Holdet 2024 Ma/Ma - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2024/25
Institution Skolerne i Oure Sport & Performance
Fag og niveau Matematik B
Lærer(e)
Hold 2024 Ma/Ma (3.g Ma Malthe)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 GRUNDFORLØB - Lineære funktioner mm.
Titel 2 Renter, indekstal og annuitetsregning
Titel 3 Eksponentialfunktioner
Titel 4 Potensfunktioner
Titel 5 Deskriptiv statistik
Titel 6 Kombinatorik og sandsynlighed
Titel 7 Binomialfordeling og - test
Titel 8 Polynomier
Titel 9 Differentialregning
Titel 10 Vektorregning og trigonometri
Titel 11 Analytisk geometri
Titel 12 Trigonometriske funktioner

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 GRUNDFORLØB - Lineære funktioner mm.

I grundforløbet har vi arbejdet med:

Lineære funktioner:
- Forskrift f(x)=ax+b
- Graftisk betydning af a og b
- Tegning af og aflæsning på grafer
- Beregning af skæringspunkt med begge akser
- Beregning af forskrift ud fra 2-punkts-formler
- Beviser for 2-punkts-formler
- Parallelel linjer
- Undersøgelse af om et givet punkt ligger på en given linje ved beregning
- Ligefrem proportionalitet (en afart af lineære funktioner hvor b=0 og a oftest er positiv)
- Lineær regression i geogebra
- Forståelse af mindste kvadraters metode
- Tegning af residualplot i Geogebra og fortolkning af disse
- Forklaringsgrad/korrelationskoefficient (R^2) er nævnt, men vi har ikke arbejdet med dette.


Der ud over har vi arbejdet med:
- Ligningsløsning for førstegradsligninger
- Potensregneregler
- Løsning af 2 ligninger med 2 ubekendte ved hjælp af substitutionsmetoden
- Regning med brøker og parenteser
- Kende forskel på hvordan man løser opgaver ved beregning og ved tegning/aflæsning
- Kvadratsætninger
- Stykkevist lineære funktioner og hvordan man opskriver forskrifter for disse og tegner dem i Geogebra vha. Hvis( )-kommendo

Emnet er gennemgået med udgangspunkt i https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Matematik_i_grundforloebet.pdf
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 2 Renter, indekstal og annuitetsregning

Vi skal i dette forløb arbejde med procentvis vækst - specielt i form af renter, opsparing og gæld.
Vi skal dog også kort kigge på hvordan man bruger det til at regne med indekstal.

Kernebegreber:

Renteformlen - og de enkelte dele af denne.
- Hvordan udledes den? Hvordan isoleres de forskellige størrelser? Hvad er sammenhængen mellem fremskrivningsfaktor og vækstrate.

Renter i forskellige terminer.
- Hvordan omskriver man fra årlig til månedlig rente - og tilbage igen. Alternativt kvartalsvis, ugevis osv.
- Hvordan regner man på gennemsnitlig rente.

Indekstal
- Hvad er "basisår". Hvordan frem- og tilbageskrives værdier vha. indekstal.
- Hvordan bestemmes indekstal ud fra faktiske værdier.

Annuitetsopsparing og gæld
- Hvad er forskellen på om man skal bruge renteformlen eller annuitetsopsparingsformlen?
- Bevis for annuitetsopsparingsformlen.
- Hvorfor er det sværere at regne på opsparing.
- Hvordan kan man ved hjælp af et regneark lave en annuitetsopsparingstabel?
- Hvad betyder de enkelte bogstaver i annuitetsopsparingsformlen og i gældsformlen?
- Hvordan regner man på afbetaling af gæld ud fra et regneark.

Vi skal undervejs lave et projekt om kviklån for at kigge på den konkrete betydning af rentens størrelser og vigtigheden af ÅOP.

https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Renter_og_annuiteter.pdf
Vi har i forløbet arbejdet med s. 5 - 25 i dette hæfte.
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 3 Eksponentialfunktioner

Dette emne bygger i princippet videre på forløbet om renter.
Eksponentielle funktioner vokser nemlig også med en bestemt procent, hver gang, x vokser.

Fagbegreber, man skal kende og forstå i dette forløb:

Funktionsforskrift f(x)=b*a^x
- Betydningen af a og b
- Koblingen til renteformlen
- Sammenhængen mellem fremskrivningsfaktoren og vækstraten
- Grafens udseende

Topunktsformler til beregning af a og b ud fra to givne punkter
- Beviset for disse formler
- Regning med disse formler

Fordoblings- og halveringskonstant
- Grafitsk forståelse
- Formler til beregning - inkl. bevis af disse form.er

Vi har brugt siderne 23 - 28 i https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Funktioner.pdf

Vi har i forlængelse af dette forløb arbejdet med logaritmer på s. 29 - 33 i https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Funktioner.pdf
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 Potensfunktioner

I dette forløb beskæftiger vi os med den sidste funktionstype, som vi skal arbejde med på C-niveau.
Potensfunktioner f(x)=b*x^a

Man skal efter dette forløb have styr på følgende faglige begreber

Funktionsforskrift
- Betydningen af a og b - herunder hvorfor grafen går igennem (1,b)
- Grafisk udseende (der er mange forskellige muligheder)
- Begrænsninger for x og y

Specifikt har vi også kigget på at når a = -1 så er der tale om en omvendt proportionalitet og når a = 1, er der tale om en ligefrem proportionalitet (som også er en lineær funktion hvor b = 0)

To-punktsformler til bestemmelse af a og b
- Bevis for disse
- Hvordan man regner med disse (herunder lidt træning i logaritmeregneregler)

Vækstegenskaber
- "procent-procent-vækst": Når x vokser med en bestemt procentdel, så vokser y med en (anden) bestemt procentdel.
- Dette kan også udtrykkes ved at "når x ganges med k, så bliver y ganget med k^a
- Bevis for denne egenskab

I dette emne har vi arbejdet med siderne 35 - 39 i https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Funktioner.pdf
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 5 Deskriptiv statistik

I dette forløb er der ingen beviser. Til gengæld er der en masse fagbegreber, man skal kunne jonglere med.

Man skal både kende disse begreber og vide hvordan, de beregnes/findes

Grupperede observationer vs. ugrupperede observationer. - hvornår bruges det ene og det andet
-Typetal/typeinterval
- Observationsbredde
- Intervalbredde
- Pindediagram
- Hyppighed/intervalhyppighed
- Frekvens/intervalfrekvens og kumuleret frekvens
- Middelværdi/middeltal/gennemsnit
- Kvartiler - median, nedre og øvre kvartil
- Spredning og stikprøvespredning (herunder varians)
- Outlier
- Højreskævt/venstreskævt/symmetrisk
- Fraktil
- Boksplot
- Histogram
- Sumkurve

Vi har i den forbindelse arbejdet med s. 5-25 i https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Statistik.pdf
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 6 Kombinatorik og sandsynlighed

Vi hr udskudt dette emne fra C-niveau, da jeg regner med at tage kombinatorik og sandsynlighedsregning først og så koble det direkte til binomialfordeling og hypotesetest.

Vi skal arbejde med følgende fagbegreber:

Kombinatorik
- Fakultet
- Multiplikationsprincip ("både - og")
- Additionsprincip ("Enten - eller")
- Permutationer (og formel til beregning af dette) P(n.r)
- Kombinationer (og formel til beregning af dette) K(n,r)
- Pascals trekant

Sandsynlighedsregning
- Udfaldsrum
- Hændelse (antal gunstige divideret med antal mulige)
- Sandsynlighed
- (Endeligt) sandsynlighedsfelt
- Symmetrisk sandsynlighed

Vi har også set på hvordan multiplikationsprincippet og additionsprincippet også kan bruges i sandsynlighedsregning, samt hvordan formlen for mulige kombinationer kan dukke op når man skal udregne sandsynligheder.

Derefter skal vi så i gang med at introducere stokastiske variable samt regning med disse.
Det er lidt anderledes end almindelige variable, da de tæller udfald af et tilfældighedseksperiment.

Man skal kunne regne middelværdi, varians og spredning for en stokastisk variabel.


I dette forløb har vi arbejdet med siderne 5 - 19 i
https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Sandsynlighedsregning.pdf
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 7 Binomialfordeling og - test

Dette forløb ligger umiddelbart i forlængelse af forløbet om kombinatorik og sandsynlighedsregning.

Vi har allerede introduceret stokastiske variable og nu skal vi kigge nærmere på en bestemt type eksperiment:
Binomialeksperiment: n uafhængige gentagelser, 2 udfald, p angiver sandsynligheden for udfaldet succes.
Man skriver X~b(n,p)

Vi skal også kunne regne middelværdi og spredning for en binomialfordelt stokastisk variabel.

Der ud over skal vi lave en slags pseudobevis/argument ud fra taleksempel på formlen til beregning af specifikke sandsynligheder for en binomialfordelt stokstisk variabel.

Herefter skal vi kigge på hvordan binomialfordelingen kan bruges til at lave hypoteserest.
Man skal have styr på følgende fagbegreber:
- Nulhypotese
- Signifikansniveau
- Fejltyper
- Acceptområde

I forlængelse heraf kigger vi på, hvordan vi i nogle tilfælde kan "låne" egenskaber fra normalfordelingen til at udtale os om binomialfordelingen. Dette kaldes normalfordelingsapproksimation.

Det skal vi buge til at udlede formlen til beregning af et 95% konfidensinterval.

I dette forløb har vi arbejdet med siderne 21 - 37 i
https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Sandsynlighedsregning.pdf
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 8 Polynomier

Vi starter med at kigge på polynomier generelt.

Man skal kunne se koblingen mellem graden af polynomiet og grafens udseende.
Graden af polynomiet angiver det højst mulige antal rødder.
Faktorisering af polynomier.

Herefter dykker vi længere ned i emnet om andengradspolynomier f(x) = ax^2 + bx + c
- Koefficienternes betydning for grafens (parablens) udseende.
- Formel for diskriminant og rødder.
- Toppunktsformel (vi beviser den først når vi har haft differentialregning)

Vi har i dette forløb arbejdet med siderne 41 - 52 i
https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Funktioner.pdf
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 9 Differentialregning

Så går vi i gang med det tunge emne i år.

Vi starter med at trille en bold ned ad et skråplan og snakke om gennemsnitshastigheder og øjeblikshastigheder.
Dette kobles til hældning for sekanter og tangent - og så er vi i gang.

f'(x) defineres som hældningskoefficienten for en tangent. Dette gøres vha. sekanter og grænseværdi.

Herefter skal vi bevise en masse regneregler for differentation af forskellige funktioner og træne brugen af disse.

For følgende funktioner har lavet beviser for differentialkvotient:
- k
- x^2
- x^n (vi ser den i form af et induktionsbevis)
- sqrt(x)
- ax+b
- 1/x
- k·f(x)
- f(x)+g(x)
- f(x)-g(x)
- f(x)·g(x)
- f(g(x)) (ikke bevist endnu)

Vi skal også tale om forskellen på differentialkvotient og afledet funktion.

Når vi har de grundlæggende regler på plads, kan vi begynde at anvende differentialregningen.
- Vi skal bevise toppunktsformlen for andengradspolynomier
- Vi skal udlede tangentens ligning
- Vi skal kigge på hvordan differentialregning kan bruges til at bestemme monotoniforhold og ekstrema - både med og uden hjælpemidler
- Vi skal til slut kigge på hvordan differentialregning kan bruges til at løse optimeringsproblemer.

I dette forløb har vi arbejdet med siderne 5 - 48 i
https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Differentialregning.pdf
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 10 Vektorregning og trigonometri

Inden vi gik i gang med vektorer havde vi en kort introduktion til enhedscirklen og hvordan sinus og cosinus defineres her ud fra. Tangens er også nævnt kort. Man skal altså også kunne den grundlæggende definition af sin, cos og tan.
Til denne defintion har vi taget udgangspunkt i:
https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-c/trigonometri/cosinus-og-sinus   og
https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-c/trigonometri/tangens

Vi har desuden arbejdet med regning med ensvinklede trekanter samt bevis for pythagoras sætning og relationer for sin, cos og tan i retvinklede trekanter.

Herefter er vi gået i gang med vektorregning, som vi ikke er nået at blive færdige med. Så det fortsættes efter sommer sammen med den analytiske geometri.

Indtil nu skal man kunne:

Forklare hvad en vektor er (længde og retning) samt hvordan man opskriver og tegner vektorer.

Hvordan man regner med vektorer:
- sum (+) - hvordan illustreres det grafisk
- differens (-) - hvordan illustreres det grafisk
- gange med tal (både positive og negative) og hvad dette betyder for vektorens udseende
- Stedvektor
- Tværvektor/hatvektor
- Længden af en vektor (bevis vha. Pythagoras)
- skalarprodukt/prikprodukt - og hvad det kan sige om vinklen mellem vektorerne.
- determinant - og sammenhængen med arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne.

I dette forløb har vi arbejdet med siderne 5 - 10 i https://www.mathematicus.dk/matematik/gamleudgaver/Geometri_i_planen_1-5.pdf (bemærk ikke den nyeste version)
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 11 Analytisk geometri

Vi fortsætter hvor vi slap inden sommer - nemlig med vektorer.

Vi skal starte med at bevise nogle af de sætninger, vi arbejdede med i slutningen af forløbet om vektorregning.
- Sammenhæng mellem skalarprodukt og vinkel mellem vektorer
- Sammenhæng mellem determinant og areal af parallelogram
- Projektion af vektor på vektor

Derefter går vi i gang med:
- Parameterfremstilling for en ret linje (illustreret ved tog)
- Linjens ligning på formen ax+by+c=0
- Cirklens ligning - herunder kvadratkomplettering
- Afstand fra punkt til linje ("dist-formlen")

Og når vi har styr på det, skal vi prøve at se på alle de forskellige måder man kan løse opgaver med disse.
Eksempelvis:
- Hvordan man bestemmer skæring mellem linje og cirkel.
- Hvordan man omskriver mellem de forskellige udtryk for en linje.
- Hvordan man bestemmer en tangent til en cirkel

Vi har i dette forløb arbejdet med siderne (17 - 27 - færdiggøres fra sidste år) 43 - 58 i
https://www.mathematicus.dk/matematik/gamleudgaver/Geometri_i_planen_1-5.pdf
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 12 Trigonometriske funktioner

Dette bliver et lille kort forløb uden beviser.

Vi skal først introducere radianer, hvor 360 grader svarer til 2π

Derefter skal vi kigge på sinus og cosinus som funktioner af radiantallet. Vi skal dog kun gå i dybden med sinus.

f(x) = sin(x) skaber en bølgefunktion med perioden 2π og amplituden 1.

Den kan vi så manipulere med ved at tilføje nogle konstanter:

f(x) = A·sin(b·x + c) + d

A er amplituden
b er vinkelfrekvensen (antal hele svingninger i løbet af 2π)
c påvirker den vandrette parallelforskydning med omvendt fortegn
d er ligevægtspositionen (lodret parallelforskydning)

Desuden skal man vide hvordan man udregner perioden T
Og hvordan man kan løse ligninger med denne funktionstype i givne intervaller.

Vi har arbejdet med siderne 55 - 63 i
https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Funktioner.pdf
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer