Holdet 2022 MA/h - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2022/23 - 2024/25
Institution Y - Gammel Hellerup Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Nicole Koefoed
Hold 2022 MA/h (1h MA, 2h MA, 3h MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Forløb 1: Vektorer (del 1)
Titel 2 Forløb 2: Procenter, renter, eksponentialfunktion
Titel 3 Forløb 3: Polynomier
Titel 4 Forløb 4: Statistik - deskriptiv
Titel 5 Forløb 5: Potensfunktioner
Titel 6 2.g Forløb 1: Vektorer og trigonometri (del 2)
Titel 7 2.g Forløb 2: Trigonometriske funktioner
Titel 8 2.g Forløb 3: Differentialregning
Titel 9 2.g Forløb 4: Sandsynlighed og Statistik
Titel 10 FF: SRO - studieretningsopgave
Titel 11 2.g Forløb 5: Geometri og Vektorregning
Titel 12 3.g Forløb 1: Vektorfunktioner
Titel 13 3.g Forløb 2: Integralregning
Titel 14 3.g Forløb 3: Funktioner af to variable
Titel 15 3.g Forløb 4: Differentialligninger
Titel 16 3.g Forløb 5: Normalfordeling
Titel 17 3.g Forløb 6: Forbederelsesmaterialet

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Forløb 1: Vektorer (del 1)

Vi har alle tre år brugt bogen Hvad er matematik? 1-2-3 (grundbog og opgavebog), af Bjørn Grøn, Bodil Bruun, Olav Lyndrup (2017). Desuden suppleret med korte noter til enkelte forløb.


Forløb 1 Vektorer og Trigonometri

Vektorregning
Vektorer: Koordinater, regnereglerne for vektorer (addition, subtraktion og ‘gange en konstant’) herunder geometrisk dimension.

Begreberne nulvektor, enhedsvektor, stedvektor, tværvektor og forbindelsesvektor.

Bestemme:
- længden af en vektor
- tværvektor til en given vektor
- skalarproduktet og determinanten mellem to vektorer
- vinkel mellem to vektorer (herunder parallelle og ortogonale vektorer).

- Areal parallelogram og trekant
- Sammenhængen mellem to vektorers skalarprodukt og deres indbyrdes beliggenhed.

(formler og en del kommandoer er vist)

I 2.g arbejdes der videre med Vektorer (del 2), herunder projektionen af en vektor på en vektor, trigonometri samt kommandoer i Maple (både for del 1 og 2, vektorer).
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Forløb 2: Procenter, renter, eksponentialfunktion

Forløb 2: Procenter, renter og eksponentialfunktioner

1. Basis: Procent- og rentesregning

2. Eksponentialfunktioner (eksponentiel udvikling)

Eksponentialfunktion, forskrift og graf (konstanterne a og b). Sammenhæng mellem a^x og e^(k·x).
Eksponentiel regression.
Bestem forskrift, når to punkter kendes.
Fordoblingskonstant og halveringskonstant.

Projekt: MM's
Projekt: Papirhelikopter

3. Kapitalfremskrivning, renteformlen.

4. Eulers tal, logaritmefunktioner (specielt den naturlige logaritmefunktion og 10-tals-logaritmefunktionen), logaritmeregneregler, indekstal og annuiteter.

Supplerende: Gennemsnitlig rente og effektiv rente.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Forløb 3: Polynomier


Forløb 3: Polynomier

Andengradspolynomier samt overordnet kendskab til polynomier af højere grad.
Funktionsbegrebet, sammensat funktion (introduktion, kort)
Karakteristiske egenskaber ved og grafisk forløb for polynomier.

Begrebet rod i et polynomium og begrebet faktorisering, specielt for andengradspolynomier.

For andengradspolynomier; konstanternes og diskriminantens betydning for parablens beliggenhed i koordinatsystemet.
For polynomier af højere grad; Sammenhængen mellem grad og antal rødder (nulpunkter) for polynomier.


Grafisk og algebraisk undersøgelse af funktioner, hvor der indgår en parameter i funktionsforskriften, fx i kombination med lodret
og vandret parallelforskydning.

Polynomiel regression

Monotoniforhold, ekstrema og optimering (i 2.g, sammenhængen mellem disse begreber og begrebet differentialkvotient)

Bevis for løsning af andengradsligning (supplerende, vægt på deduktive metoder og bevisførelse)

Bevis for toppunktsformlen, vha. kvadratkomplettering
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Forløb 4: Statistik - deskriptiv


Forløb 4: Statistik - deskriptiv

Statistiske metoder til håndtering af diskret og grupperet datamateriale, grafisk præsentation af statistisk materiale, stikprøve og empiriske statistiske deskriptorer.



Stikprøver, repræsentativitet, diskret og grupperet datamateriale,
Hyppighed, frekvens, kumuleret frekvens, middelværdi, fraktiler, median og øvrige kvartiler samt maksimum og minimum,

Tegne og aflæse på boksplot og sumkurve.

Beskrive og sammenligne grafiske repræsentationer med brug af ovennævnte deskriptorer samt simple spredningsbegreber som kvartilbredde, variationsbredde og den instrumentelt beregnede stikprøvespredning og standardafvigelse.

Begrebet ’outlier’.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 6 2.g Forløb 1: Vektorer og trigonometri (del 2)

2.g
Forløb 1: Vektorer og trigonometri (del 2)

Projektion af vektor på vektor
Projektionsvektor, koordinater
Længde af projektionsvektor

Enhedscirkel

Skalarprodukt, uafhængigt af koordinatsystem
Beviset
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 2.g Forløb 2: Trigonometriske funktioner

2.g Forløb 2: Trigonometriske funktioner

Enhedscirkel
Radianer og grader
Graferne for cos(x), sin(x) og tan(x)

Den harmoniske svingning, amplitude, periode og ligevægtsværdi.
Betydning for forskriften og grafen.

Parallelforskydning (vandret og lodret), forskriften og grafisk.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 2.g Forløb 3: Differentialregning

Forløb 3 Differentialregning

Begreberne tangent og sekant.
Regler for at differentiere (sum, differens, konstant, produkt og sammensat funktion, med lineær indre funktion), herunder bestemme afledet funktion.

Begreberne differenskvotient (sekanthældning) og differentialkvotient (tangenthældninger)

Bestemme tangentligning

Bestem monotoniforhold (herunder lokalt/globalt maksimum og minimum).
Herunder kunne anvende sammenhængen mellem afledet funktion, monotoniforhold og ekstrema i problembehandling.

I arbejdet med begrebet differentialkvotient behandles grænseværdi-begrebet, dog kun for at opnå en intuitiv forståelse af begrebet (begrebet gives ikke en selvstændig behandling).
Det samme gælder kontinuitets-begrebet.
Eksempler på funktionstyper, der ikke er kontinuerte, og funktioner, der ikke er differentiable vises.

Differentialkvotientens betydning både i matematiske og i anvendelsesorienteret sammenhæng, dvs. fortolke differentialkvotienten som en øjeblikkelig væksthastighed.

Optimering. Eksempel, æske uden låg. I byggede jeres egen. A4-papir. Bortskærer kvadratiske hjørner (x cm).

Beviser
Differentialkvotient for:
f(x) = a·x^2 + b·x + c
f(x) = kvadratrod(x)

Samt bevis for produktreglen
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 21 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 2.g Forløb 4: Sandsynlighed og Statistik

Forløb 4 Sandsynlighed og Statistik

a priori og frekventielle sandsynligheder
Sandsynlighedsfelter, herunder symmetriske
fakultet, permutation og kombination
kombinatoriske beregninger af sandsynligheder med additions- og
multiplikationsprincippet; tælletræer og Pascals trekant

Middelværdi, varians og spredning for en stokastisk variabel (ikke binomialf.)

binomialfordelingen, punktsandsynligheder og kumulerede sandsynligheder samt middelværdi og spredning; søjlediagram.
eksperimenter med og uden tilbagelægning.

Hypotesetest i binomialfordelingen; forventede værdier; population, stikprøve, nulhypotese, alternativ hypotese, teststørrelse, kritisk område, acceptområde, signifikansniveau og p-værdi. Systematiske fejl og skjulte variable.

konfidensintervaller for sandsynlighedsparameteren p (’den sande’
værdi for p i populationen) ud fra stikprøvens størrelse n og et stikprøveestimat for p (ofte kaldet p-hat ). Den statistiske usikkerhed.

Simuleringer; projekt: Blindsmagning, vingummibamser.
Projekt; blodtryk for klassen

normale udfald og exceptionelle udfald, normalfordelingsapproximationen til binomialfordelingen

Normalfordelingen behandles selvstændigt i 3.g


Desuden: Projekt i samarbejde med bachelorstuderende ved
Institut for Naturfagenes Didaktik, Københavns Universitet. Projektet "Undersøgelsesbaseret undervisning i Pascals trekant"; introduktion af Pascals trekanten og binomialkoecienten gennem undersøgelsesbaseret undervisning, bruge konkrete udfald i form af tegnede ruter til at optimere hypoteser og konstruere tælleargumenter
for felterne i Pascals trekant. Opgaven: en skiløber, som skal finde antallet af ruter ned af et bjerg
inddelt i felter. Delmål: motivere eleverne til at argumentere for udvalgte identiteter for binomialkoecient via tællemetoder i Pascals trekant
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 19 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 FF: SRO - studieretningsopgave

FF: SRO - studieretningsopgave

Supplerende stof (matematik)

Formål:
- udvælge, anvende og kombinere forskellige faglige tilgange og metoder
- gøre sig metodiske og basale videnskabsteoretiske overvejelser (med udgangspunkt i den konkrete problemstilling og fagene Matematik og Samfundsfag).

Metode og videnskabsteori (matematik):
- Definitioner
- Aksiomer, sætninger og beviser
- Formal-videnskabeligt fag (ikke real-videnskabeligt)
- Analytisk viden vs. empirisk viden
- Aksiomatisk-deduktiv metode (Deduktiv vs. Induktiv)

Emne: Ulighed i Danmark
Opgave 1: Bør ulighed bekæmpes eller er ulighed godt?
Ulighed og begreberne social arv og social mobilitet.
Gini-koefficient, udled formlen for Gini-koefficienten, arealet af en trapez, Robin Hood-indekset, den tilhørende formel.
Regression, Robin Hood-indekset.

Opgave 2: På hvilken måde bliver uligheden i Danmark påvirket af SVM-regeringens økonomiske politik?
Årsager til ulighed, økonomisk og social ulighed i Danmark.
Gini-koefficienten, udled formlen, arealet af en trapez, Robin Hood-indekset, den tilhørende formel. Regression, Robin Hood-indekset.

Materiale (matematik):
Hvad er matematik? B, i‐bog, Kapitel 14: Fagligt samarbejde matematik samfundsfag 
Erik Vestergaard – Matematik og samfundsfag – Gini-koefficienten (pdf).
Statistikbanken.dk
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 1 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 2.g Forløb 5: Geometri og Vektorregning



**Geometri og vektorregning (primært 1g)

Folkeskolen: ensvinklede trekanter (skalafaktor), Pythagoras’ læresætning og de trigonometriske formler i retvinklede trekanter. Linjer ved trekanten, fx højde, median og vinkelhalveringslinje.

1g og 2g: Cosinus og sinus som koordinater for retningsvektoren til et givet punkt på enhedscirklen, og tangens som forholdet mellem sinus og cosinus.

Begreberne: nulvektor, enhedsvektor, stedvektor og forbindelsesvektor.

Regnereglerne for vektorer (addition, subtraktion og ‘gange en konstant’)

Bestemme: længden af en vektor, tværvektor til en given vektor, skalarproduktet og determinanten mellem to vektorer, vinkel mellem to vektorer (herunder parallelle og ortogonale vektorer) samt projektionen af en vektor på en vektor.

Indlægge geometriske objekter i et koordinatsystem og udføre aflæsninger og beregninger knyttet til modellen. **


Forløb 5: Analytisk Geometri (2g)

Linje og cirkel. Simple overgangsformler for stumpe vinkler mellem vektorer.

Opstille og omskrive ligninger for cirkler (kvadratkomplettering).

Bestemme ligninger for cirkeltangenter.

Omskrive frem og tilbage mellem ligning og parameterfremstilling for en ret linje.

Skæringspunkt mellem linjer og skæringspunkter mellem linje og cirkler.

Vinkel mellem linjer.
Afstand fra punkt til linje.

Sammenhængen mellem en ret linjes hældningsvinkel (med førsteaksen) og linjens hældningskoefficient.

Bevis for afstand punkt til linje.
Bevis vinkel mellem vektorer.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 19 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 3.g Forløb 1: Vektorfunktioner

Forløb 1: Vektorfunktioner

Vektorfunktioner:
   - grafisk forløb af banekurver, herunder tangentbestemmelse, samt anvendelser af vektorfunktioner.
   - repræsentationsformer (parameterfremstilling, banekurve, tabel, stedvektorer).

Bestemme skæringspunkter med akserne og dobbeltpunkter (når en parameterværdi er kendt)

Bestemme koordinater for retningsvektor for tangent.
Bestemme tangentligning, herunder ligning for vandret og lodret tangent.

Problemstillinger i relation til et objekts bevægelse, hvor tiden er input og stedkoordinaterne er output.
Betydningen af begreberne hastigheds- og accelerationsvektor.

Supplerende, bestemme dobbeltpunkter (når ingen parameterværdier er kendt)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13 3.g Forløb 2: Integralregning

Forløb 2: Integralregning

Forløb 1 Integralregning

Dette forløb blev undervist med fokus på matematik-historisk perspektiv.

Del 1: Eksistens og definition af det bestemte integral
Højre- og venstre-rektangler
Højre- og venstre-sum (uden og med Maple)

Fælles grænseværdi for H.sum og V.sum, for n -> uendelig.
Grænseværdien kan blive negativ (grafen for f under x-aksen)

Definition: Det bestemte integral (fra a til b) defineres som denne grænseværdi.

Bevis funktion integrabel, vis at I H-V I --> 0 for n --> uendelig.
Bevis for f(x)=x^2 på [1,2], herefter generelt, enhver funktion på [a,b].

Del 2: Eksakt værdi og Arealbestemmelse
Motivation: Hvordan findes arealet af en forelagt punktmængde?
Bestem den eksakte værdi af det bestemte integral, ikke kun en tilnærmet værdi.

Indse, A'(x) = f(x)

Bevis, A'(x) = f(x)     (dvs. A er stamfunktion til f)


Stamfunktion for de elementære funktioner, ubestemte og bestemte integraler

Sammenhængen mellem areal og stamfunktion, Areal under graf, areal mellem to eller flere grafer (herunder indskudssætningen)

Regnereglerne (sum, differens, ‘gange en konstant’ og substitution) for bestemte og
ubestemte integraler

Anvendelser: problembehandling, der involverer integraler til bestemmelse af areal afgrænset af funktioner, rumfang af omdrejningslegeme og kurvelængde.

Bevis for sætning 1 og 2: V'(x) = pi· ... og V = pi· det bestemte integral ...

Bemærkninger:
Dette forløb blev behandlet med et matematikhistorisk perspektiv.
Forløbet (blandt andre) er tænkt sammen med det supplerende stof om deduktive metoder og bevisførelse.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 26 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14 3.g Forløb 3: Funktioner af to variable


Forløb 3: Funktioner af to variable

Fokus i forløb 3, elevernes rumlige forståelse.

3D-koordinatsystem, koordinatplaner, punkter i 3D.

Funktioner af to variable, tegne grafer for funktioner af to variable, punkter og planer (Maple).

Snitkurver og niveaukurver.

Partielle afledede, anden afledede, gradienter og stationære punkter samt arten af disse (saddelpunkter og ekstremumspunkter).

Note: Skriftlig eksamen
**Ved bestemmelse af arten af stationære punkter for en funktion defineret på begrænsede intervaller er grafisk argumentation tilstrækkelig, hvis de aktuelle stationære punkter fremgår klart af grafen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 15 3.g Forløb 4: Differentialligninger

Forløb 5: Differentialligninger

- Lineære differentialligninger af første orden, herunder eksponentiel vækst og forskudt eksponentiel vækst.
- Ikke-lineære af første orden, herunder den logistiske differentialligning.

- Afgøre om en bestemt funktion er løsning til en forelagt differentialligning (uden Maple).
- Bestemme ligningen for en tangent til en bestemt løsningskurve kan bestemmes (uden Maple).

- Bestemme og tegne linjeelementer.

- Kvalitativ analyse af differentialligninger.

- Opstilling af simple differentialligninger (ved anvendelse af løsningsformlerne fra formelsamlingen, herunder eksponentiel vækst, forskudt eksp. vækst og logistisk vækst).

- Numeriske metoder til løsning af differentialligninger med Maple, herunder kunne tegne og afkode en grafisk repræsentation af en numerisk løsning til et begyndelsesværdiproblem i et hældningsfelt (som ikke kan løses analytisk).

- Aflæsning af relevante oplysninger af en forelagt numerisk løsning til en differentialligning i et hældningsfelt.

Beviser:
- Bevis for løsningsformlen for den generelle lineære første ordens differentialligning.
- Bevis for løsningsformlen for den logistiske differentialligning.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 16 3.g Forløb 5: Normalfordeling


Binomialfordelingen og konfidensintervaller

- Gennemgang af 95%-konfidensintervaller. Beregning vha. formel.



Normalfordelingen

- Tæthedsfunktionen for normalfordelingen, herunder standardnormalfordelingen (graf og forskrift).

- Middelværdi og spredning som parametre i normalfordelingsmodeller, herunder den betydning, middelværdi og spredning har for form og beliggenhed af tæthedsfunktionens og fordelingsfunktionens graf.

- Begreberne middelværdi og spredning i analyse af, om udfald er normale eller exceptionelle i normalfordelingen, herunder sandsynligheden for, at en observation falder i hver af kategorierne.

- Afgøre om givent datasæt kan antages at stamme fra en normalfordelt stokastisk variabel.

- Bevis, arealet under grafen for tæthedsfunktionen fra minus uendelig til uendelig er 1 (notation med grænseværdi er ikke anvendt). Begrebet grænseværdi, egentlige og uegentlige integraler er kort berørt.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17 3.g Forløb 6: Forbederelsesmaterialet


Afsluttende afsættes 6 timers undervisningstid til en forberedelsesperiode til den skriftlige prøve i faget, hvor eleverne selvstændigt arbejder med et centralt stillet forberedelsesmateriale under vejledning.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer