Holdet 3u MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2025/26
Institution X - Viborg Katedralskole
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Lea Albæk Schmidt, Maiken Hjorth
Hold 2023 MA/u (1u MA, 2u MA, 3u MA*)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 1: Vektorer
Titel 2 2: Deskriptiv statistik
Titel 3 3: Vækstmodeller
Titel 4 4: Renter og annuiteter
Titel 5 5: Andengradspolynomier
Titel 6 6: Funktioner
Titel 7 7: Differentialregning
Titel 8 8: Analytisk geometri
Titel 9 9: Sandsynlighedsregning og binomialfordelingen
Titel 10 10: Trigonometriske funktioner
Titel 11 11: Integralregning
Titel 12 12. Omvendt funktion
Titel 13 13. Forberedelse til årsprøve
Titel 14 14: Funktioner af to variable
Titel 15 15: Studietur - Matematik i arkitektur og kunst
Titel 16 16: Differentialligninger
Titel 17 16A:Verhulst og den logistiske differentialligning
Titel 18 17: Vektorfunktioner
Titel 19 18: Forberedelsesmaterialet - Polære funktioner
Titel 20 19: Normalfordelingen

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 1: Vektorer


- Egentlige vektorer, nulvektor, stedvektor, forbindelsesvektor, modsatrettede, ensrettede.
- Vektorregning, geometrisk og med koordinater. Herunder addition, subtraktion og skalarmultiplikation.
- Parallelle vektorer.
- Ortogonale vektorer.
- Skalarprodukt.
- Længden af en vektor samt afstanden imellem to punkter.
- Vinklen imellem vektorer.
- Determinant og arealer.

Trekanter:
- Pythagoras' Sætning.
- Enhedscirklen, herunder cosinus, sinus, tangens, retningspunkt og retningsvinkel.
- Cos, sin og tan i en retvinklet trekant.

Ræsonnement:
- Længden af en vektor.
- Vinklen imellem vektorer.
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 2: Deskriptiv statistik

Forløbet var en del af et FF-forløb (biotek og matematik) om ølbrygning.

Ugrupperet og grupperet datasæt.

- Middelværdi, varians og spredning.
- Kvartilsæt, boksplot, sumkurve, histogram.
- Typetal, min, max.
- Hyppighed, frekvens, kumuleret frekvens.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 3: Vækstmodeller

1. Repetition af lineære funktioner fra grundforløbet samt grafers egenskaber, herunder: monotoni, asymptote, definitionsmængde og værdimængde.


2. Eksponentielle funktioner:
- Forskrift og graf samt konstanterne a og b.
- Fremskrivningsfaktor og vækstrate. Herunder forskellen på lineær og eksponentiel vækst.
- Topunktsformlen.
- Fordoblings- og halveringskonstant.
- Logaritmeregneregler og -funktioner.
- Løsning af ligninger med logaritmer.
- Eulers tal.

3. Regression og residualer.

4. Potensfunktioner:
- Forskrift og graf samt konstanternes a og b.
- Topunktsformlen.

Beviser:
- Topunktsformlen for lineære funktioner.
- Topunktsformlen for eksponentielle funktioner.
- Formlen for fordoblingskonstanten.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 18 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 4: Renter og annuiteter

- Kapitalfremskrivningsformlen.
- Start- og slutkapital, terminer og renter.
- Gennemsnitlig rente.
- Relative beregninger.
- Indekstal.
- Annuitetslån og -opsparing.
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 5: Andengradspolynomier

- Løsning af andengradsligninger.
- Andengradspolynomiet, forskrift og graf.
- Konstanterne a, b, c og d's betydning for parablens udseende.
- Sammenhæng mellem antal rødder og diskriminanten.
- Toppunkt, rødder og nulpunkter.
- Polynomiel regression.
- Faktorisering og nulregel.
- Parallelforskydning.

Intro til:
- Tangenter og sekanter.


Ræsonnement:
- Udledning af diskriminantmetoden.
- Faktorisering af andengradspolynomiet.
- Beregning af y-værdien til parablens toppunkt.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 6: Funktioner

- Polynomier af n'te grad.
- Intro til monotoniforhold og ekstrema.
- Stykkevis funktioner.
- Sammensatte funktioner.

Intro til:
- Omvendte funktioner.
- Differentiabilitet og kontinuitet.

Ræsonnement:
- Hvis f og g er to lineære funktioner, så er f(g(x)) også lineær (selvlæst med vejledning).
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 7: Differentialregning

- Differentialkvotienter af simple funktioner.
- Regneregler for sum, differens og skalarmultiplikation.
- Tangenter, sekanter og væksthastighed.
- Tangentens ligning.
- Monotoniforhold samt ekstrema.
- Grafen for f '(x).
- Grænseværdier.
- Tretrinsreglen, differens- og differentialkvotient (gennemgået med x0).
- Kontinuitet og differentiabilitet.
- Produktregnereglen og kædereglen.
- Optimering.

Ræsonnement:
- Differentialkvotient for f(x)=x^2, f(x)=ax+b, f(x)=ax^2+bx+c, f(x)=sqrt(x) (selvlæst med vejledning).
- Differentialkvotient for f(x)=1/x.
- Differentialkvotient af f+g og f-g (selvlæst med vejledning).
- Produktregnereglen.
- Toppunktsformlen for en parabel (selvlæst med vejledning).

Under arbejdet med beviserne har der været fokus på den aksiomatisk-deduktive metode samt en sætnings opbygning (antagelser).
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 30,00 moduler
Dækker over: 28 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 8: Analytisk geometri

- Projektion af en vektor på en vektor.
- Tværvektor.
- Retningsvektor og normalvektor.
- projektion

En linjes parameterfremstilling, linjens ligning, vinkler mellem linjer, skæring mellem linjer, afstand fra punkt til linje, afstand mellem linjer.
Cirklens ligning, kvadratkomplettering, tangenter til en cirkel, skæringspunkter mellem cirkel og linje.

Bevis:
Projektion af en vektor på en vektor
Afstand mellem punkt og linje
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 21 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 9: Sandsynlighedsregning og binomialfordelingen

Første del:
Additions- og multiplikationsprincippet; antal kombinationer (set et tælletræ).
Formel for permutationer P(n,r), herunder beregning med fakultet.
Pascals trekant, binomialkoefficienten K(n,r).
Stokastiske eksperimenter, sandsynlighedsfelt, sandsynlighedsfunktion, hændelser, komplementærhændelser, uafhængige hændelser, sandsynligheder for hændelser P(X=r).
Stokastisk variabel, herunder middelværdi, spredning og søjlediagrammer over data.

Anden del:
Binomialfordeling:
Simulering af terningkast.
Stokastiske variabel og opstilling af binomialmodeller.
Beregning af punktsandsynligheder og kumulerede sandsynligheder for binomialfordelte data, anvendelse af binomialformlen (med og uden IT-værktøj).
Beregning af middelværdi, spredning og bestemmelse af grænser for exceptionelle værdier for binomialfordelte data.

Binomialtest:
Behandling af begreberne population og stikprøve.
Opstilling af nulhypotese, signifikansniveau, vurdering af kritisk mængde og acceptmængde, kritiske værdier, bestemmelse af teststørrelse og konklusion.
Dobbeltsidet binomialtest vha. TI-Nspire.

Population, stikprøve, bestemmelse af 95%-konfidensinterval, opstilling af nulhypoteser og vurdering af disse ud fra konfidensinterval.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 10: Trigonometriske funktioner

Enhedscirklen med definition af cosinus og sinus indføres.
Vinkelmål: Omregning mellem radianer og grader.
Kendte opgaver fra differentialregningen med de nye funktioner.

Konstanternes betydning grafisk gennemgås.

Ingen beviser i dette forløb, men små ræsonnementer om overgangsformler.

Lærebog i matematik STX A2 s. 113-144
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 11: Integralregning

Begreber: Stamfunktion, ubestemt integral, bestemt integral.
Regneregler for integration præsenteres, herunder integration ved substitution.

Anvendelse af integraler:
- Arealbestemmelse
- Rumfangsbestemmelse
- Kurvelængdebestemmelse
- Omdrejningslegemer
- Sammenhæng mellem F(x) og f(x)

Beviser:
- Regneregler for bestemte integraler (∫(f+g)dx, ∫(f-g)dx, ∫(k·f)dx), indskudsregel.
- Integralregningens hovedsætning (A(x) er en stamfunktion til f(x))
- Arealer mellem grafer - gennemgået af eleverne selv.
- Rumfangsformler for kegle, cylinder og kugle (gennemgået af eleverne selv)

Lærebog i matematik A3 STX s. 7-44
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 23 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 12. Omvendt funktion

Uden beviser

Forløbets indhold og fokus:
Definition af begrebet 'omvendt funktion'.
Regneforskrift for omvendt funktion.
Graf for en funktion og dens omvendte funktion.
Eksistens af omvendt funktion, herunder introduktion af begrebet injektiv funktion.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 2,00 moduler
Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 14 14: Funktioner af to variable

- Definitionsmængder for funktioner af en og to variable.
- Funktionsværdier.
- Partielle afledede funktioner, herunder tangenthældning i bestemte retninger.
- Dobbelt partielle afledede funktioner.
- Snitfunktioner og niveaukurver, herunder den grafiske betydning.
- Gradienten, herunder den geometriske betydning.
- Ligning for tangenplanen til en funktion af to variable.
- Lokale og globale ekstrema.
- Stationære punkter samt arten af disse.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 22 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Individuelt arbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 15 15: Studietur - Matematik i arkitektur og kunst

Studietur til Rom.

Eleverne har op til studieturen arbejdet selvstændigt (med vejledning) om følgende:

- Dele af Euklid og konstruktionsgeometri
- Ovaler, herunder ovato tondo og ellipser
- Det gyldne snit

I forløbet har der været matematikhistoriske nedslag, hvor eleverne har læst engelske tekster om forskellige matematikere, heriblandt: Pythagoras, Platon, Aristoteles, Euklid og Ptolemæus.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 13,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Projektarbejde

Titel 16 16: Differentialligninger

- Afgøre om en funktion er løsning til en differentialligning.
- Begyndelsesværdiproblemer.
- Stamfunktionsproblemet.
- Kvalitativ analyse, herunder tangenthældninger, tangentligning, væksthastigheder, linjeelementer og hældningsfelter.
- Eksponentiel vækst.
- Forskudt eksponentiel vækst.
- Sproglig beskrivelse af differentialligninger.
- Den generelle førsteordens lineære differentialligning (panserformlen).
- Numeriske løsninger med fokus på Eulers metode.


Ræsonnement:
- Bevis for løsningsformlen til y'=ky (eksistens og entydighed).
- Bevis for løsningsformlen til y'=b-ay (eksistens og entydighed).
- Bevis for løsningsformlen til y'=y(b-ay) (eksistens og entydighed).
- Udledning af Eulers metode.
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 33 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Individuelt arbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 17 16A:Verhulst og den logistiske differentialligning

Matematikhistorisk forløb omkring Verhulst og hans beskrivelse af den logistiske differentialligning. Herunder fagets metoder og videnskabsteori med særligt fokus på den matematiske modelleringsproces.

- Opstilling af differentialligning til beskrivelse af befolkningsvækst. Herunder Malthus og hans beskrivelse af eksponentiel vækst og Verhulst og hans beskrivelse af logistisk vækst.
- Separable differentialligninger samt metoden separation af de variable.

Den logistiske ligning:
- Løsningsformlen (både med Verhulsts notation samt notationen fra formelsamlingen).
- Egenskaber ved den logistiske differentialligning, herunder bærekapacitet og maksimal væksthastighed.
- Trivielle løsninger

Ræsonnement:
- Udledning af Verhulsts differentialligning gennemgået med hans notation og med metoden separation af de variable.
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Projektarbejde

Titel 18 17: Vektorfunktioner

- Vektorfunktioner, forskrift og banekurver med fokus på tidsparameteren t.
- Skæringspunkter med akserne og dobbeltpunkter.
- Differentiation af vektorfunktioner, herunder hastigheds- og accelerationsvektor samt fart.
- Tangenter til parameterkurver, herunder lodrette og vandrette tangenter.
- Parameterfremstilling for cirklen.
- Kurvelængden af en parameterkurve.

Ræsonnemt:
- Udledning af cirklens parameterfremstilling.
- Bevis for kurvelængden af en parameterkurve.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Individuelt arbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 19 18: Forberedelsesmaterialet - Polære funktioner

Som optakt til forberedelsesmaterialet er enhedscirklen blevet repeteret.

Selvstændigt arbejde med forberedelsesmaterialet om polære funktioner.

Ræsonnement:
- Bevis for differentiation af sin(x) (uafhængigt af forberedelsesmaterialet).
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
  • Projektarbejde

Titel 20 19: Normalfordelingen

Kontinuerte fordelinger:
- Forskel på diskret og kontinuerte fordelinger.
- Tætheds- og fordelingsfunktioner.
- Bestemme sandsynligheder vha. en tæthedsfunktion.
- Uegentlige integraler.
- Lige og ulige funktioner.

Normalfordelingen:
- Graf og forskrift for tætheds- og fordelingsfunktionen for en normalfordelt stokastisk variabel.
- Graf og forskrift for standardnormalfordeling samt sammenhængen mellem denne og en vilkårlig normalfordeling.
- Bestemme sandsynligheder ud fra tæthedsfunktionen.
- Normal og exceptionelle udfald.
- Middelværdi og spredning samt disses betydning for graferne til tætheds- og fordelingsfunktionen.
- Undersøge om data er normalfordelt, herunder fraktilfunktionen og QQ-plot.

Lineær regression:
- Eleverne har kendskab til mindste kvadraters metode samt residuelle kvadrater.
- Vurdering om residualerne er normalfordelte ifm. vurdering af en lineær model.
- Konfidensintervaller for hældningskoefficienten ifm. vurdering af en lineær model.

Ræsonnement:
- Middelværdien for en normalfordelt stokastisk variabel.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Individuelt arbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde