Holdet 3u MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2022/23 - 2025/26
Institution Middelfart Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Johannes Holmgård Eriksen
Hold 2023 MA/u (1u MA, 2u MA, 3u MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Tilladte hjælpemidler til eksamen
Titel 2 Grundforløb Del 1 - Lineære funktioner
Titel 3 Grundforløb Del 2 - Vektorer
Titel 4 Procenter, Lån og opsparing
Titel 5 Statistik
Titel 6 Eksponentiel funktioner
Titel 7 Potensfunktioner
Titel 8 Sandsynlighed og kombinatorik
Titel 9 Vektor og vektorregning
Titel 10 Andengradspolynomier
Titel 11 Differentialregning og regneregler
Titel 12 Binomialfordeling og Binomialtest
Titel 13 Konfidensintervaller
Titel 14 Differentialregnings anvendelser
Titel 15 Analytisk geometri
Titel 16 Logaritme funktioner
Titel 17 Trigonometriske funktioner
Titel 18 Genopfriskning
Titel 19 Integralregning
Titel 20 Normalfordeling
Titel 21 Differentialligninger
Titel 22 Funktioner af 2 variable
Titel 23 Forberedelsesmateriale
Titel 24 Vektorfunktioner

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Tilladte hjælpemidler til eksamen

Tilladte hjælpemidler i eksamen/årsprøve, hvor computer må benyttes:
- CAS-programmer på computeren (Maple, WordMat, GeoGebra)
- Egne noter på computeren eller i hånden
- Gamle afleveringer
- Bogen
- Egen formelsamling
- Lommeregner (Ikke mobiltelefon)
- Videoer fra hjemmesiden ” https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof/kernestof_stx.html ” (Husk at have hovedtelefoner med, hvis I skal lytte til videoerne)
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Grundforløb Del 1 - Lineære funktioner

I forløbet forventes det at man forstår og kan anvende følgende begreber:
- Lineær funktion (model)
- Ret linje
- Hældningskoefficient (a-værdi)
- Konstantled (b-værdi)
- Regression
- Residual & residualplot

Desuden forventes man både i hånden at kunne:
- Beregne koeffecienterne a og b for en lineær funktion givet to punkter (Topunktsformlen for lineære funktioner)
- Løse ligninger (førstegrads)
- Bevise Topunktsformlen for lineære funktioner

Med Geogebra forventes man at kunne:
- Tegne grafen for en funktion
- Bestemme en funktionsværdi f(x), hvis der oplyses en funktionsforskrift og en x-værdi
- Bestemme en x-værdi, hvis der oplyses en funktionsforskrift og en y-værdi
- Lave lineær regression samt residualplot over et datasæt
Indhold
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Grundforløb Del 2 - Vektorer

I forløbet forventes det at man forstår og kan anvende følgende begreber:
- Vektor
- Stedvektor
- Sumvektor
- Modsatrettet vektor
- Differensvektor
- Skalering
- Skalarprodukt / Prikprodukt
- Determinant
- Tværvektor
- Nulvektor

Desuden forventes man både i hånden og med Geogebra at kunne:
- Tegne vektorer givet et koordinatsæt
- Regne længden af en vektor
- Lægge vektorer sammen og trække dem fra hinanden
- Beregne skalarproduktet/prikproduktet af to vektorer
- Beregne determinanten af to vektorer
- Finde tværvektoren til en given vektor
- Forklare at prikproduktet af vinkelrette (ortogonale) vektorer er lig 0
- Forklare at determinanten af to parallelle vektorer er lig 0.
- Anvende beregning af determinanten ifm. arealbestemmelse.
Indhold
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
  • IT - Anvende Geogebra ifm. tegning og regning med vektorer
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Procenter, Lån og opsparing

I dette forløb introduceres procentregning, indekstal og renteformlen.
Der gennemgås hvad et basisår er og hvordan indekstal, basisår og procenter hænger sammen.
Der bliver arbejdet med renteformlen til at beregne slutkapitalen efter et antal terminer og med en bestemt rente.
Formlerne for hvordan man finder startkapital, rentefoden og terminer ud fra renteformlen vil blive gennemgået, og der vil blive bevist hvordan man finder formlen for rentefoden.

Der vil blive arbejdet med opsparingsannuitet, begrebet en annuitet, samt hvad en annuitetslån er. Formlerne for opsparingsannuitet og ydelsesformlen for annuitetslån vil blive gennemgået.
Begreber som amortisationstabel, hovedstol, primo restgæld, rentefod, afdrag, ydelse og ultimo restgæld vil blive forklaret og gennemgået.
Begreberne gennemsnitlig rente, nominel rente og effektiv rente vil blive gennemgået, og formlen for gennemsnitlig rente vil blive bevist.
Der vil blive gennemgået hvordan man laver en fremskrivning og en tilbageskrivning, samt hvad den årlige omkostning i procent er.

Som et afsluttende produkt vil blive lavet et projekt kaldet "Egons SU-lån", som vil bringe eleverne igennem de generelle begreber i lån og opsparing. Hvis tiden tillader det, vil der laves et bevis for hvordan opsparingsannuitetens formlen kommer frem.

Efter dette forløb skal eleverne være i stand til at:
- Angive et decimaltal i procent og omvendt
- Kunne beregne og forklare begreberne fremskrivningsfaktorer, absolutte stigning, relativ stigning og indekstallene.
- Redegøre for renteformlen og anvende den
- Kunne isolere renten i renteformlen
- Kunne anvende de forskellige omskrevet formler for renteformlen
- Kunne anvende og forklare opsparingsannuitet og annuitetslån, samt formlerne og begreberne der er knyttet dertil.
- Kunne forklare en amortisationstabel
- Kunne beregne gennemsnitlig rente, nominel rente og effektiv rente (årlig rente)

Beviser som gennemgås:
- Bevis for rentefoden ud fra renteformlen


Kernestoffet, som er gennemgået er:
-procent- og rentesregning, absolut og relativ ændring
-opsparings- og gældsannuitet
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Statistik

I dette forløb arbejdes med statistik. Der introduceres diskrete (ikke-grupperede) og grupperede datamateriale, samt hvordan man anvender simple statistiske deskriptorer (såsom middelværdien, typetal m.m.) og grafiske repræsentationer af datamaterialet.

Der arbejdes med begreberne stikprøve, population og observationssættets størrelse, og hvordan disse sættes op og kobles i ikke-grupperet og grupperet observationssæt. Beregner som hyppighed, frekvens, kumuleret hyppighed, kumuleret frekvens, samt middelværdi og typetal er blevet gennemarbejdet og sammen med grafiske repræsentationer af data er kvartiler, median, fraktiler, kvartilsæt og kvartilafstand blevet gennemgået, og hvor symmetriforskel og outlier er blevet set sammen med boksplots.

Af grafiske repræsentationer er der blevet kigget på
- Pindediagram/Søjlediagram
- Prikdiagram/Punktdiagram
- Boksplots
- Histrogram
- Sumkurver

Efter forløbet skal eleverne være i stand til at:
- Kunne redegøre for hvad en stikprøve og population er
- Kunne forskellen på ikke-grupperet og grupperet observationssæt, og arbejde med de respektive begreber for de deskriptive faktorer.
- Kunne lave grafiske repræsentationer som passer til det givet observationssæt
- Kunne bestemme kvartilsæt og fraktiler ud fra grafiske repræsentationer

Kernestof og supplerende stof:
- simple statistiske metoder til håndtering af diskret og grupperet datamateriale, grafisk præsentation af statistisk materiale, stikprøve og empiriske statistiske de-skriptorer
- bearbejdning af autentisk datamateriale
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Eksponentiel funktioner

I dette forløb introduceres eksponentielle funktioner. Der arbejdes med forskriften for eksponentielle funktioner og deres karakteristiske egenskaber. Der ses på betydningen af a og b, samt hvordan grafens forløb og vækst vil være ud fra fremskrivningsfaktorens værdi.
Formlerne for at bestemme a og b ud fra to punkter er blevet gennemgået og bevist, samt hvornår man benytter sig af disse formler og hvornår man benytter sig af eksponentiel regression.
Formlerne for fordoblings- og halveringskonstanten bliver gennemgået og bevist, og der er ses på hvordan man anvender dem og bestemmer dem grafisk.
Der ses på hvordan renteformlen og den eksponentielle funktion er koblet.

Efter dette forløbet forventes det at eleverne kan:
- Opskrive og redegøre for forskriften for den eksponentielle funktion
- Gennemgå grafens forløb ud fra værdien af a og b, samt dens definitions- og værdimængde
- Opskrive, anvende og bevise formlerne til beregning af a og b ud fra to punkter
- Sammenhængen mellem fremskrivningsfaktoren a og vækstraten r
- Aflæsning af fordoblingskonstanten og halveringskonstanten på en graf
- Opskrive, anvende og bevise formlerne til beregning af fordoblingskonstanten og halveringskonstanten

Kernestof gennemgået:
- anvendelse af eksponentiel regression
- karakteristiske egenskaber ved følgende elementære funktioner og deres grafiske forløb: eksponentielle funktioner
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Potensfunktioner

I dette forløb introduceres potensfunktioner. Der arbejdes med forskriften for potensfunktioner og deres karakteristiske egenskaber. Der ses på betydningen af a og b, samt hvordan grafens forløb og vækst vil være ud fra konstanten a's værdi.
Formlerne for at bestemme a og b ud fra to punkter er blevet gennemgået, samt hvornår man benytter sig af disse formler og hvornår man benytter sig af potens regression.
Vækstegenskaberne for potensfunktioner er blevet gennemgået og taget op til en sammenligning af vækstegenskaber for de lineær funktioner og eksponentielle funktioner.
Koblingen til omvendt proportionalitet og potensfunktioner er blevet gennemgået.

Efter dette forløbet forventes det at eleverne kan:
- Opskrive og redegøre for forskriften for potensfunktioner
- Gennemgå grafens forløb ud fra værdien af a og b, samt dens definitions- og værdimængde
- Kunne grafisk argumentere ud for a og b værdien for potensfunktioner
- Opskrive og anvende formlerne til beregning af a og b ud fra to punkter
- Kunne forklare vækstegenskaben i sammenhold med vækstegenskaben for lineær og eksponentielle funktioner

Kernestof gennemgået:
- anvendelse af potensfunktion regression
- karakteristiske egenskaber ved følgende elementære funktioner og deres grafiske forløb: potensfunktioner
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Sandsynlighed og kombinatorik

I dette forløb gennemgås sandsynlighedsregning og kombinatorik. Der er blevet arbejdet med tælletræ, multiplikationsprincippet og additionsprincippet som tællemetoderne. Definitionerne af permutationer, kombinationer og fakultet bliver gennemgået, og formlerne gennemgås, samt hvad forskellen på dem er. Pascals trekant inddrages og kobles det binomialkoefficienten. Forskellen på A priori og frekvensbaseret sandsynligheder gennemgås og andre begreber som fx sandsynlighedsfelt dækkes efterfølgende, samt udfaldsrummet for kast med 2 terninger.
Forløbet er afsluttet med et historisk projekt om Enigma.

Efter forløbet forventes det at eleverne kan:
- Definere tællemetoderne: multiplikationsprincippet, additionsprincippet og tælletræ.
- Gøre rede for på permutationer, kombinationer og formlerne til bestemmelse af antallet af disse, samt forskellen på dem
- Begrebet fakultet.
- Kunne anvende Pascals trekant
- Kunne definitioner et matematisk sandsynlighedsfelt og et symmetrisk sandsynlighedsfelt

Kernestof:
- kombinatorik, grundlæggende sandsynlighedsregning, sandsynligheds-felt
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Vektor og vektorregning

I dette forløb gennemgås vektorer og regneregler koblet til dem, samt nogle trigonometriske former som cosinus- og sinusrelationerne. Definitionen på egentlig vektorer (såsom stedvektor og vektor mellem to punkter) og en nulvektor gennemgås, samt hvordan længden af en vektor beregnes.
Formlerne for summen og differensen af to vektorer gennemgås og bevises både med symbolik og grafisk. Formlen for multiplikation af en vektor med en konstant introduceres, og regneregler for dette og summen af vektorer gennemgås. Skalarproduktet introduceres og reglerne for dette kobles på, samt at tværvektorer og determinanter indføres.
Sammenhængen mellem determinant og areal kobles.Formlen for vinklen mellem to vektorer indføres og formlen bevises sammen med skalarproduktets afhængighed af længderne og vektorernes beliggenhed, efter at der kort er blevet introduceret polarkoordinater og enhedscirklen.
Formlen og betydningen af projektion af en vektor på vektor gennemgås, samt længden af denne.
Betydningen af ortogonale og parallelle vektorer kobles til skalarproduktet og determinanten.
Arealformler, sinusrelation og cosinusrelation indføres og der arbejdes med i disse formler som noget af det sidste i forløbet.

Efter dette forløb skal eleverne være i stand til at:
- Bestemme stedvektoren for et punkt, vektoren mellem to punkter og længden af en vektor
- Anvende regnereglerne for vektorer både ved beregning og tegning
- Kunne beregne skalarproduktet og determinanten af et vektorpar
- Kunne beregne arealet af et parallelogram mellem to vektorer med determinanten
- Kunne finde vinklen mellem to vektorer, samt redegøre vha. skalarprodukt eller determinanten om to vektorer er parallelle eller ortogonale.
- Kunne anvende formlen for projekten af en vektor og anvende formlen for længden af en projektion.
- Kunne tegne enhedscirklen og aflæse cosinus og sinus til en vinkel i enhedscirklen
- Kunne skrive polære koordinater for vektorer
- Anvendelse af cosinus- og sinusrelationerne til at beregne vinkler og sider i vilkårlige trekanter

Kernestoffet, som er gennemgået:
- vektorer i to dimensioner givet ved koordinatsæt, herunder skalarprodukt, determinant, vinkler, areal, samt anvendelser af vektorbaseret koordinatgeometri til opstilling og løsning af plangeometriske problemer, herunder trigonometriske problemer
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Andengradspolynomier

I dette forløb gennemgås forskriften og karakteristik for andengradspolynomier. Der arbejdes med hvordan grafen for en andengradspolynomium ser og hvad der gælder for dens koefficienter. Der vil ud fra grafer blive arbejdet med at eleverne skal kunne bestemme fortegnet for koefficienterne og værdier, hvor dette er muligt.
Formlen for diskriminanten og toppunktsformlen introduceres, og koblingen mellem antallet af rødder og diskriminanten vil blive gennemgået og bevist.
Beviset for toppunktsformlen vil blive gennemgået ved at anvende differentialregning, og der vil med differentialregning blive argumenteret for at tangenthældningen i punktet (0,c) er lig med b.
Ved brug af nulreglen gennemgås og arbejdes der med faktorisering af polynomier, og hvordan man går fra faktoriseret til en kendt forskrift.


Der vil blive arbejdet med polynomier af højere orden og hvordan disse differentieres. I forlængelse heraf vil der blive arbejdet med polynomiel regression

Efter dette forløb skal eleverne være i stand til at:
- Kunne grafisk bestemme fortegn på koefficienterne samt diskriminanten for andengradspolynomier
- Beregne diskriminanten og forklarer hvordan antallet af rødder hænger sammen med den, samt beregne rødderne.
- Kunne aflæse rødder ud fra en faktoriseret polynomium og omskrive til den almindelige formel
- Kunne benytte polynomier af højere orden og finde deres afledte funktion.
- Kunne bevise toppunktsformlen med differentiation
- Kunne gennemgå beviset for rødderne og diskriminanten (Sket den 3/2)
- Kunne anvende nulreglen
- Kunne lave polynomiel regression

Kernestoffet, som er gennemgået er:
- polynomiel regression
- funktionsbegrebet, sammensat funktion, stykkevist defineret funktion, karakteristiske egenskaber ved følgende elementære
funktioner og deres grafiske forløb: polynomier
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Differentialregning og regneregler

I dette forløb introduceres differentialregning og dens regneregler.
Der gennemgås hvad en tangenthældning er, og dens kobling til differentialkvotienten og væksthastighed.
Der bliver arbejdet med, hvordan man anvender tangenthældningen til at bestemme væksthastigheden for forskellige punkter for en funktion.
De afledte funktioner til kendte funktioner og til specifikke funktion bliver gennemgået.
Forskellen på sekanthældning og tangenthældning bliver gennemgået og det bliver vist, hvordan man går fra differenskvotient til differentialkvotienten, samt hvad begrebet græseværdi og differentiabel er.
Igennem tretrinsreglen bliver bestemte afledte funktioner bevist.

Regneregler som gennemgås er differentiation af summen og differensen mellem to funktioner samt at man ganger en konstant på en funktion. Når polynomier er blevet gennemgået øves differentieringen af dem.
Produktreglen og kædereglen vil også blive gennemgået

I et samarbejde med biologi vil der komme data, som bruges til at undersøge væksthastigheder.  

Efter dette forløb skal eleverne være i stand til at:
- Bestemme og beregne tangenthældningen ud fra en graf og en funktion
- Kunne finde væksthastigheden for modeller
- Finde den afledte funktion ud fra kendte og specifikke funktioner
- Kunne redegør for differenskvotienten og differentialkvotienten
- Kunne forklare at noget er differentiabelt og begrebet grænseværdi
- Kunne bevise bestemte afledte funktioner
- Kunne anvende regneregler for afledte funktioner og kunne anvende produktreglen og kædereglen på funktioner

Beviser som gennemgås:
- Bevis for den afledte funktion for funktion f(x)=k
- Bevis for den afledte funktion for funktion f(x)=ax+b
- Bevis for den afledte funktion for funktion f(x)=ax^2
- Bevis for den afledte funktion for funktion f(x)=1/x

Kernestoffet, som er gennemgået er:
- definition og fortolkning af differentialkvotient, herunder væksthastighed, afledet funktion for de elementære funktioner
samt regnereglerne for differentiation af sum, differens og produkt af funktioner samt differentiation af sammensat funktion
- simpel matematisk modellering med afledet funktion
- bearbejdning af autentisk datamateriale
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Matematikaflevering 3 (Video) 03-10-2024
ABaCus aflevering 1. og 2. grads ligninger 11-10-2024
Matematikaflevering 4 24-10-2024
ABaCus aflevering Andengradspolynomier 31-10-2024
Matematikaflevering 5 07-11-2024
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Binomialfordeling og Binomialtest

I dette forløb introduceres binomialfordeling, binomialtest og konfidensinterval.
Der gennemgås hvad en stokastisk variabel er, og hvordan man finder dens sandsynlighed, middelværdi og spredning.
Der vil blive set på forskellen mellem en stokastisk variabel og binomialfordelt stokastisk variabel, samt hvordan man finder middelværdien og spredningen for en binomialfordelt stokastisk variabel.

Der vil blive gennemgået, hvad kravene til et binomialeksperiment er, samt hvad en antalsparameter og sandsynlighedsparameter er.
Der vil blive gennemgået hvad ærlighed betyder, og hvordan man undersøger dette med binomialfordelinger. Der vil blive gennemgået hvordan en nulhypotese testes og hvordan man tolker et resultat ud fra det.

Signifikansniveauer gennemgås og der laves en kobling til acceptområdet, kritiske værdier og exceptionelle værdier. Forskellen på en tosidet og enkeltsidet test forklares og undersøges, samt hvad betydningen af bias og konfundering er. Betydningen af p-værdien gennemgås kort.

Ved at lave en 3 konkrete spørgsmål i klassen laves en virkelighedsnær binomialtest, hvor eleverne finder en sandsynlighedsparameter i Middelfart, og undersøger om der er en anden hold til spørgsmålene i Prag på studieturen.

Sandsynlighedsfunktionen er blevet gennemgået og der er blevet set på hvordan man kommer frem til den.

Efter dette forløb skal eleverne være i stand til at:
- Kunne forklare en stokastisk variabel og forskellen på den og en binomialfordelt variabel
- Kunne finde middelværdien og spredningen for både binomailfordelte og stokastiske variabel.
- Kunne definere et binomialeksperiment, samt antalsparameteren og sandsynlighedsparameteren
- Beregne sandsynligheder med sandsynlighedsformlen og finde den kumuleret sandsynlighed
- Teste en binomialfordeling og aflæse et svar ud fra en binomialtest.
- Teste en nulhypotese og forklarer betydningen af et signifikansniveau
- Kunne argumentere for fejl og bias


Kernestoffet, som er gennemgået er:
-  stokastisk variabel, binomialfordeling samt
anvendelse af normalfordelingsapproksimation hertil og hypotesetest i binomialfordelingen
- bearbejdning af autentisk datamateriale
- simulering af nulhypotese
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13 Konfidensintervaller

Med lidt fokus på folkeafstemninger er konfidensintervaller blevet gennemgået. Sammenhængen mellem konfidensintervaller og binomialtest er gennemgået, og der er blevet set på, hvordan stikprøvestørrelsen har betydning for binomialfordelingen og konfidensintervaller, og hvordan normalfordelingen kommer frem fra binomailfordelingen.

Efter dette forløb skal eleverne være i stand til at:
- Kunne lave et konfidensinterval og lave en vurdering ud fra det.

Kernestoffet, som er gennemgået er:
- Konfidensinterval
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 1 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14 Differentialregnings anvendelser

I dette forløb introduceres anvendelser inden for differentialregning.
Der genopfriskes monotoniforhold, og der gennemgås hvordan man med differentialregning og monotonilinjer kan finde monotoniforhold og finde ekstrema.
Der vil blive gennemgået, hvordan grafen mellem funktionen og dens afledte hænger sammen.
Der vil blive arbejdet med optimering, og hvordan man anvender differentialregning til at optimering, samt hvordan man finder tangents ligning ved hjælp af differentialregning.

Efter dette forløb skal eleverne være i stand til at:
- Bestemme en funktions ekstrema ved at bruge afledte funktioner
- Bestemme monotoniforhold ved at bruge monotonilinjer
- Bruge differentialregning til løse optimeringsproblemer
- Beskrive en funktions monotoniforhold ud fra dens afledte funktion
- Finde tangentens ligning for et vilkårligt punkt

Kernestoffet, som er gennemgået er:
- monotoniforhold, ekstrema og optimering samt sammenhængen mellem disse begreber og begrebet differentialkvotient
-principielle egenskaber ved matematiske modeller, matematisk modellering med anvendelse af nogle af ovennævnte
funktionstyper og kombinationer heraf.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 15 Analytisk geometri

I dette forløb genopfriskes vekorregning, og der ses på cosinus- og sinusrelationerne, som ikke blev nået sidste skoleår.

Derefter gennemgås hvad linjens ligning er og hvordan normalvektoren hænger sammen med den. Omskrivning af linjens ligning til den lineær funktion er gennemgået og der er set på hvordan hældningsvinklen kan bestemmes.

Der er blevet vist både med Maple, GeoGebra og to ligninger med to ubekendte, hvordan man finder skæringen mellem linjer, når de er af linjens ligning, og der er gennemgået hvordan man beregner vinklen mellem to linjer ved at bruge deres normalvektorer. Det er også gennemgået hvordan man kan tjekke om to rette linjer er ortogonale ud fra deres hældningskoefficienter

Formlen for afstanden mellem punkter, midtpunktsformlen og dist-formlen er blevet gennemgået og anvendt bl.a. til at ud af om en linje er tangent på en cirkel.

Cirklens ligning er blevet gennemgået, og der er kort gennemgået, hvordan man arbejder med omskrivningen af cirklen. Hvordan man finder skæringen mellem en cirkel og linje er blevet gennemgået, samt hvordan man laver en linje for tangenten til en cirkel.

Sammenhængen mellem retningsvektorer og normalvektorer er gennemgået, samt hvordan man laver en parameterfremstilling ud fra et punkt og en retningsvektor.
Der er blevet gennemgået hvordan man skæringspunktet og skæringstidspunktet, samt skæring mellem en parameterfremstilling og en linje lavet med linjens ligning.

Efter dette forløb skal eleverne være i stand til at:
- kunne lave en linje ud fra linjens ligning, når de har en normalvektor eller retningsvektor og et punkt
- Kunne lave en parameterfremstilling ud fra normalvektor eller en retningsvektor og et punkt
- Kunne lave cirklens ligning ud fra to punkter eller et punkt og en radius
- Kunne finde skæringen mellem to linjer, en linje og en parameterfremstilling og en linje og en cirkel
- Finde en vinkel mellem to linjer
- Kunne finde afstanden mellem 2 punkter eller afstanden mellem et punkt og en linje, samt midtpunktet mellem to punkter
- Lave en ligning for tangenten til en cirkel

Kernestoffet, som er gennemgået er:
-linje, cirkel, skæringer og afstandsberegninger samt anvendelser af vektorbaseret koordinatgeometri til opstilling og løsning af plangeometriske problemer
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 16 Logaritme funktioner

I forløbet gennemgås logaritmefunktioner.

Logaritmefunktioner:
- Der ses på hvordan logaritmefunktioner ser ud og deres egenskaber
- Der gennemgås enkelt og dobbelt logaritmisk
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17 Trigonometriske funktioner

I dette forløb gennemgås trigonometriske funktioner og deres egenskaber, som harmoniske svingninger. Koefficienternes grafiske betydning gennemgås og faseforskydning og periode bevises. Enhedscirklen genopfriskes og anvendes til at vise sammenhængen mellem cosinus, sinus og tangens. Trigonometriske ligninger introduceres og der gennemgås hvordan disse løses.

Efter dette forløb skal eleverne være i stand til at:
- Beskrive de karakteristiske egenskaber ved trigonometriske funktioner, som cosinus-, sinus- og tangensfunktionerne
- Beskrive koefficienternes grafiske betydning for en harmonisk svingning.
- Kunne opstille og løse trigonometriske ligninger

Beviser:
- Bevise at en harmonisk svingning er periodisk med T=2π/ω
- Bevise at faseforskydningen for en harmonisk svingning svarer til en vandret parallelforskydning med φ/ω

Kernestoffet, som er gennemgået:
- karakteristiske egenskaber ved følgende funktioner: … trigonometriske funktioner
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 19 Integralregning

I dette forløb gennemgås definitionen af stamfunktioner, og hvordan en stamfunktion bestemmes. Det ubestemte og bestemte integral introduceres og der kobles med regneregler for k·f, f±g og indskudssætningen for det bestemte integral. Kurvelængder og integration ved substitution gennemgås, og omdrejningslegemer, samt huleomdrejningslegemer, introduceres og anvendes i slutningen af forløbet til at lave en 3d-figur af et shot-glas med bestemte volumenmål. Der laves en kort gennemgang af hvordan man finder areal under kurve igennem numerisk integration.

Efter dette forløb skal eleverne være i stand til at:
- Bestemme stamfunktioner for kendte funktioner
- Bestemme stamfunktioner, som går gennem et bestemt punkt
- Beregne det bestemte integral
- Integrere vha. substitution både for det bestemte og det ubestemte integral
- Beregne arealet under grafen for en funktion vha. det bestemte integral
- Beregne arealet af området mellem to grafer
- Beregne arealet af området mellem grafer under førsteaksen og førsteaksen
- Forklare sammenhængen mellem integralet og arealet, når grafen både er over og under førsteaksen igennem indskudssætningen
- Beregne rumfanget af et omdrejningslegeme og anvende dette til at vise formlen for rumfanget af en kegle
- Beregne kurvelængden og bevise formlen til beregning

Beviser:
- Bevise integralregningens hovedsætning
- Anvend omdrejningslegemer til at vise rumfanget af en kegle
- Bevise formlen for kurvelængden

Kernestoffet, som er gennemgået:
- stamfunktion for de elementære funktioner, ubestemte og bestemte integraler, sammenhængen mellem areal og stamfunktion, regneregler for integration af sum og differens af funktioner samt af en funktion gange en konstant og integration ved substitution, anvendelser af integraler
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 20 Normalfordeling

I dette forløb introduceres normalfordelingen; herunder tæthedsfunktionen, forde-lingsfunktionen, middelværdi, spredning samt normalfordelingsplot. Derudover laves en kort introduktion til standardnormalfordelingen. Der laves et eksperiment, hvor vægten af terninger og pebernødder undersøges for om de er normalfordelte.

I forløbet er gennemgået:
- Normalfordelingens tæthedsfunktion og fordelingsfunktion
- Normalfordelingens middelværdi og spredning og deres betydning for tætheds-funktionen og fordelingsfunktionens graf
- Standardnormalfordelingen på tilsvarende måde
- Sammenhængen mellem standardnormalfordelingen og normalfordelingen
- Normalfordelingsplot
- Normalfordelte residualer
- Konfidensintervaller for hældningskoefficienten

Beviser, som er blevet gennemgået:
- Bevis for sammenhængen mellem normalfordelingen og standardnormalfordelingen
- Bevis for normale udfald og exceptionelle udfald

Kernestoffet, som er gennemgået:
- … stokastisk variabel, binomialfordeling og normalfordeling, konfidensintervaller, …
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 21 Differentialligninger

I dette forløb introduceres differentialligninger, og deres løsningskurver samt den fuldstændige løsning til en differentialligning. Derudover bestemmes løsningen til udvalgte differentialligninger samt opstilling af differentialligninger. Linjeelementer og hældningsfelter introduceres ligeledes.

Efter dette forløb skal eleverne være i stand til at:
- opstille simple differentialligninger
- løse simple differentialligninger
- undersøge om en funktion er løsning til en differentialligning
- bestemme ligningen for en tangent ud fra differentialligningen
- løse udvalgte differentialligninger og bevise løsningerne
- bestemme og tegne linjeelementer og hældningsfelter
- løse begyndelsesværdiproblemer vha. CAS

Beviser som er blevet gennemgået i forløbet:
- Beviser for løsning til den proportionale differentialligning
- Beviser for løsning til forskudt eksponentiel vækst
- Beviser for løsning til logistisk vækst
- Beviser for løsning til lineær første ordens differentialligningen

Kernestoffet, som er gennemgået:
- lineære og separable differentialligninger af første orden, herunder den logistiske differentialligning, kvalitativ analyse af differentialligninger samt opstilling af simple differentialligninger
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 22 Funktioner af 2 variable

I dette forløb introduceres funktioner af to variable. Der introduceres betydninger af niveaukurver og snitfunktioner og hvordan disse anvendes. Der introduceres partielle afledede, dobbelt afledede og blandede afledede, samt koblingen til tangentplaner, gradienter og stationære punkter. Der gennemgås hvordan de stationære punkter findes og hvordan man bestemmer arten af de stationære punkter. Der bevises undervejs betydningen af koblingen mellem den retningsafledede og gradient, samt ligningen for tangentplanen.

Efter dette forløb skal eleverne være i stand til at:
- Tegne graferne for funktioner af to variable; herunder niveaukurver og snitkurver
- Bestemme partielle afledede, dobbelt afledede og blandede afledede
- Bestemme tangentplaner samt bevis for formlen til bestemmelse
- Bestemme gradienter samt bevise sammenhængen mellem gradienten og den retningsafledede
- Bestemme stationære punkter samt arten af de stationære punkter

Beviser, som er gennemgået:
- Bevis for sammenhængen mellem gradienten og den retningsafledede
- Bevis for ligningen for tangentens plan

Kernestoffet, som er gennemgået:
- funktioner af to variable, partielle afledede og grafisk forløb, herunder niveau-kurver
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 24 Vektorfunktioner

I forløbet introduceres vektorfunktioner og deres banekurver. Banekurvens skæringspunkter med akserne og banekurvers dobbeltskæringspunkt introduceres og bestemmes, samt tangenter til banekurven introduceres. Derudover introduceres hastigheds- og accelerationsvektoren og forsøges at sættes i perspektiv til virkeligheden.

Efter dette forløb skal eleverne være i stand til at:
- Skelne mellem vektorfunktioners forskellige repræsentationsformer
- Bestemme skæringspunkter med akserne
- Bestemme dobbeltpunkter
- Bestemme retningsvektor for tangent og tangentligning; herunder ligning for vandret og lodret tangent
- Betydningen af hastigheds- og accelerationsvektoren
- Bevise formlen til bestemmelse af kurvelængden af en banekurve
- Bevise arealet af en cirkel

Beviser, som er gennemgået i forløbet:
- Bevis for arealet af en cirkel
- Bevis for at bestemme af kurvelængden af en banekurve

Kernestoffet, som er gennemgået:
- vektorfunktioner, grafisk forløb af banekurver, herunder tangentbestemmelse, samt anvendelser af vektorfunktioner
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer