Holdet 3z MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2025/26
Institution Munkensdam Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Karina Paulsen, Michael Stuckert
Hold 2023 MA/z (1z MA, 2z MA, 3z MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Funktionslære
Titel 2 Eksponentialfunktioner og logaritmefunktioner
Titel 3 Rentesregning
Titel 4 Vektorregning
Titel 5 Vektorregning 2
Titel 6 Polynomier
Titel 7 Potensfunktioner
Titel 8 Differentialregning
Titel 9 Trigonometriske funktioner
Titel 10 Vektorfunktioner (SRO)
Titel 11 Analytisk plangeometri (linjer og cirkler)
Titel 12 Beskrivende statistik
Titel 13 Integralregning
Titel 14 Differentialligninger
Titel 15 Funktioner af to variable
Titel 16 Sandsynlighed og kombinatorik
Titel 17 Fordelinger og statistiske tests
Titel 18 Forberedelsesmateriale: Polære funktioner
Titel 19 Repetition

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Funktionslære

Funktionsbegrebet og definition af en funktion. Definitions- og værdimængde.

Stykkevise funktioner og gaffelforskrift.
Ligefrem- og omvendt proportionalitet.

Monotoniforhold og ekstremaer.

Regning med funktioner: sum- og differensfunktion, produktfunktion og kvotientfunktion.

Sammensatte funktioner og inverse funktioner (kort om eksistensen af inverse funktioner, herunder injektive funktioner).  

Materiale:
Carstensen, F., m.fl., MAT A1, 4. udgave, 4. oplag, systime 2017, kap. 1, s. 8-14, 18-24, 29-41.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 9,00 moduler
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 2 Eksponentialfunktioner og logaritmefunktioner

Forskriften for en eksponentialfunktioner, herunder betydningen af konstanterne a og b samt grafens udseende og monotoniforhold.
Vækstegenskab for eksponentialfunktionen.

Eksponentialfunktioner med grundtallet e, herunder med reference til radioaktive henfald (flerfagligt forløb med fysik), samt halveringskonstant (og fordoblingskonstant) med bevis.

Topunktsformel for eksponentialfunktionen (med bevis) og eksponentiel regression i Nspire.

Logaritmefunktioner (både naturlig logaritme og 10-tals logaritme som omvendte funktioner til 10^x hhv. e^x), herunder logaritmeregneregler.

Desuden arbejdes med uligheder, både ved grafiske og algebraiske løsninger.

Fokus på opgaveregning i grupper og mundtlighed.

Materiale:
Carstensen, F., m.fl., MAT A1, 4. udgave, 4. oplag, systime 2017, kap. 5, s. 100-118, kap. 3 s. 72-78.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Projektarbejde - FF1: Radioaktivitet og eksponentialfunktionen
  • Formidling - Mundtlige oplæg i grupper.
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Pararbejde
  • Projektarbejde

Titel 3 Rentesregning

Renteformlen, kapitalfremskrivning som en eksponentialfunktion.
Effektiv rente og gennemsnitlig rente.

Annuitet:
Annuitetsopsparing (med bevis), annuitetslån (uden bevis men med omskrivning til at bestemme antal terminer, n).

Fokus på individuel opgaveregning og bevisgennemgang i matrixgrupper.

Materiale:
Carstensen, F., m.fl., MAT A1, 4. udgave, 4. oplag, systime 2017, kap. 4, s. 82-95.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Lytte
  • Læse
  • Formidling - Matrixgrupper, bevis for annuitetsopsparing.
Væsentligste arbejdsformer
  • Individuelt arbejde
  • Pararbejde

Titel 4 Vektorregning

Vektorer og regning med vektorer. Fokus på geometrisk at forstå regneoperationerne og tilhørende regneregler.

Vektorkoordinater, herunder basisvektorer og enhedsvektor, og regning med vektorkoordinater.

Stedvektor og vektorlængde.

Enhedscirklen og retningsvektor for en retningsvinkel.
Definition af sinus, cosinus og tangens (inkl. bevis for tangens).
Den trigonometriske grundrelation og den retvinklede trekant. Herunder formler for beregninger i retvinklede trekanter.

Retningsvinkel og polære koordinater.

Skalarprodukt med tilhørende regneregler (inkl. bevis via regning med vektorkoordinater).

Vinkel mellem vektorer og sammenhæng med skalarproduktet (med bevis).

Cosinusrelationerne (bevis via sætninger for vektorer).

Vektorprojektion (med bevis).

Tværvektor og determinant, herunder areal af parallelogram.

Mangler: sinusrelation og arealformel.

Materiale:
Carstensen, F., m.fl., MAT A1, 4. udgave, 4. oplag, systime 2017, kap. 7, s. 150-169, kap. 8 s. 178-197, kap. 9 s. 204-234.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 19,00 moduler
Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Formidling - Faglig formidling ved gennemgang af beviser og opgaver i mindre grupper.
  • Selvrefleksion - Forstå vektorregning og regneoperationer med tilhørende regneregler via. geometriske undersøgelser med vektorer.
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Pararbejde

Titel 5 Vektorregning 2

Afrunding af vektorregning fra 1g.

Arealformler (herunder arealet af et parallellogram).
Sinusrelationerne med bevis.

Materiale:
Carstensen, F., m.fl., MAT A1, 4. udgave, 4. oplag, systime 2017, kap. 9 s. 229-234.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Polynomier

Andengradspolynomiet generelt, herunder koefficienternes betydning for grafens udseende.
- Rødder. Beregning af rødder med diskriminanten (bemærk: andet bevis end det i MAT A2).
- Toppunkt samt parablens symmetri omkring toppunktet.
- Uligheder, løsning og fortolkning samt angivelse af løsningsmængde som et interval.
- Faktorisering og 0-reglen.

Generelt om polynomier:
- Polynomier af grad n, regneforskrift og rødder.  
-Faktoropløsning.
- Lodret og vandret parallelforskydning af polynomier.

Materiale:
Carstensen, F., m.fl., MAT A2, 3. udgave, 1. oplag, systime 2018, kap. 1.
Bevis for diskriminantmetoden: Laerebog i matematik, STX A1, Systime.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 8 Differentialregning

Differentialkvotient, herunder kontinuitet og differentiabilitet.
Tangent og sekant, 3-trins-reglen samt differens- vs. differentialkvotient.
Bevis for differentialkvotienten vha. 3-trins-reglen for udvalgte funktioner, bl.a. f(x)=ax+b og f(x)=ax^2+bx+c.
Tangentens ligning, med bevis.

Differentiation af sammensatte funktioner og af produkt- og kvotientfunktioner (bevis for produkt og sammensat).

Differentialkvotient og væksthastighed.

Monotoniforhold og optimering.

Materiale:
Carstensen, F., m.fl., MAT A2, 3. udgave, 1. oplag, systime 2018, kap. 2, kap. 3. Ikke alle beviser i kapitlerne er gennemarbejdet i modulerne, se ovenfor.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 17,00 moduler
Dækker over: 22 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Trigonometriske funktioner

Enhedscirklen: radianer og grader samt omregninger.
Funktioner for sinus og cosinus, herunder periodicitet af funktionerne.
Trigonometriske grundligninger.

Differentiation af de trigonometriske funktioner, med bevis for cos'(x) og tan'(x).

Harmoniske svingninger, herunder konstanternes betydning for grafens udseende. Herunder periode, amplitude, faseforskydning og svingningens midterakse.


Materiale:
Carstensen, F., m.fl., MAT A2, 3. udgave, 1. oplag, systime 2018, kap. 6 side 181- 195, 197-214.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Formidling
  • Selvrefleksion
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 10 Vektorfunktioner (SRO)

Vektorfunktion, koordinatfunktioner og parameterkurver (banekurve).
Elimination af parameteren.

Vektorfunktion for en cirkel med vilkårligt centrum og radius (udledning).

Differentiabilitet af vektorfunktion (med bevis).
Tangenter til banekurven: tangent vs. tangentvektor.
Hastighed, fart og acceleration.

Analyse af parameterkurven, herunder skæringspunkter med akserne, dobbeltpunkter, vinkel mellem to tangenter, lodrette tangenter og vandrette tangenter.


Carstensen, F., m.fl., MAT A3, 2. udgave, 1. oplag, systime 2019, kap. 7, side 208-233
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 13,00 moduler
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige - Tilegne faglig viden via opgaveregning særligt ifm. kurveundersøgelser.
  • Formidling - Mundtlig bevisgennemgang i grupper, herunder selvstændig at læse og forstå matematisk tekst.
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Analytisk plangeometri (linjer og cirkler)

Linjens ligning på normalform og som en parameterfremstilling (med udledning), herunder betydning af normalvektor og retningsvektor.
Skæring mellem linjer givet ved forskellige repræsentationsformer, herunder ortogonale linjer.
Projektion af et punkt på en linje.
Vinkel mellem rette linjer og vinkel mellem koordinatakserne og rette linjer (vinkel mellem vektorer).
Bestemmelse af den vinkelrette afstand mellem et punkt og en linje (fokus på bevisførelse).  

Cirklens ligning (udledt som afstand mellem to punkter) og kvadratkomplettering.
Skæring mellem cirkel og linje, herunder cirkeltangenter.

Carstensen, F., m.fl., MAT A2, 3. udgave, 1. oplag, systime 2018, kap. 5.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Beskrivende statistik

Ikke-grupperede observation:
Hyppighed, frekvens, kumuleret frekvens, pindediagram og fraktiler, kvartilsæt og boksplot, variationsbredde. Middelværdi, varians og spredning.

Grupperede observationer:
Intervalhyppigheder, intervalfrekvens, kumuleret frekvens, middelværdi, histogram og sumkurve, kvartilsæt og fraktiler samt fortolkning heraf.

Analyse af selvfundet datasæt med præsentation for klassen.

Materiale:
Carstensen, F., m.fl., MAT A1, 4. udgave, 1. oplag, systime 2017, kap. 11, s. 266-280.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13 Integralregning

Stamfunktion og ubestemt integral.

Sætninger om, at en funktion har uendelige mange stamfunktioner og at stamfunktionerne er ens på nær en konstant - med bevis.

Regneregler for ubestemte integraler; sum, difference, konstant gange en funktion.

Integration ved substitution, bevis i grupper.

Arealfunktion og integration, herunder integralregningens hovedsætning med bevis.

Bestemt integral, herunder areal under grafen og mellem to grafer og areal over en graf hvor f(x)<0.

Kurvelængde, med bevis.

Rumfang af omdrejningslegeme, uden bevis.

Materiale:
Carstensen, F., m.fl., MAT A3, 2. udgave, 1. oplag, systime 2019, kap. 1 side 10-22, kap. 2 side 24-49.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 16,00 moduler
Dækker over: 15,5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14 Differentialligninger

Differentialligninger og vækstmodeller.
Fuldstændig - og partikulær løsning.
Hældningsfelt og linjeelement.

Eksponentiel vækst med bevis for den fuldstændige løsning.
Forskudt eksponentiel værst med bevis for den fuldstændige løsning.

Relativ væksthastighed og Newtons afkølingslov.

Logistisk vækst med bevis for den fuldstændige løsning. Herunder bærekapacitet og maksimal væksthastighed.
Historisk matematik om logistisk vækst: matematik i nationens tjeneste. Film udgivet af Praxis: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/10danskematematikere/filmoversigt.html


Carstensen, F., m.fl., MAT A3, 2. udgave, 1. oplag, systime 2019, kap. 5, side 148-167, 171-180.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 15,00 moduler
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 16 Sandsynlighed og kombinatorik

Endeligt sandsynlighedsfelt, herunder udfaldsrum og sandsynlighedsfordeling og hændelse.

A priori sandsynlighed vs. frekventiel sandsynlighed.

Kombinatorik, herunder multiplikation- og additionsprincippet.
Permutationer og kombinationer samt binomialkoefficienten.

Uafhængighed, og fællesmængde samt deres sandsynligheder. Herunder betinget sandsynlighed.

Stokastisk variabel samt middelværdi, varians og spredning.

Binomialfordelingen, herunder punktsandsynligheder ved et binomialforsøg (ræsonnement via eksempel).
Kumulerede binomialsandsynligheder samt middelværdi og spredning.


Materiale:
Carstensen, F., m.fl., MAT A2, 3. udgave, 1. oplag, systime 2018, kap. 7 side 218-268.

J. Frandsen, M. Rangvid, "Enigma - et dilemma", 1. udgave, 1. oplag, systime 2010, s. 41-52.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 9,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17 Fordelinger og statistiske tests

Frekvensfunktion og fordelingsfunktion samt bestemmelse af sandsynlighed via. integralregning.

Sandsynligheder for diskrete vs. kontinuerte stokastiske variable.

Normalfordelingen med tilhørende frekvensfunktion og fordelingsfunktion. Grafernes udseende ved forskellige værdier af middelværdi og spredning.  

Standardnormalfordelingen og approksimation til standard normalfordeling. Herunder sandsynlighedsberegning.

Normalfordelingsapproksimation til binomialfordelingen.

Hypotesetests og stikprøver.
Tosidet binomialtest, herunder at bestemme kritisk mængde og acceptmængde. Kort om ensidet tests (via opgaveregning).

95%-konfidensinterval, herunder formel til beregning.

Statistisk analyse af residualer ved lineær regression (normalfordelte, QQ-plot), statistisk analyse for sammenhæng mellem variabel (konfidensinterval for hældningskoefficient).

Arbejde med simulering, diskret analyse. Test for sammenhæng ml. variable. Projekt lavet i Nspire.

Materiale:
Carstensen, F., m.fl., MAT A2, 3. udgave, 1. oplag, systime 2018, kap. 8 side 284-316, kap. 9 side 320-341, kap. 10 side 348-353, 360-364.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 11,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Diskutere - Diskutere bestemmelse af sandsynligheder ud fra frekvensfunktionen og/eller fordelingsfunktionen.
  • IT - Tegne frekvensfunktioner i Nspire og bestemme sandsynligheder både via integralregning og via beregninger med sandsynligheder. Diskret analyse: Omrøring af datasæt og dermed teste for sammenhæng mellem to variable.
Væsentligste arbejdsformer