Holdet 2a Ma (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2024/25 - 2025/26
Institution Randers Statsskole
Fag og niveau Matematik B
Lærer(e) Morten Lolk Rasch
Hold 2024 Ma/a (1a Ma, 2a Ma)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Grundforløb (lineære funktioner mm.)
Titel 2 Funktioner og analytisk geometri
Titel 3 Procentregning og eksponentielle funktioner
Titel 4 Potensudvikling
Titel 5 Logaritmer
Titel 6 Trigonometri
Titel 7 Andengradspolynomier
Titel 8 Differentialregning
Titel 9 Statistik
Titel 10 Kombinatorik og sandsynlighed/binomialfordeling
Titel 11 Supplerende emne(r)

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Grundforløb (lineære funktioner mm.)

Studieplan grundforløb matematik

Lineære sammenhænge

Del 1 af grundforløbet i matematik har haft den lineære funktion som omdrejningspunkt.

Faglige mål i forløbet
- Operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer
- håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold
- oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse
- anvende funktionsudtryk i opstilling af matematiske modeller på baggrund af data eller viden fra andre fagområder, kunne analysere matematiske modeller, foretage simuleringer samt fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modeller
- gennemføre matematiske ræsonnementer og beviser

Kernestof i forløbet
- regningsarternes hierarki, simpel symbolmanipulation, ligningsløsning med algebraiske og grafiske metoder
- funktionsbegrebet karakteristiske egenskaber ved den lineære funktion og dens grafiske forløb
- matematisk modellering med anvendelse af den lineære funktion

Supplerende stof i forløbet
- bearbejdning af autentisk datamateriale
- beviset for a og b i den lineære funktion er gennemført

Forløbet er afsluttet med den obligatoriske screening

Kompendiet er sammensat af egne noter samt bogen "Vejen til matematik AB1+C" af Knud Erik Nielsen og Esper Fogh
Indhold
Omfang Estimeret: 20,00 moduler
Dækker over: 1 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Funktioner og analytisk geometri


Carstensen/Frandsen: "MAT 1", Systime, 1. udgave, 1. oplag 1997:
Siderne 113(n)-116, 211-213(n), 240-243(n), 245(ø) samt s. 249(m)-250(n).

Carstensen/Frandsen/Wendt Lorenzen/Lund Madsen: "MAT C til B", Systime, 4. udgave, 1. oplag 2020:
Siderne 10(n)-12(n).

Carstensen/Frandsen/Studsgaard: MAT B (hf)", Systime, 1. udgave, 1. oplag 2006:
Siderne 33-39.

Jens Carstensen/Jesper Frandsen/Esben Wendt Lorenzen/Adam Lund Madsen: "MAT A2 (stx)", Systime (2010-2018), 3. udgave, 1. oplag:
Siderne 160(n)-161(m), 163(ø)-165.

Jens Carstensen/Jesper/Frandsen/Esben Wendt Lorenzen: "MAT B (hf)", Systime (2006-2018), 3. udgave, 1. oplag:
Siderne 85(n)-87(n), 90-91(m), 94-96 samt side 98(n)-106.

Oliver Streit: "Klar matematik. Den ultimative notesamling", Praxis (Nyt teknisk forlag), 1. oplag, 2020:
Siderne 61(ø)-64(m).

Ibog: "MAT A stx (Læreplan 2024)", kapitel 15.5 om ortogonale linjer. Sætning 6 med beviset uden vektorer (+ eksempel 19), Systime. (https://matastx.systime.dk/?id=1850).

Derudover en lang række tavlenoter.


Vi har repeteret linjens ligning/linearitet fra grundforløbet og derefter generelt talt om funktionsbegrebet og bl.a. tegnet/diskuteret/forstået graferne for lineære, eksponentielle og potensfunktioner samt kvadratrodsfunktionen samt logaritmefunktioner (og aflæst punkter på sådanne grafer). Vi har derudover behandlet sammensatte funktioner og bestemt forskrifter for sådanne (og sporadisk været inde på inverse/omvendte funktioner). Endelig har vi talt om (og tegnet) stykkevist definerede funktioner.

I forbindelse med analytisk geometri har vi gennemgået afstandsformlen (afstanden imellem to punkter) og beregnet skæringsvinkler imellem rette linjer og x-aksen (via tangens) samt stumpe og spidse vinkler imellem linjer både med og uden Ti-Nspire. Vi har set på cirklens ligning og bestemt cirklers radier og centre ved at "gå baglæns i kvadratsætningerne. Vi har beregnet cirkeltangenter og løst løsning af ligningssystemer analytisk og grafisk, og vi har talt om (og bevist), at produktet imellem ortogonale linjer hældningskoefficienter er lig -1. Endelig har vi bevist formlen for afstand imellem punkt og linje.
Indhold
Omfang Estimeret: 18,00 moduler
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Procentregning og eksponentielle funktioner

Carstensen/Frandsen/Studsgaard: "MAT C (stx)", Systime, 1. udgave, 1. oplag 2005:
Siderne 102-104, 107(n)-112 samt side 120(m)-121.

Carstensen/Frandsen: "MAT 1", Systime, 1. udgave, 1. oplag 1997:
Siderne 284(m)-285.

Carstensen/Frandsen/Studsgaard: "MAT B1 (stx)", Systime, 1. udgave, 1. oplag 2005:
Siderne 217-221 samt side 224-227(m).

Jensen/Overgård Nielsen: "Matema10k (c-niveau))", Frydenlund, 3. oplag 2007.
Siderne 129-131, 133-133(n), 134-143 samt side 145-151.

Oliver Streit: "Klar matematik. Den ultimative notesamling", Praxis (Nyt teknisk forlag), 1. oplag, 2020:
Siderne 38(ø)-39(m).

Desuden en lang række tavlenoter.


Vi har (ganske hurtigt) gennemgået procent- og rentesregning helt fra bunden af og herefter regnet forskellige opgaver omhandlende procentregning. Vi har grundigt gennemgået eksponentielle funktioner, deres grafer og konstanternes betydning og benyttet Ti-Nspire til at tegne sådanne grafer og til at foretage eksponentiel regression. Endelig har vi gennemgået og bevist "fremskrivningsfaktorformlen" (bestemmelse af værdien af fremskrivningsfaktoren, når man allerede kender to punkter på grafen for en eksponentiel udvikling). Endelig har vi overfladisk gennemgået enkeltlogaritmisk papir, aflæst punkter/koordinatsæt i sådanne papirer og forstået, at rette linjer i enkeltlogaritmiske papirer afslører eksponentielle funktioner.
Naturligvis har vi også været inde på fordoblings- og halveringskonstanter (se forløbet logaritmefunktioner).
Indhold
Omfang Estimeret: 11,00 moduler
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Potensudvikling

Carstensen/Frandsen/Lorenzen: "MAT A1 (stx)", Systime 5. udgave, 1. oplag 2019.
Siderne 124-128(øv) samt side 130(n)-135(n).

Carstensen/Frandsen/Studsgaard: "MAT C (stx)", Systime, 1. udgave, 1. oplag 2005:
Siderne 78(n)-80 samt side 83(m)-86(n).

Jensen/Overgård Nielsen: "Matema10k (c-niveau))", Frydenlund, 3. oplag 2007.
Siderne 166-170 samt side 172(n)-175(ø).

Oliver Streit: "Klar matematik. Den ultimative notesamling", Praxis (Nyt teknisk forlag), 1. oplag, 2020:
Siderne 41-42 og 44-46(m) (plus eksemplet midt på side 43).

Derudover en lang række tavlenoter.

Vi har i et kortere forløb været inde på potensfunktioner, deres grafer og konstanternes betydning. Vi har gennemgået og bevist formlen for konstanten a, når to punkter på en potensgraf er kendt, og vi har (lidt grundigere) talt om "procent-procentegenskaben" (som vi i timerne har kaldt "k-sætningen" (når x bliver k gange større, bliver y k i a'ne gange større).
Vi har behandlet modeller, hvor potensfunktioner indgår og tegnet deres grafer (af og til hvor en forudgående potensregression har været nødvendig). Endelig har (meget sporadisk) været inde på omvendt proportionalitet. Slutteligt har vi overfladisk gennemgået dobbeltlogaritmisk papir, aflæst punkter/koordinatsæt i sådanne papirer og forstået, at rette linjer i dobbeltlogaritmiske papirer afslører potensfunktioner.
Indhold
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Logaritmer

Carstensen/Frandsen/Wendt Lorenzen/Lund Madsen: "MAT C til B", Systime, 4. udgave, 1. oplag 2020:
Siderne 14(n)-18(ø), 20(ø)-21(m), 22-24 samt eksempel 8, side 25.

Carstensen/Frandsen: "MAT 1", Systime, 1. udgave, 1. oplag 1997:
Siderne 287-291.

Carstensen/Frandsen/Studsgaard: "MAT B1 (stx)", Systime, 1. udgave, 1. oplag 2005:
Siderne 235-240(m), 244-246(ø) samt side 246(n)-248(m).

Felsager, Bjørn: Note om den naturlige logaritmefunktion (fra Haslev Gymnasium).

Derudover en lang række tavlenoter.


Vi har indført titalslogaritmen og den naturlige logaritmefunktion, tegnet deres grafer og talt om deres inverse udgaver. Vi har defineret Eulers tal e som grundtallet for den eksponentialfunktion, der har en tangenthældning på 1 i punktet (0,1). Vi har bevist formlerne for fordoblingskonstanten og halveringskonstanten, talt om (og benyttet) logaritmeregnereglerne og også bevist disse regler på to vidt forskellige måder (den gængse via bl.a. potensregneregler og en alternativ, hvor vi bl.a. har brugt arealsammenligninger under grafen for funktionen f(x)=1/x). Endelig har vi talt om enkelt- og dobbeltlogaritmisk papir og aflæst punkter/koordinatsæt tegnet i sådanne papirer.
Indhold
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Trigonometri

Carstensen/Frandsen/Studsgaard: "MAT B1 (stx)", Systime, 1. udgave, 1. oplag 2005:
Siderne 109-117 samt side 119-126.

Fristrup/Nørgaard/Storm Rasmussen: "MAT C (hf)", Systime, 2. udgave, 1. oplag 2010:
Siderne 134-137 (m).

Carstensen/Frandsen: "MAT 1", Systime, 1. udgave, 1. oplag 1997:
Siderne 190-193.

Derudover en lang række tavlenoter.

Vi har talt om vinkelsummen i en trekant, Pythagoras' lærersætning (og bevist denne sætning) samt arealformlen for en trekant (Areal = 0,5*h*g) - alle dele repetition fra grundskolen. Vi har også været grundigt inde på ensvinklede trekanter ("I ensvinklede trekanter er forholdet imellem de ensliggende sider konstant"). Også denne teori må formodes at være kendt stof fra tidligere. Herefter har vi indført betegnelserne sinus, cosinus og tangens og forstået disse størrelser via enhedscirklen. Vi har behandlet (og bevist) de trigonometriske formler for retvinklede trekanter, og ligeledes regnet med (og bevist) sinusrelationerne og cosinusrelationerne . Endelig har vi "danset" cosinusrelationerne til klaverakkompagnement ("cosinusvalsen") for at få en bedre forståelse for, hvad formlen siger.
Indhold
Omfang Estimeret: 15,00 moduler
Dækker over: 23 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Andengradspolynomier

Jens Carstensen/Jesper Frandsen/Jens Studsgaard: "MAT B1 (stx)", Systime, 1. udgave, 1. oplag 2005:
Siderne 48(ø)-51(ud), 53-53(n) og 184-187(ø).

Jens Carstensen/Jesper Frandsen/Esben Wendt Lorenzen/Adam Lund Madsen: "MAT A2 (stx)", Systime (2010-2018), 3. udgave, 1. oplag:
Siderne 13-14, 18-19, 22(n)-25(n) og 26.

Derudover en lang række tavlenoter.

Vi har indført formlen for et andengradspolynomium og diskuteret konstanternes betydning for parablens udseende, og vi har indført begrebet diskriminant og tolket på fortegnet for dette tal. Vi har benyttet rodformlen for andengradspolynomier (og bevist denne formel), og vi har løst talrige andengradsligninger både analytisk, men naturligvis også grafisk. Vi har øvet os i at tegne præcise udgaver af grafer for parabler blot med papir og blyant (uden brug af CAS/lommeregner), og vi har bevist faktoriserings-og toppunktsformlen. Derudover har vi kort været inde på "Algebraens fundamentaltheorem" (et n'tegradspolynomium har højst n rødder). Endelig har vi benyttet polynomisk regression (andengradsregression) og bestemt forskrifter i hånden ud fra tilfælde, hvor vi i forvejen kender tre punkter på grafen for en parabel (bl.a. de to rødder).
Indhold
Omfang Estimeret: 15,00 moduler
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Differentialregning

Jens Carstensen/Jesper Frandsen/Jens Studsgaard: "MAT B2 (stx)", Systime 2006, 1. udgave, 1. oplag:
Siderne 54-68(m), 74-75, 77-80(ø), 81(ø)-81(ud), 82(ø)-83(m), 84 og 142-151(m).

Jens Carstensen/Jesper Frandsen/Esben Wendt Lorenzen/Adam Lund Madsen: "MAT A2 (stx)", Systime (2010-2018), 3. udgave, 1. oplag:
Siderne 116(m)-118(m), 94-96 og 99(n)-101.

Jens Carstensen/Jesper Frandsen: "MAT 2B", Systime 1998, 1.udgave, 1.oplag:
Siderne 114-116(m).

Derudover en lang række tavlenoter.

Forløbet er bygget op på sædvanlig vis og fra bunden af, hvor vi først har talt om funktionstilvækst, sekanter og deres hældninger, set på deres grænseværdier og herved opnået generelle udtryk for forskellige funktioners grænseværdier. Vi har bestemt den afledede for lineære funktioner og andengradspolynomier og kvadratrodsfunktionen. Herudover har vi talt om, at funktioner, der består af flere led differentieres ledvist, og vi har introduceret produktreglen og differentieret sammensatte funktioner. Vi har bestemt ekstremumspunkter og vandrette tangenter i hånden og på Ti-Nspire og monotoniforhold for talrige funktioners vedkommende. Derudover har vi snakket om væksthastigheder og tolket på differentialkvotienten for forskellige modeller i konkrete punkter, og vi har beregnet ligninger for tangenter både med og uden hjælpemidler. Endelig har vi regnet på forskellige optimeringsopgaver og set på situationer, hvor et matematisk problem skal optimeres helt fra bunden af (vi har opereret med navnene "kravligning" og "optimeringsfunktion").
Indhold
Omfang Estimeret: 30,00 moduler
Dækker over: 25 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Statistik

Carstensen/Frandsen/Studsgaard: "MAT C (stx)", Systime, 1. udgave, 1. oplag 2005:
Siderne 152-156 samt 159(n)-164(n).

Derudover forskellige tavlenoter.

Emnet har ikke fyldt meget i undervisningen. Det meste af teorien kender eleverne fra deres folkeskoletid. Vi har kort gennemgået alle de gængse statistiske begreber - heriblandt ugrupperede og grupperede observationer, middelværdi, kvartiler og median (kvartilsæt), histogram, boksplot og sumkurve mm. Vi har ikke gjort noget ud af spredningen overhovedet (kun meget kort omtalt, hvad spredningen fortæller). Vi har mest blot udregnet et par spredninger via "spredningsformlen" (i forbindelse med gennemgangen af binomialfordeling).
Indhold
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Kombinatorik og sandsynlighed/binomialfordeling

Jens Carstensen/Jesper Frandsen: "MAT 2B", Systime 1998, 1.udgave, 1.oplag:
Siderne 167, 169(ø)-169(m), 170-171, 177-180(n), 182(ø)-183(m) og 191(m)-192(n).

Jens Carstensen/Jesper Frandsen/Esben Wendt Lorenzen/Adam Lund Madsen: "MAT A2 (stx)", Systime (2010-2018), 3. udgave, 1. oplag:
Siderne  257(m)-264, 266-267(m) og 320-329(ø).

Derudover en lang række tavlenoter.

Vi har først talt lidt om sandsynlighedsteori generelt, hvor vi bl.a. har snakket om uafhængige hændelser og forskellen på addition og multiplikation. Vi har også været inde på multiplikationsprincippet og kombinatorik samt formlen for/betydningen af binomialkoefficienter. Dette har ledt ud i en egentlig behandling af binomialformlen, binomialfordelingen og binomialforsøg/hypotesetest. I forbindelse med hypotesetest har vi kun behandlet de tosidede tilfælde. Vi har talt om middelværdier (og benyttet spredningsformlen uden at gå i dybden med betydningen heraf), kritiske mængder og acceptmængder (og bedt Ti-Nspire om at bestemme disse intervaller), signifikansniveau og 95%-konfidensintervaller.
Indhold
Omfang Estimeret: 18,00 moduler
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Supplerende emne(r)

Jonny Schultz: "Matematik højniveau 1", forlaget TRIP 1992, 1. udgave, 4. oplag:
Siderne 7-9, 10(m)-11(m), 14-16, 23-24 og 66-67(n).

Derudover en lang række tavlenoter.

Som supplerende stof har vi i hovedsagen benyttet emnet vektorer (se nedenfor). Som supplerende (meget korte) emne tæller også et alternativt bevis for logaritmeregnereglen ln(ab)=ln(a)+ln(b) via arealsammenligninger under grafen for funktionen f(x)=1/x (allerede omtalt under forløbet "logaritmer").

Vi har bl.a. været inde på definitionen af en vektor, tværvektorer, prikprodukt og determinant. Vi har talt om ortogonale vektorer (hvor prikproduktet er lig nul). Formlen til beregning af arealer af parallelogrammer er blevet bevist. Vi har gennemgået linjens ligning på formerne (y=ax+b, a(x-x0)+b(y-y0)=0 og ax+by+c=0) og talt om normalvektorer.
Indhold
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer