Holdet 22-g-MA.2 - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2024/25
Institution Haderslev Katedralskole
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Erik Vestergaard
Hold 22-g-MA.2 (22-g-MA.2)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Differentialregning - repetition af 2g-stof
Titel 2 Integralregning
Titel 3 Differentialligninger
Titel 4 Funktioner af to variable
Titel 5 Vektorfunktioner
Titel 6 Normalfordelingen og lineær regressionsanalyse
Titel 7 Forberedelsesmaterialet
Titel 8 Repetition med mere

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Differentialregning - repetition af 2g-stof

Forløbet handlede om at samle ting op fra differentialregningen, som blev gennemgået i 2g med henblik på at have fælles grundlag der. Der blev fokuseret på at forstå begrebet differentialkvotient og øve på beviser, som kan komme i den mundtlige matematik. Derudover at kunne løse skriftlige opgaver i emnet: Monotoniforhold, regne differentialkvotienter ud med og uden hjælpemidler.

Kontinuert funktion Løst), differenskvotient, differentialkvotient, tretrinsreglen til udledning af differentialkvotienter. I mit tillæg "Begrebet differentialkvotient (GeoGebra animation)" har jeg vist, hvordan differentialkvotienten fås som en grænseværdi af differenskvotienten, jf. trin 3 i tretrinsreglen.

Differentialkvotienten er udledt for et generelt andengradspolynomium samt for f(x) = 1/x. Regneregler for differentialregning er gennemgået, med beviser for sum- og produktregel. Differentiation af sammensat funktion forklaret, så der kan regnes med reglen. En ligning for tangenten til grafen for funktionen f i et grafpunkt er udledt. Funktionen numerisk x vises at være et godt eksempel på en funktion, som ikke er differentiabel i x0 = 0. Endvidere er det pointeret, at hvis en funktion er differentiabel i et punkt x0, så er den også kontinuert der. Differentiabilitet er med andre ord en stærkere egenskab end kontinuitet!

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 2 Integralregning

Indledning: Hvad er en stamfunktion? Vi "gætter" først stamfunktioner og prøver så at differentiere. Vi ser et eksempel på, hvordan stamfunktioner på næsten mirakuløs måde kan bruges til at bestemme arealer med.

Entydighed af en stamfunktion op til en additiv konstant (bevis for), Vise, at en given funktion er en stamfunktion ved at differentiere. Regneregler for differentiation, herunder k-regel, sum- og differensregel samt integration ved substitution. Sammenhængen mellem stamfunktion og areal. Bevis for arealsætningen (meget vigtigt), Indførelse af bestemt integral (vise at definitionen er uafhængig af den valgte stamfunktion). Areal af område under en graf og mellem to grafer. Regler for bestemte integraler, herunder indskudsreglen. Rumfang af omdrejningslegemer. Vi brugte det til at udregne rumfanget af en donut (Torus) fra McDonalds efter først at have gættet ...

Som supplement til min egen note om Integralregning kan man se Kernestof 3 bogen side 6-15, 24-34.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 3 Differentialligninger

Fra Kernestof-bogen er taget de indledende ting: Hvad er en differentialligning? Hvordan viser man, at en given funktion er en løsning, væksthastighed og tangentligning, fuldstændig løsning og partikulær løsning, lineære elementer og hældningsfelt. Senere Panserformlen (minus bevis) samt metoden med separation af variable.

Ellers har vi specielt fokuseret på tre typer differentialligninger:

1. Differentialligning for eksponentiel vækst: y' = k*y
2. Differentialligning for forskudt eksponentiel vækst: y' = b - a*y
3. Differentialligning for logistisk vækst: y' = y*(b - a*y)

(Beviserne herfor står i mit vigtige tillæg: "Differentialligninger - nogle beviser og modeller".

Eleverne skulle udføre et projekt, som skulle munde ud i en gruppeaflevering fra hver gruppe: "Projekter i differentialligninger - Newtons afkølingslov og logistisk vækst". (Inkluderede både forsøg med afkøling af væske samt teoretiske overvejelser)
emnet. I denne note er også bevis for, at væksthastigheden for løsningen til en logistisk differentialligning er størst, når populationen har nået halvdelen af bæreevnen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 Funktioner af to variable

Funktionsværdi, graf, snitfunktioner og snitkurver, niveaukurver, partielle afledede og deres fortolkning, gradienten og dens betydning, arten af et stationært punkt. Hvad angår arten af stationære punkter: Vi har kun kort omtalt størrelserne r, s og t, da de ikke underbygges i teorien, altså hvorfra de kommer. Typerne er mere behandlet dem ud fra inspektionen af grafernes udseende: Er der tale om lokalt maksimum, lokalt minimum eller et sadelpunkt i det pågældende stationære punkt). Tangentplan hurtigt gennemgået med et eksempel, men igen problem, at teorien ikke underbygges med, hvad en tangentplan egentligt er. Meget stof også forklaret og eksemplificeret i Maple-filen "Oversigt - Funktioner af 2 variable". Den indeholder en del forklaringer og prøver at skabe forståelse i et emne, som er blottet for beviser. Der er blandt andet omtalt, hvordan man kan bestemme dobbeltpunkter med Maple UDEN ekstra oplysninger, som ofte er i opgaverne.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 5 Vektorfunktioner

En linjes parameterfremstilling er et simpelt eksempel på en vektorfunktion, som vi allerede beskæftigede os med under emnet vektorer og analytisk geometri.

Emnerne indenfor vektorfunktioner var banekurver, sted, hastigheds og accelerationsvektor, skæringer, dobbeltpunkter, tangenter, herunder vandrette og lodrette. Desuden kurvelængde, som står omtalt i mit tillæg.

Vi kiggede på interessante bevægelser, beskrevet ved vektorfunktioner, blandt andet en jævn cirkelbevægelse. Desuden demonstrerede jeg, hvordan man ikke blot i Maple, men også i GeoGebra kan lave animationer for bevægelser i forlystelser i et tivoli.  

Maple filen "Oversigt - Vektorfunktioner" giver et vigtigt overblik over emnet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 6 Normalfordelingen og lineær regressionsanalyse

Normalfordelingen er et eksempel på en kontinuert fordeling forstået på den måde, at en normalfordelt stokastisk variabel kan antage værdier i et helt interval - i modsætning til binomialfordelingen, hvor den stokastiske variabel kun kan antage heltallige værdier fra 0 til n. Hvad angår normalfordelingen, kan sandsynligheder enten fås ved at integrere tæthedsfunktionen over et interval eller ved at anvende fordelingsfunktionen F(x), som repræsenterer den kumulerede sandsynligheder op til x. Punktsandsynligheder giver ikke mening her.

Ellers har vi behandlet begreber såsom: tæthedsfunktion, fordelingsfunktion, beregning af sandsynligheder, klokkekurve, sammenhæng mellem standardnormalfordelingen og en vilkårlig anden normalfordeling, normale udfald, exceptionelle udfald. Aflæse på grafen for fordelingsfunktionen, herunder også fraktiler. Anvendelser af normalfordelingen: Variationer i produktionen, IQ, soldaters højde. Normalfordelingens forbindelse til binomialfordelingen. Endvidere middelværdi og spredning for normalfordeling (dog ikke bevist).

Ikke mange beviser i emnet.

Lineær regressionsanalyse:
Et meget kort og snævert emne, uden nogen form for beviser. Hvad angår lineær regression, så benyttede vi min ebog med sandsynlighedsregning og statistik for at få styr på begreber såsom residualer, residualplot, import af data fra Excel, residualspredning, residual QQ-plot, konfidensinterval for hældning. Speciel fokus på, om konfidensintervallet for hældning indeholder 0. Er det sidste tilfældet kan der argumenteres for, at der ikke er tale om nogen lineær sammenhæng (ingen sammenhæng mellem x og y). I det hele taget blev stoffet kun behandlet på det intuitive plan. Formålet var rettet mod at kunne løse opgaver i emnet til skriftlig eksamen.

Maple filen "Oversigt - Normalfordelingen og lineær regressionsanalyse" giver et vigtigt overblik over emnet.

Der er gjort meget ud af, at eleverne får et intuitivt forhold til normalfordelingen med henblik på især at løse opgaver i emnet. Begreberne skal de have styr på. Det samme med lineær regressionsanalyse.

Igen giver Maple oversigten "Oversigt - Normalfordelingen og lineær regressionsanalyse" et godt overblik. Som supplement kan man også læse side 46-51 samt side 53 i Kernestof 3-bogen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 7 Forberedelsesmaterialet

Mindst 5 moduler afsat til forberedelsesmaterialet med Sandsynlighedsregning og Bayes' formel. Eleverne læser og regner overvejende hver især.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 8 Repetition med mere

Perioden brugt til repetition i både skriftlig og mundtlig matematik. Eleverne kunne bevise på Whiteboard tavler.
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer