Holdet 22-t-MA - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2022/23 - 2024/25
Institution Haderslev Katedralskole
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Annemette Bengtson, Nils-Christian Glöe
Hold 22-t-MA (22-t-MA, 22-t-MA, 22-t-MA)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Deskriptiv statistik
Titel 2 Eksponentielle funktioner og matematiske modeller
Titel 3 Proportionalitet og potensfunktioner
Titel 4 Vektorer
Titel 5 Annuiteter
Titel 6 Funktionsteori og andengradspolynomiet
Titel 7 Polynomier
Titel 8 Analytisk geometri
Titel 9 Optakt til differentialregning
Titel 10 Differentialregning
Titel 11 Trigonometriske funktioner
Titel 12 Sandsynlighedsregning og binomialtest
Titel 13 Ulighed
Titel 14 Integralregning
Titel 15 Konfidensintervaller
Titel 16 Differentialligninger
Titel 17 Vektorfunktioner
Titel 18 Normalfordeling
Titel 19 Funktioner af to variable
Titel 20 Sandsynlighedsregning
Titel 21 Repetition og eksamenstræning

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Deskriptiv statistik


Ugrupperede og grupperede datasæt med udgangspunkt i egne data.
Tilhørende statistiske deskriptorer og diagrammer, herunder sammenligning og fortolkning.
Særligt fokus på brugen af maple som hjælpemiddel.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 2 Eksponentielle funktioner og matematiske modeller

- Procenter og indekstal
- Renteformlen og omskrivninger af den
- Argument for renteformlen ud fra eksempel.
- Eksponentielle funktioner, herunder forskriften og betydningen af parametrene a og b for grafens udseende.
- Beregning af forskrift ud fra 2 punkter.
- Eksponentiel regression, med et særligt fokus på opstillingen og fortolkningen af matematiske modeller.
- Fordobling og halvering, grafisk aflæsning og  anvendelse af formel
- Den naturlige logaritmefunktion og omskrivning til formen f(x)=c*e^kx
- Definition af titalslogaritmen og den naturlige logaritme som omvendte funktioner til eksponentialfunktioner. Kort gennemgang af logaritmeregnereglerne.


Beviser:
Skæringspunkt med y-aksen i (0,b).
Bestemmelse af a og b ud fra 2 punkter
Formlen til beregning af fordoblingskonstanten
Logaritmeregnereglen log(a^x)=x*log(a)

Der blev desuden arbejdet med videnskabteoretiske overvejelser omkring forskellen på empirisk og formel videnskab i forbindelse med matematiske modeller.

Supplerende:
- Beregning af ginikoefficient som et eksempel på en anvendt matematisk model.
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 3 Proportionalitet og potensfunktioner

- Ligefrem og omvendt proportionalitet
- Grafen og forskriften for potensfunktioner, herunder også forudsætninger og begrænsninger.
- Kendskab til potensregnereglerne.
- Bestemmelse af forskrift ud fra to kendte punkter, inkl. bevis
- Bestemmelse af forskrift vha. potensregression i maple
- Potensfunktioners vækstegenskaber, inkl. bevis
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 Vektorer

Vektorers koordinater. Betydning og notation.
Længden af en vektor, inklusive udledning.
Regning med vektorer (sum, differens, multiplikation med konstant) og grafisk fortolkning af regneoperationerne.
Forståelse af begrebet enhedsvektor.
Indskudssætningen
Skalarproduktet for vektorer og tilhørende regneregler
Tværvektor
Determinanten for vektorer og dens anvendelse til arealbestemmelse
Definition af sinus og cosinus som koordinaterne til retningspunktet hørende til en stedvektor i enhedscirklen.
Retningsvinklen for en vektor med særligt fokus på håndteringen af grader og radianer i maple.
Beregning af vinklen mellem vektorer vha. formel.
Sammenhængen mellem ortogonale vektorer og skalarprodukt.
Løsning af vektorligninger.
Grafisk forståelse af vektorprojektion og beregning ved brug af formel.
- Anvendelse af sinus- og cosinusrelationerne til trekantsberegninger

Beviser:
- Indskudssætningen ved brug af vektorernes koordinater
- Formlen til beregning af længden af en vektor.
- Formlen for vektorprojektion
- Formlen til bestemmelse af vinklen mellem vektorer, herunder beviset for skalarproduktets uafhængighed af koordinatsystem og bevis for cosinusrelationen


Supplerende beviser:
- Regneregler for skalarproduktet. Udledning med udgangspunkt i egne eksempler (tilrettelagt som gruppearbejde).
- Udledning af sinusrelationerne med udgangspunkt i determinanten.

Særlige fokuspunkter:
Anvendelse af korrekt notation og de korrekte matematiske begreber.
Bevisførelse, strukturering og opbygning af argumenter.

Materiale:
- Per Gregersen m.fl.: Kernestof Mat 1, Lindhardt og Ringhof: side 90-101, 182, 184-196, 198-199 (øverst)
- Egen note om indskudssætningen
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 19 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 6 Funktionsteori og andengradspolynomiet

- Grundlæggende funktionsteori med en afgrænsning af funktionsbegrebet, bestemmelse af definitions- og værdimængde og en grafisk forståelse af begrebet asymptote.
- Grafisk bestemmelse af ekstremumsværdier og monotoniforhold.
- Stykkevist definerede funktioner

Andengradspolynomier:
- Graf og forskrift. Parablens egenskaber og koefficienternes betydning.
- Beregning af toppunktets koordinater
- Grafisk betydning af begrebet rødder, diskriminantens betydning og løsning af andengradsligninger.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 7 Polynomier

Med udgangspunkt i andengradspolynomiet udvides polynomiumsbegrebet til  polynomier af grad n og en mere generel behandling af grafernes forløb, rødder og faktorisering.
Bestemmelse af en forskrift ud fra en række kendte punkter udføres i hånden i forbindelse med andengradspolynomier.
Ved polynomier af højere grad bestemmes forskriften ved polynomiumsregression i maple.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 8 Analytisk geometri

Omdrejningspunktet for forløbet har været punkter, linjer og cirkler, deres notation, repræsentationsformer og placering i forhold til hinanden.

Ligning og parameterfremstilling for den rette linje samt omskrivninger mellem disse. Fokus på algebraiske færdigheder.
Bestemmelse af hældningskoefficient og hældningsvinklen.
Substitutionsmetoden blev anvendt til at bestemme skæringspunkter mellem linjer og mellem linje og cirkel. Linjerne kunne repræsenteres ved både ligning og parameterfremstilling. Der blev desuden arbejdet med løsningen af ligningssystemer i maple.
Formler til beregning af afstanden mellem punkter og mellem punkt og linje, inklusive bevis.
Udledning af cirklens ligning og konstruktion af cirkeltangent.
Omskrivning af cirklens ligning og kvadratkomplettering.

Mange af konstruktionsopgaverne blev løst med Geogebra som værktøj.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 9 Optakt til differentialregning

Forløbet introducerer en bredere forståelse af funktionsbegrebet.
Der arbejdes med, hvordan der kan regnes med funktioner, hvordan funktioner kan sammensættes, og hvordan deres grafer kan parallelforskydes.
Regningen med funktioner bruges konkret i en simpel modelsammenhæng med henblik på optimeringen af overskuddet i en virksomhed ud fra pris, omsætning og omkostninger.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 10 Differentialregning

Kapitlerne 7,8 og 9 Kernestof 2 danner grundlaget for forløbet.

- Grundlæggende forståelse af differentialkvotienten som hældningen på tangenten til en graf i et bestemt punkt.
- Betydning af f'-notationen og den afledte funktion.
- Anvendelse af differentialkvotienten som et mål for væksthastigheden i matematiske modeller.
- Betingelser for, at en funktion kun kan differentieres i et givet punkt, hvis den er glat og kontinuert.
- Anvendelse af regneregler til at bestemme den afledte funktion uden brug af hjælpemidler. Særligt fokus på differentiation af polynomier.
- Tilnærmelsen af tangenten ved brug af en sekant med særligt fokus på begrebet grænseværdi.
- Tretrinsreglen som metode til at udlede differentialkvotienter og bevise regneregler.
I fællesskab blev der arbejdet med beviserne for differentiation af lineære funktioner, en konstant funktion, et simpelt andengradspolynomium (f(x)=ax^2), sumreglen og produktreglen.
- Sammenhæng mellem grafen for en funktion og dens afledte funktion. Bestemmelse af monotoniforhold og ekstremumspunkter.
Hertil hører også et bevis for toppunktsformlen for andengradspolynomier.
- Bestemmelse af tangentens ligning.
- Anvendelser af differentialregning til at bestemme væksthastigheden i matematiske modeller og til optimering.

- Bestemmelse af den dobbelt afledede funktion og brugen af denne til at analysere krumningsforholdet af en funktion og bestemme eventuelle vendepunkter samt vendetangenten.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 11 Trigonometriske funktioner

Grundlæggende forståelse af funktionerne f(x)=sin(x) og f(x)=cos(x) og deres periodiske opførsel.
Harmoniske svingninger, herunder konstanternes betydning og ligningsløsning i forbindelse med periodiske modeller.

Bevis for sætningerne om perioden og faseforskydningen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 12 Sandsynlighedsregning og binomialtest

Forløbet er sammensat af grundlæggende sandsynlighedsregning og kombinatorik med en gennemgang af kapitel 4 i Kernestof 1 og binomialfordelingen, binomialtest og konfidensintervaller med udgangspunkt i kapitlerne 5,6 og 10 i Kernestof 2.
Herunder hører:
- Anvendelse af begreberne udfald, udfaldsrum, sandsynlighed og hændelse i forbindelse med praktiske eksperimenter som terningekast, kortspil og lykkehjul. Hertil hører også en forståelse af forskellen mellem a priori og frekvensbaserede sandsynligheder.
- Betingelser for opstillingen af sandsynlighedsfelter, herunder symmetrisk og ikke symmetrisk sandsynlighedsfelt.
- Grundlæggende regneprincipper for sandsynligheder
- Kombinatorik, herunder kendskab til fakultet og særligt forskellen på permutationer og kombinationer. Introduktion til og anvendelse af Pascals trekant.
- Generel opstilling af sandsynlighedsfordelinger med beregning af middelværdi og spredning, hertil hører en overfladisk introduktion til begrebet stokastisk variabel.
- Kendetegn ved et binomialeksperiment, opstilling af pindediagram og beregningen af sandsynligheder i en binomialfordeling hovedsageligt vha. maple.
- Udledning af formlen for punktsandsynligheden i en binomialfordeling med udgangspunkt i et eksempel.
- Opstilling af nulhypotese, samt udførelse og fortolkning af tosidet og ensidet binomialtest
- Fejltyper, skjult variabel og bias
- Grundlæggende kendskab til normalfordelingskurven og forskellen på en diskret og en kontinuert fordelingsfunktion og muligheden for approksimation. Beregning af sandsynligheder i en normalfordeling i maple, som blev brugt til at finde procentandelen for de normale og exceptionelle udfald.
- Anvendelse af konfidensintervaller til at udtale sig om den reelle andel i en population ud fra en stikprøveandel. Hertil hører en forståelse af statistisk usikkerhed og fortolkningen af konfidensintervallerne.
Udledning af formlen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 13 Ulighed

Optakt til SRO

Ginikoefficienten som matematisk model. Herunder opdelingen i deciler og de kumulerede værdier.

Beregning af ginikoefficienten vha. stykkevist lineære funktioner, herunder brug af en gaffelforskrift som notationsform.
Kendskab til stamfunktioner og bestemte integraler og deres anvendelse til beregning af arealer under en graf og mellem to grafer i et givent område.

Bestemmelse af Robin-Hood indekset (den maksimale udjævningsprocent) som maksimum af differensfunktionen mellem den lige fordeling og Lorenzkurven.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 14 Integralregning

Her arbejdes der mere teoretisk med integraler, herunder
- regneregler for ubestemte og bestemte integraler inklusive bevis
- stamfunktionens graf, herunder integrationskonstantens betydning og sammenhængen med den oprindelige funktion
- udledning af formlerne for arealet under grafen, over grafen og mellem grafer.
- anvendelse af indskudssætningen sammen med arealformlerne til bestemmelse af arealer, hvor kurven skærer x-aksen.
- udledning af formlen til bestemmelse af rumfanget for et omdrejningslegeme
- anvendelse af integralregning til bestemmelsen af rumfanget for et hult omdrejningslegeme og kurvelængden for grafen i et bestemt interval.
- integration ved substitution for bestemte og ubestemte integraler.

Der blev desuden arbejdet med numerisk integration, hvor vi kiggede på sammenhængen mellem midtsummer og det bestemte integral. I denne forbindelse blev sumtegnet introduceret som matematisk notation og værktøj.

Forløbet blev afsluttet med en temaopgave i grupper, hvor et 3D-objekt skulle analyseres vha. integralregning.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 15 Konfidensintervaller

Normalfordelingsapproksimation, forskel på diskret og kontinuert sandsynlighedsfordeling.
Bestemmelse af 95%-konfidensinterval for en sandsynlighedsparameter p inklusive et bevis for formlen.
Bestemmelse af normale og exceptionelle udfald.

Baggrundsviden omkring lineær regression.
Betydningen af "den bedste rette linje".
Herunder den formaliserede definition af residualer, samt den basale tankegang bag mindste kvadraters metode.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 16 Differentialligninger

Indhold:
- Hvad er en differentialligning og hvordan ser en løsning ud?
- Metoder til at afgøre om en given funktion er en løsning.
- Bestemmelse af fuldstændige og partikulære løsninger ud fra givne begyndelsesbetingelser vha. maple (CAS).
- Formel til løsning af den proportionale differentialligning
- Bestemmelse af væksthastighed og tangentligningen ud fra en differentialligning
- Linjeelementer og hældningsfelt
- Formel til løsning af den logistiske differentialligning
- Arbejde med væksthastigheden i matematiske modeller
- Opstilling af differentialligninger ud fra sproglig beskrivelse
- Forståelse af forskudt eksponentiel vækst ud fra tidligere viden om parallelforskydning og gennemgang af løsningsformlen til den tilhørende differentialligning
- Løsningen af lineære førsteordens differentialligninger (panserformlen)
- Løsning af separable differentialligninger ved separation af de variable

Beviser:
- Bestemmelse af den fuldstændige løsning til den proportionale differentialligning.
- Den maksimale væksthastighed for logistiske vækstfunktioner
- Løsningsformlen til differentialligningen hørende til forskudt eksponentiel vækst
- Løsningen af separable differentialligninger (i tillægsnoten)


Supplerende indhold:
- Egenskaber ved logistiske vækstfunktioner, herunder grafens asymptotiske forløb med mætningsværdien M som øvre grænse, bestemmelse af den maksimale væksthastighed og logistisk regression.

Materiale:
Nørregaard & Gregersen (2019), Kernestof Mat 3, Lindhardt og Ringhof Uddannelse, København, s. 100-111, 120-126
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 17 Vektorfunktioner

Indhold:
- Centrale begreber hørende til emnet
- Kendskab til parameterfremstillingerne for en ret linje og cirklen
- Tegning af banekurver i maple
- Bestemmelse af skæringspunkter med koordinatakserne og dobbeltpunkter
- Hastighedsvektor, herunder dens grafiske betydning, accelerationsvektor og bestemmelse af farten som længden af hastighedsvektoren.
- Bestemmelse af tangenter til punkter på banekurven, herunder lodrette og vandrette tangenter
- Som en selvstændig læseøvelse blev der arbejdet med kurvelængden for en parameterkurve mellem to punkter og det overstrøgne areal.
- Bevis for løsningsformlen til bestemmelse af kurvelængden.

Materialer:
Nørregaard & Gregersen (2019), Kernestof Mat 3, Lindhardt og Ringhof Uddannelse, København, s. 84-91

Vestergaard, E., "Vektorfunktioner - kurvelængde og areal"
URL: https://matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/tillaeg_vektorfunktioner_kurvelaengde%20og%20areal.pdf
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 18 Normalfordeling

Indhold:
- Definition af tæthedsfunktionen for en normalfordeling med given middelværdi og spredning. Tegning af Gauss-kurven i maple og forståelse af dens symmetriske opbygning.
- Middelværdiens og spredningens betydning for kurvens udseende.
- Beregning af sandsynligheder ved brug af integralregning og ved brug af maple som hjælpemiddel.
- Normale og exceptionelle udfald
- Kendskab til fordelingsfunktionens definition og forståelse af dens grafiske forløb, herunder middelværdiens og spredningens betydning for grafens udseende.
- Vurdering af et datasæt ud fra et normalfordelingsplot (QQ-plot) ud fra egne data og givne eksempler
- Standardnormalfordelingen og beregningen af sandsynligheder i en given normalfordeling ved transformation til standardnormalfordelingen.
- Bevis for sætningen
- Anvendelse af CAS til at tegne et qq-plot over residualerne og at bestemme konfidensintervallet for hældningen af en regressionslinje.
- Kendskab til den inverse standardnormalfordeling og omskrivningen til en lineær graf som forklaring på opbygningen af et qq-plot. Hertil hører brugen af Excel til at bestemme den inverse standardnormalfordeling til et datasæt.


Materialer:
Nørregaard & Gregersen (2019), Kernestof Mat 3, Lindhardt og Ringhof Uddannelse, København, s. 46-57
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 19 Funktioner af to variable

Indhold:
- Forskrift og graf for funktioner af to variable
- Bestemmelse af funktionsværdier
- Overvejelser omkring defifnitionsmængden
- Grafisk og teoretisk forståelse af niveaukurver og snitfunktioner
- Bestemmelse af de partielle afledede, samt definitionen af gradienten og dens fortolkning
- Formlen for tangentplanen til en funktion af to variable i et givent punkt
- Bestemmelse af stationære punkter og bestemmelse af deres art ved brug af både formler og ved brug af hjælpemidler
- SMEC-modellen præsenteres som et perspektiverende eksempel uden nærmere gennemgang

Materialer:
Nørregaard & Gregersen (2019), Kernestof Mat 3, Lindhardt og Ringhof Uddannelse, København, s. 134-141
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 21 Repetition og eksamenstræning

Repetition og uddybelse af fagligt stof fra tidligere forløb og målrettet øvelse i faglig mundtlighed og bevisfremførelse.
Dertil kommer et matematikhistorisk indhold omkring nogle af Platons og Euklids beskrivelser af matematiske problemer. Der lægges særligt vægt på matematikkens strukturelle opbygning.
Der kigges desuden på bevisførelse ved brug af geometrisk algebra.



Materiale:
Bertelsen, A. (2010), "Når matematikken slår rødder", Systime, s. 8-12
Aaboe, A. (1986), "Episoder fra matematikkens historie", 2. udg., Borgens Forlag, s. 45-49, 60-63
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer