Holdet 2022 MA/bmm - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2022/23 - 2024/25
Institution Marselisborg Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Else Marie Gejl, Mikkel Pedersen, Simon Vaaben Andersen
Hold 2022 MA/bmm (1bmm MA, 2bmm MA, 3bmm MA)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Vektorer
Titel 2 Differentialkvotient
Titel 3 Analytisk geometri
Titel 4 Indledende om differenntialligninger (SRO)
Titel 5 Trigonometriske funktioner
Titel 6 Binomialfordeling, stikprøver og test
Titel 7 Ubestemte integraler
Titel 8 Bestemte integraler og areal
Titel 9 Forløb#9
Titel 10 Integralregning (kurvelængder og voluminer)
Titel 11 Differentialligninger
Titel 12 Funktioner af to variable
Titel 13 Vektorfunktioner
Titel 14 Forberedelsesmaterialet (Sandsynlighedsregning)
Titel 15 Sandsynlighedsteori
Titel 16 Rumgeometri (lynforløb)
Titel 17 Eksamensforberedelse

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Vektorer

Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Vektorer - Aflevering 1 28-11-2022
Evaluering - efteråret 2022 23-12-2022
Vektorer - Aflevering 2 04-01-2023
Aflevering 4 - Determinant mv. 18-01-2023
Omfang Estimeret: 15,00 moduler
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 2 Differentialkvotient

MatA2 stx, Systimes ibog (Carstensen m.fl)
2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 Indledende om differenntialligninger (SRO)

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 8 Bestemte integraler og areal

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 9 Forløb#9

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 10 Integralregning (kurvelængder og voluminer)

Forløbet ligger i forlængelse af integralregningsforløbene i 2.g.

Forløbet indledes med en repetition af den teori der allerede er gennemgået. Denne repetition foregår primært ved opgaveregning og enkelte tavlegennemgange.

Vi har i starten af forløbet også behandlet det såkaldte "tog-problem"

Forløbet har hovedvægt på anvendelse af integralregningen og de to nye fagbegreber der kommer i spil efter repetitionen er rumfanget af omdrejningslegemer samt kurvelængder. Disse formler bevises ikke.

Forløbet afsluttes med et projekt hvor eleverne udregner voluminet af forskellige geometriske objekter. Nogle af grupperne fremlægger projektet mundtligt.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Lytte
  • Læse
  • Skrive
  • Selvrefleksion
  • Personlige
  • Selvstændighed
  • IT
Væsentligste arbejdsformer
  • Forelæsninger
  • Gruppearbejde
  • Individuelt arbejde
  • Lærerstyret undervisning
Titel 11 Differentialligninger

Eleverne har fået en intro til differentialligninger ifm SRO i 2.g. Derfor starter forløbet ud med en repetition af, hvad der tidligere har været gennemgået.

Hvad er en differentialligning? Spørgsmålet besvares ved at begrebet differentialligning og begreberne fuldstændig løsning og partikulær løsning til en differentialligning defineres. I den forbindelse arbejdes der med diverse eksempler på løsninger til forskellige differentialligninger. Derefter defineres linjeelementer og hældningsfelter og disse undersøges i dybden både med og uden CAS.
I starten af forløbet løser vi altså ikke differentialligninger endnu. Vi undersøger blot eventuelle løsningers natur vha. hældningsfelter og så påviser vi at givne funktioner enten er løsninger eller ikke er løsninger.

Derefter skal vi til selv at finde løsninger. Dette gøres for den 1. ordens lineære differentialligning. Først arbejdes der med nogle forsimplede udgaver af den 1. ordens lineære differentialligning nemlig de to typer differentialligninger y'=k*y og y'+a*y=b.
Endelig bevises det hvordan differentialligninger på formen dy/dx+g(x)y=h(x) (1. ordens lineære differentialligning) løses.
Dernæst arbejdes der med logistisk vækst og den logistiske differentialligning. Der argumenteres for forskellige vækstegenskaber ved den logistiske vækstkurve.

Undervejs i forløbet anvendes Maple til at finde såvel fuldstændige som partikulære løsninger til forskellige differentialligninger.

Forløbet afsluttes med et projektarbejde der omfatter arbejde med en given differentialligningsmodel om "rygtespredning" og SIR-modellen. Projketet afleveres skriftligt.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
2. Matematikaflevering 02-10-2024
Differentialligninger 10-10-2024
Omfang Estimeret: 14,00 moduler
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Lytte
  • Læse
  • Søge information
  • Skrive
  • Projektarbejde
  • Formidling
  • Personlige
  • Selvstændighed
  • Sociale
  • Samarbejdsevne
  • IT
  • Præsentationsgrafik
Væsentligste arbejdsformer
  • Forelæsninger
  • Gruppearbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Projektarbejde
Titel 12 Funktioner af to variable

Dette forløb omhandler teorien om funktioner af to variable.
Først bringes den formelle definition af en funktion af to variable helt analogt til definitionen af en funktion af én variabel. Deres definitionsmængder og regneforskrifter udforskes.
Dernæst behandles det tredimensionelle koordinatsystem hvor eleverne er rundt på skolen for at give bestemte objekter rumlige koordinater ud fra et fælles koordinatsystem.
Når det rumlige koordinatsystem er på plads indføres grafen for en funktion af 2 variable som en flade i koordinatsystemet.
Grafen for en funktion af to variable udforskes nu ved hjælp af niveaukurver og snitfunktioner.
Dernæst indføres de partielt afledede af en funktion af to variable og der gives en geometrisk fortolkning af de partielle afledede. Tangentplanen for en graf i et punkt defineres og tangentplanens ligning præsenteres - og bevises.  
Med afsæt i de partielt afledede for en funktion af to variabel defineres gradienten samt dens geometriske fortolkning (gradienten i et punkt peger i den retning grafen vokser hurtigst og denne væksthastighed er lig med længden af gradienten).

Slutteligt introduceres begrebet stationære punkter og det forklares hvordan man kan bruge blandede og dobbelt afledede til at bestemme arten af et stationært punkt (saddelpunkt, minimum, maksimum).
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Lytte
  • Personlige
  • Selvstændighed
  • Kreativitet
Væsentligste arbejdsformer
  • Forelæsninger
  • Individuelt arbejde
  • Projektarbejde
Titel 13 Vektorfunktioner

I dette forløb introduceres en ny type funktioner, nemlig vektorfunktionerne.

Vektorfunktionen indføres og dens banekurve udforskes mht. dobbeltpunkter, skæringer med akserne og lodrette+vandrette tangenter.

Dernæst indføres det hvorledes vektorfunktioner differentieres ved blot at differentiere koordinatfunktionerne. Herefter indføres tangenter til banekurven ved hjælp af den rette linjes parameterfremstilling.
Hastighedsvektoren indføres som den afledede vektorfunktion og accelerationsvektoren indføres som den afledede hastighedsvektor. Der gives en geometrisk fortolkning af hastigheds- og accelerationsvektoren.
Den fælles gennemgang af forløbet afsluttes ved at behandle cirklen som en kurve og udlede cirklens parameterfremstilling.

Forløbet afsluttes med projektarbejde omkring nedenstående kendte banekurver.

1. Cirklen
2. Cykloiden
3. Hypocykloiden
4. Det skrå kast (kasteparablen)
5. Kurvelængder (bevis for formlen)
6. Agnesis Heks

Alle elever når ikke omkring alle emner. Derimod kigger hver enkelt gruppe kun på ét emne. Alle emner bliver fremlagt på klasserne af eleverne selv. Således forventes eleverne kun at kende detaljeret til det emne de selv arbejdede med, og overfladisk til de emner, som de har hørt via fremlæggelserne.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 15 Sandsynlighedsteori

Dette forløb er en forlængelse af forløbet "Sandsynlighedsregning og kombinatorik".
I dette forløb indføres stokastiske variable, fordelinger (binomial- og normalfordelingen) samt hypotesetests.  

Først repeteres en række elementer fra 2.g (dette startes op som "arbejd-selv"):
- det generelle set-up med stokastiske variable
- binomialfordelingen  (bestemt af antalsparameter og sandsynlighedsparameter)
- Binomialforsøg
- Binomialsandsynligheder.

Binomialfordelingen er det eneste eksempel vi ser på en diskret stokastisk variabel. Frekvensfunktionen for binomialfordelingen repeteres ligeledes, og det indses at der blot er tale om et pindediagram. Fordelingsfunktionen for binomialfordelingen repeteres og det indses at dette blot er en trappekurve.

Dernæst introduceres normalfordelingen via et arbejdsark i Maple hvor data omkring danskers IQ analyseres ved hjælp af deskriptive metoder, og det indses at man kan bruge teori fra normalfordelingen, så man undgår at arbejde med store datamængder. Normalfordelingen er det eneste eksempel vi ser på en kontinuert stokastisk variabel. Normalfordelingen er bestemt af middelværdi og spredning. Frekvensfunktionen (som også hedder tæthedsfunktionen, når den stokastiske variabel er kontinuert) og fordelingsfunktionen præsenteres. Der indføres en generel forskrift for tæthedsfunktionen ud fra middelværdi og spredning og det ses at tæthedsfunktionen blot er en "udglatningen" af histogrammet. Fordelingsfunktionen, F, indføres som sandsynligheden F(t)=P(X≤t).
Vigtige sandsynligheder i normalfordelingen introduceres. (fx sandsynlighederne for at observere en størrelse der er mindre end én spredning fra middelværdien, eller mere end tre spredninger fra middelværdien, osv.)

Standardnormalfordelingen introduceres som normalfordelingen med middelværdi 0 og spredning 1.

Dernæst præsenteres QQ-plot for at afgøre om en datamængde er normalfordelte. Vi ser, at hvis QQ-plottet er en ret linje, så er data normalfordelt.

Dernæst behandles statistiske test. Først introduceres det generelle setup af hypotest, hvorefter vi behandler binomialtest hvilket er det eneste eksempel på hypotesetest, som vi ser. Binomialtesten kan være tosidet eller ensidet (venstre eller højre).

Hypotesetest bruges når man gerne vil teste om andelen med en bestemt egenskab i en population er en given størrelse (eksempel: teste om andelen af umodne tomater i en sending tomater er 20%). Men man kan også estimere andelen ud fra en stikprøve i stedet for. Når man gør dette medfølger der et konfidensinterval på estimatet, som indeholder den statiske usikkerhed.
Konfidensintervallerne estimeres med en formel som bevises ud fra normalfordelingsapproksimationen til binomialfordelingen som introduceres via et arbejd-selv-ark.

Forløbet afsluttes med teori omkring den lineære regression:
I 1.g bliver eleverne præsenteret for residualer og at man skal kigge efter 2 ting når man skal analysere residualerne:
1. residualernes størrelse
2. residualernes variation omkring nullinjen i residualplottet skal gerne være "tilfældig".
Disse to ting bliver præciseret:

Mht. 1 indføres residualspredningen som kan bruges til at vurdere residualernes størrelse, og mht. 2 argumenteres der for at residualerne bør være normalfordelte i en god lineær model. For at afgøre om residualerne er nomalfordelte tegnes et QQ-plot.

Dernæst præsenteres det hvordan man i modellen kan tage højde for de variationer der måtte komme i data hvis man foretog en anden stikprøve eller lavede eksperimentet igen. Dette gøres ved at indføre et 95%-konfidensinterval for hældningen. Dette læres udelukkende instrumentelt ved hjælp af Maple.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 13,00 moduler
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Læse
  • Søge information
  • IT
Væsentligste arbejdsformer
  • Eksperimentelt arbejde
  • Forelæsninger
  • Individuelt arbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde
Titel 16 Rumgeometri (lynforløb)

Formålet med forløbet er at etablere de værktøjer der skal til for at kunne bevise tangentplanens ligning på en mere overskuelig måde end vi gjorde da vi havde om funktioner af to variable. Vi skal bruge planens ligning samt krydsproduktet.

Indledningsvist introduceres vektorbegrebet i tre dimensioner, og skalarproduktet indføres og vi kigger på egenskaber omkring skalarproduktet (vinkel og ortogonalitet - dog uden argumentation).
Dernæst indføres vektorer mellem to punkter samt normalvektorer for planer. Dette bruges til at udlede planens ligning givet ud fra et punkt og en normalvektor.

Dernæst introduceres krydsproduktet/vektorproduktet og vi behandler egenskaber omkring dette. Det vises eksempelvis at krydsproduktet er nul-vektoren hvis de indgående vektorer er parallelle eller én af dem nulvektoren. Der argumenteres også for at krydsproduktet giver en vektor som står ortogonal på de to indgående vektorer.
Det bevises ydermere at længden af krydsproduktet giver arealet af parallelogrammet udspændt af de to vektorer. Ydermere vises formlen |a x b|=|a|*|b|*sin(v).

Med krydsproduktet og planens ligning i hånden afsluttes forløbet med et nyt bevis for tangentplanens ligning.

Undervejs i forløbet har vi haft højt fokus på faglig læsning, hvor vi har været igennem en række forskellige læseøvelser, såsom "Tænk højt! og "STOP OP! - og giv svar".
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Læse
  • Almene (tværfaglige)
  • Overskue og strukturere
  • Personlige
  • Selvstændighed
Væsentligste arbejdsformer
  • Forelæsninger
  • Individuelt arbejde
  • Pararbejde
Titel 17 Eksamensforberedelse

Vi regner skriftlige eksamensopgaver og I får tid til at forberede jeres dispositioner til en eventuel mundtlig eksamen
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer