Holdet 2022 22 MA/y - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2022/23 - 2024/25
Institution Silkeborg Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Allan Jensen, Johan Raunkjær Borre
Hold 2022 22 MA/y (1y MA, 2y MA, 3y MA)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Bankmatematik
Titel 2 Eksponentielle funktioner
Titel 3 Trigonometri
Titel 4 SRP2: Mordgåde og Museumsbesøg
Titel 5 Vektorer
Titel 6 Deskriptiv statistik + SRP4
Titel 7 Polynomier
Titel 8 Differentialregning
Titel 9 SRP5/SRO - Vektorfunktioner og kinematik
Titel 10 Integralregning
Titel 11 Analytisk geometri
Titel 12 Repetition
Titel 13 Sandsynlighed og binomialfordelingen
Titel 14 SRP7: Logik
Titel 15 Differentialligninger
Titel 16 SRP8: Formidling af matematik
Titel 17 Funktioner af to variable
Titel 18 Hvor skal vi bygge vores vindmølle + Regression
Titel 19 Forberedelsesmateriale
Titel 20 Repetition

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 2 Eksponentielle funktioner

Indførsel af f(x)=b*a^x med sammenligning til renteformlen
Grafisk undersøgelse af eksponentielle funktioner (konstanternes betydning)
Definition af 10-talslogaritmen
Regneregler for logaritmer - bevist

Herefter blev der brugt 5-6 moduler til en Tema-opgave, hvor eleverne selv skulle sætte sig ind i en række ting. Herunder:
Opstilling af eksponentielle udtryk ud fra sproglig formulering
Eksponentiel funktion gennem to punkter - opgaver og bevis
Fordobling-og halveringskonstant - opgaver og bevis
Eksponentiel regression over data
Vurdere en models rækkevidde

Efter Tema-opgaven, blev følgende behandlet ved mere traditionel undervisning:
Residualer og residualplot
Enkeltlogaritmisk papir
Logistisk vækst (regression over data og sammenligning mellem eksponentiel og logistisk vækst)

iBogen plus A1 stx, kapitel 3
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 SRP2: Mordgåde og Museumsbesøg

Et tværfagligt forløb med fysik og matematik, hvor de faglige omdrejningspunkter var potensfunktioner og afstandskvadratloven.

I matematik var fokus især på potensfunktioner og følgende blev bearbejdet:
Potensfunktioner:
Grafens udseende for en potensfunktion (a og b's betydning)
Afstandskvadratloven som potensfunktion
Potensfunktion gennem to punkter - bevist
Procent-procent-egenskaben for en potensfunktion - bevist

Der blev også arbejdet med inverse funktioner:
Opfriskning af forskellige allerede kendte inverse funktioner (kvadratrod, logaritmer, inverse til de trigonometriske funktioner)
Definitionen af en invers funktion
Metode til at finde den inverse funktion.
Grafisk arbejde med inverse funktioner

iBogen plus A1 stx, Afsnit 4.4.1 + 4.4.2
Derudover noten 'Note - Inverse funktioner'
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 5 Vektorer

Introduktion til vektorer: den grafiske fortolkning samt hvordan man "regner" med vektorer grafisk.
Vektorer med koordinater (regneregler)
Skalarproduktet
Vinkelformel for vektorer - bevist
Længden af en vektor
Enhedsvektorer
Den numeriske værdi af et tal
Projektion af en vektor på en anden
Tværvektor og determinant

Derudover blev der lavet opgaver med:
2 ligninger med 2 ubekendte (både lige store koefficienters metode og løsning ved substitution)
2.-gradsligninger (brug af diskriminantmetoden)

iBogen plus A1 stx, Afsnit 6.4 + 6.6 + 6.7
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 6 Deskriptiv statistik + SRP4

Deskriptiv statistik opfrisket:
Grupperede observationer
Ugrupperede observationer
og alt der hører til (middelværdi, spredning, kvartilsæt, diverse grafiske repræsentationer)
Opstart på normalfordeling: Defineret som et uendeligt stort grupperet datasæt, hvor intervalbredden bliver uendelig lille. Fra diskret datasæt til en kontinuert model.

Tværfagligt forløb med fysik og matematik (kernereaktioner og statistisk fysik)
Hvad er en sandsynlighedsmodel? Indførsel af kontinuert stokastisk variabel.
Tæthedsfunktioner.
Undersøgelse af grafen for normalfordelingens tæthedsfunktion.
Opgaver med GeoGebras sandsynlighedslommeregner (ingen brug af integraler)
Fordelingsfunktioner.
Reaktionsraten for fusionsprocesser i et plasma - Udledning af formlen for reaktionsraten
Maxwell-Boltzmann-fordelingen (undersøgelse af grafens udseende, når parametre ændres)

Senere på året blev følgende bearbejdet (repetition op til læseperioden i 2g):
Middelværdien af en kontinuert stokastisk variabel (definitionen blev motiveret af beregning af middelværdi i deskriptiv statistik, hvor der kun bruges frekvens - dette og så sammenholdt med numerisk integration med summer)
Standardnormalfordelingen
Standardnormalfordelingen har middelværdi på 0 - bevist
Transformation af standardnormalfordelingens tæthedsfunktion til den generelle tæthedsfunktion.

Materiale:
iBogen plus A1 stx, Afsnit 7.1+7.2 (deskriptiv statistik)
iBogen plus A2 stx, Afsnit 4.6.1+4.6.2+4.6.3 (Normalfordeling) + 'Note - Intro til kontinuerte stokastiske variable' + 'Note - Standardnormalfordelingen'
Sider fra bogen 'Plasmafysik og fusionsenergi' om Maxwell-Boltzmann-fordelingen
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 7 Polynomier

Grafisk undersøgelse af andengradspolynomiet, konstanternes betydning for parablen.
Parablen er symmetrisk omkring toppunktet - bevist
Formlen for toppunktet - bevist

Grafisk undersøgelse af generelle polynomier (bl.a. at for polynomier af hhv. ulige og lige grad vil grenene pege i hhv. modsat og samme retning)
Opgaver med andengradspolynomium gennem tre punkter (tre ligninger med tre ubekendte)
Snak om at der findes et entydigt n'te-gradspolynomium til n+1 punkter (forskellig x-værdi)

Faktorisering af et andengradspolynomium - kun opgaver
Optimeringsopgaver

iBogen plus A1 stx, Afsnit 5.1 til 5.6
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 8 Differentialregning

Forløbet i differentialregning blev delt op i to, da der var StudieRetningsOpgave i midten.

Første del (oktober-november):
Tretrinsreglen og definitionen af differentialkvotienten.
Kvalitativ diskussion om grænseværdier og kontinuerte funktioner
Udledning af konkrete differentialkvotienter, herunder konstant, x^2, x^3, sqrt(x), 1/x
Brug af regnereglerne til at differentiere funktioner.
Monotoniforholdene for en funktion
Fortolkning af væksthastigheden for en funktion
Vendetangenter og brug af den dobbelte afledte til at bestemme arten af max/min/vendetangent.


Anden del (januar):
Bevis for regneregler for differentiation, herunder sum-differens, produkt, konstant*f(x)
Forklaring og brug af reglen for sammensatte funktioner.
Differentialkvotienten for x^n og ln(x) - begge bevist
Tangentens ligning - opgaver

Til slut lavede eleverne et optimeringsprojekt fra iBogen.

iBogen plus A2 stx, Hele kapitel 3 (på nær 3.8.2)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 9 SRP5/SRO - Vektorfunktioner og kinematik

De første 8-10 moduler blev brugt til at behandle emnet om vektorfunktioner. Undervejs i slutningen arbejdede eleverne med at sætte sig ind i en selvvalgt bevægelse fra fysikfaget, som skulle studeres og undersøges kvantitativt vha. videoanalyse

Banekurven for en vektorfunktion
Algebraisk kurveundersøgelse - skæring af akserne, dobbeltpunkter, vandrette og lodrette tangenter.
Differentiering af vektorfunktioner - r'(t) er defineret som [x'(t);y'(t)]. Der er ikke opstillet differenskvotient for r(t) og taget grænseværdi.
Hastigheds- og accelerationsvektoren og fortolkningen af disse.
Cirklens parameterfremstilling
Eliminering af parameter
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 10 Integralregning

Definitionen af en stamfunktion. Herunder integrationsprøve.
Der blev regnet og udledt konkrete stamfunktioner til fundamentale funktioner
Regneregler for det ubestemte integral.
At finde en bestemt stamfunktion igennem et punkt

Bestemte integraler
Integralregningens hovedsætning bevist - en funktions arealfunktion er en stamfunktion.
Rumfang af et omdrejningslegeme - bevist
Arealet mellem grafer
Kurvelængde af grafen for en funktion

Integration ved substitution
Numerisk integration (bestemte integraler som grænseværdi af sum)
Kurvelængde af graf - bevist

iBogen plus A3 stx, Hele kapitel 1 på nær 1.2.2 (OBS! Dette er integralregningens hovedsætning. Men her blev noten 'Note - Bevis, arealfunktioner er en stamfunktioner' anvendt. Dette er fra MAT A3 stx)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 11 Analytisk geometri

Parameterfremstillingen af en ret linje
Linjens ligning ud fra normalvektor og et punkt.
At kunne skifte mellem de forskellige måder at beskrive rette linjer.
Cirklens ligning
Omskrivninger af cirklens ligning
Tangenter til cirkler
Afstand fra punkt til linje - bevist

Materiale:
iBogen plus A1 stx, Afsnit 6.9+6.10
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 12 Repetition

6 moduler, hvor de 3 første blev brugt på at arbejde med standardnormalfordelingen, som det står beskrevet i et tidligere forløb.

3 sidste moduler blev brugt på at repetere op til den mundtlige årsprøve.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 13 Sandsynlighed og binomialfordelingen

I begyndelsen af forløbet blev der brugt nogle lektioner på at samle op på nogle hængepartier. Herunder:
Inverse funktioner
Definitions- og værdimængde for funktioner

I selve forløbet blev der arbejdet med:
Monty Hall-problemet
Symmetrisk/asymmetriske udfaldsrum og basal sandsynlighedsteori.
Kombinatorik, herunder formlen K(n,r) - formlen blev også udledt
Permutationer, herunder formlen P(n,r) - formlen blev også udledt
Multiplikations- og additionsprincippet
Martingale strategi i roulette

Indførsel af notation og snak om stokastisk variabel
Middelværdi og spredning af stokastisk variabel

Binomialfordelingen - Formlen for P(X=r) blev udledt
Binomialtest
Konfidensintervaller

iBogen plus A2 stx, Afsnit 4.1 til 4.5
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 18 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 14 SRP7: Logik

Et tværfagligt forløb med Oldtidskundskab.

Følgende blev bearbejdet:
Formel logik (bl.a. brug af begreberne negation, konjunktion, disjunktion, implikation, kontraponering og syllogismer)
Sandhedstabeller

Efter at have arbejdet med logik og sandhedstabeller, kunne vi arbejde med forskellige bevistyper. Der blev lavet forskellige beviser under de forskellige bevistyper:
Direkte bevis
Bevis ved kontraposition
Modstridsbevis
Induktionsbevis

Beviserne var bl.a.:
Formel for triangulære tal, kvadratrod-2 er irrationel, n^2 lige medfører at n er lige

Materiale:
Noten 'Elementær logik'
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 15 Differentialligninger

Introduktion til differentialligninger gennem det ubestemte integral, dvs. y'=h(x)
Teori om linjeelementer og hældningsfelter.
Modellering af populationer med differentialligninger, herunder diskussion af modelantagelser, styrker og begrænsninger.
Arbejde med opstilling af differentialligninger ud fra sproglig formulering.

Bestemmelse af tangentlinjer og monotoniforhold for løsninger til differentialligninger.

Teoretisk forståelse af Eulers metode til numerisk løsning af differentialligninger. Diskussion af styrker og svagheder. Analytisk vs. numerisk løsninger.

Opgaver med differentialligninger på formen, y'=g(x)*h(y). Seperation af de variable metode brugt, intet bevis.

Eksponentiel vækst, y'=k*y - løsningsformel bevist
Forskudt eksponentiel vækst, y'=b-a*y - løsningsformel bevist
Logistisk vækst, y'=a*y*(M-y) - løsningsformel bevist.


Materialer
iBogen plus A3 stx, Afsnit 2 på nær 2.3.3+2.3.4 og 2.6
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 18 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 17 Funktioner af to variable

Eleverne arbejdede med et forberedelsessæt over funktioner af to variable de første 6 moduler. Herunder blev alle grundbegreberne bearbejder:
Snitkurver
Niveaukurver
Partielle afledte
Dobbelte afledte
Gradienten
Stationære punkter og arten heraf

Herefter lavede vi yderligere arbejde med funktioner af to variable, herunder:
Tangentplanens ligning
Gradientens retning er retningen med størst funktionstilvækst - bevist
Funktioner af flere variable (end to) og egenskaben for gradienten.
Mindste kvadraters metode til bestemmelse af a og b i lineær regression - bevist
Regressionsopgaver, hvor sammenhængen ikke er af "fundamental" type.

Materialer:
Noten 'Funktioner af to variable'
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 18 Hvor skal vi bygge vores vindmølle + Regression

Et temaforløb hvor fokus var at løse en problemstilling med matematiske værktøjer.
Følgende blev bearbejdet:

Weibullfordelingen:
Tæthedsfunktion (forskrift og udseende)
Fordelingsfunktion - Udledt ved integration ved substitution
Median og middelværdi for Weibullfordelingen
Er data Weibullfordelt? - DMI-data over vindhastigheder fra forskellige områder - Transformation af data og regression for at fitte fordelingsfunktion til sumkurve.

En vindmølles effektkurve
Produktionskurve (en kombination af effektkurve og tæthedsfunktion)
Middeleffekt for et område med udvalgt vindmølle

Efter forløbet med fokus på vindhastigheder og Weibullfordelingen, arbejdede vi med nogle hængepartier for normalfordeling og regression. Herunder:
Test af om data er normalfordelt
Hvad skal en god lineær regressionsmodel opfylde?
Er residualerne normalfordelte?
Konfidensinterval for hældning

Materialer:
Noten 'Note - Weibullfordelingen'
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 19 Forberedelsesmateriale

De to første moduler i forløbet blev brugt på følgende:
- Kort introduktion til Euklids 'Elementerne'. Eleverne arbejdede selv med Euklids udgave af Pythagoras' sætning.
- Arbejde med Podcasten 'P1 Supertanker - Kan vi regne med matematikken?'

Herefter blev der brugt 6 moduler på forberedelsesmaterialet om betinget sandsynlighed.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 20 Repetition

Repetition af alle emner.
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 18 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer