Holdet 23gMA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse - Lectio

Holdet 23gMA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Termin(er)	2025/26
Institution	Aabenraa Statsskole
Fag og niveau	Matematik A
Lærer(e)	Lotte Wolsted
Hold	2025 MA/23g (23gMA, 23gMA-terminsprøve)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Titel 1	Særlige funktioner
Titel 2	Integralregning - Ubestemte integraler
Titel 3	Vektorfunktioner
Titel 4	Integralregning - Bestemte integraler
Titel 5	Funktioner af to variable
Titel 6	Differentialligninger
Titel 7	Normalfordeling
Titel 8	Forberedelsesmateriale
Titel 9	Eksamensforberedelse

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)

Titel 1	Særlige funktioner Inverse/omvendte funktioner - Tegne grafer - Omskrive forskrift - Betydning af f(g(x))=x Harmoniske svingninger - Betydning af de fire konstanter - Tegne grafer Parallelforskydning af grafer - Tegne grafer - Bestemme forskrift
Indhold	Kernestof: Vi starter ud med et kort forløb om nogle særlige funktioner. I dag skal det handle om inverse funktioner (som også kaldes omvendte eller modsatte funktioner). Videoen gennemgår mere eller mindre alt, I bør vide om denne type funktioner. I får ikke u Opgaver med inverse funktioner.docx description Noter august 14.pdf description Auerbach - Funktioner; sider: 11-14 Hentet fra https://www.mathematicus.dk/matematik/ Se denne video: https://youtu.be/ymkvORE8GcE?si=2kXQrWqm8EwRZPW4 Opgaver med parallelforskydning.docx description Noter august 18.pdf description Eksempel.png I dag handler det om parallelforskydning af grafer. Lav opgave 6-7 fra forrige modul. Den sidste type funktion, vi skal kigge på i dette forløb, er harmoniske svingninger. Eksempel 2.png Eksempel 1.png Opgaver med harmoniske svingninger.docx description Noter august 21.pdf description Forberedelsesmateriale - Trigonometriske funktioner; sider: 8-18 Forberedelsesmateriale (2025-2026) fra hfB. Se denne video: https://youtu.be/ohsFK0Nb5YQ?feature=shared
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Diskutere Almene (tværfaglige) Analytiske evner
Væsentligste arbejdsformer	Individuelt arbejde Lærerstyret undervisning

Titel 2	Integralregning - Ubestemte integraler Integrabel funktion Stamfunktion Graf for f og F Simple regneregler Integration af elementære funktioner Substitution
Indhold	Kernestof: Vi tager hul på integralregning, som kan betragtes som det modsatte af at differentiere. Vi skal snakke om stamfunktioner og hvordan disse bestemmes. Eksempel 1.png Noter august 22.pdf description Eksempel 3.png Opgaver med graf for f og F.docx description Eksempel 2.png Auerbach - Integralregning; sider: 5-11, 13-16 Hentet fra https://www.mathematicus.dk/matematik/ Se denne video: https://youtu.be/PyeDTFWNkb8 I dag skal I lære at integrere funktioner, dvs. bestemme forskriften for en stamfunktion, når den oprindelige funktions forskrift er kendt. I skal lære at bruge reglerne på side 26 i formelsamlingen. Noter august 25.pdf description Opgaver med regneregler (ubestemt).docx description Se denne video: https://youtu.be/g0UWF0ltuxM?feature=shared (I må gerne spole forbi beviset) Vi skal lave tre beviser. Derudover bør vi også kunne nå at bestemme stamfunktion gennem et givet punkt (dvs. vi skal bestemme specifikke værdier for konstanten k). Opgaver med stamfunktion gennem punkt.docx description Noter september 1.pdf description Se denne video: https://youtu.be/yvkprZD7HdU?si=putMFfaWdH85gDTb Vi laver endnu et bevis vha. integrationsprøven. Derefter arbejder vi videre med stamfunktioner (gennem punkter og evt. med særlige tangenter). Noter september 3.pdf description Tjek dine noter: Hvad var reglerne for at finde en stamfunktion gennem et punkt? Tal højt mens du lader som om du skal forklare det for en klassekammerat, der var syg, da vi gennemgik det (stol på mig - dette er super god træning!). Alle opgaver løses hånden. Vi arbejder videre med stamfunktioner med særlige tangenter. Opgaver med stamfunktion og særlig tangent.docx description Noter september 12.pdf description Se denne video: https://youtu.be/0mZtosS4J9s?si=zzBwVTim1VQiiWbw Vi skal arbejde med integration vha. substitution. Dette svarer til integralregningens udgave af produktreglen/kædereglen. Noter september 15.pdf description Opgaver med substitution (ubestemt).docx description Se videoerne, som gennemgår tre eksempler med integration vha. substitution: https://youtu.be/PBTsga0zLsY og https://youtu.be/5FhUzP3PyU0 Vi arbejder stadig med substitution.Hvis tiden tillader det, vil vi tage lidt hul på næste forløb om vektorfunktioner. Flere opgaver med substitution (ubestemt).docx description Noter september 17.pdf description Forberedelse til opstartsopgaven: Parameterfremstilling og linjens ligning.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Diskutere Almene (tværfaglige) Analytiske evner
Væsentligste arbejdsformer	Individuelt arbejde Lærerstyret undervisning

Titel 3	Vektorfunktioner Banekurver Position på banekurve Retning af banekurve Monotoniforhold for koordinatfunktioner Skæring med akser Hastighedsvektor og accelerationsvektor Vandrette og lodrette tangenter Vinkel mellem tangenter Dobbeltpunkter
Indhold	Kernestof: Vi tager hul på forløbet om vektorfunktioner. I dag handler det om særligt om grafen for en vektorfunktion og dennes skæring med akserne. Skærmbillede 2025-09-19 kl. 11.25.19.png Noter september 19.pdf description Skærmbillede 2025-09-19 kl. 11.25.57.png Opgaver med retning og skæring med akserne.docx description Auerbach - Vektorfunktioner; sider: 5-9, 13-14 Hentet fra https://www.mathematicus.dk/matematik/ Forberedelse til opstartsopgave: Inverse funktioner. Vi repeterer, hvad vi lavede sidst. Derefter skal vi arbejde med dobbeltpunkter (dvs. punkter, hvor banekurven krydser sig selv). Opgaver med dobbeltpunkter.docx description Noter september 29.pdf description Forberedelse til opstartsopgave: Regnereglerne på side 26 i formelsamlingen. Noter september 30.pdf description Opgaver med tangentvektor.docx description Vi skal arbejde med tangentvektorer/hastighedsvektorer, hvilket går ud på at differentiere vektorfunktioner. Forberedelse til opstartsopgave: Løsning af andengradsligninger. Vi skal arbejde med vandrette og lodrette tangenter, og vi laver beviset for, at en vektorfunktion differentieres koordinatvis. Blandede opgaver med vektorfunktioner.docx description Noter oktober 1.pdf description Forberedelse til opstartsopgave: Monotoniforhold bestem vha. differentialregning. Plan for dagen: Vi skal arbejde med vinkel mellem tangentvektorer i dobbeltpunkter. Noter oktober 6.pdf description Opgaver med vinkel mellem tangenter.docx description Forberedelse til opstartsopgave: Kvadratsætningerne. Vi skal arbejde med monotoniforhold for koordinatfunktionerne. Monotoniforholdene udregnes som på sædvanligvis, men nu kan det fortælle om banekurvens retning. Se denne video fra 6:12: https://youtu.be/zvsdv0obZtY?si=urRvDUDXmBRtpSEa Opgave med monotoniforhold for x(t) og y(t).docx description Noter oktober 9.pdf description Forberedelse til opstartsopgave: Kæderegel. Vi genopfrisker kort monotoniforhold for koordinatfunktionerne, og hvordan det hænger sammen med banekurvens retning. Derefter skal vi arbejde med nogle atypiske opgaver, f.eks. hvordan enhver almindelig funktion kan laves om til en vektorfunktion, o Noter oktober 21.pdf description Forberedelse til opstartsopgave: Løsning af ligningssystem. Prøve 2 med blandede emner. Alle opgaver løses på computer. Vi gennemgår jeres prøve. Bagefter skal vi lave en session, hvor vi kigger på betydningen af lighedstegnet. Der bør være tid til jeres aflevering sidst i modulet. Lighedstegn.pptx description Forberedelse til opstartsopgave: Integration ved substitution.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Diskutere Almene (tværfaglige) Analytiske evner
Væsentligste arbejdsformer	Individuelt arbejde Lærerstyret undervisning

Titel 4	Integralregning - Bestemte integraler Regneregler Arealfunktion Areal mellem graf og førsteakse Indskudsregel Areal mellem to grafer Omdrejningslegemer Kurvelængde Substitution Supplerende: - historien om integralet - estimering af areal vha. Newtons metode
Indhold	Kernestof: Vi vender tilbage til integralregning. Nu skal vi arbejde med bestemte integraler, som vi bl.a. skal kæde sammen med areal under grafer. Noter oktober 31.pdf description Opgaver med bestemte integraler.docx description Auerbach - Integralregning; sider: 17-18, 20-23, 28-30 Hentet fra https://www.mathematicus.dk/matematik/ Forberedelse til opstartsopgave: Vandrette og lodrette tangenter til banekurver. Vi arbejder fortsat med at bestemme arealer. Denne gang fokuserer vi specifikt på, hvordan man bruger det bestemte integraler til at udregne arealer. Noter november 03.pdf description Opgaver med areal i Nspire.docx description Forberedelse til opstartsopgave: Tangentens ligning (differentialregning) Vi arbejder fortsat med areal mellem graf og x-akse. Derudover skal vi lave et bevis for, hvorfor man egentlig kan udregne dette areal vha. stamfunktionen. Noter november 05.pdf description Opgaver med areal i hånden.docx description Forberedelse til opstartsopgave: Simpel integration I dag arbejder vi med areal mellem to grafer. Noter november 7.pdf description Opgaver med areal mellem grafer.docx description Forberedelse til opstartsopgave: Produktregel og kæderegel. I dag arbejder vi med kurvelængder, hvilket går ud på at beregne længden af en graf i et givet interval. Opgaver med kurvelængde.docx description Eksempel.tns description Noter november 10.pdf description Forberedelse til opstartsopgave: Bestemte integraler (reglerne side 26 samt regel 163). I dette modul skal vi arbejde med integration ved substitution af bestemte integraler. Opgaver med substitution (bestemt).docx description Noter november 17.pdf description Forberedelse til opstartsopgave: Fart ift. vektorfunktioner. Vi arbejder fortsat med substitution. Noter november 19.pdf description Forberedelse af opstartsopgave: Anvendelse af stamfunktion til bestemmelse af areal. Vi skal arbejde med omdrejningslegemer, hvilket går ud på at dreje en graf 360 grader om x-aksen, hvorved et 3D-objekt fremkommer. Vi skal kunne udregne rumfang af disse objekter. Noter november 20.pdf description Opgaver med omdrejningslegemer.docx description Opgave med hult omdrejningslegeme.docx description Forberedelse til opstartsopgave: Parallelforskydning. Vi afslutter huleomdrejningslegemer, og dermed også forløbet om integralregning. I får også historien om integralet, hvortil I får brug for at have set videoen om sumtegnet. Flere opgaver med omdrejningslegemer.docx description Historien om integralet.pptx description Se denne video om sumtegn: https://youtu.be/VFpU5m5pLoE?si=_41vtceEMWrhtXTT
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Diskutere Almene (tværfaglige) Analytiske evner
Væsentligste arbejdsformer	Individuelt arbejde Lærerstyret undervisning

Titel 5	Funktioner af to variable Niveaukurver Snitfunktioner og snitkurver Partielle afledede Gradientvektor Tangentplan Dobbelt og blandet afledede Stationære punkter
Indhold	Kernestof: Vi skal i gang med funktioner af to variable. Her har funktionen både x og y som uafhængige variable, hvilket betyder, at vi nu arbejder i 3 dimensioner. Noter november 26.pdf description Opgaver med graf, snitfunktioner og niveaukurver.docx description Auerbach - Funktioner af to variabel; sider: 5-6, 9-11, 13, 15-19 Hentet fra https://www.mathematicus.dk/matematik/ Se denne video om intro til funktioner af to variable: https://youtu.be/dVU0OkGPdMQ?si=MbLde1MHpQwn23cT I dag skal vi bestemme partielle afledede, hvilket går ud på at differentiere f(x,y). Noter december 04.pdf description Opgaver med partielle afledede.docx description Opstartsopgave: Parallelforskydning Vi arbejder lidt mere med de partielle afledede. I dag skal vi kæde vektorer sammen med de partielle afledede, hvorved en gradient opstår. Noter december 08.pdf description Opgaver med partielle afledede og gradienter.docx description Se denne video om gradienter: https://youtu.be/8IossV3puL0?si=XuwrqgPlNdsLrumt Fladens lokale ekstrema kaldes for stationære punkter. I dag ser vi hvordan vi bestemmer, hvorhenne de er og hvilken type de er. Opgaver med stationære punkter.docx description Noter december 10.pdf description Se denne video om stationære punkter: https://youtu.be/2yIK3PVrsLk Vi samler op på, hvad I har lært indtil videre og løser en masse opgaver i Nspire. Opgaver på computer.docx description Skærmbillede 2025-12-12 kl. 10.41.56.png Vi gennemgår jeres prøve. Derefter afslutter vi forløbet om funktioner af to variable ved at regne nogle sidste opgaver. De sidste opgaver med funktioner af to variable.docx description
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Diskutere Almene (tværfaglige) Analytiske evner
Væsentligste arbejdsformer	Individuelt arbejde Lærerstyret undervisning

Titel 6	Differentialligninger Gøre prøve Linjeelementer Hældningsfelter Tangenter og monotoniforhold Separation af de variable Eksponentiel vækst, forskudt eksponentiel vækst, panserformlen, logistisk vækst
Indhold	Kernestof: Noter januar 05.pdf description Auerbach - Differentialligninger; sider: 5-9, 11-23, 31-32 Hentet fra https://www.mathematicus.dk/matematik/ Vi skal i gang med differentialligning, dvs. ligninger hvor den afledede funktion indgår og hvor løsningen er den oprindelige funktion. Vi skal arbejde med differentialligninger af typen y'=h(x), som blot løses vha. integralregning. Opgaver med y'=h(x).docx description Noter januar 07.pdf description Læs jeres noter om stamfunktion gennem et punkt (det hænger sammen med det, vi skal lave i dag). I dag skal vi arbejde med differentialligninger på formen y'=k·y (differentialligningen for eksponentiel vækst). Noter januar 09.pdf description Opgaver med y'=k·y.docx description Se denne video indtil 3:06: https://youtu.be/aBNK7xdGUAE?si=bgG_m8zGKer1nI4N I dag arbejder vi med differentialligningen for forskudt eksponentiel vækst, y'=b-a·y. Opgaver med y'=b-ay.docx description Noter januar 12.pdf description Se denne video: https://www.youtube.com/watch?v=YEancRcJ4AM Vi arbejder fortsat lidt med differentialligningen y'=b-ay. I dag skal vi bl.a. se på c's betydning ift. om grafen for løsningsfunktionen er voksende eller aftagende. Eksempel.docx description Noter januar 15.pdf description Se denne video: https://youtu.be/bMn9JI68ccY?si=0LitqPsG7N3b3ZNv Opgaver med fortolkninger og væksthastigheder.docx description Vi arbejder fortsat med differentialligninger, hvor vi skal lave fortolkninger. Vi skal arbejde med differentialligningen for logistisk vækst. Dvs. y'=a·y·(M-y), som også kan skrives på formen y'=y·(b-ay), hvor b blot er det samme som a·M. Opgaver med y'=ay(M-y) og y_=y(b-ay).docx description Noter januar 21.pdf description Se denne video: https://www.youtube.com/watch?v=Tt8uIXv7NhM Vi arbejder stadig med logistisk vækst. Vi vil løse lidt flere opgaver med partikulære løsninger. Derefter skal vi kigge lidt mere på grafen for løsningsfunktionen og sammenhængen mellem y og y'. Noter januar 23.pdf description Se denne video: https://youtu.be/a0PiAYA7lKI?si=7y5MsNFZRI30lgSW Vi retter i forklaringen af c for den forskudte eksponentielle funktion. Derefter kigger vi på linjeelementer. Opgaver med linjeelementer.docx description Noter januar 29.pdf description Se denne video: https://youtu.be/VnJkiq4n6uU?si=aapv09YcCt54diZy Vi skal arbejde med hældningsfelter, som kort sagt er en stor samling af linjeelementer tegnet i et kooordinatsystem. Opgaver med hældningsfelter og graf.docx description Hældningsfelt.png description Noter februar 16.pdf description Opgaver med hældningsfelter.docx description Se denne video om hældningsfelter i Nspire: https://youtu.be/RD_DX8Vz_zQ?si=uV4uGMqM331yT_0d Vi skal løse differentialligninger vha. separationsmetoden, som går ud på at separere x og y på hver side af lighedstegnet og derefter integrere for at isolere y. Noter februar 18.pdf description Opgaver med separation af variable.docx description Se denne video indtil 6:50: https://www.youtube.com/watch?v=woLvRKJ56FI I dag skal vi arbejde med den sidste type af differentialligninger, I skal kende til, som skal løses vha. monsterformlen (også kaldet panserformlen). Opgaver med panserformlen.docx description Noter februar 20.pdf description Se denne video: https://youtu.be/7LtBRc3M_zE?si=XLOXimXYFj-IzgNZ Vi skal omdanne tekst til differentialligninger. Eksempler.docx description Opgaver med opstilling af differentialligninger.docx description Noter februar 23.pdf description Vi afslutter "Differentialligninger" ved at se på, hvordan en differentialligning kan anvendes til at beregne monotoniforhold for en funktion. Noter februar 26.pdf description Opgaver med differentialligninger med ekstra konstanter.docx description Mind jer selv om, hvilke trin, man skal igennem, når man bestemmer monotoniforhold i hånden for en funktion. Vi løser lidt flere opgaver om differentialligninger med ekstra konstanter. Vi skal også tage hul på næste forløb om normalfordelingen, hvor vi skal bruge integralregning til at udregne sandsynligheder. Auerbach - Sandsynlighedsregning; sider: 31-33 Hentet fra https://www.mathematicus.dk/matematik/ Noter marts 02.pdf description Opgaver med tæthedsfunktionen.docx description Flere opgaver med tæthedsfunktionen.docx description Eksempel.png Se denne video om normalfordelingen: https://youtu.be/RYN4WMZVdFI
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Diskutere Almene (tværfaglige) Analytiske evner
Væsentligste arbejdsformer	Individuelt arbejde Lærerstyret undervisning

Titel 7	Normalfordeling Middelværdi og spredning Tætheds- og fordelingsfunktion samt disses grafer Standardnormalfordeling Normale og exceptionelle udfald Normalfordelt data Normalfordelte residualer Konfidensinterval for hældningskoefficient
Indhold	Kernestof: Vi skal arbejde med normale og exceptionelle udfald. Reglerne for, hvornår et udfald er normalt eller exceptionelt er det samme som i binomialfordelingen. Hvis vi kan nå det, tager vi også hul på fordelingsfunktionen, som er stamfunktionen til tæthed Eksempel.png Opgaver med grafen for fordelingsfunktionen.docx description Noter marts 06.pdf description Auerbach - Sandsynlighedsregning; sider: 19, 36-38 Hentet fra https://www.mathematicus.dk/matematik/ Læs jeres noter fra binomialefordelingen om normale og exceptionelle udfald. Sørg for at I ved hvor I kan finde information herom i jeres formelsamling. Noter marts 09.pdf description Vi skal arbejde med standardnormalfordelingen, som blot er det særlige tilfælde, hvor (formel) og (formel). Noter marts 12.pdf description Vi skal undersøge om givne datasæt er normalfordelte. Eksempel - Normalfordelt data.tns description Opgaver - Normalfordelt data.xlsx description Opgaver med normalfordelt data.docx description Se denne video om QQ-plots: https://youtu.be/0saCZC2GA2Q Vi arbejder stadig med normalfordelt data, men i dag skal vi bruge residualer som vores data. Når man har udført regression, så vil man meget gerne, at residualerne er normalfordelte med en middelværdi tæt på 0. Dét kigger vi på i dag. Eksempler.tns description Noter april 09.pdf description Opgaver med normalfordelte residualer.docx description Opgaver - Normalfordelte residualer.xlsx description Vi skal arbejde med konfidensintervaller. Når man laver lineær regression og får en hældningskoefficient meget tæt på 0, kan man være interesseret i at udregne et konfidensinterval for hældningskoefficienten (for at sikre, at den bevarer sit fortegn) Eksempler - Konfidensinterval.tns description Opgaver - Konfidensinterval.tns description Noter april 13.pdf description Se denne video: https://youtu.be/dHhiyVXH6C4 Alle opgaver løses i hånden.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Diskutere Almene (tværfaglige) Analytiske evner
Væsentligste arbejdsformer	Individuelt arbejde Lærerstyret undervisning

Titel 8	Forberedelsesmateriale Emne: Polære funktioner
Indhold	Kernestof: Vi starter på forberedelsesmaterialet. Filen ligger under Dokumenter i undermappen "Eksamen" og omhandler polære funktioner. Når modulet ender bør du have læst side 4-10 og løst t.o.m. opgave 5. Spring øvelse 1 over. Når modulet ender bør du have læst side 10-13 og løst t.o.m. opgave 9. Når modulet ender bør du have læst side 14-18 og løst t.o.m. opgave 13. Spring øvelse 2 over. Plan for dagen: Noter april 30.pdf description
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Læse Diskutere Almene (tværfaglige) Analytiske evner Overskue og strukturere IT - TI-Nspire
Væsentligste arbejdsformer	Individuelt arbejde Pararbejde

Titel 9	Eksamensforberedelse Individuel forberedelse af (eventuel) mundtlig eksamen Arbejde med spørgsmål til mundtlig eksamen Øve bevisføring
Indhold	Kernestof: Plan for dagen: Noter april 30.pdf description I øver jer på udvalgte forklaringer og beviser til mundtlig eksamen. I øver jer på udvalgte forklaringer og beviser til mundtlig eksamen. Vi gennemgår beviset for produktreglen for de af jer, der endnu ikke har set det. Alle opgaver løses på computer.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Søge information Diskutere Formidling Almene (tværfaglige) Kommunikative færdigheder
Væsentligste arbejdsformer	Gruppearbejde Individuelt arbejde Pararbejde

Vis samlet undervisningsbeskrivelse samt elevtilknytning til forløb