Holdet 2022 MA/x - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2022/23 - 2023/24
Institution Y - Allerød Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Kim Bertelsen
Hold 2022 MA/x (1x MA, 2x MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Lineære funktioner og procentregning
Titel 2 Procentregning I
Titel 3 Deskriptiv statistik - TU1 om mobilbrug med saC
Titel 4 Basal matematik
Titel 5 Procentregning II - procent, kapital, lån
Titel 6 Vækstmodeller (exp. vækst, potensvækst, logist.v.)
Titel 7 Trigonometri
Titel 8 Funktioner
Titel 9 RSA-kodning (Martin Thiim)
Titel 10 Differentialregning
Titel 11 Integralregning
Titel 12 Differentialligninger
Titel 13 Sandsynlighedsregning
Titel 14 Afrunding

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Lineære funktioner og procentregning

Lineære funktioner

Materiale:
10 Lineære funktioner (Max Wilken)
12 Opgaver i matematik - Max Wilken
20 Arbejdsark lineære funktioner

Indhold
Fortolkning af a og b (note 10 side 19-20)
Bestemmelse af a og b ud fra to punkter (note 10 side 22)
Regression
Residualplot
Grafisk løsning af ligninger med TI-Nspire CAS

Procentregning
30 TRIP Procentregning
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Procentregning I

Procentregning

30 TRIP Procentregning
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 2,00 moduler
Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Deskriptiv statistik - TU1 om mobilbrug med saC

TU1 - Matematik og samfundsfag

Statistiske undersøgelser om brug af mobiltelefon
Spørgeskemaundersøgelse om mobilbrug på AG
Udarbejdelse af problemformulering ud fra data i undersøgelsen
Præsentation af problemformulering og besvarelse på max 6 min og max 4 slides.

Fagligt indhold fra matematik (Vejen til Matematik 1AB+C)
Gennemgående eksempel:
1) Indledende undersøgelse af højde og skostørrelse i 2x
2) 2x undersøgelse af mobilbrug + data for samme undersøgelse på skolen fra tidligere år

Observationssæt, størrelse
Typetal og middelværdi for et observationssæt
Variationsbredde, varians og standardafvigelse for et observationssæt
Frekvens og kumuleret frekvens
Fraktil
Kvartilsæt: 25%-fraktil, median (50%-fraktil) og 75%-fraktil

Brug af WordMat til at tegne pindediagrammer og boxplot ud fra datasæt
At tegne to boxplot

Grupperet observationssæt
Middelværdi
Frekvens og kumuleret frekvens


Materiale
WordMat
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 9,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Basal matematik

Mængder, talmængder, potenser, rødder, kvadratsætninger, regneregler, brøker

Mængde. Element
x tilhører A. A er en delmængde af B
Fællesmængde, foreningsmængde, mængdedifferens, komplementærmængde.
Mængdebygger
Intervaller
Talmængderne N, Z, Q og R

Potenser og rødder
Potenser x^a, hvor
* a er et naturligt tal
* a er 0
* a er et negativt tal
* a er et rationalt tal

Brøker
Regneoperationer med brøker

Ligninger
Førstegradsligninger
Uligheder

Andengradsligninger
a, b, c.
Diskriminant
Rødder
Formlen for løsning af andengradsligningen side 97

Grafisk løsning af ligninger ved at tegne højre- og venstreside som funktioner i TI-NSpire og bestemme skæring

Logaritmer og ligninger
Ti-tals-logaritmen log(x), der er den omvendte funktion til 10^x
Regneregler for log(x)
Løsning af ligninger som 5*7^x = 649 ved hjælp af titalslogaritmen log(x)
Jordskælv og Richtertal for jordskælv


Materiale
40 TRIP Mængder og tal
50 TRIP Opgaver potensregneregler
60 TRIP Opgaver 4ødder
70 TRIP Matematikopgaver Ligninger
80 Avancerede andengradsligninger
85 Logaritmer
90 Jordskælv og logaritmer
98 Træningsopgaver


Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 20,00 moduler
Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Procentregning II - procent, kapital, lån

Procentregning re-visited
p %
At lægge p % til
At trække p % fra
At finde 100% når p % er kendt:    x/p
At finde, hvor mange procen a er af b:    a/b

Rentesregning
Termin, rentefod, fremskrivningsfaktor
Kapitalfremskrivningsformlen

Årlig rente ud fra månedlig rente og omvendt
Gennemsnitlig rente

Annuitetsopsparing

Lån
Ydelse, rente, afdrag
Serielån
Annuitetslån
Gældsformlen (= formlen for annuitetslån)
Amortisationstabel
Regneark for amortisation af serie- og annuitetslån


Materiale
100 Kapitel Rente Dollars - opgaver om procent mm
110 Annuitetsopsparingsformlen v3
120 Serie- og Annuitetslån v2
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Vækstmodeller (exp. vækst, potensvækst, logist.v.)

Eksponentielle modeller
Potensmodeller
Logistisk vækst


EKSPONENTIELLE MODELLER

Eksponentialfunktion f(x) = a^x
Eksponentiel vækst f(x) = b*a^x
Fremskrivningsfaktor

Fortolkning af a og b i en eksponentiel udvikling
Monotoniforhold
Bestemmelse af a og b i en eksponentiel udvikling ud fra to punkter
Eksponentiel regression
Fordoblingskonstant og halveringskonstant

Eksempler undervejs: Kapitalfremskrivning, bakteriekultur, radioaktivt henfald


POTENSMODELLER

Gruppearbejde med selvlæsning af note 150 om modellering med potensmodeller f(x)=b*x^a

Potensfunktioner (uden b) : f(x) = x^a og deres grafer for forskellige værdier af a: a<0, 0<a<1, a>1

Fortolkning af b og a
Bestemmelse af b og a ud fra to punkter

Ligefrem proportionalitet
Omvendt proportionalitet

Diskussion af regressionsmodeller (figur side 161)

Eksempler undervejs: Stefan-Boltzmanns lov, Gravitationskraften, gaslovene, tovværks trækstyrke, frekvens af guitarstreng som funktion af længden


LOGISTISK VÆKST

Fortsat selvstændig gruppelæsning af note 150 om vækstmodeller
Eksempler undervejs: Skarver


MATERIALE
130 Eksponentiel vækst
140 Regressionsopgaver 2023 - en masse eksempler på regression
150 Potensiel vækst og modellering
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 9,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Trigonometri

Ensvinklede trekanter
Ligedannede trekanter
Skalafaktor
Ensvinklede trekanter er ligedannede (s 39)

Pythagoras' sætning m bevis side 41, 43-44

Linjer i trekanter
Højde, median,
Vinkelhalveringslinje, skæring, indskreven cirkel
Midtnormal, skæring, omskreven cirkel

Enhedscirklen. Retningspunkt for vinkel
Sinus og cosinus til en vinkel bestemt ud fra enhedscirklen (s. 246)

Beregninger på sider og vinkler i retvinklede trekanter:
Beregning af sinus, cosinus og tangens i en retvinklet trekant (s 248)

Beregning på sider, vinkler og areal i vilkårlige trekanter:
Cosinusrelationerne (note 160)
Arealformlen og sinusrelationerne (note 170)
De fem trekanttilfælde
1 Alle sider - cosinusrelationerne
2 To sider og mellemliggende vinkel - cosinusrelationerne
3 To sider og modstående vinkel - sinusrelationerne. NB fare her
4 En side og hosliggende vinkler - sinusrelationerne
5 En side og en hosliggende vinkel og den modstående vinkel - sinusrelationerne

Videoupload om trekantstilfælde


Materiale
160 Cosinusrelationerne (Ebbesen og Brydensholt: Lærebog i matematik. Bind 1. Systime)
170 Sinusrelationerne og arealformlen
180 Korttegning
190 Hvordan besvarer man en trigonometriopgave
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Funktioner

Definitionsmængde
Forskrift
Funktionsværdi
Gaffelforskrift

Monotoniforhold
Ekstremum: Maksimum, minimum
Globalt maksimum, minmum
Lokalt ekstremum, maksimum, minimum
Løsning af ligninger grafisk
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 RSA-kodning (Martin Thiim)

Introduktion til kodning, specielt RSA-kodning, ved Martin Thiim

Materiale
200 Introduktion til RSA_2
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 1,00 modul
Dækker over: 1 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Differentialregning

Grænseværdi

Grænseværdi for x-x0 og for x->+-oo.
Regneregler for grænseværdier

Kontinuitet
Definition
Eksempler (note 2030)
Værdimængden for en kontinuert funktion

Differentiabilitet (løs definition)
Tangent (løs definition)

Differentialkvotient og tangent.
Differentiation af f(x)=x^2
Differentiabilitet (præcis definition) (side 114)
Tre-trins-reglen (side 116)

Differentiabilitet af bestemte funktioner:
f(x)=x^a. Potenser, rødder

Differentiation af f(x)=x^2, f(x)=ax+b, f(x)=sqrt(x), f(x)=1/x
(2050 Differentialregning enkel start)
(NB: Beviserne for differentiation af 1/x og sqrt(x) står ikke i bogen, men I har noter selv og har øvet det og gennemgået det ved tavlen. Find beviserne i dine noter, eller skaf fra en god ven)

Differentialkvotienten som væksthastighed - en anden fortolkning af f'(t) (side 154-157)

Sætning om, at differentiabilitet medfører kontinuitet (bogen side 108 eller bedre note 2060)

Regneregler for differentialkvotient
Regneregel for differentiation af f = k*g   
Regneregel for differentiation af h = f+g  
Regneregel for differentiation af h=f-g

Skrivemåden f'(x) = dy/dx

Regneregel for differentiation af h(x) = f*g
Regneregel for differentiation af h(x) = f/g

Sammensat funktion h(x) = (f o g)(x)
Regneregel for differentiation af sammensat funktion h = f o g

Eksponentialfunktioner f(x)=e^x og dens differentialkvotient
Differentiation af a^x
Differentiation af x^a

Tangent
(Præcis definition står ikke i bogen. Den præcise definition er:
Hvis funktionen f er differentiabel i x-værdien x_0, så er tangenten til grafen for f i punktet (x0,f(x0)) den linje, der går gennem (x0,f(x0)) og har hældning f'(x0).
Det er en entydig definition, og den stemmer med vores 'fornemmelse'.)
Tangentligningen s. 137
Tangentligninger i forskellige situationer

Monotoniforhold og monotonisætningen s. 141


Materiale
2030 Kontinuitet opgaver OB tegnede grafer
2040 Værdimængden for kontinuerte funktioner GDS
2050 Differentialregning enkel start
2060 Sætning: Differentiabilitet medfører kontinuitet
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 23,00 moduler
Dækker over: 23 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Integralregning

Stamfunktion

S: Hvis F er en stamfunktion, vil G=F+c også være det (side 171)
S: Hvis F og G er stamfunktioner, så er G = F+c (side 171)

Ubestemt integral
Integrationsprøven
Stamfunktion til f+g, til f-g og til k*f
Stamfunktioner til visse funktioner (tabel side 175)

Integration ved substitution:
S integral(f(g(x)*g'(x)dx) = F(g(x))+c   (side 176-177)
(hm. Jeg tror, jeg ikke har fået stukket jer en note om denne sætnings bevis. Er der nogen, der har gode tavlenoter - lad os skyndsomst få fordelt!)

Arealfunktion (side 179)
S Sætning om at arealfunktionen er en stamfunktion: A'(x)=f(x) (side 180)
S Arealberegning: alfa(M)=F(b)-F(a)  side 181

Det bestemte integral (side 182)
Regneregler for det bestemte integral (side 183)

Bestemt integration ved substitution (side 184)
(Igen: Hvor er vores bevis?)

Beregning af arealer i alle tænkelige situation (side 186-187)
Gruppearbejde - selvlæsning

Beregning af rumfanget af et omdrejningslegeme
S V = pi * integral(f(x)^2 dx) fra a til b.
Bevis: Note 2140
Eksempler (side 202-203)

Beregning af kurvelængde
Sætning om kurvelængde (side 204)
(Vi har ikke bevist, kun overbevist. Noter?)


Materiale
2130 Facits til øvelser om integralregning til selvlæsning
2065 Volumen af omdrejningslegeme
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 13,00 moduler
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Differentialligninger

Praktisk introduktion til differentialligninger
Differentialligning.
Orden.
Fuldstændig løsning.
Partikulær løsning

Løsning af differentialligninger med TI-Nspire
* med kommandoen desolve(y' = ooooo,x,y)
* partikulær løsning med kommandoen desolve(y'=00000 and y(_)=_ ,x,y)
* numerisk med kommando til at tegne hældningsfelt og derpå indtegning
  af partikulær løsning ud fra et startpunkt, fundet af TI-Nspire numerisk.
  og mulighed for opslag i den numeriske løsning, som om den var en
  kendt funktion

Selvlæsning om differentialligninger
De helt simple: læste I om selv, styret af noten 2120 Arbejde med differentialligninger 1

2080 Differentialligninger note 1 - om de tre y'=ay, y'=ay+b og y' = y*(b-ay)
gennemgik vi i fællesskab

2090 Differentialligninger note 2 - om modellering med differentialligninger
læste i på selv i grupper


Materiale
2070 Praktisk arbejde med differentialligninger
2080 Differentialligninger note 1 - de grundlæggende differentialligninger og deres løsning med bevis
2090 Differentialligninger note 2 - modellering med differentialligninger
2100 Differentialligninger - separationsmetoden
2110 Differentialligninger løst numerisk i TI-Nspire CAS
2120 Arbejde med differentialligninger 1
2140 Opgaver i differentialligninger


(PS midt inde i forløbet vendte vi lige kort tilbage og beviste formlen for volumen af omdrejningslegeme - se herom i note 2065)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 9,00 moduler
Dækker over: 18 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13 Sandsynlighedsregning

INDLEDENDE SANDSYNLIGHEDSREGNING

Note 2160 Sandsynlighedsregning: side 111-125 (det er den kopinote, vi brugte mest, fra TRIP)

Endeligt sandsynlighedsfelt. Udfaldsrum, sandsynlighedsfunktion
Hændelse. Kast med to terninger
Fælleshændelse, foreningshændelse, differenshændelse, komplementærhændelse

Symmetrisk sandsynlighedsfelt
S24.6 For et symmetrisk sandsynlighedsfelt er P(H)=#gunstige/#mulige
S 24.10 om hændelser og deres sandsynlighed.

Uafhængige hændelser
D  A og B kaldes uafhængige hændelser, hvis P(A \cap B) = P(A)*P(B)

Betinget sandsynlighed
D P(A|B) = P(A \cap B) / P(B)

-----------------------------------------------------------------------------------------------

KOMBINATORIK

Materiale:
Note 2160 Sandsynlighedsregning side 120-125
Note 2190 Kombinatorik - multiplikationsprincippet, additionsprincippet, n!, P(n,r), K(n,r)

Multiplikationsprincippet og additionsprincippet
S Sortering af n elementer kan ske på n! måder
(Se beviser i note 2190)

Permutationer
S Antallet af r-permutationer af en n-mængde er P(n,r) = n!/(n-r)!
(Se bevis i note 2190)

Kombinationer
S Antallet af r-kombinationer af en n-mængde er K(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)
(Se bevis i note 2190)

Opgave om Poker (opgave 177 i note 2160)
Opgave om Yatzy (opgave 170 i note 2160)

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Film: "21"

-----------------------------------------------------------------------------------------------

STOKASTISK VARIABEL

Note 2160 side 107-109

Observationssæt
Udfaldrum, hyppighed, frekvens
Pindediagram over frekvenser til illustration
Repetition af middelværdi, varians og spredning for et OBSERVATIONSSÆT af data, der ER observeret

Stokastisk variabel
Udfaldsrum, sandsynlighed
Pindediagram over sandsynligheder til illustration
Middelværdi, varians og spredning AF STOKASTISK VARIABEL (der ikke er observeret endnu)

Pindediagram over frekvenser eller sandsynlighed

-----------------------------------------------------------------------------------------------

BINOMIALFORDELING

BInomialfordelt stokastisk variabel
Vejen til Matematik A2 side 258-268

D Binomialfordelt stokastisk variabel
Succesforsøg
Succeshændelse
Successandsynlighed p
---
Længde n - et antal uafhængige gentagelser
X = antallet af 'succeser' ved de n gentagelser
X ~b(n,p) . Man siger, at X er binomialfordelt med antalsparameter n og successandsynlighed p.

S Binomialfordelingens punktsandsynlighed: P(X=r) = ...side 262
Note 2200 Binomialfordelingsformlen med bevis
Note 2210 Middelelværdi og spredning for binomialfordeling og det mest sandsynlige antal succeser ved de n gentagelser

Beregning af binomialfordelingssandsynligheder på TI-Nspire med nCr, binompdf(n,p,r) og binomcdf(n,p,r)

-----------------------------------------------------------------------------------------------

ALLE MATERIALER I SANDSYNLIGHEDSREGNING I 2G

Materiale
2150 Opgaver i sandsynlighedsregning
2160 Noter i sandsynlighedsregning 1 (det grønne notehæfte)
2170 Tæl lidt
2180 Poker
2190 Multiplikationsprincippet, additionsprincippet, antallet af permutationer P(n,r) og antallet af kombinationer K(n,r) og beviserne
2195 Pokerhænder (fra Kasper Torp)
2200 Binomialfordelingsformlen og dens bevis
2210 Middelværdi og spredning for en binomialfordeling, opgaver
2220 Et årsprøvespørgsmål i sandsynlighedsregning og tre opgaver om normalfordeling
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 16,00 moduler
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14 Afrunding

Vi repeterer, og ind imellem repetitionen tager vi et par mindre emner op.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer