. Integralregning
Forståelse af integralregning.
- Interaktivitet: Integralregning og overskud
3.1 Ubestemt integral
Bestemmelse af det ubestemte integral
- Øvelse 2: Integration af polynomier
- Øvelse 5: Bestem integraler
Undersøgelse af om stamfunktionen passer til funktionen (Integrationsprøven)
- Øvelse 6: Integrationsprøven
- Bevis for ”Integration af polynomier”
3.1.1 Konstanten k og grafisk tolkning
Bestemmelse af konstanten k og hvordan ser det ud grafisk
- Eksperiment 1: konstanten k
- Øvelse 2: Bestem konstanten k
Grafisk tolkning.
- Øvelse 6: Bestem stamfunktion til parabel
- Øvelse 7: 2 funktioner og 1 stamfunktion
3.1.2 Regneregler for sum, koefficient og substitution
De forskellige regneregler under integration for ubestemte integraler.
- Øvelse 1: Brug af sum-, differens- og koefficientreglerne
- Øvelse 3: Brug af substitutionsreglen
- Øvelse 7: Blandede integraler
Supplerende materiale:   
Produktregneregel for integraler
- Øvelse 9: Integraler og produktreglen
- Øvelse 8: Bevis produktreglen
3.2 Bestemt integral
Hovedsætning for integraler og bestemmelse af arealer (positive)/værdier (kan være negative).
- Øvelse 1: Bestem areal
- Øvelse 2: Bestem værdier
- Øvelse 3: Bestem areal
- Øvelse 4: Det lille hus
- Bevis for ”Hovedsætningen” del 1 og 2
3.2.1 Regneregler
Forskellige regneregler for Hovedsætning, indskudsregel, negativt areal og areal mellem to funktioner.
- Øvelse 1: Indskuds- og arealreglerne
- Øvelse 3: Areal mellem to funktioner
- Øvelse 5: Mellem to funktioner og indskud
3.2.2 Ligninger med integraler
Løsning af ligninger med integraler.
- Øvelse 1: Ligning med integral
- Øvelse 2: Løs ligninger med integraler
- Øvelse 3: Løs ligningen med ukendt grænse
3.3 Integraler for irrationelle funktioner
Stamfunktioner for eksponentielle funktioner og logaritmer.
3.3.1 Eksponentielle funktioner og logaritmer
Tabel over integration af eksponentielle funktioner
- Øvelse 1: Ubestemte integraler og eksponentielle funktioner
- Øvelse 2: Bestemte integraler og eksponentielle funktioner
3.4 Integraler for sammensatte funktioner
Substitutionsregnereglen trænes for sammensatte funktioner.
- Øvelse 1: Substitution
- Øvelse 2: Integration ved substitution
3.4.1 Irrationelle funktioner
Substitutionsregnereglen trænes for sammensatte irrationelle funktioner.
- Øvelse 1: integration af sammensatte funktioner
Supplerende materiale:
3.5 Partiel integration*
Partiel integration handler om at finde integralet for to funktioner som er ganget med hinanden.
- Øvelse 2: Partiel integration
- Øvelse 4: Bestemt integral og produktfunktioner
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Emneopgave - Differentialregning tilføjelser 18-09-2025
Test i Integralregning 09-10-2025
Emneopgave - Integralregning 09-10-2025
Omfang Estimeret: 18,00 moduler
Dækker over: 22 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Kvadratisk programmering og følsomhedsanalyse

Kvadratisk programmering og følsomhedsanalyse
”optimering af funktioner i to variable; lineære funktioner herunder følsomhedsanalyse, kvadratiske funktioner”. [LPA 2.2]
Kendskab til lineære og kvadratiske funktioner i to variable.
Bestemmelse og indtegning af polygon-/kapacitetsområde, kriteriefunktion, niveaulinjer/niveaukurver.
Følsomhedsanalyse. Niveaukurver kan være parabler, cirkler eller ellipser.
Udledning af formler eller beviser for nogle af de sætninger, der anvendes indenfor emnet.

6. Kvadratisk optimering
Kombinationen af bestemmelse af overskud og omsætning med andengradsfunktioner med emnet lineær programmering, hvor man optimere med to variabler.
6.5 Følsomhedsanalyse (Plus 2 hhx (eux))
Udarbejdning af følsomhedsanalyse, hvor meget variablen kan variere uden at den optimale kombination ændres.
- Øvelse 1: Strandstole og følsomhedsanalyse
- Øvelse 2: Følsomhedsanalyse og strandstol B
- Øvelse 4: Flere begrænsninger og følsomhedsanalyse
6.1 Økonomifunktioner i én variabel x
De forskellige økonomiske funktioner genopfriskes med en variable: salgspris p, omsætning R, omkostninger C og overskud O.
- Øvelse 1: Optimering med én variabel
6.2 Økonomifunktioner i to variabler x og y
De forskellige økonomiske funktioner genopfriskes med to variable: salgspris p, omsætning R, omkostninger C og overskud O.
- Øvelse 2: De økonomiske ligninger
6.3 Keglesnit og ABC-ligning
De 5 keglesnit kommer ud af grundligningen og er linje, parabel, cirkel ellipse og hyperbel.
- Øvelse 1: Centrum og halvakser
6.3.1 ABC-ligning for ellipse, hyperbel og cirkel
Formel for ABC-ligningen
- Øvelse 1: Bestem ABC-ligninger
- Øvelse 2: Tegn et keglesnit
- Bevis 1: Cirklens ligning
6.3.2 Fra grundligning til ABC-ligning
Bestemmelse af centrum og halvakser for en grundligning (Tjek ved brug af bogens værktøj ”ABC-ligning”)
- Øvelse 1: Bestem ABC-Ligning algebraisk
6.5 Optimering
Bestemmelse af optimum i cirklens centrum, niveaukurverne kommer tættere og tættere på centrum, hvor optimum findes hvis mulighedsområdet bevæger sig hen over centrum.
- Øvelse 1: Overskud kontra afsætning
6.5.1 Optimum i centrum, hjørne- eller tangentpunkt
Optimum kan findes på tre forskellige måder: centrum, hjørne- eller tangentpunkt.
- Øvelse 2: Optimum i centrum
- Øvelse 3: Solfangere – afsætning, pris og omsætning
- Øvelse 7: Optimum i hjørnepunkt
- Øvelse 8: Tangentpunkt
6.5.2 Lagranges metode
Benyttes til at finde det tangerende punkt for optimum.
- Øvelse 1: Tangentpunkt
- Øvelse 2: Mindste og største værdi
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Genaflevering - Emneopgave Integralregning 04-11-2025
Test - Blandet opgaver 13-11-2025
Omfang Estimeret: 16,00 moduler
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Differentialligninger

Differentialligninger
”differentialligningsbegrebet; eftervisning af løsning ved indsættelse, fuldstændig og partikulær løsning, løsningskurver og linjeelementernes sammenhæng med disse”.
Vide hvad der forstås ved en differentialligning og vise at en given funktion er løsning til en given differentialligning. Bestemmelse af såvel en fuldstændig og partikulær løsning, illustration af løsningskurver og linjeelementer samt disses sammenhæng.

5. Differentialligninger
Man finder løsninger til differentialligninger. Et eksempel herpå er spredningen af udbredelse af en reklame.
- Eksperiment 1: Sladder
5.1 Tre grundlæggende differentialligninger
X differentieres, y differentieres og både a og y differentieres.
- Øvelse 1: Type 1-ligninger
- Øvelse 2: Type 2-ligninger
- Øvelse 3: Type 2 med CAS
- Øvelse 4: Type 3-ligninger
- Bevis for ”Uendeligt antal løsninger til en differentialligning”
5.2 Kontrol af løsninger
Differentialligningerne kontrolleres.
- Øvelse 1: Kontrol af løsning
- Øvelse 2: Kontrol af trigonometrisk løsning
- Øvelse 3: Bestem specifik løsning
- Eksperiment 1: Linjeelementer
- Eksperiment 2: Linjeelementer og løsningskurver
- Øvelse 6: Linjeelementer
5.3 Vækstmodeller
De forskellige vækstmodeller, eksponentiel vækst, logistisk vækst, begrænset vækst (Bertalanffy)
- Øvelse 1: Vækst
5.3.1 Eksponentiel vækst
- Øvelse 1: Værdien af en brugt bil
- Øvelse 2: Den rare onkel
- Bevis for ”Løsningsformel til eksponentiel differentialligning”
5.3.2 Logistisk vækst
- Øvelse 1: Den knapt så rige onkel
- Øvelse 2: Bestem løsninger til logistiske ligninger
5.3.3 Begrænset vækst (Bertalanffy)
- Øvelse 1: Flere bananfluer
- Øvelse 2: Bertalanffys vækstmodel
- Bevis for ”Løsningsformel til modeller for begrænset vækst”
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Emneopgave - Kvadratisk optimering 05-12-2025
Omfang Estimeret: 16,00 moduler
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer