Holdet 2024 24 Ma/f - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2024/25 - 2025/26
Institution Y - Silkeborg Gymnasium
Fag og niveau Matematik B
Lærer(e) Johannes Kruse, Jørgen A. M. Berthelsen
Hold 2024 24 Ma/f (1f Ma, 2f Ma)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Basale regneregler + opsamling på grundforløb
Titel 2 Eksponentielle funktioner
Titel 3 Potens funktioner
Titel 4 Polynomier
Titel 5 Diskriptiv statistik
Titel 6 Trigonometri
Titel 7 Beviser og mundtlig årsprøve
Titel 8 Uden hjælpemidler
Titel 9 Plangeometri
Titel 10 Differentialregning
Titel 11 Sandsynlighedsregning
Titel 12 Afslutning

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Basale regneregler + opsamling på grundforløb

I dette forløb har  vi repeteret generelle regneregler for:
- Brøker
- Paranteser m. bevis af kvadratsætninger
- Potenser
Vi har har arbejdet med TI-Nspire, og kigget på hvordan man laver en god opgavebesvarelse i dette program.
Vi har også samlet op på det vi ved om lineære funktioner fra grundforløbet.

Fra lærerplanen:
̶ Tallene: Regningsarternes hierarki. Simpel algebraisk manipulation. Potens og rod.
̶ Ligninger: Løsning af ligninger med analytiske, grafiske og digitale metoder.

Beviser vi har gennemgået i detalje:
- Beviset for to-punkts-formlen (lineær funktion)
- Bevis af kvadratsætningerne
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Aflevering 1 (Uden hjælpemidler) 22-11-2024
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Eksponentielle funktioner

I dette forløb har vi indledningsvist arbejdet med procentregning. Herefter fortsatte vi med at arbejde med eksponentielle funktioner. Vi har i forbindelse hermed arbejdet med forskriften, konstanternes betydning, grafernes forløb i almindelige koordinatsystemer, formler til at finde forskriften ud fra to punkter, samt fordoblings- og halverings-konstanter. Vi har ligeledes arbejdet med regression.
Undervejs har vi også arbejdet med ln(x) og log(x) og hvordan de kan anvendes til at øse ligninger med ubekendte eksponenter.
Vi har også set hvordan eksponentiel notation kan anvendes til at skrive meget stor og meget små tal.
Slutteligt har vi arbejdet med eksponentielle funktion med Euleurs tal som grundtal og set hvordan man kan omskrive eksponentielle funktioner fra til udtryk med fremskrivningsfaktoren til Eulers tal og omvendt.

Fra lærerplanen:
Procent- og rentesregning: Procentregning. Relativ vækst, vækstrate, fremskrivningsfaktor, renteformlen.

Beviser
- To-punkts-formlen for en eksponentiel funktion
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 11,00 moduler
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Potens funktioner

I dette forløb arbejder vi med at få en viden om potentielle funktioner, hvor vi kommer omkring forskrift, konstanternes betydning for grafens forløb, samt vækstegenskaberne. Derudover arbejdede vi med potensregneregler og regneregler for rødder. Vi arbejdede også med formlerne for at finde en potentiel funktion ud fra to punkter, samt regression.
Vi har sammenlignet de tre typer funktioner (lineære-, eksponentielle- og potensfunktioner) og karakteriseret dem ud fra begreberne absolut og relativ tilvækst.

Beviser:
- Beviset for to-punkts-formlen for en potensfunktion
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Polynomier

I dette forløb har vi primært arbejdet med andengradspolynomier. Vi har arbejdet med forskriften, konstanternes betydning for grafen, rødder og løsning af andengradsligninger, herunder diskriminanten. I forbindelse med løsningen af en andengradsligning har vi arbejdet grundigt med beviset for løsningen til en andengradsligning. Herefter har vi arbejdet med toppunktet, samt omskrivning af forskriften vha. toppunktet og faktorisering vha, rødderne samt med at finde forskriften vha. regression. Afslutningsvist arbejdede vi med mere generelle kendetegn ved polynomier af forskellige grader. I forbindelse med dette introducerede vi også begreberne definitionsmængde, værdimængde og monotoniforhold.

Dette og de tre forgående forløb dækker følgende dele kernestof fra lærerplanen:
̶ Funktioner: Funktionsbegrebet, herunder sammensat funktion. Karakteristiske egenskaber ved følgende elementære
funktioner og deres grafiske forløb: lineære funktioner, polynomier, særligt andengradspolynomier, eksponential- og
potensfunktioner samt log10 og ln. Matematisk modellering med ovennævnte funktionstyper, herunder anvendelse af regression.

Bevis:
- Bevis for løsning af 2. gradsligning via diskriminanten
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 9,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Diskriptiv statistik

Vi har i dette forløb arbejdet med deskriptiv statistik. Her tog vi udgangspunkt i elevernes viden fra folkeskolen, hvor eleverne kender en stor del af begreberne. Vi arbejdede først med ugrupperede data, hvor vi  bl.a. så på hyppighed, frekvens, kumuleret frekvens, gennemsnit, middeltal, pindediagram og histogram, trappediagram, sumkurve, kvartiler og boksplot. Herefter arbejdede vi med grupperede data, og tilføjede begreber som histogram og sumkurve.

Fra lærerplanen:
̶ Deskriptiv statistik: Beskrivelse og grafisk repræsentation af ugrupperet og grupperet observationsmateriale, statistiske
deskriptorer.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Trigonometri

Forløb om trigonometri, herunder:
- Repetition af trekanter fra grundskolen. Notation og begreber.
- Pythagoras' læresætning. (Inkl. bevis)* Definition af cos, sin og tan ud fra enhedscirklen.
- Sin, cos og tangensrelationerne i retvinklede trekanter.
- Arealformlen for vilkårlige trekanter.
- Sinusrelationerne for vilkårlige trekanter.
- Cosinusrelationerne for vilkårlige trekanter.

Materialer:
- I dette forløb har vi taget udgangspunkt i hæfterne basseret på arbejde matriale fra Jørgen A. M. Berthelsen:
"Trigonometri hæfte - centrale begreber og notation"
"Enhedscirklen og retvinklede trekanter.pdf"
"Trigonometri hæfte - Vilkårlige trekanter.pdf"

Supplerende:
- Sinusfælden

Fra lærerplanen:
Geometri og trigonometri
̶ Trigonometri: Trekanter, herunder ensvinklede og retvinklede trekanter. Pythagoras’ sætning. Sinus, cosinus og tangens anvendt på retvinklede trekanter. Sinus- og cosinusrelationerne. Beregning af sider, vinkler og areal i vilkårlige trekanter.

Beviser:
- Pythagoras læresætning
- Bevis for Arealformlen
- Sin, cos og tangensrelationerne i retvinklede trekanter.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 8 Uden hjælpemidler

Indhold
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Plangeometri

Fagligt indhold:
* Linjens ligning: y=ax+b, samt y=b og x=k. Kort gjort opmærksom på at ax+by+c=0 også giver en ligning, men konstanterne har vi ikke givet fortolkning på.
* Grafen for en ligning vs. grafen for en funktion.
* Ortogonale linjer.
* Hældningsvinkel
* Ligningssystemer
* Skæring mellem linjer.
* Afstand fra punkt til punkt.
* Midtpunkt
* Afstand fra punkt til linje (med bevis)
* cirklens ligning
* Skæring mellem linje og cirkel
* Finde radius og centrum i cirkelligning uden parenteser.
* cirkeltangenter


Forløbsmateriale:
* Plangeometri hæfte v. 22.9.2025, selvskrevet note. udleveret elektronisk.

Tidligere version udleveret i print, men blev undervejs suppleret med arbejdsark (ligger på lektionerne). v. 22.9.2025 sammenfatter så alt det de fik i print.

Beviser:
* Afstand fra punkt til linje.
* Bevis, arealformel for trekanter (fylde tidligere hul fra trigonometriforløb)
* Bevis, cosinusrelation for vilkårlige trekanter (fylde hul)

Fra læreplanen:
̶ Analytisk plangeometri: Retvinklet koordinatsystem. Afstand mellem to punkter. Linjens ligning, herunder hældningskoefficient. Skæring mellem linjer, ortogonale linjer. Hældningsvinkel. Afstand mellem punkt og linje. Cirklen, herunder cirklens ligning, skæring mellem linje og cirkel samt tangent til cirkel.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 30 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Differentialregning

Fagligt indhold:
* Differentiering af funktioner.
* Afledede funktioner.
* Tolkning af f' som tangenthældning og som væksthastighed i et øjeblik.
* Tangentens ligning
* Stationære punkter
* Monotoniforhold, herunder monotonilinje.
* Ekstremum, maksmum og minimum (global og lokal)
* Skitsere graf ud fra monotoniforhold
* grafen for f og f'
* Produktreglen
* Kædereglen
* Optimering
* Differentialkvotient, og hvornår en funktion er differentiabel.

Beviser:
* formlen for toppunkt for andengradspolynomiet.
* Differentialkvotient for x^2
* Differentialkvotient for sqrt(x)
* Differentialkvotient for 1/x
* Sumreglen (Supplerende)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 34 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Sandsynlighedsregning

Fagligt indhold:
* Kombinatorik: additions- og multiplikationsprincippet. Kombinationer K(n,r). De har også kort set permutationer (½ modul).
* Lidt mængdelære i parentes.
* Sandsynlighedsfelt.
* Hændelser og komplementærhændelser.
* Symmetriske sandsynlighedsfelter
* Enten-Eller princippet og Både-Og princippet.
* Stokastiske variable, herunder middelværdi og spredning.
* Binomialfordelingen, herunder middelværdi og spredning.
* to-sidet binomialtest.
* Type 1 og type 2 fejl i tests.

Supplerende:
* 2 lektioner: Eleverne har set og arbejdet med Matt Parkers video om Minecraft Speedruns (https://www.youtube.com/watch?v=8Ko3TdPy0TU).
* 3 lektioner med normalfordelingsapproksimination, konfidensinterval for andele, og konfidensinterval for hældning.

Beviser:
* Eleverne har set, men ikke øvet, bevis for antal kombinationer.
* Formlen for ssh i binomialfordelingen.

Materialer:
* Sandsynlighed, JAB Hæfte v. 2 (reform)
* Mængdelære, JAB Hæfte.

Fra læreplanen:
̶ Sandsynlighedsregning: Sandsynlighed, sandsynlighedsfelt, særligt symmetrisk sandsynlighedsfelt. Hændelse. Kombinatorik, herunder kombinationer. Stokastisk variabel, herunder middelværdi og spredning. Binomialfordelingen, herunder beregning af tilhørende sandsynligheder samt middelværdi og spredning.
̶ Statistik: Binomialfordelt statistisk materiale. Estimation af basissandsynligheden. Hypotesetest i binomialfordelingen, herunder nulhypotese og alternativ hypotese, kritisk område og acceptområde samt signifikansniveau.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Afslutning

Afsluttende forløb med fokus på at klare diverse huller fra tidligere forløb. Herunder:
* Sammensatte funktioner (er tidligere bearbejdet i differentialregning ift. kædereglen), men eleverne manglede at regne på dem som funktioner.
* Stykkevise funktioner: Regne på dem, opstille forskrift ud fra graf.
* Nulreglen
* Logaritmisk Skala
* Bevis for fordoblingskonstanten.

Samt afvikle lidt supplerende stof:
* 2 moduler: Log-tabeller (historisk, hvor eleverne regner med naturlig logaritme, så log10 tabeller).
* 2 moduler: Gini-koefficient (arbejdet med under vejledning)
* 1 modul: Misbrug af statistik (diverse fejlslutninger og måder statistik kan fordrejes på)

Og I det omfang det er muligt, repetere tidligere stof.

Materialer:
* minihæfte om sammensatte funktioner (s. 1-4, så ikke finde forskrift eller repetere kæderegel)
* Minihæfte om stykkevise funktioner (s. 1-11)
* Note m. bevis for fordoblingskonstanten
* De tre væksttyper hæfte (s. 37, s. 69-73)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer