Holdet 2a Ma (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse - Lectio

Holdet 2a Ma (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Termin(er)	2025/26
Institution	Tørring Gymnasium
Fag og niveau	Matematik B
Lærer(e)
Hold	2025 2a Ma (2a Ma)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Titel 1	Analytisk geometri
Titel 2	Differentialregning
Titel 3	Logaritmer
Titel 4	Optimering - juleedition
Titel 5	Sandsynlighedsregning og binomialfordelingen
Titel 6	Trigonometri
Titel 7	Andengradspolynomiet
Titel 8	Annuiteter
Titel 9	Repetition (skriftlig og mundtlig mateksamen)

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)

Titel 1	Analytisk geometri Punkt, linje, cirkel i et koordinatsystem Linjens ligning: * y=ax+b - skrå linjer * x=h - lodrette linjer * y=k - vandrette linjer * ax+by+c=0 - alle linjer Skæring mellem to linjer herunder løsning af to ligninger med to ubekendte både vha. substitutionsmetoden og vha. lige store koefficienters metode Afstandsformlen inkl. bevis Cirklens ligning udledes Omskrivning af cirklens ligning vha. kvadratkomplettering Skæring mellem cirkel og linje Afstand mellem punkt og linje inkl. bevis Ortogonale linjer
Indhold	Kernestof: Afstandsformlen, sætning og eksempel.pdf description Afstandsformlen, bevis.pdf description Note om analytisk geometri.pdf description Ortogonale linjer.pdf description Projektion af punkt på linje samt dist-formlen.pdf description Kvadratkomplettering - tre opgaver.pdf description
Omfang	Estimeret: 9,00 moduler Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Lytte Almene (tværfaglige) Analytiske evner
Væsentligste arbejdsformer	Individuelt arbejde Lærerstyret undervisning Pararbejde

Titel 2	Differentialregning Som intro til differentialregningen ses en video med tre eksempler på hvad man kan bruge tangenthældninger (og dermed differentialkvotienter) til. Ved hjælp af en grafisk illustration indføres differentialkvotienten f'(x0) som hældningen på tangenten til grafen for f i (x0, f(x0)), og tangenthældningen bestemmes som grænseværdien for sekanthældninger. Der arbejdes derpå med tretrinsreglen og dennes tre trin: 1) Opskrivning af differenskvotient (sekanthældning) 2) Reduktion af differenskvotienten 3) Bestemmelse af grænseværdi for differenskvotienten Tretrinsreglen anvendes til at udlede differentialkvotienten for funktionerne ax+b, x^2 og ax^2+bx+c. (Nogle elever arbejder også med x^3). Tangentens ligning udledes, og der arbejdes både med at bestemme tangentligninger ud fra et givet røringspunkt og ud fra et givet hældningstal. Regnereglerne for differentiation behandles uden bevis. Således arbejdes der med ledvis differentiation, konstant-reglen og produktreglen. Derudover anvendes produktreglen til at udlede differentialkvotienten for x^n hvor n er et helt positivt tal. Dernæst arbejdes der med sammensatte funktioner og opløsning af sådanne, hvorefter regnereglen om differentiation af en sammensat funktion opskrives og anvendes uden bevis. Denne regneregel kaldes kædereglen. Der arbejdes både med sammensatte funktioner hvor den indre funktion er en lineær funktion, og sammensatte funktioner hvor den indre funktion er en ikke-lineær funktion. Differentialkvotienten for den naturlige eksponentialfunktion e^x, potensfunktionerne x^a og den naturlige logaritmefunktion ln(x) opskrives uden bevis. Til gengæld bevises differentialkvotienten for eksponentialfunktionerne a^x. Endelig arbejdes der med anvendt differentialregning dels i form af undersøgelse af funktioners monotoniforhold herunder opstilling af en fortegnslinje for f' og dels i form af løsning af et optimeringsproblem. Forløbet afsluttes med et optimeringsprojekt der handler om at designe et popcornbæger (på 2000 ml) med brug af mindst muligt papir. En lektion bruges på en matematikprøve. Supplerende stof: En lektion bruges på mandatfordeling.
Indhold	Kernestof: Hvad handler differentialregning om? Opstart af differentialregning, to opgaver.pdf description Introduktionsopgaver til differentialregning.pdf description Carstensen m.fl.: MAT B2 (læreplan 2017), Systime; sider: 48-54, 57-68, 73-74, 77, 80-83, 85-102, 106, 108-123 Udledning af differentialkvotient for visse simple funktioner.pdf description Produktreglen - arbejdsark.pdf description Differentialkvotient for potensfunktioner.pdf description Læselektien handler om reglen om ledvis differentiation. Du skal bare springe over beviset s. 81-82. Sammensætning og opløsning af funktioner - arbejdsark.pdf description Arbejdsark om eulers tal, e^x og ln(x).pdf description Monotoniforhold arbejdsark 1 og 2.pdf description Læselektien omhandler kun velkendt stof, nemlig kæderegel og differentiation af e^x, ln(x), a^x og x^a. Du skal springe over selve beviserne for differentiation af e^x, ln(x), a^x og x^a. Beviserne står på s. 96, 98, 99 og 100. Beviset s. 109 skal du bare springe over. Funktionsundersøgelse i Maple.mw description Sætning og bevis for differentiation af en eksponentialfunktion.pdf description Supplerende stof: Mandatfordeling november 2025.pdf description
Omfang	Estimeret: 20,00 moduler Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter	Almene (tværfaglige) Analytiske evner Kommunikative færdigheder Overskue og strukturere Personlige Selvstændighed Initiativ Ansvarlighed
Væsentligste arbejdsformer	Gruppearbejde Lærerstyret undervisning Pararbejde

Titel 3	Logaritmer Repetition af titalslogaritmefunktionen log(x) fra 1.g, og derefter fokus på at log(x) er defineret som den omvendte funktion til 10^x. Bevis for de tre logaritmeregnereglerne. Løsning af ligninger der involverer logaritmer - både eksponentielle ligninger af typen 3^x=4 og ligninger af typer log(x)=5. Om den naturlige logaritmefunktion ln(x) med fokus på at ln(x) er defineret som den omvendte funktion til e^x
Indhold	Kernestof: Introopgaver om titalslogaritmefunktionen.pdf description Logaritmeregneregler og løsning af ligninger der involverer logaritmer.pdf description Note fra B1-bogen om titalslogaritmefunktionen.pdf description Opsamling på den naturlige logaritmefunktion.pdf description
Omfang	Estimeret: 3,00 moduler Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Formidling Almene (tværfaglige) Analytiske evner Sociale Samarbejdsevne
Væsentligste arbejdsformer	Lærerstyret undervisning Pararbejde

Titel 4	Optimering - juleedition Gruppearbejde om forskellige optimeringsopgaver med juletema afsluttet med gruppefremlæggelser.
Indhold	Kernestof: Juleoptimeringsopgaver.pdf description
Omfang	Estimeret: 2,00 moduler Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter	Personlige Initiativ Kreativitet
Væsentligste arbejdsformer	Pararbejde

Titel 5	Sandsynlighedsregning og binomialfordelingen Begreberne udfald, udfaldsrum, sandsynlighedsfunktion, a priori og frekventiel sandsynlighed, endeligt sandsynlighedsfelt og hændelse indføres. Dernæst arbejdes der med symmetriske sandsynlighedsfelter og beregninger heri vha. formlen "antal gunstige" / "antal mulige". Begreberne fælleshændelse, foreningshændelse og komplementær hændelse indføres. Inden for kombinatorik behandles multiplikationsprincippet og additionsprincippet. Derefter defineres begreberne permutation og kombination, og formlen til beregning af P(n,r) opstilles. Sammenhængen P(n,r) = r!*K(n,r) indses, og herudfra udledes formlen for binomialkoefficienten K(n,r). Det defineres hvad der forstås ved en stokastisk variabel, hvorefter pindediagram, middelværdi, varians og spredning for stokastiske variable behandles. Begrebet binomialforsøg defineres og introduceres gennem forskellige eksempler. Gennem et eksempel om kast med en terning indses formlen til beregning af binomialsandsynligheder. Der arbejdes også med beregning af punktsandsynligheder og kumulerede sandsynligheder vha. Maple. Formlerne til beregning af middelværdi, varians og spredning for en binomialfordelt stokastisk variabel anvendes, men bevises ikke. Hypotesetest introduceres ud fra begreberne stikprøve, nulhypotese, teststørrelse, signifikansniveau, kritisk mængde og acceptmængde. Herefter arbejdes der med tosidet binomialtest. Der ses også et eksempel på hvordan p-værdien for et binomialtest beregnes. Undervejs i forløbet laves der (af hensyn til terminsprøven i uge 6) meget korte repetitioner af tre emner fra C-niveauet, nemlig andengradspolynomiet, trigonometri og deskriptiv statistik.
Indhold	Kernestof: Intro til sandsynlighed.pdf description Carstensen m.fl.: MAT B2 (læreplan 2017), Systime; sider: 206-223, 237-256, 292-302 Arbejdsark om hændelser.pdf description Kombinatorik og sandsynlighed - arbejdsark.pdf description Sandsynlighedsregning: fakultet, kombinationer og permutationer Stokastisk variabel.pdf description En opgave om binomialsandsynligheder.pdf description Om binomialfordelingen - teori og opgaver i Maple.mw description Binomialtest - Teori og opgaver.mw description En side om p-værdi og en opgave om binomialtest.pdf description
Omfang	Estimeret: 13,00 moduler Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter	Almene (tværfaglige) Analytiske evner IT
Væsentligste arbejdsformer	Lærerstyret undervisning Pararbejde

Titel 6	Trigonometri Holdet har arbejdet med trigonometri på C-niveau, så vi går nogenlunde hurtigt frem. Ensvinklede trekanter og skalafaktor samt enhedscirklen og definition af cosinus, sinus og tangens til en vinkel genopfriskes. Retvinklede trekanter behandles vha. de tre trigonometriske formler og Pythagoras' sætning. Der laves et bevis for de tre trigonometriske formler. Dernæst arbejdes der med vilkårlige trekanter. Som det første bevises arealsætningerne og derefter bevises sinusrelationerne og cosinusrelationerne (i tilfældet hvor trekanten er spidsvinklet). Der lægges vægt på at trekanter godt kan hedde andet end ABC. De forskellige trekantstilfælde opstilles, herunder også det dobbelttydige trekantstilfælde, og der trænes i hvordan de forskellige tilfælde "løses". Under hele forløbet er der vægt på blyants- og hovedregning, særligt trænes arbejdet med decimaltal og brøker i forbindelse med ligningsløsning. Supplerende stof: Forløbet afrundes med et historisk perspektiv i form af triangulering. Vi laver selv en triangulering på skolen med henblik på at beregne afstanden mellem en høj antennemast nær skolen og skolens flagstang. Supplerende stof: I anledning af folketingsvalget bruges der en lektion på at arbejde med matematikken bag kandidattest.
Indhold	Kernestof: Kompendium - Ensvinklede og retvinklede trekanter.pdf description Opgaver om vilkårlige trekanter.pdf description Cosinus og sinusrelationer i vilkårlige trekanter.pdf description De forskellige trekantstilfælde.pdf description Opgave om det dobbelttydige trekantstilfælde.pdf description Supplerende stof: Hvilken politiker er du mest enig med? – AI MAT - matematikken bag magien Onlineforedrag #5: Kortlægningen af Danmark Note om Triangulering af Danmark.pdf description
Omfang	Estimeret: 8,00 moduler Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Projektarbejde Almene (tværfaglige) Overskue og strukturere Personlige Selvstændighed Initiativ Ansvarlighed
Væsentligste arbejdsformer	Lærerstyret undervisning Pararbejde Projektarbejde

Titel 7	Andengradspolynomiet Forløbet starter med en repetition af andengradspolynomiet fra mat C bl.a. om koefficienternes og diskriminantens betydning for parablens udseende. Dernæst udbygges emnet med: * Bevis for toppunktsformlen (kun førstekoordinaten) * Brug af differentialregning til at vise at koefficienten b er lig med hældningen på tangenten til parablen i punktet (0,c) * Brug af differentialregning til at beregne toppunktet * Polynomiumsregression * Bevis for diskriminantmetoden * Faktorisering af andengradspolynomiet * Polynomier af højere grad end to Supplerende stof: Forløbet afsluttes med et projektarbejde inden for virksomhedsøkonomi (produktion og salg af pommes frites)
Indhold	Kernestof: To andengradspolynomier.pdf description Parabeleksperimenter i Maple.mw description Bevis for toppunktsformlen.pdf description Carstensen m.fl.: MAT B2 (læreplan 2017), Systime; sider: 10-14, 23 To egenskaber ved andengradspolynomiet bevist ved differentialregning.pdf description Polynomiumsregression - opgaver delvist besvaret.mw description Bevis for diskriminantmetoden.pdf description Arbejdsark om faktoropløsning af andengradspolynomier.pdf description Polynomier af højere grad end to.mw description Faktoropløsning af andengradspolynomiet.pdf description Supplerende stof: Virksomhedsøkonomi - en jordbærcase.mw description
Omfang	Estimeret: 8,00 moduler Dækker over: 7,5 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Projektarbejde Almene (tværfaglige) Analytiske evner Personlige Initiativ Ansvarlighed
Væsentligste arbejdsformer	Lærerstyret undervisning Pararbejde Projektarbejde

Titel 8	Annuiteter Renteformlen repeteres og omskrives, sådan at der fås formler for henholdsvis K0, r og n. Supplerende stof: Først opstilles et konkret eksempel på en annuitetsopsparing. Der udfyldes et skema over opsparingens udvikling i et vist antal terminer. Dernæst indses det hvordan saldoen i det konkrete eksempel kan udregnes på en smartere måde. Dertil bruges en hjælpesætning om en sum af potensudtryk. Det konkrete eksempel behandles også i Excel. Derved bliver der lavet et Excel-skema som let kan generaliseres kan til andre annuitetsopsparinger. Dernæst bevises formlen for saldoen An i en annuitetsopsparing generelt. Og hjælpesætningen om en sum af potensudtryk bevises også. Afslutningsvist opstilles et konkret eksempel på et annuitetslån. Der udfyldes et skema over lånets udvikling i et vist antal terminer. Det konkrete eksempel behandles også i Excel. Derved bliver der lavet et Excel-skema som let kan generaliseres til andre annuitetslån. Formlen til beregning af ydelsen i et annuitetslån anvendes uden bevis. En lektion bruges på en matematikprøve.
Indhold	Kernestof: Renteformlen - arbejdsark.pdf description Omskrivninger af renteformlen.pdf description Annuitetsopsparing arbejdsark.mw description Supplerende stof: Annuitetsopsparingsskabelon.xlsx description Note om annuiteter fra B1-bogen.pdf description Annuitetslån - Arbejdsark.mw description Annuitetslånskabelon.xlsx description
Omfang	Estimeret: 6,00 moduler Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter	Almene (tværfaglige) Analytiske evner Overskue og strukturere Personlige Selvstændighed IT Regneark
Væsentligste arbejdsformer	Individuelt arbejde Lærerstyret undervisning Pararbejde

Titel 9	Repetition (skriftlig og mundtlig mateksamen) Eksponentielle funktioner repeteres med henblik på eksamensspørgsmål 4 og 5. Derudover repeteres øvrige udvalgte emner frem mod mundtlig eksamen.
Indhold	Kernestof: Bevis for sætningen om fordoblingskonstant og topunktsformlen.pdf description Opgaver om eksponentielle funktioner.pdf description Foreløbige spørgsmål till mundtlig eksamen.pdf description Læs begge beviser fra vores matematiktime mandag 18/5. Beviserne er udleverede i kopi og også vedhæftet dette modul. Læs op på hvad der forstås hvad en differentialkvotient. Kig på eksamensspørgsmål 6 og 7 hjemme. Færdiggør beviset for differentiation af f(x)=ax+b vha. tretrinsreglen. Kig også gerne på de to eksamensspørgsmål der handler om trigonometri.
Omfang	Estimeret: 7,00 moduler Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter	Faglige Formidling Almene (tværfaglige) Kommunikative færdigheder Personlige Selvstændighed Ansvarlighed
Væsentligste arbejdsformer	Lærerstyret undervisning Pararbejde

Vis samlet undervisningsbeskrivelse samt elevtilknytning til forløb