Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2018/19 - 2019/20
Institution Nørre Gymnasium
Fag og niveau Matematik B
Lærer(e)
Hold 2018 Ma/t (1t Ma, 2t Ma)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Eksponentialfunktioner og opsamling på grundforløb
Titel 2 Sandsynlighedsregning og kombinatorik
Titel 3 Vektorer og simpel geometri
Titel 4 Potensfunktioner
Titel 5 Mindre kendte funktioner: logaritme, parabel & lån
Titel 6 Differentialregning
Titel 7 Teoretisk statistik med især Binomialfordeling
Titel 8 Vektorer og analytisk geometri
Titel 9 Opsamling og Resume

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Eksponentialfunktioner og opsamling på grundforløb

Eksponentialfunktioner og opsamling på grundforløb
==================================================

Grundforløb: Lineær funktion, deskriptiv statistik
--------------------------------------------------
Matematik i grundforløbet med indføring i emnerne: lineære funktioner
og deskriptiv statistik samt værktøjet: Maple. Beskrivelse fremgår af
beskrivelsen i diverse grundforløbshold i matematik, men stikord er:

Lineære funktioner
------------------

Ligninger
- løs ligninger (førstegradsligninger) i hånden og via Maple.
- forklar hvert skridt i løsningen af ligninger i hånden.

Variabelsammenhænge
- tegn punktplot i hånd og i Maple ud fra en tabel, der viser sammenhørende værdier
  af to variable.
- tegn en graf i Maple ud fra et regneforskrift mellem to variable.
- ud fra en sammenhæng mellem to variable bestemme den ene variabel ud fra en kendt
  værdi af den anden ved direkte udregning i Maple eller brug af kommandoen solve.

Lineære funktioner
- kend betydningen af parametrene (konstanterne) a og b for en lineær funktion .
- tegn grafen for en lineær funktion.
- aflæs a og b for en lineær funktion ud fra grafen for funktionen.
- afgør om en lineær funktion af voksende, aftagende eller konstant ud fra
  forskriften eller grafen.
- vækstforhold (monotoniforhold) for den lineære funktion (inkl. bevis)
- bestem forskrift for en lineær ud fra verbal beskrivelse.
- bestem forskrift for en lineær funktion ved lineær regression (i hånd og Maple).
- bestem forskrift for en lineær funktion ud fra to-punkts-formlen. M.a.o. bestem
  parametrene a og b for en lineær funktion ud fra to punkter på grafen for f (inkl.
   bevis).
- bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem grafen for en lineær funktion
  og førsteaksen (inkl. bevis).
- bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem graferne for to lineære
  funktioner.
- bestem en funktionsværdi for en bestemt x - værdi.
- bestem den tilhørende x - værdi til en bestemt funktionsværdi (i hånd og via
  Maple).



Deskriptiv statistik
--------------------
Forskellige statistiske deskriptorer blandt tal og figurer:

Ikke-grupperet observationer:
- middelværdi(gennemsnit)
- median og kvartilsæt
- hyppighed, frekvens og kumuleret frekvens
- boksplot
- pindediagram
- skævhed
- outlier

Grupperet observationer:
- middelværdi(gennemsnit)
- median og kvartilsæt
- hyppighed, frekvens og kumuleret frekvens
- boksplot
- histogrammer
- sumkurve


Opfølgning på grundforløb: Lineær funktion,
-------------------------------------------
- lineær regression, herunder måltallet R^2 og systematisk afvigelse
- residualplot
- regressioner/tendenslinjer som en metode til at håndtere usikkerhed og
   genkende en model.
- ligefrem proportionalitet som et særtilfælde blandt lineære funktioner
- lineær vækst som absolut y-stigning for absolut x-stigning (bevis)
- stykvis lineær funktion (eks. på gaffelfunktion, også kaldt stykkevist
  definerede funktioner).

Eksponentielle funktioner
------------------------------
a) forskrift
   - forskrift for den eksponentielle udvikling, herunder konstanter a og b
   - montoniforhold bestemt af a
b) bestemmelse af konstanterne a og b
   - verbal beskrivelse af den eksponentielle situation
   - to givne punkter, der ligger PÅ selve grafen
   - flere punkter, der ligger tæt nær linjen (se også lineær regression)
c) repetition af regression
   - egentlig både funktionslære og statistik (teoretisk)
   - eksponentiel regression, herunder måltallet R^2 og systematisk
     afvigelse ved residualplot
   - en af tre metoder til at bestemme parametrene a og b
d) baggrund for eksponentialfunktioner
   - historisk indsigt om opfindelse af talsystem
   - "Renteformlen" som et af de vigtige eksempler på en eksponentiel
     udvikling a = 1+r
e) vækst
   - enten fordoblings- eller halveringskonstant
   - eksponentiel vækst som relativ y-stigning for absolut x-stigning,
     herunder udvidet med når tilvæksten i x er andet end 1
f) annuiteter som udvidelser af renteformlen
   - opsparings- og gældsannuitet (uden beviser: kommer evt. først senere).

bogmateriale m.m
================
Per Gregersen m.fl.: KERNESTOF MAT 1 STX, L&R; s. 32-33, 64-65, 112-119, 130-139
Beviser til lineære, eksponentielle og potensfunktioner,
   MaBevisLinearEksponentiel.pdf; s. 3, 6, 9
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 2 Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Sandsynlighedsregning og kombinatorik
=====================================

Kombinatorik
------------
- udtagelse med eller uden gentagelse
- udtagelse hvor rækkefølge er vigtig eller ej
- tælletræ, Pascals trekant
- permutationer, kombinationer, binomialkoefficient

Sandsynlighedsregning
---------------------
- sandsynlighed. Sandsynlighedsfelt ved eksempler
- uafhængighed (både ved kombinatorik og sandsynlighedsregning)


bogmateriale m.m
================
Per Gregersen m.fl.: KERNESTOF MAT 1 STX, L&R; s. 66-77
dokument MaStatBinoBevis.pdf.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 3 Vektorer og simpel geometri

Vektorer og simpel geometri
===========================
Mere kompleks geometri som linjer og cirkler først i 2.g.

Grundlæggende om vektorer
-------------------------
- notation, tegning og definition af en vektor i planen (2D)
- regning med vektorer og tal og vektorer
- længden af en vektor
- skalarprodukt og regneregler for skalarprodukt
- tværvektor, determinant og anvendelse af determinanter, herunder
  løsning af to ligninger med to ubekendte

Vektorer og trigonomietri
-------------------------
- enhedscirklen, vinkler ved grader eller radianer
- opskrift på cosinus, sinus og tangens
- sædvanlige og polære koordinater
- vinkler mellem to vektorer, ortogonal, parallel
- sammenhæng mellem vinkler og skalarprodukt og determinanter
- cosinus- og sinusformel til fastlæggelse af bl.a. vinkler
- projektion
- retvinklet trekant med Pythagoras, cos, sin og tan
- vilkårlig trekant med sinus- eller cosinusrelationerne

bogmateriale m.m
================
Per Gregersen m.fl.: KERNESTOF MAT 1 STX, L&R; s. 89-101, 108-109, 182-201
Start med vektorer i planen (2D), MaVektorStart.pdf: s. 1-25
Flere beviser for Pythagoras, MaPythagorasBevisMedAlgebra.mw; s. 1
To ligninger med to ubekendte, Ma2ligninger2ubekendte.pdf; s. 1-6
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 19 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 Potensfunktioner


Potensfunktioner
================
- forskrift
  - forskrift for en potenssammenhæng, herunder konstanterne a og b
  - montoniforhold og udseende af graf
- bestemmelse af konstanterne a og b
  - verbal beskrivelse af den eksponentielle situation
  - to givne punkter, der ligger PÅ selve grafen
  - flere punkter, der ligger tæt nær linjen (se også lineær regression)
- baggrund for potensfunktioner
  - bio: dyrs energiforbrug, a=3/4 Kleibers lov
  - fy: pendulsvingning, planeters omløbstid, afstandskvadratloven
- vækst
  - potens vækst som relativ y-stigning for relativ x-stigning


bogmateriale m.m
================
Per Gregersen m.fl.: KERNESTOF MAT 1 STX, L&R; s. 162-171
Beviser til lineære, eksponentielle og potensfunktioner,
  MaBevisLinearEksponentiel.pdf; s. 2, 6, 10
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 5 Mindre kendte funktioner: logaritme, parabel & lån

Mindre kendte funktioner: logaritme, parabel & lån
==================================================

Tema fortsætter i 2.g, især med polynomier og begreber indenfor
funktionsteori.

Polynomier af 2.grad
--------------------
- forskrift
   - forskrift for polynomier, herunder polynomie af anden grad
   - skiftende montoniforhold
- konstanterne a, b og c i polynomie af 2.grad
   - konstanterne a, b og c samt diskriminantens betydning for
     udseende af parablen.
   - regression til at bestemme a, b og c med Maple kun kort omtalt
- rødder
   - kun omtalt kort. Bevis og formler først i 2.g.

Logaritmer
----------
- baggrund for logaritmer
   - logaritmer som de omvendte funktioner til eksponentialfunktioner,
     herunder især 10-tals-logaritmen
   - repræsentation ved tekst, tabel og graf, mens forskrift svær
   - regneregler for logaritmer (bevist ud fra regneregler for potenser)
   - enkelt- og dobbelt-logaritmisk koordinatsystem
   - hørelse og syn som eks. på logaritmisk opfattelse
- brug af logaritmer i beviser
   - bevis fra bog 2 for at grafen for en eksponentialfunktion bliver en ret
     linje i enkeltlogaritmisk koordinatsystem.
   - bevis fra bog 2 for at grafen for en potensfunktion bliver en ret
     linje i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.
   - eksponentialfunktioner: fordoblings- eller halveringskonstant
   - potensfunktioner: to-punktsformlen

Lån og opsparing
----------------
- annuiteter som udvidelser af renteformlen (eksponentialfunkt.)
- bevis for gennemsnitlig og effektiv rente
- opsparings- og gældsannuitet (uden beviser)

Begreber indenfor funktionsteori
--------------------------------
- definitionsmængde, værdimængde
- monotoniforhold og ekstrema.
- tangenter
- gaffelfunktioner (også kaldt stykkevist definerede funktioner)


bogmateriale m.m
================
Per Gregersen m.fl.: KERNESTOF MAT 1 STX, L&R; s. 210-219, 230-244, 248-261, 267-268
Per Gregersen m.fl.: KERNESTOF MAT 2 STX, L&R; s. 58-59
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 6 Differentialregning

Differentialregning
====================

Forskellige rette linjer
------------------------
- beregning af forskrift for linje, når et punkt kendt og enten
  andet punkt kendt eller hældningskoefficienten kendt (repetition)
- sekant, sekanthældning, tangent, tangenthældning
- differenskvotient(sekanthældning), grænseværdi, differentialkvotient(tangenthældning)

Differentiabilitet
------------------
- kort om geometrisk fremgangsmåde
- detaljeret om algebraisk fremgangsmåde med tretrinsreglen
- udledning(bevis) af differentialkvotienten for en række simple funktioner
- afledt funktion
- regneregler(bevist) i differentialregning


Anvendelse af differentialregning
---------------------------------
- anvendelse i andre fag, f.eks. hastighed og acceleration i fysik samt
  priselesticitet i samfundsfag/økonomi.
- monotoniforhold
- tangentens ligning
- optimering
- b's tolkning som tangent og toppunktsformlen for parabler
- 2 eks. med at "regne baglæns" (differentialligninger)
- 2t har 29/8 været i Tivoli og registreret stedfunktioner og
  accelerationer sammen med faget fysik
- 2t har i august 2019 registreret nerveledningshastighed og i november 2018
  registreret bakterievækst med faget biologi

bogmateriale m.m
================
Per Gregersen m.fl.: KERNESTOF MAT 2 STX, L&R; sider:  8-15, 26-27, 92-117,
  119, 122-129
Dokument "MaDifferantiabilitet.mw", "Diff.gif", "EjDiff.gif", "MaDiffAnvendt.mw",
TivoliDatabehandling.pdf, BiMa2t2019Nerveledningshastighed.xlsx,
BiMa1tNov2018Bakterievaekstforsoeg.xlxs
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 30 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 7 Teoretisk statistik med især Binomialfordeling

Teoretisk statistik med især Binomialfordeling
------------------------------------------------------------
Dette tema i 2.g er nært forbundet med tema for deskriptiv statistik og
kombinatorik fra 1.g.

Statisktiske funktioner og modeller
-----------------------------------
- stokastisk variabel (usikkerhed), statisktisk funktion (fordelingsfunktion)
- middelværdi og spredning.
- forudsætninger for binomialfordelingen
- middelværdi og spredning i binomialfordelingen
- frekvens og fordelingsfunktionen for binomialfordelingen
- kort om normalfordelingen
- spredning i residualer ved regression

Statisktiske test
-----------------
- nulhypotese, dobbeltsidet, venstresidet, højresidet
- signifikansniveau
- 4 testmetoder: kritisk område, signifikanssandsynlighed,
  konfidensintervaller og teststørrelse
- de tre første testmetoder og dobbelt/enkelsidet test i
  binomialfordeling, både eksakte test og tilnærmelse til
  normalfordelingen

bogmateriale m.m
================
Per Gregersen m.fl.: KERNESTOF MAT 2 STX, L&R; sider: 65-75, 82-87, 140-147
Beviser for binomialfordelingen, MaStatBinoBevis.pdf; sider: 1-4
Teoretisk statistik (i Maple), MaStatistikTeori.pdf; sider: 1-10, 16-24, 31-32
Dokument "Opg607og608.mw", "MaRegressionResidual.mw", "MaBiBlodtype1t.xlsx",
"MaRegressionResidual.mw".
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 8 Vektorer og analytisk geometri

Vektorer og analytisk geometri
.................................................
linjen og den lineære funktion gemmemgået i grundforløbet i 1.g, men
dengang uden vektorer. Cirklen er helt ny

Repetition fra 1.g med vektorer og simpel geometri
---------------------------------------------------
- skalarprodukt(prikprodukt) og berening af vinkler
- tværvektor, determinant("tværskalarprodukt") og beregning af arealer.

Linjen
------
- linjen med parameterfremstilling ud fra retningsvektor
- linjen med ligning ud fra normalvektor
- omskrivning mellem forskellig ligninger for linjen
- vinkel mellem linje og 1.aksen (bevist)
- afstand fra et punkt til en linje (bevist)
- skæringer og vinkler mellem to linjer
- midtpunkt på linjestykke

Cirklen
-------
- cirklen og dens ligning
- skæringer mellem cirklen og linjer
- tangent til en cirkel

bogmateriale m.m
================
Per Gregersen m.fl.: KERNESTOF MAT 2 STX, L&R; s.44-45, 120,
  138, 158-177.
Dokument: "MaVektorStart.pdf",
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 9 Opsamling og Resume

Opsamling og Resume
------------------------------
Både mindre vigtige rester(sidespor) og gentagelser.

Sidespor
--------
Sidespor kommer der ikke mundtlige individueller eksamensspørgsmål,
men der kan komme til gruppedelen. Der "burde" heller ikke komme
skriftlige eksamensopgaven i det, men det skete alligevel i 2019 med
bølgefunktioner
- definition af bølgefunktioner eller harminisk svingning
- løsning af trigonometriske ligninger
- eks. med empiriske data bag svingning
- annuiteter

Egentlige gentagelser
---------------------
- opsamling på funktioner: definition, monotoniforhold, operatorer.
- træning af skriftlig eksamen (skr. omlagt hj.opg.sæt 19)
- træning af gruppedel til mundtlig eksamen  (skr. omlagt hj.opg.sæt 20)
- træning af individuel del til mundtlig eksamen (skr. omlagt hj.opg.sæt 21)

bogmateriale m.m
================
Per Gregersen m.fl.: KERNESTOF MAT 2 STX, L&R; s.24-31, 44-49
Dokument: MaSvingning.mw.
Repetition af matematik B pensum (på nær statistik og vektorer)
https://www.youtube.com/watch?v=wwEE69S0cL4
Træning til skriftlig eksamen med ABaCus
https://www.youtube.com/watch?v=90vqUVOHKS0&feature=youtu.be
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer