Holdet 2dm Ma (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2024/25 - 2025/26
Institution Skolerne i Oure Sport & Performance
Fag og niveau Matematik B
Lærer(e) Inger Søgaard Christiansen, Pia Lørup Jepsen
Hold 2024 Ma/dm (1dm Ma, 2dm Ma)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Det amerikanske valg
Titel 2 Trigonometri
Titel 3 Tal og regneregler
Titel 4 Sandsynlighedsregning og kombinatorik
Titel 5 Lineære funktioner og funktionsanalyse
Titel 6 Polynomier
Titel 7 Eksponentielle funktioner
Titel 8 Rentes- og annuitetsregning (inkl. logaritmer)
Titel 9 Differentialregning
Titel 10 Deskriptiv statistik
Titel 11 Binomialfordeling og - test
Titel 12 Analytisk geometri
Titel 13 Enigma
Titel 14 Repetition

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Det amerikanske valg

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Trigonometri

Emner:
Eleverne er bekendte med begreber som: topvinkler, vinkelsum i trekanter, ensliggende vinkler, højde, median, vinkelhalveringslinje (og sikkert mere jeg ikke kan huske lige nu).
Ensvinklede trekanter og forstørrelsesfaktor K.
Retvinklede trekanter med pythagoras (bevis gennemgået - har også været til den mundtlige årsprøve).
Enhedscirklen med vinkler/gradtal samt introduktion af cosinus-, sinus- og tangens-akser.
Enhedscirklen med enhedstrekant, hvor kateter angives som cos(v) og sin(v), og overførslen af dette til en ensvinklet trekant med ensliggende sider (mini-beviser - har været med til den mundtlige årsprøve). De er bekendte med notationen af den omvendte funktion, altså fx cos^-1(x)=v.
Beregning af manglende sider og vinkler i retvinklede trekanter vha. sætningerne udledt fra enhedstrekanten.
Sinusrelationerne til beregning af manglende sider og vinkler, såfremt vi har mindst et sæt af vinkel+modstående side (bevis er gennemgået og har været med til mundtlige årsprøve).
Areal af trekant vha. sinusrelationerne (bevis - bevis har været med til den mundtlige årsprøve).
Cosinusrelationerne (bevis - har været med til mundtlige årsprøve) til beregning af manglende vinkler, når vi har alle sider givet eller til beregning af manglende side og/eller vinkler, i en SVS-trekant.
Opsamling med overblik over trekantsberegninger med udgangspunkt i, hvornår man hhv. anvender sinus- og/eller cosinusrelationerne.

"Mangler":
Jeg har ikke været særlig god til at træne eleverne i præcis de typer opgaver med trigonometri, som de vil møde til den skriftlige prøve i del 1, hvor jeg på bagkant har fundet ud af, at de bl.a. skal kunne regne med decimaltal. De vil have godt af at øve nogle opgaver her fra det nyeste vejledende sæt.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Matematikaflevering #1 09-12-2024
Matematikaflevering #2 05-02-2025
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Tal og regneregler

Et forløb med:

- gennemgang af hvad tal er ud fra opdelingerne i de reelle tal, heltal, de naturlige tal og rationale tal (og ekstremt kort de irrationale tal)
- intervaller, både angivet med klammer og uligheder, samt på tallinjer
- mængdelære, herunder forenings- og fællesmængder samt komplementærmængden
- potensregneregler samt øvet beviser for reglerne (alle elever kan ikke alle beviser, men de har i grupper set på dem)
- kvadratsætninger
- brøkregneregler og regne med brøker (det er stadig svært)
- ligningssystemer: to ligninger med to ubekendte. Hvor vi har gennemgået substitutionsmetoden, lige-store-koefficienters metode samt set på analytisk bestemmelse af løsning ved skæringspunkt (og omskrevet ligningerne til at følge formen y=ax+b)
- nulreglen, herunder omskrive udtryk så nulreglen kan anvendes


Der har generelt været fokus på korrekt notation. Vi har øvet klammer, uendelighedstegn, tuborgklammer til mængder og hvordan vi tegner åbne og lukkede boller på tallinjer.


Vi har anvendt kapitel 1 i B1 bogen: Tal og regneregler. Dog uden 1.11 og 1.12 om andengradsligningen og proportionalitet.
Vi har også lavet en del opgaver i opgavebogen "Vejen til...".

Vi har ikke gennemgået regningsarternes hieraki og ligningsløsning af 1.gradsligninger slavisk, men nogle i klassen har øvet lidt mere på dette + at isolere variable.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Et forløb om sandsynlighedsregning, hvor vi har haft besøg af spilmyndigheden.

Vi har arbejdet med
- additions- og multiplikationsprincippet
- kombinationer og permutationer, herunder fakultet
- Pascals trekant (kort arbejdet med det)
- sandsynligheder og sandsynlighedsfelter
- hændelser og sandsynligheder for disse

Vi har anvendt kapitel 8-8.3 i B2 bogen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Lineære funktioner og funktionsanalyse

I dette forløb har vi overvejende fulgt B1-bogens kapitel om funktioner.

Vi har arbejdet med:
- funktionsbegrebet med Dm(f) og Vm(f), og hvornår noget enten er eller ikke er en funktion fx ved mængder og om hver x-værdi kan tages over i en eller flere y-værdier, og om flere x-værdier kan give en eller flere y-værdier. Eleverne kender til lodretkriteriet, hvor de har set på grafer og lavet vurderinger.
- Funktionsanalyse, ofte med udgangspunkt i polynomier af højere grad, hvor eleverne er trænede i at angive Dm(f) og Vm(f), samt se på monotoniforhold med angivelse af intervaller af voksende og aftagende områder, ekstrema med både lokale og globale min/max. Igen har vi anvendt lukkede og åbne boller på graferne og igen øvet klammer, og uendelighedstegn. (Vi blev enige om, at et vendepunkt på et polynomium IKKE indgår i intervallet, og derfor ikke tages med i nogle af intervallerne på de to sider).
- Gaffelforskrifter og stykkevist definerede funktioner. Her har vi anvendt geogebra til at tegne i dem ind i, og det bør eleverne kunne, selvom de ikke har afleveret en aflevering med dette, som er lavet på computer. De har også øvet at tegne stykkevise lineære funktioner i hånden, men det er svært!
- Lineære funktioner: hurtig genopfriskning inkl. beviset for topunktsformlen (som også indgik i den mundtlige årsprøve). Lavet opgaver med beregning af a og b til funktionesforskrifterne.
- Lineær regression i maple med import af data fra excel-fil (kan eleverne mon huske det?). Herunder residualer og residualplot med snak om at lede efter mønster.


Introduktion af Maple:
- hjælpemapperne er omtalt
- kommandoer i fokus: definere funktion, plot, LinReg, residualer, solve.
- eleverne kan både skrive lister og importere data fra excel

Afleveringer: kun i hånden og altså ikke en aflevering med maple.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Polynomier

Forløbet har været med:

- andengradspolynomiets funktionsforskrift og betydningen af koefficienterne og diskriminanten på grafens udseende og placering. Dette har vi brug meget tid på, og øvet meget ud fra de her karton-kort med a<0, b>0, ... Eleverne kender til begreberne rødder, parabel, konveks og konkav, og de har lært om placeringen af parablen ud fra om a og b har samme eller forskellige fortegn. Eleverne har set bevis for at c er skæring med y-aksen. Vi har set på at diskriminanten afgør om parablen skærer 0, 1 eller 2 gange med x-aksen. De har arbejdet med en parabel med skydere i maple, og bør derfor have en forståelse for betydningen af størrelsen af a, og hvorfor a ikke må være 0.
- Nulpunktsformlen og løsning af andengradsligninger. Herunder diskriminanten og fortegn af denne ift. antal løsninger. Her har vi gennemgået beviset ved "at gøre prøve". Beviset har været med til den mundtlige årsprøve.
- Toppunktet: her har vi lavet opgaver med beregning af toppunkt, også hvor vi har beregnet ukendte b eller c-værdier ud fra et kendt toppunkt. Intet bevis.
- Faktorisering af andengradspolynomiet. Her har vi primært lært at genkende rødderne, når det står på faktoriseret form. Eleverne kan selv omskrive til faktoriseret form, hvis de har (beregnet) rødderne. Vi har ikke øvet at faktorisere uden at have beregnet rødderne (det vurderede jeg, var for svært).
- Polynomier af højere grad: opskrivning af n'te-grads polynomiers forskrifter. Forståelse af sammenhæng mellem antal vendinger ift. graden, og at vi ikke kan beregne løsninger på f(x)=0 med mindre vi har CAS. Jeg er i tvivl om, om vi har talt om antal rødder i sammenhæng med grad.

Forløbet har været ret komprimeret, så eleverne kunne have glæde af at træne flere opgaver. Særligt flere løsninger af andengradsligninger.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Eksponentielle funktioner

Forløbet har inkluderet:

- funktionsforskrift for eksponentielle funktioner, herunder at voksende eksponentielle funktioner har a>1 og aftagende funktioner har 0<a<1, mens a ikke må være 1. Vi har set, at graferne vil være asymptotiske med x-aksen. Vi har ikke talt om Dm(f) og Vm(f), hvilket vi nok burde med tanke på funktionsanalyse-forløbet.
- Vi har beregnet funktionsforskrift ud fra to givne punkter og lavet beviset for denne topunktsformel (med til den mundtlige årsprøve)
- Vækst: vi har set at a=1+r og talt om samt beregnet vækstrater.  Men vi har ikke set/arbejdet med renteformlen. Her har vi talt om at eksponentielle funktioner har relativ vækst, med værdier på 1.-akse og procenter på 2.-aksen. Vi har snakket om generel vækst og fordoblings- og halveringskonstant, hvor eleverne har beregnet konstanter for de to sidste. Beviser for fordoblings og halveringskonstant er er gennemgået (med til den mundtlige årsprøve).


Forløbet har ligget som det sidste, og været relativt kompakt, så eleverne kunne godt træne flere opgaver koblet til emnet.

Det var hensigten at vi skulle nå at se på eksponentiel regression, men det nåede vi ikke.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Rentes- og annuitetsregning (inkl. logaritmer)

Sidste år havde I om eksponentielle funktioner.
Renteformlen bygger videre på dette.

I har derfor allerede arbejdet med begreberne
- Fremskrivningsfaktor og vækstrate, som bruges når man skal lægge procenter til eller trække procenter fra.

Vi arbejder med følgende:

- Renteformlen (udledning/forklaring af hvorfor den ser  ud som den gør)
- Hvordan man isolerer de forskellige størrelser i renteformlen (n kan vi først isolere, når vi kender til logaritmer)
- Omregning mellem årlig og månedlig rente (lang og kort rente).
- Gennemsnitlig rente

Lærebog i matematik B1 s. 47 - 54

Herefter fortsætter vi med annuitetsopsparing.
Det er en del af vores supplerende stof, som opgives til en mundtlig eksamen.

- Vi skal kigge på hvornår man kan bruge renteformlen og hvornår man kan bruge annuitetsopsparingsformlen.
- Vi skal udlede annuitetsopsparingsformlen.
- Vi skal kigge på hvordan man i et regneark kan lave tabeller over opsparing og gæld ved at "trække" i cellerne.
- Gældsformlen vil vi ikke gå i dybden med.

Lærebog i matematik B1 s. 54 - 57

Til sidst introduceres logaritmefunktioner som det omvendte af eksponentialfunktioner.
Særligt skal vi kende ti-talslogaritmen og den naturlige logaritme.

Vi kan bruge dem når vi skal isolere eksponenter som man fx gør i beviset for fordoblingskonstant eller, hvis man vil isolere n i renteformlen.

Lærebog i matematik B1 s. 152 - 158
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Differentialregning

Så går vi i gang med det tunge emne i år.

Vi starter med at trille en bold ned ad et skråplan og snakke om gennemsnitshastigheder og øjeblikshastigheder.
Dette kobles til hældning for sekanter og tangent - og så er vi i gang.

f'(x) defineres som hældningskoefficienten for en tangent. Dette gøres vha. sekanter og grænseværdi.

Herefter skal vi bevise en masse regneregler for differentation af forskellige funktioner og træne brugen af disse.

For følgende funktioner har lavet beviser for differentialkvotient:
- x^2
- 1/x
- sqrt(x)

Vi introducerer også regnereglerne for nedenstående funktioner. Dog uden beviser:
- k
- ax+b
- k·f(x)
- x^n (vi ser den i form af et induktionsbevis)
- f(x)+g(x)
- f(x)-g(x)
- f(x)·g(x)
- f(g(x)) (ikke bevist endnu)

Vi skal også tale om forskellen på differentialkvotient og afledet funktion.

Når vi har de grundlæggende regler på plads, kan vi begynde at anvende differentialregningen.
- Vi skal bevise toppunktsformlen for andengradspolynomier
- Vi skal udlede tangentens ligning
- Vi skal kigge på hvordan differentialregning kan bruges til at bestemme monotoniforhold og ekstrema - både med og uden hjælpemidler
- Vi skal til slut kigge på hvordan differentialregning kan bruges til at løse optimeringsproblemer.

Lærebog i matematik B2 s. 35 - 45.   Reglerne på s. 46 - 60 skal kendes, men ikke bevises.

Lærebog i matematik B2 s. 61 - 72 Er gennemgået, men ikke så strengt matematisk som i bogen.

Lærebog i matematik B2 s. 77 - 88 Vi har arbejdet med andre eksempler, men indholdet er tilsvarende.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Deskriptiv statistik

I dette forløb er der ingen beviser. Til gengæld er der en masse fagbegreber, man skal kunne jonglere med.

Man skal både kende disse begreber og vide hvordan, de beregnes/findes

Grupperede observationer vs. ugrupperede observationer. - hvornår bruges det ene og det andet
-Typetal/typeinterval
- Observationsbredde
- Intervalbredde
- Pindediagram
- Hyppighed/intervalhyppighed
- Frekvens/intervalfrekvens og kumuleret frekvens
- Middelværdi/middeltal/gennemsnit
- Kvartiler - median, nedre og øvre kvartil
- Spredning og stikprøvespredning (herunder varians)
- Outlier
- Højreskævt/venstreskævt/symmetrisk
- Fraktil
- Boksplot
- Histogram
- Sumkurve

Lærebog i matematik B1 s. 193 - 211

Til slut introduceres også stokastiske variable (som egentlig hører mere til sandsynlighedsregning), da vi i det næste forløb begynder at koble sandsynlighedsregning og statistik.

Det er lidt anderledes end almindelige variable, da de tæller udfald af et tilfældighedseksperiment.

Man skal kunne regne middelværdi, varians og spredning for en stokastisk variabel.

Lærebog i matematik B2 s. 204 - 210
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Binomialfordeling og - test

Dette forløb ligger umiddelbart i forlængelse af forløbet om statistik samt kombinatorik og sandsynlighedsregning.

Vi har allerede introduceret stokastiske variable og nu skal vi kigge nærmere på en bestemt type eksperiment:
Binomialeksperiment: n uafhængige gentagelser, 2 udfald, p angiver sandsynligheden for udfaldet succes.
Man skriver X~b(n,p)

Vi skal også kunne regne middelværdi og spredning for en binomialfordelt stokastisk variabel.

Der ud over skal vi lave en slags pseudobevis/argument ud fra taleksempel på formlen til beregning af specifikke sandsynligheder for en binomialfordelt stokstisk variabel.

Herefter skal vi kigge på hvordan binomialfordelingen kan bruges til at lave hypoteserest.
Man skal have styr på følgende fagbegreber:
- Nulhypotese
- Signifikansniveau
- Fejltyper
- Acceptområde

Og ikke mindst skal man have styr på, hvordan man regner med binomialsandsynligheder og binomialtest i Maple.

Lærebog i matematik B2 s. 211 - 220 samt 229 - 234.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Analytisk geometri

Analytisk geometri handler om geometri i et koordinatsystem.

Dette forløb passer ikke til nogle af lærebøgerne så I har fået udleveret et indscannet kapitel fra en anden lærebog om det. (Analytisk geometri - Systime)

Vi skal arbejde med beregning af:
- Afstand mellem to punkter (bevises)
- Midtpunkt af et linjestykke mellem to punkter (bevises)
- Cirklens ligning
- Kvadratkomplettering af cirklens ligning
- Sammenhæng mellem linjens hældningskoefficient og vinklen med x-aksen (bevises)
- Skæring mellem linjer
- Skæring mellem linje og cirkel
- Produktet af hældningskoefficienter for to ortogonale linjer (bevises)
- Afstand fra punkt til linje (bevises)

Dette kan man læse om på siderne i det udleverede materiale fra
Lærebog i matematik A1 s. 121 - 140

Desuden skal vi se hvornår det kan være hensigtsmæssigt at bruge henholdsvis Maple og Geogebra til løsning af opgaver.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13 Enigma

Som det sidste tager vi et kort historisk forløb om den tyske kodemaskine Enigma.

Vi skal se på kryptering generelt og dernæst regne på, hvor mange forskellige indstillingsmuligheder, maskinen havde.
Ud fra det, kan vi kigge på, hvorfor det var så svært at bryde koden.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer