Undervisningsbeskrivelse
Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
|
Termin(er)
|
2023/24 - 2025/26
|
|
Institution
|
N. Zahles Gymnasieskole
|
|
Fag og niveau
|
Matematik A
|
|
Lærer(e)
|
Amar El-Saedi Thaysen, Katrine Lindholm Nicolaisen, Peter Alexander Zola Hentrich Kærhavn
|
|
Hold
|
2023 MA/a (1a MA, 2a MA, 3a FS 10b MA/DA, 3a MA)
|
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
|
Titel
1
|
Introduktion til matematik
- Grundlæggende symbolik, procentregning og logaritmer
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
9 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
2
|
Eksponential- og potensfunktioner
Eksponential- og potensfunktioner
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
9 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
3
|
Annuitetsregning
Renteformlen, opsparings- og gældsannuitet
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
4 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
4
|
Polynomier
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
8 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
5
|
Vektorer i 2D
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
10 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
6
|
Deduktiv matematik
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
13 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
7
|
Eksperimentel matematik
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
7 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
8
|
Differentialregning
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
19 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
9
|
Forløb#1 Differentialregning
Forløbet fokuserer på følgende faglige mål:
1) Anvende differentialkvotient for funktioner og fortolke forskellige repræsentationer af denne.
2) Anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning.
Kernestof:
1) Definition og fortolkning af differentialkvotient, herunder væksthastighed, afledet funktion for de elementære funktioner, samt regnereglerne for differentiation af sum, differens og produkt af funktioner samt differentiation af sammensat funktion.
2) monotoniforhold, ekstrema og optimering samt sammenhængen mellem disse begreber og begrebet differentialkvotient.
3) Beviser ved 3 trinsreglen
Materiale:
1) Noter
2) Tidligere skriftlige eksamensopgaver skal også inddrages for at demonstrere eksempler.
Studieplan:
–Differentiabilitet, differentialkvotient og afledet funktion.
–Væksthastighed.
–Tretrinsreglen anvendt i elementære funktioner (polynomier, eksponentialfunktion, potensfunktion og logaritmisk funktion.
–Regneregler for differentiation af k•f, f+g, f–g f•g og f(g(x))
Anvendelser af differentialregning:
1) tangentligning til grafen for en funktion i et givet punkt.
2) Ekstrema og Monotoniforhold .
3) Optimering med differentialkvotient.
4) Væksthastighed
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
31 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
10
|
Forløb#2 Integralregning
Det faglige mål:
Anvende forskellige fortolkninger af stamfunktion.
Kernestof:
Stamfunktion for de elementære funktioner, ubestemte og bestemte integraler, regneregler for integration af f + g, f - g og k · f samt integration ved substitution.
Materiale:
Noter og Vejen til matematik A2 side 193-235.
Bevisteknik og argumentation i matematik:
1) Arbejde med beviset for sammenhængen mellem areal- og stamfunktion.
2) Arbejde med beviset for integralregningens hovedsætning.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
23 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
11
|
Forløb#3 Opsamling Vektorer & Plangeometri
Det faglige mål:
Opstille geometriske modeller og løse geometriske problemer, samt kunne give en analytisk beskrivelse af geometriske figurer i koordinatsystemer og udnytte dette til at svare på givne teoretiske og praktiske spørgsmål.
Materialer:
1) Noter.
2) Kernestof i Mat 2 side 158-179
Kernestof
1) Definition af en vektor i plan, herunder begrebet egentlig vektor. (repetition)
2) Længde og retning af en vektor.(repetition)
3) Addition og skalarmultiplikation af vektorer i plan.(repetition)
4) Prikprodukt (skalarmultiplikation) og ortogonale vektorer.(repetition)
5) Vinkel mellem to vektorer.(repetition)
6) Projektion af en vektor på en vektor.
7) Begreb Determinant og dets anvendelser (Areal og parallelle vektorer).
8) Analytisk Geometri: Linjens parameterfremstilling og linjens ligning.
9) Analytisk Geometri: Skæring mellem linjer – to parameterfremstillinger, to linjers ligninger og parameterfremstilling & linjens ligning.
10) Afstand fra punkt til linje.
11) Analytisk Geometri: Cirklens ligning.
12) Analytisk Geometri: Skæring mellem linje og cirkel.
Produktkrav
1) opsamling til forløbet om vektorer i plan med en stor afleveringsopgave.
2) Aflevering om cirkler, linjer, tangenter, samt afstand mellem et punkt og en linje.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
45 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
12
|
Forløb#4 vektorfunktion
Overordnet mål:
Anvende vektorfunktioner til at beskrive banekurver i plan, differentiere og integrere dem samt forbinde dem med bevægelse i fysik.
Emner og Undervisningsforløb:
1. Introduktion til vektorfunktioner, herunder dobbelt punkt, vandrette og lodrette tangenter og vinklen mellem tangenterne i dobbelt punkt.
2. Definition af en vektorfunktion
3. Parametrisering af funktioner
4. Eksempler på vigtige banekurver (linjer, cirkler, parabler)
5. Differentiation af vektorfunktioner
6.Tangentvektorer og hastighed
7. Anvendelser i bevægelse (hastighed og acceleration)
8. Integration af vektorfunktioner ift. længden af banekurve
9. Bestemmelse af position ud fra hastighed
10. Buelængde af banekurve af en vektorfunktion (supplerende )
Projektarbejde Matematik og Fysik:
Anvendelse af vektorfunktioner i fysik -teoretisk gennemgang til jævn cirkelbevægelse. Teoretisk og Eksperimentelt gennemgang med projektilbevægelse ved det skrå kast. )
Geometriske problemer med vektorfunktioner
IT-værktøjer til visualisering (Maple)
Beviser:
1) Introducer jævn cirkelbevægelse som vektorfunktion, herunder hvordan hastigheds- og accelerationsvektor forholder sig til hinanden.
2) Udledning bevægelsesligning for det skrå kast som vektorfunktion ved integralregning, herunder omskrivning af koordinatorer [x(t),y(t)]til funktionen y(x).
3) Buelængde af banekurve
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
19 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
13
|
Forløb # 5 Differentialligninger
Formål: Arbejde med differentialligninger og deres anvendelse i forbindelse med modellering (klassen arbejder med modelling i 3.g).
Forløbet stiller fokus i forbindelse med at udvikle elevernes modellerings kompetence (Logistisk vækst)(klassen arbejder med modelling i 3.g). .
I forbindelse med differentialligninger skal 2.a arbejde med følgende emner:
1. Introduktion til differentialligninger-Hvad er en differentialligning?
2. Partikulær og fuldstændig løsning, Linjeelementer og hældningsfelt.
3. Metoden separation af de variable
4. Lineære 1. orden differentialligninger og panserformlen.
5. Logistisk differentialligning og egeskaber af løsningen.
Beviser:
1-Panserformlen
2-Analytisk løsning til logistisk differentialligning
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
28 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
14
|
Forløb#1 Deskriptiv statistik (Repitition)
Undervisningsmaterialer: Ibogen: Lærebog i matematik, Morten Brydensholt & Grete Ebbesen, Kapital om Deskriptiv statistik
Det faglige mål:
1) Oversætte mellem repræsentationsformer.
2) Anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning.
3) Simple statistiske metoder til håndtering af et datamateriale, grafisk præsentation af et statistisk materiale.
Formålet med dette forløb, at eleverne skal kunne gøre rede for følgende kernestof:
1. Grafisk præsentation af et numerisk datamateriale (ugrupperede observationer) - prikdiagram.
2.Variationsbredde
3. Præsentation af median og middeltal.
4. Præsentation af spredningen af et datasæt
5. Kvartilbredden - og det udvidede kvartilsæt.
6. Grafisk præsentation af et numerisk datasæt - boksplot.
7. Anvendelse af boksplot til sammenligning af datasæt
8. Grupperede observation, herunder histogram, sumkurve, kvartilsæt og bokspolt, middeltal, varians og spredning.
Fokus punkt:
anvende it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer. Desuden er der tale om fortsættelse til udvikling af elevernes IT-kompetence.
Særlig fokuspunkt:
Overgang fra deskriptiv statistik grupperede dataobservationer til Normalfordeling.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
4,00 moduler
Dækker over:
6 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
15
|
Forløb#2 Normalfordeling
Det faglige mål
Anvende statistiske og sandsynlighedsteoretiske modeller til beskrivelse af data fra andre fagområder, foretage simuleringer, gennemføre hypotesetest, bestemme konfidensintervaller, kunne stille spørgsmål ud fra modeller, have blik for hvilke svar, der kan forventes, samt være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog.
Kernestof ifølge læreplanen
Normalfordeling og tæthedsfunktion for normalfordeling.
Studieplan
1) Normalfordelingen og kendskab til tæthedsfunktionen for normalfordelingen, herunder standardnormalfordelingen, repræsenteret ved tabel, graf og forskrift.
2) Håndtere middelværdi og spredning som parametre i normalfordelingsmodeller, herunder den betydning, middelværdi og spredning har for form og beliggenhed af tæthedsfunktionens og fordelingsfunktionens graf.
3) Inddrage begreberne middelværdi og spredning i analyse af, om udfald er normale
eller exceptionelle i normalfordelingen, herunder sandsynligheden for, at en observation falder i hver af kategorierne.
4) Benytte matematiske værktøjsprograms (Maple) til beregninger i normalfordelingen og til undersøgelse af, om et givet empirisk datasæt med rimelighed kan antages at stamme fra en normalfordelt stokastisk variabel.
5) Inddrage viden om normalfordelingen, dvs. at de ved
hjælp af deres matematiske værktøjsprogram skal kunne vurdere, om residualerne er normalfordelte. Benytte matematiske Maple til bestemmelse af konfidensintervaller for hældningskoefficienten i
en lineær model.
Beviser
1) Bevis for middelværdien for en normalfordelt stokastisk variabel.
supplerende stof
Fremstilling af QQ-plot ved at bruge formler og undersøge om en observation-datasæt er tilnærmelsesvis normalfordelt.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
16 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
16
|
Forløb#3 Studietur til Nice (kurvelængde)
Projektbeskrivelse til 3.a: Buelængde af arkader i Nice vha. vektorfunktioner og billedanalyse.
Formål
At anvende vektorfunktioner med to koordinater til at modellere og bestemme buelængden (kurvelængde) af de buede arkader på Place Rossetti i Nice ved hjælp af billedanalyse i LoggerPro. Eleverne lærer at forbinde arkitektur, matematik og digitale værktøjer.
Fremgangsmåde
Valg af arkade
Vælg en buet arkade på f.eks. Place Rossetti, som skal analyseres.
Dataindsamling via billedanalyse
Tag et foto af arkaden, hvor buen ses tydeligt i planen (gerne lige på fronten).
Importér billedet til LoggerPro.
Kalibrer billedet ved at måle en kendt længde (fx et gelænder eller en dørbredde) for at opstille skala.
Markér flere punkter langs buen i billedet for at aflæse deres koordinater (x_i,y_i).
Opstilling af vektorfunktion
Brug de indsamlede koordinater i LoggerPro til at opstille en vektorfunktion r ⃗(t)=((x(t))¦(y(t))).
Anvend interpolationsværktøjer i LoggerPro eller eksternt software til at finde passende funktioner for x(t) og y(t)
Beregning af buelængde
Differentier x(t) og y(t) for at finde x'(t) og y'(t) .
Udled formlen for buelængden L af vektorfunktion og brug integralformlen for buelængde af arkaden:
Beregn integralet numerisk, fx vha. LoggerPro.
Databehandling ved LoggerPro
Organisér de markerede punkter i LoggerPro og anvend værktøjer til interpolation og differentiation.
Estimér integralet for buelængden med numeriske metoder.
Sammenlign den beregnede buelængde med en simpel lineær afstand (f.eks. mellem buen start- og slutpunkt).
Diskuter resultaternes relevans i forhold til arkitekturens design og praktiske konsekvenser.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
6 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
17
|
Forløb# 4 Funktioner af to variable
Formål:
Eleverne skal opnå forståelse af funktioner af to variable, herunder deres repræsentation, egenskaber og anvendelser.
Introduktion til funktioner af to variable:
1. Definition af funktioner af to variable og deres egenskaber.
2. Flader herunder niveaukurver og snitkurver.
3. Funktionsværdier herunder bestemmelse af definitions- og værdimængde.
4. Definition og beregning af partielle afledede.
5. Fortolkning af partielle afledede som væksthastigheder.
6. Gradient og bestemmelse af tangentplan.
7. Bestemmelse af stationære punkter (∇f = 0).
8. Arten af de stationære punkter ved hjælp af Hessian determinant.
9. Anvendelser af funktioner af to variable i optimering.
Beviser:
1. Ligning for tangentplan.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
28 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
19
|
Forløb#6 Sandsynlighedsregning &Binomialfordeling
Forløbplan:
Sandsynlighedsregning binomialfordeling, binomialtest og konfidensinterval
Det faglige mål:
Anvende statistiske og sandsynlighedsteoretiske modeller til at gennemføre hypotesetest
(binomialtest).
Anvende statistiske og sandsynlighedsteoretiske modeller til at undersøge konfidensintervaller for en
andel.
Formulere en hypotese og formulere konklusioner i et klart sprog ud fra en statistisk undersøgelse.
Kernestof:
1. Sandsynlighedsregnings begreber: stokastisk variabel, udfaldsrum, hændelse, sandsynlighedsfelt etc.
2. kombinationer og permutationer.
3. Middelværdi, varians og spredning af binomialfordeling.
4. Stikprøver, konfidensinterval og hypotesetest af binomialfordeling.
5. Binomialfordeling og normalfordelingsapproksimation.
6. Normalfordelingsapproksimation og konfidensintervallet for en andel.
Materialet:
Madsen MAT B STX ibogen af Jens Carstensen, Jesper Frandsen, Esben Wendt Lorenzen, Adam Lund
IT-kompetence som fokus punkt:
Grafisk fremstilling af sansynlighedsfordelingen (diskret fordeling) til en stokastisk variabel, hvor
teststørrelsen af binomialfordelt. Beskriv grafisk de usadansynlige hændelser og hvorledes det kan
anvendes i binomialtest. Bestem de kumulerede sandsynligheder grafisk.
Grafisk fremstilling af simulering med binomialfordeling.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
21 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
21
|
Forløb# 8 Repetition og Eksamensforberedelse
Arbejd med Mundtlige eksamensspørgsmål:
1) Differentialligninger
Redegør for 1. ordens differentialligning, og forklar i den forbindelse begreberne linjeelementer, partikulær løsning og fuldstændig løsning.
Bevis Panserformlen, og anvend derefter Panserformlen til at løse en lineær 1. ordens differentialligning.
2) Differentialligninger
Redegør for logistisk vækst, og giv mindst ét eksempel på en situation, hvor modellen er relevant.
Bevis løsningsformlen til differentialligningen
y^′=a⋅y⋅(M−y).
Redegør for løsningens egenskaber.
3) Funktioner af to variable
Redegør for funktioner af to variable og introducér med eksempler snitkurver, niveaukurver og de partielle afledede.
Bevis ligningen for tangentplanet.
4) Modellering og Funktioner af to variable
Redegør for funktioner af to variable og forklar herunder begrebet gradient.
Opstil en matematisk model for en realistisk problemstilling, hvor størrelsen f afhænger af to variable x og y og kan beskrives ved funktionen f(x,y). Bestem det (de) stationære punkt(er) for f og undersøg arten med henblik på optimering af f.
5) Vektorfunktioner
Redegør for vektorfunktioner, og hvordan de vandrette og lodrette tangenter til en banekurve bestemmes.
Bevis kurvelængdeformlen for en banekurve givet ved en vilkårlig vektorfunktion.
6) Vektorer og vektorfunktioner
Bevis formlen til bestemmelse af vinklen mellem vektorer.
Redegør for vektorfunktioner, og hvordan man bestemmer den vinkel, hvormed en banekurve skærer sig selv i dobbeltpunkter.
7) Integralregning og ubestemte integral
Forklar ubestemte integraler og stamfunktion og introducer herunder regneregler for ubestemte integraler.
Bevis at arealfunktionen er en stamfunktion.
8) Integralregning og bestemte integral
Redegør for bestemte integraler og introducer herunder rumfang af omdrejningslegemer.
Bevis formlen for kurvelængde.
9) Funktioner og differentialregning
Gør rede for differentialkvotient og dens anvendelse i forbindelse til funktionsundersøgelse, monotoniforhold og optimering.
Bevis produktreglen for differentiation.
10) Harmonisk svingning og differentialregning
Redegør for den harmoniske svingning og egenskaberne for den harmoniske svingning.
Bevis, at differentialkvotient for sin(x) er cos(x).
Forklar, hvordan bevægelsen af et retningspunkt på cirklens periferien resulterer i en harmonisk svingning i både x-og y-retning.
11) Sandsynlighedsregning og Statistik
Redegør for binomialfordeling som en sandsynlighedsmodel, og forklar med udgangspunktet i et konkret eksempel, hvordan en binomialtest anvendes til at teste en nulhypotese.
Bevis, at middelværdi for en binomialfordelt stokastisk variabel X~b(n,p) bestemmes ved formlen:
μ=n·p
12) Normalfordeling
Introducér tæthedsfunktionen for en normalfordelt stokastisk variabel X~N(μ,σ) og dens egenskaber, og forklar herunder, hvordan sandsynlighederne bestemmes ved hjælp af fordelingsfunktionen.
Bevis, at middelværdi for den normalfordelte stokastisk variabel X er μ.
13) Polære funktioner og cirkler
Redegør for sammenhængen mellem polære og kartesiske koordinater til at beskrive cirkler.
Bevis, at grafen for en kontinuert og ikke negativ polær funktion r(θ) udspænder i intervallet θ∈[α,β] et område M, hvor arealet A af området er givet ved
A=1/2 ∫25_α^β▒〖r(θ)^2 〗 dθ
hvor 0≤θ≤2π
14) Vektorer og Analytisk Geometri
Redegør for projektion af vektorer, og forklar determinanten med henblik på arealer udspændt af vektorer .
Bevis formel for projektion af en vektor på en anden vektor.
15) Vektorer og Analytisk Geometri
Redegør for linjens ligning og cirklens ligning, og forklar, hvordan formlen for afstanden mellem et punkt og en linje anvendes til at undersøge skæringen mellem linjer og cirkler.
Bevis formlen for afstanden mellem et punkt og en linje.
16) Modellering ved differentialligning
Redegør for, hvordan differentialligninger kan anvendes til at opstille matematiske modeller ud fra konkrete situationer.
Vis, hvordan en differentialligning kan løses, og hvordan løsningen kan bestemmes og fortolkes i forhold til modellen.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
28 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
22
|
Forløb#9 Historisk matematik
Al-Khwarizmi arbejdede i Dar al-Hikma (Visdommens Hus) i Bagdad, som var et vigtigt center for videnskab og matematik.
Han regnes for algebraens grundlægger og udviklede metoder til løsning af ligninger.
Eleverne arbejder med historiske løsningsmetoder og sammenligner dem med moderne algebra.
Forløbet giver indsigt i matematikkens historiske udvikling og den videnskabelige kultur i Bagdad.
|
|
Indhold
|
Kernestof:
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
2 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
{
"S": "/lectio/19/stamdata/stamdata_edit_student.aspx?id=666\u0026prevurl=studieplan%2fuvb_hold_off.aspx%3fholdid%3d61637943694",
"T": "/lectio/19/stamdata/stamdata_edit_teacher.aspx?teacherid=666\u0026prevurl=studieplan%2fuvb_hold_off.aspx%3fholdid%3d61637943694",
"H": "/lectio/19/stamdata/stamdata_edit_hold.aspx?id=666\u0026prevurl=studieplan%2fuvb_hold_off.aspx%3fholdid%3d61637943694"
}