Holdet 2023 Ma/y - Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2024/25
Institution Middelfart Gymnasium
Fag og niveau Matematik B
Lærer(e) Monika Møbjerg Allerelli, Patricia Quist Nielsen
Hold 2023 Ma/y (1y Ma, 2y Ma)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Grundforløb
Titel 2 Procent og rentesregning
Titel 3 Eksponentielle funktioner
Titel 4 Deskriptiv statistik
Titel 5 Sandsynlighed og kombinatorik
Titel 6 Potensfunktioner
Titel 7 Vektorregning II
Titel 8 Ligninger
Titel 9 Lån og opsparing
Titel 10 Opsamling og årsprøve
Titel 11 Polynomier
Titel 12 Mere om funktioner
Titel 13 Differentialregning
Titel 14 Binomialfordeling og binomialtest
Titel 15 Chi-i-anden tests
Titel 16 Analytisk plangeometri

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Grundforløb

I grundforløbet repeteres regningsarternes hierarki, simpel ligningsløsning og koordinatsystemet. Begrebet variable og variabelsammenhænge samt repræsentationer af variabelsammenhænge introduceres.

De karakteristiske egenskaber ved lineære sammenhænge introduceres, herunder bevises formlerne til bestemmelse af a og b, der evalueres i en videoaflevering. Derudover behandles ligefrem proportionalitet.

Anvendelsen af lineær regression og residualplot beskrives, og anvendes i matematisk modellering, bl.a. i samspil med naturvidenskabeligt grundforløb. NV-projektet evalueres ved udarbejdelse af en grupperapport om de fire repræsentationsformer.

Funktionsbegrebet introduceres bl.a. ved brug af Geogebra.

Indledende vektorregning introduceres; herunder regneregler for vektorer, længder af vektorer og begreberne stedvektor, skalarprodukt, vinkel mellem vektorer, tværvektor og determinant. Desuden introduceres, hvorledes vektorer anvendes til arealberegning.

Materiale:
Kernestof Mat1 stx, Per Gregersen og Majken Sabina Skov, 1. udgave 1. oplag 2018, Lindhardt og Ringhof Uddannelse, København
Kapitel 1, 2, 5 og 8.1
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 2 Procent og rentesregning

I dette forløb er følgende gennemarbejdet:
- Procentregning, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra
- Beregning af den procentvise andel
- Beregning af hhv. absolut og relativ tilvækst
- Beregning af indekstal
- Fremskrivningsfaktoren og vækstraten er introduceret
- Renteformlen samt isolering og beregning af hhv. slutkapital, startkapital og renter
- Beregning af terminer i renteformlen vha. Maple

Materiale: Kernestof Mat 1 stx - kap. 6
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 3 Eksponentielle funktioner

Eleverne har arbejdet med følgende:
- Forskriften for den eksponentielle funktion
- Grafens forløb
- Begyndelsesværdien b og fremskrivningsfaktoren a´s betydning for grafens forløb
- Formlerne til beregning af a og b ud fra to punkter samt bevis for formlerne
- Sammenhængen mellem fremskrivningsfaktoren a og vækstraten r
- Eksponentiel modellering ud fra en given tekst
- Formlerne til beregning af fordoblingskonstanten og halveringskonstanten, herunder en kort introduktion til logaritmer
- Eksponentiel regression vha. Maple

Materiale: Kernestof Mat 1 stx - kap 7
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Matematik - Aflevering 1 22-11-2023
Matematikaflevering 2 06-12-2023
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 Deskriptiv statistik

Eleverne har arbejdet med følgende:
- Forskel og fordele mellem grupperet og ikke-grupperede observationssæt
- Begreberne hyppighed, kumuleret hyppighed, frekvens, kumuleret frekvens, middelværdi, typetal, fraktiler, median og øvrige kvartiler samt maksimum og minimum
- Tegning af pindediagram, boksplot, histogram og sumkurve
- Spredningsbegreberne kvartilbredde, variationsbredde, outlier og venstre- og højreskæv fordeling
- Anvende statistik på et givent datasæt

Materiale: Kernestof Mat 1 stx - kap 3
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 5 Sandsynlighed og kombinatorik

Eleverne har arbejdet med følgende:
- Tællemetoderne, multiplikationsprincippet og additionsprincippet.
- Definitionen på permutation og gennemgang af beviset for P(n,r) ud fra et eksempel
- Definitionen på kombination og formel og bevis for K(n,r) - nogle kun ud fra et eksempel
- Forskellen mellem en permutation og en kombination
- Sammenhængen mellem binomialkoefficienter og Pascals trekant
- Definitionen på et matematisk sandsynlighedsfelt og et symmetrisk sandsynlighedsfelt
- Projektarbejde omkring Enigma

Materiale: Kernestof Mat 1 stx - kap 4

Projektmateriale:
Youtube-video: https://www.youtube.com/watch?v=ASfAPOiq_eQ&t=2s
Artikel: James Grime - ”An Introduction to Cryptography”
Artikel: Dmitri Gabbasov - ”Breaking the Enigma”
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 6 Potensfunktioner

Eleverne har arbejdet med følgende:
- Generel viden om funktioner herunder begreberne definitionsmængde og værdimængde
- Forskriften for potensfunktion samt dennes definition- og værdimængde
- Grafens forløb for potensfunktioner herunder påvirkningen af a og b i forskriften
- Formlerne til beregning af a og b ud fra to punkter samt bevis for formlerne
- Vækstegenskaber ved potensfunktionen
- Potensregression vha. Maple

Desuden har vi afsluttet forløbet med at sammenligne de tre funktionstyper lineær, eksponentiel og potens

Materiale: Kernestof Mat 1 stx - kap 9, kap 11 s. 210-211
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 7 Vektorregning II

I dette forløb er der arbejdet med følgende:
- Kendskab til enhedscirklen, og hvordan en retningsvinkel og retningspunkt hænger sammen med begreberne cosinus og sinus
- Beregne vinklen mellem to vektorer ud fra formel og i Geogebra
- Konstruere og beregne projektion af vektorer
- Udføre beviser for sammenhængen mellem vektorenes skalarprodukt og vinklen samt for sammenhængen mellem determinanten og arealet af et parallelogram
Materiale: Kernestof Mat 1 stx - 10 (undtaget afsnit om polære koordinater s. 182 samt side 188-195)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 8 Ligninger

Eleverne har i følgende forløb arbejdet med forskellige ligninger, heriblandt
- At løse ligninger med flere x-led, parenteser og brøker
- At benytte logaritmer til at løse ligninger, hvor x står i eksponenten
- At løse andengradsligninger vha. diskriminantformlen
- At løse to ligninger med to ubekendte vha. substitutionsmetoden
- De bevise, hvordan man løser en andengradsligning samt diskriminantens betydning for antallet af løsninger

Materiale: Der har været tavleoplæg med information samt opgaver fra Kernestof Mat 1 STX og fra arbejdsark
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 9 Lån og opsparing

I dette forløb er der arbejdet med følgende:
- Annuitetsopsparingsformlen
- Tabel til beregning af opsparingen i Excel
- Annuitetslåneformlen
- Amortisationstabel i Excel
- Beregning af årlige og månedlige renter
- Beregning af den gennemsnitlige rente
- Forskel på nominel og effektiv rente
- Forklaring af ÅOP

Materialer: Kernestof Mat 1 STA, kap. 13
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 11 Polynomier

Andengradspolynomiet

- Forskrift, graf, konstanternes betydning
- Formlen for diskriminanten
- Formlen for toppunktet
- Diskriminantens betydning for antallet af rødder
- Formlen for rødderne til andengradspolynomiet
- Løsning af andengradsligningen
- Faktorisering af andengradspolynomiet
- Nulreglen
- n'te gradspolynomier og lidt egenskaber
- polynomiel regression

Kernestof mat 2 stx
side 8-15 og side 148-149


Beviser:
- Formlen for rødderne
- Faktorisering af andengradspolynomiet
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 12 Mere om funktioner

Generelt om funktioner
- definitionsmængde Dm og værdimængde Vm
- monotoniforhold
- sammensatte funktioner
- parallelforskydning af funktioner

Logaritmefunktionerne log(x) og ln(x)
- omvendte funktioner
- definitionen af log(x) og ln(x)
- logaritmiske koordinatsystemer
- beviser for logaritmeregneregler
- bevis for en eksponentiel funktion giver en ret linje i enkeltlogaritmisk koordinatsystem
- bevis for at en potensfunktion giver en ret linje i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.

De trigonometriske funktioner sin(x) og cos(x)
- radianer
- sin og cos som funktioner


Kernestof mat 2 stx
side 24-27 + 30-33
side 52-59
side 40-43
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 13 Differentialregning


- Grænseværdi
- Tangent, tangenthældning, differentialkvotient f'(x0)
- Væksthastighed
- Differentiering af simple funktioner
- Forskellen på differentialkvotient f'(x0) og afledte funktion f'(x)
- Sekant og differenskvotient
- Tretrinsreglen (bevis for differentialkvotienter af simple funktioner)
- Regneregler for differentialkvotienter
     - sum
     - differens
     - funktion ganget med konstant
     - produktreglen
     - sammensat funktion/kædereglen
- Tretinsreglen (bevis for regnereglerne for differentialkvotienter)
- Bestemmelse af monotoniforhold med værktøj og i hånden.
- Grafisk fohold mellem funktionen f(x) og dens afledte funktion f'(x)
- Optimeringsopgaver
- Tangentens ligningen (+ bevis)
- Bevis for toppunktsformlen for andengradspolynomiet vha. differentialregning

Kernestof mat 2 stx
side 92-129

Note om grænseværdi
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 18 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 14 Binomialfordeling og binomialtest


Stokastisk variabel (generelt)
- Beregning af middelværdi (også kaldet forventet værdi), varians og spredning.

Binomialfordelt stokastiske variabel
- definitionen af en binomialfordelt stokastisk variabel (hvordan man gør rede for at en stokastisk variabel er binomialfordelt).
- antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p
- brug af sandsynlighedslommeregneren i geogebra.
- beregning af middelværdi og spredning for binomialfordelingen
- normalfordelingsapproksimationen:
        [µ - σ; µ + σ] svarer til 68,27%
        [µ - 2·σ; µ + 2·σ] svarer til 95,45% og kaldes normale udfald
        [µ - 3·σ; µ + 3·σ] svarer til 99,73%. Udfald udenfor dette område kaldes de exceptionelle udfald.
- normalfordelingsapproksimationen gælder kun hvis n·p ≥ 5 OG n·(1-p) ≥ 5.
- formlen for binomialfordelte punktsandsynligheder P(X = k)

Binomialtest
- signifikansniveau, den kritiske mængde, acceptmængden,
- nulhypotese og den alternative hypotese.
- ensidet og tosidet test
- triangeltest (smagstest - højresidet test)
- normalfordelingsapproksimationen (de ca. 68% eller de ca. 95% mest sandsynlige udfald).
- fejltype 1 og 2.

Kernestof mat 2 stx
side 66-87 samt 140-141


Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 15 Chi-i-anden tests

I forløbet har vi gennemgået

- population og stikprøve (herunder hvad man forstår ved en repræsentativ stikprøve)
- chi-i-anden tests (både uafhængighedstest og goodness-of-fit)
- nulhypotese og alternativ hypotese
- observerede og forventede værdier
- formlen til beregning af chi-i-anden teststørrelsen
- det kritiske område og acceptområdet
- signifikansniveau
- fejl af 1. og 2. art
- frihedsgrader
- chi-i-anden fordelinger
- p-værdien
- den kritiske værdi


Materiale
- At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle af E. Susanne Christensen
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
2y Ma skr. prøve#3 27-02-2025
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 16 Analytisk plangeometri


- Normalvektor og linjens ligning
- hældningsvinkel til rette linjer
- Skæring mellem linjer
- ortogonale linjer
- afstandsformler (mellem to punkter og mellem punkt og linje)
- Midtpunkt mellem to punkter
- Cirklens ligning
- Retningsvektor og linjens parameterfremstilling

Beviser: Linjens ligning (sætning 2), linjens parameterfremstilling (sætning 54), afstand mellem to punkter (sætning 23) og cirklens ligning (sætning 36).

Kernestof mat 2 stx side 158-177
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer