Holdet 3g MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse - Lectio

Holdet 3g MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Termin(er)	2025/26
Institution	Tørring Gymnasium
Fag og niveau	Matematik A
Lærer(e)
Hold	2025 3g MA (3g MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Titel 1	Differentialregning og funktioner - udvidet
Titel 2	Integralregning
Titel 3	Differentialligninger
Titel 4	Funktioner af to variable
Titel 5	Forberedelsesmaterialet
Titel 6	Normalfordelingen
Titel 7	Vektorfunktioner
Titel 8	Trigonometriske funktioner
Titel 9	Eksamenstræning
Titel 10	Lineær regressionsanalyse

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)

Titel 1	Differentialregning og funktioner - udvidet Repetition af differentialregning fra B-niveau. Udvides med: * Kæderegel (uden bevis), kvotientregel (uden bevis), bevis for differentiation af e^x, a^x, ln(x) og x^a samt bevis for produktreglen. * Grænseværdibegrebet, herunder kontinuitet, behandles nærmere primært ud fra eksempler. Regning med funktioner repeteres. Der lægges særlig vægt på sammensætning af funktioner. Omvendte funktioner defineres, hvorefter viden om log(x) og ln(x) som omvendte funktioner til henholdsvis 10^x og e^x genopfriskes. Begrebet "injektiv funktion" indføres, og det indses at det netop er de injektive funktioner der har en omvendt funktion.
Indhold	Kernestof: Note om kædereglen.pdf description Note om den naturlige eksponentialfunktion.pdf description Differentiation af eksponentialfunktioner mm 3gMA.pdf description Regning med funktioner samt kontinuitet og grænseværdi.pdf description Grænseværdi og kontinuitet.pdf description Omvendte funktioner.pdf description Produktreglen - bevis fra lærebogen.pdf description Carstensen m.fl.: MAT B til A 4. udagve, Systime; sider: 11-19 Brøkreglen for differentiation.pdf description
Omfang	Estimeret: 6,00 moduler Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Formidling Almene (tværfaglige) Analytiske evner
Væsentligste arbejdsformer	Gruppearbejde Lærerstyret undervisning Pararbejde

Titel 2	Integralregning Stamfunktion, integrationsprøven og ubestemte integraler indføres. Der arbejdes med at bestemme en konkret stamfunktion ud fra et givet punkt på stamfunktionens graf samt med at bestemme en konkret stamfunktion ud fra en given tangent til stamfunktionens graf. Regneregler for ubestemte integraler bevises, og det bevises også at stamfunktioner adskiller sig fra hinanden med en konstant. Arealfunktionen A(x) for en ikke-negativ funktion f defineres, og det opdages gennem eksempler at A(x) er en stamfunktion til f(x). Endvidere bevises integralregningens hovedsætning om at A'(x) = f(x). Der arbejdes med arealbestemmelse, herunder at bestemme arealer under ikke-negative funktioners grafer (med bevis), bestemme arealer af områder mellem grafer (med bevis) og bestemme arealer over ikke-positive funktioners grafer (med bevis). Endvidere bevises også regneregler for bestemte integraler og indskudsreglen. Integration ved substitution for både ubestemte og bestemte integraler indføres og trænes. Sætningen om beregning af kurvelængder anvendes, men bevises ikke. Omdrejningslegemer defineres. Sætningen om beregning af rumfanget af et omdrejningslegeme anvendes, men bevises ikke. Med afsæt i sætningen om rumfang af omdrejningslegemer udledes formler til bestemmelse af rumfanget af en kegle og rumfanget af en kugle. Forløbet afsluttes med et projektarbejde om omdrejningslegemer, hvor eleverne i grupper bl.a. skal designe et vinglas.
Indhold	Kernestof: Brøkreglen for differentiation.pdf description Stamfunktionstabel.docx description Carstensen m.fl.: MAT B til A 4. udagve, Systime; sider: 66-75, 78, 80-98, 102-106, 125-126 Integration ved substitution ubestemte integraler.pdf description Arbejdsark om arealfunktioner.pdf description Bevis for at arealfunktionen er en stamfunktion - kun for voksende funktioner Bestemte integraler og arealbestemmelse.pdf description Bestemt integral - integration ved substitution - til udprint 3gMa.pdf description Omdrejningslegemer - arbejdsark.mw description Kuglens og keglens rumfang.pdf description Stykkevist definerede funktioner.mw description
Omfang	Estimeret: 13,00 moduler Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Lytte Læse Almene (tværfaglige) Analytiske evner
Væsentligste arbejdsformer	Gruppearbejde Lærerstyret undervisning Pararbejde

Titel 3	Differentialligninger Begrebet differentialligning defineres. Indledningsvist gættes der på løsninger til forskellige differentialligninger, og efterfølgende gøres prøve. Der trænes i at undersøge om en given funktion er en løsning til en given differentialligning. Desuden trænes bestemmelse af tangentligninger ud fra en differentialligning og oplysning om et punkt på løsningskurven. Linjeelementer defineres, og hældningsfelter tegnes vha. Maple. Der arbejdes med forskellige typer differentialligninger og løsning af disse. Begreberne fuldstændig løsning, begyndelsesbetingelse og partikulær løsning er centrale her. Det bevises således hvordan den fuldstændige løsning til differentialligninger af typerne y'=ky, y'=b-ay og y'+a(x)y=b(x) bestemmes. I forbindelse med arbejdet med typen y'=ky indføres også begrebet relativ væksthastighed y'/y. På denne måde er den lineære differentialligning af 1. orden behandlet. Der arbejdes også med logistisk vækst og den logistiske differentialligning y'=y(b-ay) (og y'=ay(M-y)), og der argumenteres for forskellige vækstegenskaber ved den logistiske vækstkurve. Det bevises også hvordan den fuldstændige løsning til den logistiske differentialligning bestemmes. Differentialligninger af typen y'=g(y)h(x) behandles vha. separation af de variable på eksempelbasis. Der bruges en lektion på Georg Mohr-konkurrencen og en lektion på en matematikprøve.
Indhold	Kernestof: Introduktionsopgaver til differentialligninger.pdf description Carstensen m.fl.: MAT B til A 4. udagve, Systime; sider: 204-216, 218-236, 261 Arbejdsark om bl.a. relativ væksthastighed.pdf description Den generelle lineære førsteordens differentialligning.pdf description Logistisk vækst og den logistiske differentialligning.pdf description Opgaver om logistiske differentialligninger samt bevis.mw description
Omfang	Estimeret: 16,00 moduler Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Læse Almene (tværfaglige) Analytiske evner
Væsentligste arbejdsformer	Individuelt arbejde Lærerstyret undervisning Pararbejde

Titel 4	Funktioner af to variable Det tredimensionale koordinatsystem introduceres, en funktion f(x,y) af to variable defineres, og graferne for forskellige funktioner af to variable tegnes og undersøges i Maple. Begrebet plan indføres, og uden bevis opskrives ligningen for en plan. De tre koordinatplaner behandles i den forbindelse. Niveaukurver, snitfunktioner og snitkurver indføres, og disse illustreres grafisk vha. Maple. Partielle afledede indføres, og bestemmelse af sådanne trænes. Gradienten defineres og fortolkes geometrisk. Tangentplanens ligning anvendes, men bevises ikke. Begrebet stationært punkt defineres, og de dobbelt afledede og blandede afledede indføres. Der trænes i at bestemme arten af stationære punkter både med og uden Maple. Undervejs i forløbet bruges en lektion på at arbejde med jule-optimeringsopgaver. Desuden bliver der afholdt en enkelt virtuel lektion pga. snelukning af skolen. I denne lektion ser eleverne dokumentareren "Sådan vinder du i livet" med matematikeren Hannah Fry (2015).
Indhold	Kernestof: Indledende opgaver om funktioner af to variable.pdf description Carstensen m.fl.: MAT B til A 4. udagve, Systime; sider: 128-163, 176-185 Niveaukurver to opgaver.pdf description Snitfunktioner og deres snitkurver.pdf description Funktioner af to variable i Maple.mw description En Maple-opgave om niveaukurver og snitkurver.mw description Partiel differentiation.pdf description Betydning af de partielt afledede.mw description Illustration af gradient.mw description Stationære punkter og arten af disse med Maple.mw description
Omfang	Estimeret: 10,00 moduler Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter	Personlige Initiativ IT
Væsentligste arbejdsformer	Eksperimentelt arbejde Individuelt arbejde Lærerstyret undervisning Pararbejde

Titel 5	Forberedelsesmaterialet I studiegrupper arbejder eleverne selv med dette års forberedelsesmateriale om polære funktioner.
Indhold	Kernestof: Polære funktioner - forberedelsesmaterialet stxA 2026.pdf description
Omfang	Estimeret: 4,00 moduler Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Læse Almene (tværfaglige) Overskue og strukturere Personlige Selvstændighed Initiativ Ansvarlighed
Væsentligste arbejdsformer	Gruppearbejde

Titel 6	Normalfordelingen Gennem et eksempel repeteres arbejdet med grupperede observationssæt, herunder histogram og sumkurve. Begrebet stokastisk variabel repeteres, og der skelnes mellem diskrete og kontinuerte stokastiske variable. Der arbejdes videre med kontinuerte stokastiske variable, og begreberne tæthedsfunktion (frekvensfunktion) og fordelingsfunktion indføres. Det indses at punktsandsynligheder for kontinuerte stokastiske variable altid er 0, og at man i stedet arbejder med intervalsandsynligheder. Derefter zoomes ind på normalfordelingen. Forskriften for tæthedsfunktionen for den generelle normalfordeling indføres, og der opstilles bestemte integraler til beregning af sandsynligheder for en normalfordelt stokastisk variabel. Det indses at fordelingsfunktionen er en stamfunktion til tæthedsfunktionen. Desuden bevises det at tæthedsfunktionen for en normalfordelt stokastisk variabel har maksimumssted i x = my. Maples kommandoer normalpdf for tæthedsfunktionen og normalcdf for fordelingsfunktionen bringes også i anvendelse. Exceptionelle og normale udfald indføres, og det testes vha. QQplot om givne datasæt kan siges at være normalfordelte.
Indhold	Kernestof: Carstensen m.fl.: MAT B til A 4. udagve, Systime; sider: 30-43, 46-47, 50-52 Opgave om en uniformt fordelt stokastisk variabel.docx description Normalfordelingen.mw description Tjek for normalfordelte data - QQplot i Maple.mw description Beviset for sætning 4 s. 50 skal du springe over. Læg mærke til begreberne "normale udfald" og "exceptionelle udfald" nederst s. 50. Maksimumssted for tæthedsfunktionen for en normalfordelt stokastisk variabel.pdf description
Omfang	Estimeret: 5,00 moduler Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter	Almene (tværfaglige) Analytiske evner IT
Væsentligste arbejdsformer	Lærerstyret undervisning Pararbejde

Titel 7	Vektorfunktioner Vektorfunktioner og deres banekurver (parameterkurver) indføres, og der arbejdes med banekurvens gennemløbsretning, skæring med akserne og dobbeltpunkter. Differentiabilitet af en vektorfunktion indføres som differentiation af hver af koordinatfunktionerne x(t) og y(t), og begreberne hastighedsvektor, fart og accelerationsvektor defineres. Desuden arbejdes der med at bestemme tangenter til en banekurve og med at bestemme punkter hvori en banekurve har lodrette eller vandrette tangenter. Oversættelse mellem reel funktion og vektorfunktion behandles også. Her kommer metoden med elimination af parameteren i spil. Forskriften for den vektorfunktion der har cirklen som banekurve, udledes, eller med andre ord cirklens parameterfremstilling udledes. Det vises også hvordan parameteren kan elimineres i cirklens parameterfremstilling, sådan at cirklens ligning fremkommer. Om den jævne cirkelbevægelse bevises også at hastighedsvektoren og accelerationsvektoren er ortogonale for enhver værdi af parameteren.
Indhold	Kernestof: Vektorfunktioner - arbejdsark 1 .pdf description Carstensen m.fl.: MAT B til A 4. udagve, Systime; sider: 264-272 Vektorfunktioner forberedelsesmateriale A 2019 i uddrag.pdf description Læs s. 4-9 i den udleverede note om vektorfunktioner. I skal ikke lave opgaverne. Medbring noten de næste par gange. Læs s. 9-16 i den udleverede note om vektorfunktioner. Du skal ikke lave opgaverne. Drilsk opgave om dobbeltpunkt inkl. besvarelse.mw description Læs s. 17-18 i den udleverede note om vektorfunktioner. Lav til og med opgave 9 i noten. Mere om cirklens parameterfremstilling (to små beviser).pdf description Udledning af cirklens parameterfremstilling.pdf description
Omfang	Estimeret: 7,00 moduler Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Læse Formidling Almene (tværfaglige) Kommunikative færdigheder Personlige Ansvarlighed
Væsentligste arbejdsformer	Gruppearbejde Lærerstyret undervisning Pararbejde

Titel 8	Trigonometriske funktioner Radiantal genopfriskes ud fra enhedscirklen. De trigonometriske funktioner sin(x) og cos(x) indføres, og deres grafer tegnes. Derefter løses trigonometriske grundligninger cos(x) = a og sin(x) = a. Funktionen tan(x) defineres, og grafen for tan(x) skitseres. Sætningen om differentiation af tan(x) bevises. Forskriften for en harmonisk svingning f(x)=Asin(bx+c)+k repeteres. Dernæst indses konstanternes betydning for udseendet af grafen for f, og der arbejdes i den forbindelse med periode og faseforskydning for harmoniske svingninger. Der trænes i ud fra grafen for en harmonisk svingning at opskrive dens forskrift. Der anvendes en lektion på at afholde en matematikprøve.
Indhold	Kernestof: Trigonometriske ligninger.pdf description Læs op på emnet trigonometriske funktioner fra 2.g, herunder harmoniske svingninger. Emnet er behandlet s. 178-202 i B2-bogen. Orienter dig i disse sider - du behøver ikke at læse siderne i detaljer. Formentligt kan du genkende det meste. Noter gerne Funktionen tan(x).pdf description Undersøgelse af harmoniske svingninger.mw description Carstensen m.fl.: MAT B til A 4. udagve, Systime; sider: 19-25
Omfang	Estimeret: 4,00 moduler Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter	Almene (tværfaglige) Analytiske evner IT
Væsentligste arbejdsformer	Eksperimentelt arbejde Lærerstyret undervisning Pararbejde

Titel 9	Eksamenstræning Bevis for dist-formlen Information om mundtlig eksamen og snak om de foreløbige mundtlige eksamensspørgsmål
Indhold	Kernestof: Opgaver om og bevis for dist-formlen.pdf description Undervisningsbeskrivelsen for vores matematikhold er nu færdig. Læs den gerne igennem. Vedhæftet finder du de foreløbige eksamensspørgsmål. Læs disse grundigt igennem og overvej gerne hvilket indhold du tænker passer til hvert spørgsmål. Sørg for at tage alt hvad du måtte være i tvivl om med til timen, så vi kan snakke det grundigt ige Foreløbige eksamensspørgsmål 3gMA.docx description Foreløbige eksamensspørgsmål 3gMA.pdf description Læs beviset for dist-formlen. Beviset er udleveret i kopi og også vedhæftet lektionen mandag 11/5.
Omfang	Estimeret: 2,00 moduler Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Søge information Almene (tværfaglige) Overskue og strukturere Personlige Ansvarlighed
Væsentligste arbejdsformer	Lærerstyret undervisning Pararbejde

Titel 10	Lineær regressionsanalyse Lineær regression og mindste kvadraters metode genopfriskes helt kort. Herefter dykkes der lidt længere ned i modellering vha. lineær regression, idet anvendeligheden af en lineær model vurderes ud fra residualplottet og ved at undersøge om residualerne er normalfordelte med middelværdi 0 og samme spredning. Sidstnævnte undersøges ved at lave et QQplot over residualerne. Der ses også et eksempel på test for anden hældning samt bestemmelse af konfidensinterval for hældningstallet.
Indhold	Kernestof: Lineær regressionsanalyse.mw description Sølvmyrer.xlsx description Hvis du har spørgsmål til dit arbejde med lineær regressionsanalyse i fredags, så tag dem med.
Omfang	Estimeret: 2,00 moduler Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Læse Personlige Ansvarlighed
Væsentligste arbejdsformer	Individuelt arbejde

Vis samlet undervisningsbeskrivelse samt elevtilknytning til forløb