Holdet 2a Ma (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2024/25 - 2025/26
Institution Middelfart Gymnasium
Fag og niveau Matematik B
Lærer(e) Jesper Krieger Hansen
Hold 2024 Ma/a (1a Ma, 2a Ma)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Rentes- & procentregning
Titel 2 Beskrivende statistik
Titel 3 Eksponentielle funktioner
Titel 4 Kombinatorik og sandsynlighedsregning
Titel 5 Potensfunktioner
Titel 6 Trigonometri
Titel 7 Logaritmefunktionen, funktionsteori & mængdelære
Titel 8 Polynomier
Titel 9 Differentialregning
Titel 10 Binomialfordelingen & Binomialtest
Titel 11 Analytisk Plangeometri
Titel 12 Annuitetsregning
Titel 13 Repetition og eksamensforberedelse

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Rentes- & procentregning

Procent, omregning mellem procent/rente og vækstrate, fremskrivningsfaktor, lægge procenter til og trække procenter fra vha. fremskrivningsfaktor, indekstal, bestemme indekstal givet værdier, bestemme værdi givet indekstal, absolut og relativ ændring, renteformel (til beregning af slutkapital, startkapital, antal terminer og rente).


Gennemførte beviser:
Udledninger af diverse repræsentationer af renteformlen
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Beskrivende statistik

Fokus:
1. At håndtere statistisk data og lave diagrammer i hånden
2. At kunne fortolke statistiske diagrammer ved brug af statistiske deskriptorer

De statistiske deskriptorer, som er gennemgået og anvendt er:
• Grupperede observationer
• Ugrupperede observationer
• Hyppighed
• Frekvens
• Kumuleret hyppighed
• Kumuleret frekvens
• Outlier
• Kvartil (Fraktil)
• Pindediagram/Histogram
• Trappediagram/Sumkurve
• Boksplot
• (Udvidet) kvartilsæt
• Median
• Middeltal/gennemsnit
• Variationsbredde
• Kvartilbredde

Eleverne har selvstændigt arbejdet med at læse lærebogen og sætte sig ind i begreber og repræsentationsformer. Arbejdet er evalueret gennem et gruppearbejde med hhv. grupperet/ugrupperet data som skulle analyseres og præsenteres i en aflevering med fokus på at forklare hvordan deskriptorerne findes og hvordan diagrammerne dannes og fortolkes.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Eksponentielle funktioner

Foruden at anvende korrekt fagsprog og formidle matematik passende både skriftligt og mundtligt forventes en elev, der har fulgt forløbet til fulde at opfylde nedenstående læringsmål og kunne formidle nedenstående beviser.
Læringsmål:
• Kende til forskriften for funktionen og forklare betydningen af koefficienterne a og b ift. Grafens udseende samt funktionens definitions- og værdimængde
• Kunne beregne koefficienterne a og b givet to punkter
• Kunne beregne og forklare betydningen af fordoblingskonstanten og halveringskonstanten
• Kunne udføre eksponentiel regression
• Kunne løse en ligning, hvor den ubekendte findes i eksponenten ved brug af logaritmeregneregler
• Kende og kunne anvende potensregneregler; særligt til at addere og subtrahere eksponenter.
• Kende og kunne fortolke eksponentialfunktionen både med a som fremskrivningsfaktor og med Eulers tal
Beviser og ræsonnementer:
• Kunne redegøre for topunktsformlen for den lineære funktion
• Kunne redegøre for fordoblings- eller halveringskonstanten
• Kunne redegøre for betydningen af koefficienten b (skæring med y-aksen)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Lytte
  • Søge information
  • Formidling - At formdle et matematisk bevis ved brugen af fagord
Væsentligste arbejdsformer
  • Individuelt arbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 4 Kombinatorik og sandsynlighedsregning


- Tællemetoder: tælletræ og multiplikations- og additionsprincippet.
- Definitionen af fakultet !
- Permutationer både n! og P(n,r)
- Kombinationer K(n,r) også kaldes binomialkoefficienten
- Brug af Pascals trekant til bestemmelse af K(n, r)
- A priori og frekvensbaseret sandsynlighed
- Udfaldsrum og sandsynlighedsfordeling - tilsammen udgør de et sandsynlighedsfelt. Vi ser på både symmetriske og asymmetriske sandsynlighedsfelter.
- Sætningen om sandsynligheder i symmetriske udfaldsrum (antal gunstige/antal i alt)
- Multiplikations- og additionsprincippet for sandsynligheder
- Bevis for sætningerne: 16, 19, 28 og 54 (de er samlet i bogen på side 78-79).


Kernestof mat 1 stx
side 66-79
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Potensfunktioner

Foruden at anvende korrekt fagsprog og formidle matematik passende både skriftligt og mundtligt forventes en elev, der har fulgt forløbet til fulde at opfylde nedenstående læringsmål og kunne formidle nedenstående beviser.
Læringsmål:
• Kende til forskriften for funktionen og forklare betydningen af koefficienterne a og b ift. Grafens udseende samt funktionens definitions- og værdimængde
• Kunne beregne koefficienterne a og b givet to punkter
• Kunne udføre potensregression
• Kunne løse en ligning, hvor den ubekendte findes i eksponenten ved brug af logaritmeregneregler
• Kende og kunne forklare sammenhængen mellem udvalgte potenser; herunder sammenhængen mellem rødder og potenser med brøker i eksponenten samt betydningen af negative eksponenter. (Det udvidede potensbegreb)
• Kunne forklare at potensfunktionen modellerer procent-procentvækst og beregne en ubekendt procentvækst
Beviser og ræsonnementer:
• Kunne redegøre for topunktsformlen for den potensfunktion
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Trigonometri

Foruden at anvende korrekt fagsprog og formidle matematik passende både skriftligt og mundtligt forventes en elev, der har fulgt forløbet til fulde at opfylde nedenstående læringsmål og kunne formidle nedenstående beviser.
Læringsmål:
• Kunne anvende og forklare symboler og notation for trekanter; herunder vinkler, ens vinkler, sidelængder, højder, median, vinkelhalveringslinje
• Kunne forklare og anvende skalafaktoren mellem ensvinklede trekanter til at bestemme ubekendte sidelængder
• Kunne anvende Pythagoras Læresætning
• Kunne anvende cosinus, sinus og tangens i beregninger på retvinklede trekanter
• Kunne redegøre for cosinus, sinus og tangens ud fra enhedscirklen
• Kunne beregne sider og vinkler i vilkårlige trekanter; typisk ved brug af sinusrelationerne og cosinusrelationerne
• Kunne beregne arealet af en vilkårlig trekant
• Kende til de inverse funktioner arcCosinus, arcSinus og arcTangens ifm. ligningsløsning
Beviser og ræsonnementer:
• Kunne redegøre for Pythagoras Læresætning
• Kunne redegøre for formlen til at beregne arealet af en vilkårlig trekant
• Kunne redegøre for sinusrelationerne
• Kunne redegøre for cosinusrelationerne
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Logaritmefunktionen, funktionsteori & mængdelære

Logaritmefunktionen
Foruden at anvende korrekt fagsprog og formidle matematik passende både skriftligt og mundtligt forventes en elev, der har fulgt forløbet til fulde at opfylde nedenstående læringsmål og kunne formidle nedenstående beviser.
Læringsmål:
• Kende og kunne anvende 10-talslogaritmefunktioner og den naturlige logaritmefunktion ln(x)
• Kunne tegne og forklare grafens forløb og vækst samt funktionen definitions- og værdimængde
• Kunne forklare logaritmefunktionen som invers funktion til en eksponentialfunktion
• Kunne forklare opbygningen af enkelt- og dobbeltlogaritmiske koordinatsystemer
• Kunne anvende symboler og begreber fra mængdelære; herunder de naturlige, hele, rationale og reelle talmængder og symbolerne ∈, ≥, ≤, <, >, ≠, =.
• Kunne forklare og regne med sammensatte funktioner
Beviser og ræsonnementer:
• Kunne redegøre for at grafen for en eksponentialfunktion vil blive en ret linje, når den tegnes i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem
• Kunne redegøre for at grafen for en potensfunktion vil blive en ret linje, når den tegnes i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem
• Kunne redegøre for at logaritmefunktionen skærer førsteaksen i punkt (1,0)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Polynomier

Materiale:
- Kap. 1 i Kernestof Mat 2 STX
- Små uddrag fra matematikhistoriske kilder fra arabiske matematik (Fra tekst 13 af Kilder til Matematikkens historie [https://noter.math.ku.dk/kilder.pdf])
- Engelsksporget kilde om historien bag løsningen af 2. gradsligningen gennem tiden [https://resources.finalsite.net/images/v1715681405/cgsdorg/n5mfqqnicgye1z3fpysp/SMP08ALG-NA-TE2-C13-L04-13.pdf]

Fokus på:
- Løsning af andengradsligningen på flere måder gennem historien
- Bestemmelse af rødder og toppunkt for andengradspolynomiet
- Koefficienternes betydning for parablens udseende

Beviser:
- Diskriminantformlen ved kvadratkomplettering fra rænessancen
- Toppunktsformlen som symmetrisk middelværdi af rødderne.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Læse - Engelsksproget litteratur er her anvendt
  • Formidling - Formidling af historisk ligningsløsning
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 9 Differentialregning

Forløbet har vekslet mellem fokus på bevisførelse og træning af regnefærdigheder i hånden under anvendelse af differentialregning; herunder særligt differentation i hånden.

Herunder dækkes begreberne:
- Tangent & sekant, herunder tangentens ligning
- Tangenthældning & differentialkvotient
- Monotoniforhold, monotonilinjer & definitionsmængder
- Optimering
- Grænseværdi
- Kontinutet & differentiabilitet
- Produktreglen
- Sammensatte funktioner og kædereglen
- Grafisk sammenhænge mellem graferne for f og f'

Beviser: (Tjek hvilke, der rent faktisk blev bevist)
Formel for differentialkvotient af funktionerne:
ax^2 (potens)
ax^2 + b (polynomium)
ax+b (lineær)
1/x (Den reciprokke funktion)
sqrt(x) (Kvadratrodfunktionen)


Toppunktsformlen for andengradsploynomiet
Tangentens ligning
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Matematikaflevering 2 19-09-2025
Aflveringsopgave 3 31-10-2025
Matematikaflevering 5 18-12-2025
Matematikaflevering 4 05-01-2026
Omfang Estimeret: 18,00 moduler
Dækker over: 26 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Binomialfordelingen & Binomialtest

I forløbet vil vi genopfriske sandsynlighedsregning fra 1.g og anvende det til at beskrive fordelinger. Herunder gennemgås:
- Stokastiske variable som et udtryk for at tælle succesfulde hændelser
- Binomialfordelingen og antagelser for binomialfordelt stokastisk materiale.
- Middelværdi, spredning & varians for de to ovenstående
- Normalfordelingsapproksimationen
- Fordelingsfunktionen som en sum af sandsynligheder regnet ved sandsynlighedsfunktionen

Desuden anvendes :
Binomialtest samt signifikansniveau og nulhypotese (tosidet)
Triangeltest af produkter som anvendelse af binomialtest på virkeligt data.

Formlen for binomialfordelingens punktsandsynligheder bevises også.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Analytisk Plangeometri

Fokus på:
- Linjer og cirkler samt deres ligninger
- Skæringspunkter mellem ovenstående og løsning af 2 ligninger med 2 ubekendte.
- Afstande mellem enten to punkter eller linje og et punkt
- Tangent til cirkel; herunder afstand fra centrum af cirkel til linje.
- En linjes hældningsvinkel, hældningskoefficient og sammenhængen mellem dem.
- Ortogonale linjer


Beviser:
- Cirklens ligning
- Sammenhæng mellem hældningsvinklen og hældningskoefficienten.
- Distance-formlen
- Produktet af 2 ortogonale rette linjers hældningskoefficienter er -1.

Undervisningsmateriale: Kap. 3 & 4 i Note Analytisk Plangeometri (chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Geometri.pdf)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Annuitetsregning

Undervisningsmateriale: Kap.3 i note om renter og annuiteter af Michael Auerbach v. 2.2 (2022) fra www.mathematicus.dk.

Repetition af kapitalfremskrivningsformlen og argumentation for formlen opbygning.

Opsparingsannuitet og Annuitetslån er forklaret gennem en trinvis forklaring af søjlediagrammer med fokus på hvordan hhv. opsparinng eller restengælden udvikler sig for hver termin. Der er desuden koblet formler, begreber og tabeller med taleksempler til både annuitetsopsparing og annuitetslån.

Formlen for annuitetsopsparingen er bevist i specialtilfældet n=3 med udvidelse til n=4 for at lave en induktiv tilgang til beviset, som kunne generaliseres til formlen med en vilkårligt n; dog uden nødvendigvis at skulle arbejde med n led i beviset.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer