Holdet 3x MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2025/26
Institution Middelfart Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Jesper Krieger Hansen
Hold 2023 MA/x (1x MA, 2x MA, 3x MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Rentes- & procentregning
Titel 2 Eksponentielle funktioner
Titel 3 Logaritmefunktionen
Titel 4 FF1
Titel 5 Beskrivende statistik
Titel 6 Annuitetsregning
Titel 7 Potensfunktioner
Titel 8 Kombinatorik og sandsynlighedsregning (vikar)
Titel 9 Vektorregning 2 (vikar)
Titel 10 Enigma (vikar)
Titel 11 Polynomier
Titel 12 FF3 - Blider
Titel 13 Differentialregning
Titel 14 Analytisk Geometri
Titel 15 Repetition af differentialregning
Titel 16 Integralregning
Titel 17 Normalfordelingen & Binomialfordelingen
Titel 18 Differentialligninger
Titel 19 Trigonometriske funktioner
Titel 20 Vektorfunktioner
Titel 21 Forberedelsesmateriale: Polære Funktioner
Titel 22 Funktioner af 2 variable

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Rentes- & procentregning

Procent, omregning mellem procent/rente og vækstrate, fremskrivningsfaktor, lægge procenter til og trække procenter fra vha. fremskrivningsfaktor, indekstal, bestemme indekstal givet værdier, bestemme værdi givet indekstal, absolut og relativ ændring, renteformel (til beregning af slutkapital, startkapital, antal terminer og rente).


Gennemførte beviser:
Udledninger af diverse repræsentationer af renteformlen
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Eksponentielle funktioner


- Koeffecienternes betydning for grafens forløb for eksp. funk.
- Beregning af koeffecienter vha. topunktsformler
- Eksponentiel Regression i CAS
- Beregning af halverings- og fordoblingskonstanter
- Bevis af topunktsformler og fordoblings/halveringskonstant.
- Introduktion til logaritmefunktionerne log og ln (spor til 2.g)


Særligt fokus på bevisførelse som har været en videoaflevering.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Video-beviser 10-01-2024
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Lytte
  • Søge information
  • Formidling - At formdle et matematisk bevis ved brugen af fagord
Væsentligste arbejdsformer
  • Individuelt arbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 3 Logaritmefunktionen

Forløbet behandler:
- Definitionsmængde og værdimængde for eksponentialfunktionen og logaritmefunktionen
- Inverse (omvendte) funktioner via. spejling i identitetsfunktionen f(x)=x
- Definition af logartime-funktionen som invers til en tilsvarende eksponentialfunktion; fokus på naturlig logartime og titallogartime
- Anvendelse af enkelt- og dobbeltlogaritmiske koordinatsystemer samt hvordan hhv. eksponentialfunktions og potensfunktioners grafer bliver til rette linjer heri.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Lytte
  • Læse
  • Formidling
  • Almene (tværfaglige)
  • Kommunikative færdigheder
  • IT
  • Regneark
Væsentligste arbejdsformer
  • Individuelt arbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 4 FF1

Fælles Fagligt forløb i samarbejde med fysik.
Forløbet har omhandlet skibsstabilitet og eleverne er blevet introduceret til sumtegn samt integraltegn mhp. bestemmelse af areal under grafer. Skibsprofiler er blevet modelleret ved stykkevist definerede funktioner og arealmidtpunktet er bestemt gennem anvendelse af integralregning.

Forløbet er afsluttet med 3D-print af modelskibe og poster præsentation.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Beskrivende statistik

Fokus:
1. At benytte computer til at håndtere statistisk data og lave diagrammer
2. At kunne fortolke statistike diagrammer ved bruge af statistiske deskriptorer

De statistiske deskriptorer, som er gennemgået og anvendt er:
• Grupperede observationer
• Ugrupperede observationer
• Hyppighed
• Frekvens
• Kumuleret hyppighed
• Kumuleret frekvens
• Outlier
• Kvartil (Fraktil)
• Pindediagram/Histogram
• Trappediagram/Sumkurve
• Boksplot
• (Udvidet) kvartilsæt
• Median
• Middeltal/gennemsnit
• Variationsbredde
• Kvartilbredde
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Annuitetsregning

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Potensfunktioner

- Koefficienternes betydning for grafens forløb for potensfunkion
- Beregning af koefficienter vha. topunktsformler
- PotensRegression i CAS
- Bevis af topunktsformler
- Fremhævning på særligt: 1/x (omvendt proportionalitet), kvadratrodsfunktionen og x^2 som de tre vigtige potensfunktioner.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Kombinatorik og sandsynlighedsregning (vikar)

Kombinatorik og sandsynlighedsregning
Forløbet er planlagt og afholdt af vikar (UJ)

Kombinatorik introduceres ved brug af tælletræer, hvorfra multiplikationsprincippet ’både-og’ udledes. Eleverne skal ud fra eksempler via gruppediskussion give et bud på hvilken regel vi kan opskrive i ’enten-eller’-situationer.
Permutationer P(n,r) og kombinationer K(n,r) indføres gennem eksempler. Vi ræsonnerer os gennem konkrete eksempler frem til, at formlen for permutationer og kombinationer må gælde.
Vi konstruerer Pascals trekant, og anvender den til bestemmelse af K(n,r).

Frekvensbaseret sandsynlighed introduceres ved at kaste tegnstifter og bestemme sandsynligheden for at de lander med spidsen opad. Vi diskuterer herefter hvorfor sandsynligheden for, at den næste tegnstift lander med spidsen opad, ikke er 50%, som man kunne tro. Sammen med eksempler på a priori sandsynligheder, giver det anledning til at tale om sandsynlighedsfelter og symmetri heri. Sandsynlighedsfelterne bliver præsenteret som en sandsynlighedstabel, over sammenhængende udfald og sandsynligheder, med reglen om, at sandsynlighederne tilsammen skal give 100%.

Beregninger af sandsynligheder i symmetriske sandsynlighedsfelter som antal gunstige udfald delt med antal mulige udfald. Vi vil se på eksempler hvor antal gunstige udfald og antal mulige udfald skal bestemmes med en kombinatorisk beregning fra kombinatorikken. Beregninger af sandsynligheder i asymmetriske sandsynlighedsfelter behandles ved hjælp af chancetræer.

I opvarmningen trænes brøkregning.

Faglige mål fra læreplanen
- operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer
- håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold
- foretage simuleringer, have blik for hvilke svar, der kan forventes, samt være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog
- anvende begreber og metoder fra diskret matematik inden for udvalgte områder
- kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling

Kernestof fra læreplanen
- kombinatorik, grundlæggende sandsynlighedsregning og sandsynlighedsfelt

Pensum
Kernestof Mat 1 HF: Kap. 4.1-4.7 (14 sider + opgaver)

Tidsestimat
8 moduler
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 10 Enigma (vikar)

Enigma
Projekt om Enigma.
Forløbet er afholdt af virkar (UJ)

Projektbeksrivelse tilgår.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Polynomier

Materiale:
- Kap. 1 i Kernestof Mat 2 STX
- Uddrag fra matematikhistoriske kilder fra Babylon og den arabiske matematik.

Fokus på:
- Løsning af andengradsligningen på flere måder gennem historien
- Bestemmelse af rødder og toppunkt for andengradspolynomiet
- Polynomiet på faktoriseret form
- Koefficienternes betydning for parablens udseende

Beviser:
- Diskriminantformlen
- Diskriminantformlen ved kvadratkomplettering fra rænessancen
- Sammenhæng ml. koefficienterne b og c og rødderne ved faktoriseret form

Undervisningen har været struktureret gennem underviserens hjemmeside (https://sites.google.com/mail-mg.dk/matematik/forl%C3%B8b-emner), som må anvendes ifm. officielle prøver og eksaminer.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Læse - Engelsksproget litteratur er her anvendt
  • Formidling - Formidling af historisk ligningsløsning
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 12 FF3 - Blider

Forløbet er et tværfagligt samarbejde med studieretningsfaget fysik.

Forløbet har haft fokus på at opstille problemformuleringer og underspørgsmål omkring en undersøgelse og konstruktion af blider.

Primært har der været undersøgt en optimering af blidens skudvidde, hvor udtrykket for den optimale skudvidde xmax er udledt som funktion af skudhøjde fra start og starthastighed.
Denne teoretiske viden er sammenholdt med det fysiske forsøg, hvor eleverne rent praktisk affyrer deres konstruerede blider.

Eleverne er desuden blevet introduceret til de matematiske metoder "I, med & om Matematik" samt begreberne Formal vs. Real videnskab, Empirisk vs. Analytisk Viden & Deduktiv vs. Induktiv Metode (herunder aksiomatisk deduktiv metode).

Forløbet er afsluttet med en tværfaglig grupperapport som optakt til SRO.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
FF3 04-10-2024
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13 Differentialregning

Forløbet har vekslet mellem fokus på bevisførelse og træning af regnefærdigheder i hånden under anvendelse af differentialregning; herunder særligt differentation i hånden.

Herunder dækkes begreberne:
- Tangent & sekant, herunder tangentens ligning
- Tangenthældning & differentialkvotient
- Monotoniforhold, monotonilinjer & definitionsmængder
- Optimering
- Grænseværdi
- Kontinutet & differentiabilitet
- Produkt- & kædereglen

Beviser:
Formel for differentialkvotient af funktionerne:
ax^2 (potens)
ax^2 + b (polynomium)
ax+b (lineær)
1/x (Den reciprokke funktion)
sqrt(x) (Kvadratrodfunktionen)

Regnereglerne for sum og differens af funktioner samt en konstant ganget på en funktion

Toppunktsformlen for andengradsploynomiet
Tangentens ligning

Produktreglen
Induktionsbevis for differentation af x^n, hvor n er et naturligt tal.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Mat. Afl. Differentialregning 10-11-2024
Videobevis - Tretrinsreglen 29-11-2024
Mat. Afl. Differentialregning 2 05-12-2024
Matematik aflevering i hånden 20-12-2024
Optimeringsprojekt 10-01-2025
Omfang Estimeret: 18,00 moduler
Dækker over: 23 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14 Analytisk Geometri

- Linjens ligning & normalvektor
- Linjens hældningsvinkel
- Linjens parameterfremstilling & retningsvektor
- Cirklens ligning; cirklens parameterfremtilling nævnes også.
- Afstande & distance-formlen
- Skæringspunkter & løsning af ligninger med to ubekendte

Fokus har været på at anvende Geogebras værktøjer til at visualisere opgaver med hjælpemidler og arbejde med formlerne som baggrund for, hvilke beregninger Geogebra foretager.
Fx at distance-formlen benyttes af Geogebra, når man anvender længde-værktøjet på linje & punkt
Desuden har det været fokus på at løse to ligninger med to ubekendte som metode på at løse skæringspunkter mellem linjer (ligningsform og parametriseret form) samt cirkler, hvorved 2.gradsligninger repeteres.
Kvadratkomplettering af cirklens ligning gennemgås også.

Udvalgte formler bevises da:
- Afstanden mellem to punkter
- Dist-formlen (Korteste afstand mellem punkt og linje)
- Cirklens ligning
- Rette linjer er ortogonale hvis og kun hvis produktet af deres hældningskoefficienter er -1
- Formlen for linjens ligning og parameterfremstillingen af en ret linje.
- Hældningsvinklen for en ret linje er v=tan^(-1)(a)



Beviser:
- Linjens ligning
- Parameterfremstilling
- Produktet af to ortogonale linjers hældningskoefficienter er -1
- Distance-formlen

Beviserne er lavet af eleverne og fremført i matrix-grupper.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Mat. Afl. i Analytisk Geometri 06-04-2025
Omfang Estimeret: 14,00 moduler
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 15 Repetition af differentialregning

Repetition af differentialregning:

Eleverne starter med at repetere produkt- og kædereglen (også uden lineært indre).

I forbindelse med forløbet arbejdes der med:

- Bevis for kædereglen
- Bevis for produktreglen
- Bevis for x^n via induktion

Litteratur:
Kernestof 2, s. 112-117.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 16 Integralregning

Der trækkes på elevernes erfaringer fra differentialregningen og bestemmelse af stamfunktioner omtales som den omvendte proces af differentiation.

Eleverne vil arbejde med følgende indenfor emnet:
- Stamfunktionsfamilier.
- Fortrolighed med bestemmelse af stamfunktion for de elementære funktioner og med regnereglerne (sum, differens, ‘gange en konstant’ og substitution)
- Bestemmelse af stamfunktion gennem et punkt.
- Det bestemte integral og bestemmelse af areal afgrænset af funktioner.
- Kurvelængde.
- Rumfang af omdrejningslegemer.

Følgende er bevist:
- Regneregler for bestemte integraler.
- Arealet af området mellem to grafer.
- Integralregningens hovedsætning.
- Volumenformler for geometriske figurer ved brug af omdrejningslegemer.


Anvendt litteratur:
- Kernestof 3, s. 6-41
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 16,00 moduler
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17 Normalfordelingen & Binomialfordelingen

Normalfordelingen:

Forløbet tager udgangspunkt i elevernes viden fra B-niveau, hvor de har arbejdet med normalfordelingsapproximation. Eleverne startede med at veje en masse terninger og undersøgte deres vægtfordeling.

I forløbet vil der blive arbejdet med følgende:
- Tætheds- og fordelingesfunktionen for normalfordelingen, herunder standardnormalfordelingen, repræsenteret ved tabel, graf og forskrift.
- Middelværdi og spredning og deres betydning for form og beliggenhed af tæthedsfunktionens og fordelingsfunktionens graf.
- Normale og exceptionelle udfald samt sandsynligheden for, at en observation falder i hver af kategorierne.
- Brug af Maple og GeoGebra til beregninger i normalfordelingen og til undersøgelse af, om et givet empirisk datasæt med rimelighed kan antages at stamme fra en normalfordelt stokastisk variabel - eleverne har desuden arbejdet med at undersøge om residualerne fra lineær regression er normalfordelte.

Der er blevet arbejdet med følgende beviser:
- Sammenhængen mellem normalfordelingens og standardnormalfordelingens tæthedsfunktioner.
- Sammenhængen mellem normalfordelingens og standardnormalfordelingens fordelingsfunktioner.
- Sandsynlighederne for de normale samt de exceptionelle udfald.
- Tæthedsfunktionen har maksimum i x=μ.

For at kunne gennemfører beviserne er der blevet arbejdet med omvendte funktioner og deres egenskaber.


Anvendt litteratur:
Kernestof 3, s. 46- 61
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 14,00 moduler
Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 18 Differentialligninger

Differentialligninger:

I dette forløb vil eleverne blive præsenteret for forskellige differentialligninger og deres løsninger.

Eleverne vil arbejde med følgende:
- lineære og separable differentialligninger af første orden, herunder den logistiske differentialligning, eksponentiel vækst, og forskudt eksponentiel vækst.
- De grundlæggende elementer i en kvalitativ analyse af differentialligninger
- Opstilling af simple differentialligninger på baggrund af en sproglig formulering
- Undersøgelse af, om en bestemt funktion er løsning til en forelagt differentialligning
- Bestemmelse af ligningen for en tangent til en bestemt løsningskurve.
- Linjeelementer (både i hånden og i CAS).


Følgende bevises:
- Løsningsformlen til lineære differentialligninger.
- Løsningsformlen til eksponentiel vækst.
- Løsningsformlen til forskudt eksponentiel vækst.
- Løsningsformlen til logistisk vækst.

Anvendt litteratur:
Kernestof 3, s. 100-129.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 19 Trigonometriske funktioner

I dette forløb gennemgås trigonometriske funktioner og deres egenskaber, som harmoniske svingninger. Koefficienternes grafiske betydning gennemgås og faseforskydning og periode bevises. Enhedscirklen og radianbegrebet genopfriskes og anvendes til at vise sammenhængen mellem cosinus, sinus og tangens. Trigonometriske ligninger introduceres og der gennemgås hvordan disse løses.

Efter dette forløb skal eleverne være i stand til at:
- Beskrive de karakteristiske egenskaber ved trigonometriske funktioner, som cosinus-, sinus- og tangensfunktionerne
- Beskrive koefficienternes grafiske betydning for en harmonisk svingning.
- Kunne opstille og løse trigonometriske ligninger

Beviser:
- Bevise at en harmonisk svingning er periodisk med T=2π/ω
- Bevise at faseforskydningen for en harmonisk svingning svarer til en vandret parallelforskydning med φ/ω
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 20 Vektorfunktioner

I forløbet introduceres vektorfunktioner og deres banekurver. Banekurvens skæringspunkter med akserne og banekurvers dobbeltskæringspunkt introduceres og bestemmes, samt tangenter til banekurven introduceres. Derudover introduceres hastigheds- og accelerationsvektoren og forsøges at sættes i perspektiv til virkeligheden.

Efter dette forløb skal eleverne være i stand til at:
- Skelne mellem vektorfunktioners forskellige repræsentationsformer
- Bestemme skæringspunkter med akserne
- Bestemme dobbeltpunkter
- Bestemme retningsvektor for tangent og tangentligning; herunder ligning for vandret og lodret tangent
- Betydningen af hastigheds- og accelerationsvektoren
- Bevise formlen til bestemmelse af kurvelængden af en banekurve
- Bevise arealet af en cirkel

Beviser, som er gennemgået i forløbet:
- Bevis for arealet af en cirkel
- Bevis for at bestemme af kurvelængden af en banekurve

Kernestoffet, som er gennemgået:
- vektorfunktioner, grafisk forløb af banekurver, herunder tangentbestemmelse, samt anvendelser af vektorfunktioner
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 11,00 moduler
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 22 Funktioner af 2 variable

I dette forløb introduceres funktioner af to variable. Der introduceres betydninger af niveaukurver og snitfunktioner og hvordan disse anvendes. Der introduceres partielle afledede, dobbelt afledede og blandede afledede, samt koblingen til tangentplaner, gradienter og stationære punkter. Der gennemgås hvordan de stationære punkter findes og hvordan man bestemmer arten af de stationære punkter. Der bevises undervejs betydningen af koblingen mellem den retningsafledede og gradient, samt ligningen for tangentplanen.

Efter dette forløb skal eleverne være i stand til at:
- Tegne graferne for funktioner af to variable; herunder niveaukurver og snitkurver
- Bestemme partielle afledede, dobbelt afledede og blandede afledede
- Bestemme tangentplaner samt bevis for formlen til bestemmelse
- Bestemme gradienter samt bevise sammenhængen mellem gradienten og den retningsafledede
- Bestemme stationære punkter samt arten af de stationære punkter

Beviser, som er gennemgået:
- Bevis for sammenhængen mellem gradienten og den retningsafledede
- Bevis for ligningen for tangentens plan

Kernestoffet, som er gennemgået:
- funktioner af to variable, partielle afledede og grafisk forløb, herunder niveau-kurver
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer