Holdet 2xtra Ma (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2024/25 - 2025/26
Institution Marselisborg Gymnasium
Fag og niveau Matematik B
Lærer(e) Simon Vaaben Andersen
Hold 2024 Ma/xtra (1xtra Ma, 2xtra Ma)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Grundforløb
Titel 2 Udvidet regning
Titel 3 Eksponentielle funktioner
Titel 4 Potensfunktioner
Titel 5 Trigonometri
Titel 6 Polynomier
Titel 7 Mundtlighed (årsprøvetræning)
Titel 8 Deskriptiv statistik
Titel 9 Funktionsbegrebet (lynforløb)
Titel 10 Analytisk plangeometri
Titel 11 Logaritmefunktioner
Titel 12 Differentialregning 1 - Differentialkvotienter
Titel 13 Regression
Titel 14 Differentialregning 2 - Monotoni

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Grundforløb

Det i har gennemgået i grundforløbet svarer til kap. 1.1-1.5, 1.7-1.8 og 2.1, 2.1.1 + 2.1.3 samt 2.4 i i-bogen "Plus B stx", men I brugte et kompendie skrevet af Igor og Carsten.
Indhold
Omfang Estimeret: 20,00 moduler
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Udvidet regning


I dette korte forløb arbejder vi med potenser, rødder, potensregnereglerne, procentregning, kvadratsætningerne og andengradsligninger.

Pensum i forløbet er følgende kapitler i i-bogen "plus B stx" (Systime)
2.1.2 + 2.2 + 2.3+2.5


Indhold:

Potenser indføres og potensregnereglerne behandles. Dernæst indføres rødder og vi regner med disse og udforsker sammenhængen mellem rødder og potenser.

Derefter kigger vi på procentregning. Det vises hvordan man kan fx kan lægge 5% til et tal ved blot at gange tallet med 1,05 og det vises hvordan man kan trække 5% fra et tal ved blot at gange med 0,95. Endeligt præsenteres begreberne absolut og relativ tilvækst.

Dernæst behandler vi kvardratsætningerne som skal hjælpe os med at reducere forskellige udtryk. Vi øver regnereglerne med opgaver og slutteligt udleder vi dem (vi argumenterer for at de er rigtige).

Afslutningsvist behandler vi andengradsligningen. Andengradsligninger er ligninger der indeholder udtryk med x^2, og de kan ikke løses som man normalt løser ligninger ved bare at isolere x. Her skal man i stedet bruge en løsningsformel. I denne løsningsformel indgår der et nyt begreb, diskriminanten. Det viser sig at en andengradsligning har 2 løsninger hvis diskriminanten er positiv, én løsning hvis diskriminanten er 0, og ingen løsninger hvis diskriminanten er negativ.

Løsningsformlen for andengradsligningen vises ikke i dette forløb.
Det gemmes til når funktionerne "polynomier" er introduceret.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 9,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Lytte
  • Personlige
  • Selvstændighed
Væsentligste arbejdsformer
  • Forelæsninger
  • Gruppearbejde
  • Individuelt arbejde
  • Lærerstyret undervisning

Titel 3 Eksponentielle funktioner

Pensum i forløbet er følgende kapitler i i-bogen "plus B stx" (Systime)
3.0 + 3.1 + 3.2 + 3.4 + 3.6

Med afsat i et eksempel omhandlende opsparing i banken introduceres eksponentielle funktioner. Regneforskriften for en eksponentiel funktion introduceres som f(x)=b*a^x, og vi ser hvorledes konstanterne a og b har betydning for grafens udseende. Der arbejdes indgående med sammenhængen mellem vækstraten r og fremskrivningsfaktoren a, hvor der gælder at a=1+r.

Den naturlige logaritme (ln(x)) og 10-talslogaritmen (log(x)) indføres kort som en "omvendt regneoperation" for e^x og 10^x. Vi lærer at udregne logaritmer i Wordmat og i hånden for simple tal.

Dernæst indføres fordoblings- og halveringskonstanten for henholdsvis voksende og aftagende eksponentielle funktioner. Formlerne bevises ikke.

Ydermere vises to-punkts-formlen, dvs. hvordan man kan bestemme forskriften for en eksponentiel funktion hvis man kender to punkter på grafen.

Eleverne har i forløbet udelukkende løst eksponentielle ligninger med WordMat.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Potensfunktioner

Pensum i dette forløb er følgende kapitler i "Plus B stx" (i-bog på Systime):
4.0 + 4.1 + 4.2 + 4.3

Potensfunktioner f(x)=b*x^a introduceres. Dernæst udforskes grafen for potensfunktioner og det opdages hvilken betydning a og b har for grafens udseende.

Vi kigger også på følgende vækstegenskab som gælder for alle potensfunktioner: "en relativ ændring i x-værdierne giver en relativ ændring i y-værdierne".

Dernæst præsenteres to-punkts-formlen for potensfunktioner, som ikke bevises.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Lytte
  • Læse
  • Projektarbejde
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Projektarbejde

Titel 5 Trigonometri

Pensum i dette forløb er følgende kapitler i "Plus B stx" i-bog på Systime:
6.0 + 6.1 + 6.2 + 6.3 + 6.4 + 6.5 + 6.6(minus sektion 6.6.3)

Vi starter ud med lidt repetition om hvad vi ved om trekanter fra grundskolen.
Derefter starter vi på teori omkring ensvinklede trekanter, og hvordan man kan bruge skalafaktoren til at finde resterende sider, når man har med to ensvinklede trekanter at gøre. Dette bruges til at lave et lille projekt hvor højden på skolens flagstang måles vha. ensvinklede trekanter. Projektarbejdet afleveres som en aflevering.

Når teorien om ensvinklede trekanter er på plads bevæger vi os videre til at indføre cosinus og sinus ud fra enhedscirklen. Vi bruger tid på at indtegne vinkler i enhedscirklen og derefter angive cosinus og sinus til vinklerne ved at aflæse værdierne på hhv. x-aksen og y-aksen. Tangens introduceres ikke geometrisk men udelukkende som tan(x)=sin(x)/cos(x).

Med cosinus og sinus i værktøjskassen introduceres formlerne til at beregne sider og vinkler i RETVINKLEDE trekanter. (eksempelvis cos(v)=hosliggende katete / hypotenuse). Disse formler trænes og de bevises også.

Pythagoras' sætning repeteres og vi beviser formlen på klassen (det er øvelse 6.3.4).

Slutteligt kigger vi på VILKÅRLIGE trekanter, og vi lærer at bruge sinusrelationerne og cosinusrelationerne. Disse bevises ikke. I stedet bevises arealformlen Areal=1/2*a*b*sin(C), som også gælder for vilkårlige trekanter.

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 9,00 moduler
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Polynomier

Pensum i dette forløb er følgende kapitler i "Plus B stx" (i-bog på Systime)

Kapitel 5.0 + 5.1 + 5.2 + 5.4(indtil overskriften "monotoniforhold og ekstrema")

Indledningsvist indføres andengradspolynomiet, grafen for andengradspolynomiet som hedder en parabel, og betydningen af andengradspolynomiets koefficienter for grafens udseende. Derefter introduceres begrebet "rødder", som er skæringspunkterne på x-aksen for et polynomium, og der argumenteres for at rødderne findes ved at løse ligningen f(x)=0. Når der er tale om et andengradspolynomium er det således en andengradsligning man skal løse for at finde rødderne, og derfor kan antallet af rødder forudsiges ud fra diskriminanten for andengradspolynomiet.

Vi beviser at skæringspunktet med y-aksen for en parabel er punktet (0, c).

Desuden indføres parablens symmetriakse samt toppunktsformlen. Disse formler bruges men bevises ikke.

Afslutningsvist behandles det generelle polynomium, hvor vi kommer ind på polynomiets grad, koefficienter og rødder. Dernæst nævnes algebraens fundamentalsætning som siger at et n'te grads polynomium højest har n rødder.  .



Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Mundtlighed (årsprøvetræning)

I dette korte forløb træner vi den mundtlige eksamen i matematik B.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Deskriptiv statistik

Pensum i forløbet er hele kapitel 8 i bogen "plus B stx" på Systime

Dette forløb blev gennemgået på en flexdag i læseferien i 1.g.

Deskriptiv statistik handler om at præsentere og beskrive talmaterialer på en hensigtsmæssig måde.
Vi kigger skelner i forløbet mellem ugrupperede samt grupperede observationssæt.

Et ugrupperet observationssæt er observationer der ikke er inddelt i grupper eller intervaller. Eleverne lærer at opstille observationssættet i en tabel med hyppigheder, frekvenser, samt kumuleret hyppighed og kumuleret frekvens. Dernæst indføres de såkaldte prikdiagram og stolpediagram som to forskellige måder at præsentere et ugrupperet datasæt på.
Dernæst introuceres boksplottet som en anden måde at præsentere et datasæt på, og her indføres kvartilsættet også.
Middelværdi, varians og spredning behandles som det sidste inden der startes på de grupperede observationssæt.

Et grupperet observationssæt er når observationerne er inddelt i grupper eller intervaller.
Her lærer eleverne også at opskrive tabeller over observationssættet med intervalhyppigheder og intervalfrekvenser.
Histogrammet præsenteres som "pendanten" til stolpediagrammet i det ugrupperede tilfælde. Dvs. histogrammet bruges til at vise frekvenserne for de forskellige intervaller.
Ligeledes introduceres sumkurven som viser de kummerede frekvenser. Denne sumkurve bruges til at indføre begrebet fraktiler.
Kvartilsæt og boksplot behandles også for det grupperede tilfælde.
Slutteligt behandles middelværdi, spredning og varians også for det grupperede tilfælde.

Som en sidste del af forløbet arbejdes der også med stikprøver idet forskellige fiktive eksempler på stikprøveundersøgelser behandles primært med henblik på repræsentativitet og fejlkilder. I den forbindelse anvendes begreber som population, stikprøve og stikprøvers repræsentativitet, systematisk fejl (bias) samt skjulte variable. I arbejdet med stikprøver har eleverne været i skoven for at "tælle hvor mange træer der var i skoven". Dette blev gjort ved at lave repræsentative stikprøver i skoven.

Undervejs har eleverne arbejdet med Wordmats indbyggede funktion til deskriptiv statistik som er en stor interaktivt excel-mappe. Eleverne har dog primært tegnet boksplot og lavet tabeller i hånden og andre opgaver i hånden. Der stilles ikke opgaver i deskriptiv statistik med hjælpemidler til den skriftlige eksamen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Funktionsbegrebet (lynforløb)

Pensum i forløbet er følgende sektioner i bogen plus B stx (på ibog.dk):
1.5
1.6

Efter årsprøven konstateres det at der er brug for lidt mere arbejde omkring funktionsbegrebet.

Først behandles funktionsbegrebet indgående. Funktioner introduceres som "maskiner/automater" der til ethvert input giver præcist ét output. Der arbejdes indgående med x-værdier og funktionsværdier, og definitionsmængden og værdimængden indføres.
Grafen for en funktion indføres som alle de punkter i koordinatsystemet der er på formen (x, f(x)).
De fire repræsentationsformer for en funktion behandles: forskrift, graf, tabel og sproglig.

Slutteligt kigger vi på ligninger
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Analytisk plangeometri

Pensum i dette forløb hele kapitel 7 i bogen "plus B stx" på Systime.
Analytisk plangeometri handler om at lægge forskellige geometriske figurer i et koordinatsystem så vi kan regne på figurerne med koordinater.

Forløbet indledes med at arbejde med linjer. Det bevises at to linjer er ortonale præcist når produktet af deres hældninger giver -1 (a*c=-1).
Hældningsvinklen for en ret linje indføres også.

Dernæst behandles afstande. Afstandsformlen (afstanden mellem to punkter) introduceres og ligeledes behandles "dist-formlen" som bruges til at regne afstanden mellem et punkt og en linje.

Slutteligt behandles cirklen. Her introduceres og udledes cirklen ligning. Eleverne introduceres til hvordan man bestemmer skæringspunkter mellem en linje og en cirkel, og hvordan man kan bruge dist-formlen til at afgøre om linjen og cirklen overhovedet skærer hinanden. Cirkeltangenter indføres og eleverne lærer hvordan man bestemmer ligningen for en tangent til en cirkel i et givent punkt.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Logaritmefunktioner

Pensum i dette forløb er kapitel 10.1 - 10.3 i bogen "plus B stx" på Systime.

I dette forløb behandles logaritmer, som blev indført i 1.g, i dybden. Først indføres de to logaritmefunktioner log(x) og ln(x). Det ses at de er omvendte funktioner til henholdsvis 10^x og e^x.
Graferne for de to funktioner behandles i dybden.

Dernæst introduceres og bevises de tre logaritmeregneregler, hvorefter forløbet afsluttes med at kigge på nogle logaritmiske sammenhænge.
Logaritmiske koordinatsystemer er ikke behandlet i dette forløb, men i stedet i et senere forløb om regression.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Differentialregning 1 - Differentialkvotienter

Pensum i dette forløb er følgende kapitler i bogen "plus B stx" på Systime.
11.1
11.2
11.3
11.4
11.7

I dette forløb gives en løs beskrivelse af differentialregning og der bruges formler for differentialkvotienter og regneregler uden bevis. Beviserne udskydes til et senere mundtligt forløb.

Forløbet starter med at introducere begrebet væksthastigheden i et punkt på en graf blot som "hældningen på tangenten til grafen i punktet". Eleverne finder væksthastigheder på udprintede grafer ved at indtegne tangenter og aflæse tangenternes hældning.
Derefter laves et induktivt eksperiment I Geogebra. Vha. Geogebra udregnes en masse tangenthældninger (dvs. væksthastigheder) for en række forskellige funktioner, og sammenhængen mellem et polynomium og et polynomiums afledede opdages (når man "differentiere" et n-te gradspolynimum (dvs. hvis man udregner tangenthældningen til et vilkårligt punkt og lader punktet variere) så får man et (n-1)'te-gradspolynomium).

Dernæst præsenteres en tabel med differentialkvotienterne for de mest kendte funktioner, hvorefter der regnes på disse i en række punkter. Ved at sammenligne disse resultater med Geogebra ses det at differentialkvotienterne faktisk angiver tangenthældninger.

Med tabellen over de velkendte funktioner på plads behandles regneregler for differentialregning, så eleverne kan differentiere alle former for funktioner. Følgende regneregler præsenteres og behandles (dog uden beviser)
- konstant gange en funktion
- sumreglen (eller ledvis differentiation)
- produktreglen
- kædereglen (differentiation af en sammensat funktion).

Til sidst i forløbet behandles tangentens ligning.



Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13 Regression

Pensum i dette forløb er følgende kapitler i bogen "plus B stx" i Systime
1.8
1.9
3.7
4.5
5.4 (om andengradsregression)
10.4

I dette korte forløb lærer eleverne at lave regression vha. Wordmat. Vi kigger på følgende typer af regression:
- lineær regression
- eksponentiel regression
- potensregression
-andengradsregression (polynomiel regression af grad 2)
- regression med logaritmiske koordinatsystemer.

Eleverne arbejder undervejs med større datasæt, hvor det er nødvendigt at kunne importere data fra en Excelfil til wordmat.

Slutteligt i forøbet behandles de logaritmiske koordinatsystemer og det bevises en eksponentiel funktion vil give en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, og det bevises at en potensfunktion vil give en ret linje i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.
Eleverne udfører regression i hånden med logaritmiske koordinatsystemer.

Undervej i dette forløb har eleverne arbejdet meget med eksamensopgaver indenfor regression.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14 Differentialregning 2 - Monotoni

Pensum i dette forløb er følgende kapitler i bogen "plus B stx" på Systime.
5.4 (om monotoni og ekstrema)
11.7
11.8

Forløbet indledes med at behandle begrebet monotoni selvstændigt.
Definitionen på at være voksende eller aftagende introduceres og disse bruges til at bevise at den lineære funktion er voksende når a>0 og aftagende når a<1. Dernæst indføres begrebet monotone funktioner, og eleverne lærer at opskrive monotoniintervallerne for funktioner, dvs. at angive i hvilke intervaller grafen er voksende og i hvilke intervaller grafen er aftagende.
Dernæst behandles ekstrema selvstændigt. Begreberne lokale og globale maksima/minima indføres og eleverne lærer at finde disse grafisk.

Når begrebet monotoni er på plads undersøges sammenhængen mellem en funktions monotoniforhold og den afledede funktion. Denne undersøgelse laver eleverne med Geogebra og Wordmat. Undersøgelsen munder ud i at formulere monotonisætningen (bevises ikke), som giver sammenhængen mellem en funktions monotoni og den afledede funktion.
Monotonisætningen bruges til at lave monotonilinjer for funktioner, og eleverne lærer at skitsere en graf udelukkende ud fra en monotonilinje. Disse monotonilinjer laves vha. differentialregning.

Dernæst behandles sammenhængen mellem ekstra og differentialregning, og eleverne lærer at bestemme ekstrema vha. differentialregning. Eleverne lærer at der er vandrette tangenter i ekstremapunkterne. Dvs. ekstrapunkter kan findes ved at løse ligningen f'(x)=0.

Slutteligt i forløbet behandles begrebet optimering og eleverne regner på et eksempel på optimering af fortjenesten i en forlystelsespark som funktion af billetprisen.

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer