Holdet 2023 23 Ma/h - Undervisningsbeskrivelse - Lectio

Holdet 2023 23 Ma/h - Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Termin(er)	2023/24 - 2024/25
Institution	Silkeborg Gymnasium
Fag og niveau	Matematik B
Lærer(e)	Jacob Bisgaard Andersen
Hold	2023 23 Ma/h (1h Ma, 2h Ma)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Titel 1	Grundforløbet i matematik
Titel 2	Deskriptiv statistik og folketingsvalg
Titel 3	Opsparing og lån
Titel 4	Andendgradsligninger og matematik i hånden
Titel 5	SRP2, farver og vektorer
Titel 6	Eksponential- og logaritmefunktioner
Titel 7	Forberedelse til årsprøve
Titel 8	Andengradspolynomiet
Titel 9	Vektorer og figurer og AI
Titel 10	Funktioner, grafer og ligningsløsning
Titel 11	Sandsynlighedsregning
Titel 12	Afledte funktioner og tangenter
Titel 13	Klimainnovation med binomialfordeling
Titel 14	Differentialregning og beviser
Titel 15	Linjer og geometri
Titel 16	Repetition

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)

Titel 1	Grundforløbet i matematik Vi gennemførte matematik i grundforløbet i grundforløbsklasserne. Grundforløbet havde fokus på følgende: - overgangen fra matematikken i folkeskolen, der fokuserer meget på at beskrive noget fra vores omverden, til gymnasiets matematik, der fokuserer mere på at begrunde - skiftet mellem forskellige repræsentationsformer (forskrift, tabel, sprog, graf) - grundlæggende algebra (bogstavregning) - kritik af en foretaget regression Efter grundforløbet forventes du at kunne: - anvende de grundlæggende regneregler, regningsarternes hierarki - foretage lineær regression og bruge residualer og residualplot til at kritisere en lineær model - lave beregninger der involverer funktioner - anvende TI-Nspire til at lave beregninger og løse ligninger - foretage et simpelt bevis der involverer rette linjer
Indhold
Omfang	Estimeret: 23,00 moduler Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2	Deskriptiv statistik og folketingsvalg Vi arbejder i forløbet beskrivende/deskriptiv statistik, hvor vi møder de begreber vi skal bruge for at beskrive et datasæt. Vi afslutter forløbet med et projekt om folketingsvalget hvor vi anvender data fra folketingsvalg fra Surveybanken (http://bank1.surveybank.aau.dk/webview/). Projektet afsluttes med mundtlige præsentationer. Efter forløbet forventes du at kunne: - redegøre for hyppighed, kumuleret hyppighed, frekvens og kumuleret frekvens ud fra et observationssæt - bestemme middelværdi ud fra et helt observationssæt, ud fra forskellige observationer og deres hyppigheder, og ud fra forskellige observationer og deres frekvenser - bestemme varians og spredning/standardafvigelse - redegøre for og bestemme kvartilsæt, herunder nedre kvartil, median og øvre kvartil - bestemme variations- og kvartilbredde og outliers af et ugrupperet datasæt - redegøre for boxplots - redegøre for forskellen på ugrupperede og grupperede observationssæt - redegøre for, konstruere og fortolke sumkurver for grupperede datasæt, herunder at aflæse fraktiler Fokuspunkter: - brug af hjælpemidler i forbindelse med Systimes værktøjer "Ugrupperede observationer", "Sammenligning af boksplots" og "Grupperede observationer" - kommunikation om matematik i forbindelse med projektet Arbejdsformer: - gruppearbejde - projektarbejde - klasseundervisning I forløbet er lærernoter af et omfang på ca. 1 s. blevet benyttet. I forløbet er følgende afsnit fra Systime's i-bog "Plus B1 stx" blevet brugt: - 7.1 Ugrupperede observationer: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1289 (svarende til ca. 21 s.) - 7.2 Grupperede observationer: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1264 (svarende til ca. 17 s.)
Indhold	Kernestof: Gå ind på denne interaktive øvelse og diskuter følgende spørgsmål med din sidemakker (I behøver ikke skrive noget ned). Start med at kigge på tabellerne og begreberne på s. 60-61 i denne formelsamling fra matematik i folkeskolen. Læs dernæst denne tekst fra i-bogen:7.1 Ugrupperede observationer Inden lektionen skal du logge ind på ABaCus og lave opgaverne med titlen "Intro-opgaver, deskriptiv statistik". Opgaverne ligger under Aktiviteter. Inden lektionen skal du læse afsnittet "Kvartiler" i i-bogen via dette link: 7.1 Kvartiler Inden lektionen skal du læs følgende to afsnit fra i-bogen: Inden lektionen skal du læse følgende to afsnit fra i-bogen: Alle skal have lavet opgave e) og f) på onenote-siden "Spredning og varians". Det handler netop om at udregne spredning og varians. I denne lektion starter vi også fælles op med at se på grupperede observationer. Det er vigtigt at alle får læst om dette hjemmefra. Læs 7.2 Grupperede observationer fra toppen og ned til og med afsnittet "Middelværdi". Læs resten af siden 7.2 Grupperede observationer. Læs den grønne boks med titlen "Vigtig lynguide til at bruge Surveybanken" igennem inde på onenote-siden "Projektarbejde - grupperede observationer og folketingsvalg". Inden denne lektion skal alle grupper have lavet delopgave 1 og 2 i den model I har valgt i jeres projekt (se onenote-siden: "Projektarbejde - grupperede observationer og folketingsvalg"). Lav det hver især så I kan sammenligne med det i når I mødes Inden denne lektion skal I have afsluttet resten af opgaverne i den model I har valgt i gruppen (se onenote-siden: "Projektarbejde - grupperede observationer og folketingsvalg"). Lav det hver især så I kan sammenligne jeres arbejde når I mødes i lekt
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3	Opsparing og lån I forløbet arbejder vi med hvordan vi kan udregne andele i procent, procentvækst og indekstal. Særligt beskriver vi dog hvordan kapital vokser når der tilskrives renter, via den såkaldte renteformel. Vi beskriver også annuitetsopsparing og -lån. Efter forløbet forventes du at kunne: - beregne andele i procent - beregne procentvækst - regne mellem værdier og indekstal og omvendt - benytte renteformlen og redegøre for symbolerne i den - anvende formlen for annuitetsopsparing - anvende formlen for annuitetslån Fokuspunkter: - matematisk tænkning i forbindelse med forskellen på absolut og relativ vækst - betydningen af symboler ved kobling mellem et konkret problem og forskellige formler Arbejdsformer: - gruppearbejde med fokus på oversættelse fra konkret problem til ligninger I forløbet er lærernoter af et omfang på ca. 1,5 s. blevet benyttet. I forløbet er følgende afsnit fra Systime's i-bog "Plus B1 stx" blevet brugt: - 2.5 Indekstal: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1316 (svarende til ca. 6,5 s.) - 3.5 Lån og renter: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1324 (svarende til ca. 1 s.) - 3.5.1 Annuitetsopsparing og -lån: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1325 (svarende til ca. 7,5 s.)
Indhold	Kernestof: Log ind på ABaCus og lav opgaverne med titlen: "Reduktion og ligningsløsning". Lav opgave 1-2 på onenote-siden "Procentregning". Den finder I under sektionen "Renter, opsparing og lån". Forbered til en lille test i denne lektion.Info om testen: Inden lektionen skal I træne at regne med indekstal. Lav derfor de tre ABaCus-opgaver jeg har lagt ud til jer. I arbejdede godt med renteformlen i forrige lektion. Det skal I træne hjemme også.Log ind på ABaCus og lav de tre opgaver under titlen "Lektie: renteformlen, træning". Log ind på ABaCus og lav opgaverne med titlen: "Lektie til onsdag - Grundlæggende ligningsløsning".
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4	Andendgradsligninger og matematik i hånden I forløbet ser vi på en type ligninger der kan have to løsninger, nemlig andengradsligningen. Vi dykker ned i hvordan man kan løse den slags ligninger. Efter forløbet forventes du at kunne: - redegøre for andengradsligningen og dens løsninger - redegøre for diskriminanten og bruge den til at afgøre antallet af løsninger - anvende kvadratsætningerne Vi har i forløbet gennemført følgende bevis: - Løsningsformlen for andengradsligningen Fokuspunkter: - betydningen af symboler ved ligningsløsning i hånden - ræsonnement ved arbejdet med beviset Arbejdsformer: - ligningsløsning og udregning i hånden I forløbet er lærernoter af et omfang på ca. 2 s. blevet benyttet. I forløbet er følgende afsnit fra Systime's i-bog "Plus B1 stx" blevet brugt: - 2.4.1 Andengradsligningen: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1239 (svarende til ca. 5 s.) - 2.1.2 Kvadratsætninger, boksen "Eksempel 7: 1. og 2. kvadratsætning": https://plusstxb1.systime.dk/?id=1258 (svarende til ca. 1 s.) I forløbet er følgende øvrige materiale anvendt: - Youtube-filmen "Løsningsformel bevis": https://www.youtube.com/watch?v=b-FeBne88ew
Indhold	Kernestof: Vi skal træne det vi lavede i forrige lektion. Inden lektionen skal du derfor logge ind på ABaCus og lave opgaverne med titlen "Intro til andengradsligninger - lektie". Læs følgende to afsnit i i-bogen:
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5	SRP2, farver og vektorer I forløbet indfører vi vektorbegrebet, og vi beskriver dem både ved pile i et koordinatsystem, men også ved koordinater. Vi beskæftiger os med grundlæggende vektorregning, men også længden af vektorer, skalarproduktet og vinklen mellem vektorer. Sidstnævnte bliver vigtigt til vores tværfaglige samarbejde med fysik C hvor vi bruger vektorregning til at bestemme vinklen mellem strålerne fra et optisk gitter, hvilket vi i sidste ende kan bruge til at bestemme bølgelængden af lyset fra forskellige lasere. Det tværfaglige samarbejde ender med en skriftlig opgave vi skriver sammen i grupper. I forløbet har vi trænet brug af formelsamlingen. Efter forløbet forventes du at kunne: - redegøre for vektorer, vektoraddition og -subtraktion ved både grafisk og koordinatvis repræsentation - redegøre for regneregler der involverer såvel vektorer som skalarer/konstanter ved både grafisk og koordinatvis repræsentation - forklare begreberne: modsat vektor, nulvektor, parallelle og ortogonale vektorer, ensrettede og modsatrettede vektorer - bestemme længden af en vektor - bestemme enhedsvektoren hørende til en vektor - bestemme en vektors koordinater ud fra dens start- og slutpunkt - redegøre for skalarproduktet mellem to vektorer og konkludere på størrelsen af vinklen mellem vektorerne ud fra fortegnet af skalarproduktet - bestemme en ukendt koordinat, så vektorerne er ortogonale - udregne vinklen mellem to vektorer vha. cosinus-funktionen Vi har i forløbet gennemført mindst én følgende beviser: - skalarproduktet af en vektor med sig selv - rækkefølgen af vektorerne i skalarproduktet Fokuspunkter: - repræsentation af matematiske objekter, her vektorer - betydningen af symboler i form af vektornotation Arbejdsformer: - undersøgelse af regning med vektorer - gruppearbejde i form af en tværfaglig skriftlig opgave I forløbet er lærernoter af et omfang på ca. 4,5 s. blevet benyttet. I forløbet er følgende afsnit fra Systime's i-bog "Plus B1 stx" blevet brugt: - 6.4.1 Regning med vektorer: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1302 (svarende til ca. 7 s.) - 6.6.2 Beviser for sætninger, men kun de to bokse "Sætning 2" og "Bevis 2" (svarende til ca. 1 s.) I forløbet er følgende øvrige materialer anvendt: - Youtube-filmen "Addition af vektorer": https://www.youtube.com/watch?v=unXfh_i9LPk - Youtube-filmen "Subtraktion af vektorer": https://www.youtube.com/watch?v=P4mQVFjPnoA - Youtube-filmen "Gange tal med vektor": https://www.youtube.com/watch?v=GzyxXabKRtk - Youtube-filmen "Vektorer ortogonale vektorer": https://www.youtube.com/embed/xDKwLMLCifw?autoplay=1
Indhold	Kernestof: Medbring den fysiske formelsamling I tidligere har fået udleveret. Vi skal bruge den i denne lektion. Inden lektionen skal du læse en intro til vektorer. Det skal vi arbejde med i lektionen. Inden lektionen skal du stille og roligt se følgende tre film om at lægge vektorer sammen, trække vektorer fra hinanden og gange en vektor med et tal. Læs dette dokument med et eksempel på hvordan man finder koordinaterne til enhedsvektoren hørende til en bestemt vektor. Log ind på ABaCus og lav opgaverne med titlen: "Blandede vektoropgaver - lektie til mandag d. 11/3". I denne lektion skal vi bruge det vi startede på sidste gang, nemlig at finde vinklen mellem vektorer. Vi afholder en test i løbet af denne lektion. Se beskrivelsen af testen på her på lectio under Opgaver og "Forberedelse til test, april". Log ind på ABaCus og lav de tre opgaver med titlen "Ortogonale vektorer og ukendte koordinater". Læs skalarproduktreglerne 1) og 2) i denne boks i i-bogen: Sætning 2: Regneregler for skalarprodukt og læs derefter beviserne igennem for de to regler i boksen lige bagefter: 6.6.2 Beviser for sætninger.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6	Eksponential- og logaritmefunktioner I dette forløb bruger vi eksponentialfunktionen til at lave modeller for forskellige situationer fra virkeligheden. I denne forbindelse har vi repeteret regression og residualplot. I forløbet har vi trænet brug af formelsamlingen. Efter forløbet forventes du at kunne: - redegøre for eksponentialfunktionen, dens forskrift og betydningen af konstanterne for grafens udseende - bestemme forskriften for en eksponentialfunktion ud fra oplysninger om startværdi og vækstrate eller to punkter på grafen for funktionen - vise kendskab til potensregnereglerne - vise kendskab til omvendte funktioner - anvende logaritmefunktionen og logaritmeregnereglen der omskriver logaritmen af en potens - redegøre for fordoblings- og halveringskonstant, samt udføre beregninger deraf - udføre regression og redegøre for residualer, herunder hvordan man beregner dem - fortolke et residualplot og derudfra vurdere modellens anvendelighed Vi har i forløbet gennemført følgende beviser: - Topunktsformlen for eksponentialfuntionen - Formlen for fordoblingskonstanten Fokuspunkter: - matematisk tænkning i forbindelse med åbne problemstillinger - modellering - brug af hjælpeværktøjer (TI-Nspire) til at arbejde med funktioner, tegne grafer og løse ligninger - bevisførelse, idet vi har gennemført beviser og diskuteret meningen med matematiske beviser Arbejdsformer: - gruppearbejde - klasseundervisning I forløbet er lærernoter af et omfang på ca. 6 s. blevet benyttet. I forløbet er følgende afsnit fra Systime's i-bog "Plus B1 stx" blevet brugt: - 3.1 Regneforskrift og graf for en eksponentiel funktion: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1252 (svarende til ca. 2 s.) - 3.4 To-punkts-formel: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1284 (svarende til ca. 3,5 s.) - 2.2 Potenser og rødder: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1244 (svarende til ca. 5,5 s.) - 2.2.1 Det udvidede potensbegreb: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1245 (svarende til ca. 5 s.) - 3.2 Ligninger med eksponentielle funktioner: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1260 (svarende til ca. 3 s.) - 3.3 Fordoblingskonstant, halveringskonstant og vækstegenskab: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1263 (svarende til ca. 4 s.) I forløbet er følgende øvrige materialer anvendt: - Youtube-filmen "Eksponentiel funktion - forskrift ud fra to punkter (bevis)": https://www.youtube.com/watch?v=B2gNrghS8BE - Youtube-filmen "Eksponentiel funktion - bevis for fordoblingskonstant": https://www.youtube.com/watch?v=He85raFxtb4
Indhold	Kernestof: Læs afsnit 1.3 "Tegn en graf for funktion", i dette dokument: CAS-opskrifter_MA_2020-05-24.pdf Det er længe siden vi har haft matematik. Forbered dig til lektionen ved at bruge formelsamlingen til at svare på spørgsmålene herunder. De fungerer som repetition. Husk formelsamlingen til denne lektion. Opstartsopgaver: Læs afsnittet om logaritmer i i-bogen: "Logaritmer" (3.2 Logaritmer). Læs ned til den første kasse "Svar" efter skemaet. Lav opgave 3-5 nederst på onenote-siden: "Fordoblingskonstant". Vi afholder en test i løbet af denne lektion. Forbered dig til den. I dette dokument er det forklaret hvilke typer af opgaver der indgår i testenForberedelse til test_maj.docx Vi arbejder videre med residualplot. Inden lektionen skal du læse afsnittet "Residualplot" og "Vurdering af model" i i-bogen: Residualplot Læs introteksten, de tre eksempler samt afsnittet "Vurdering af model" (du behøver ikke at læse Eksempel 4). I denne lektion skal vi arbejde to beviser. Nemlig beviset for at topunktsformlen for eksponentialfunktionen, og beviset for at formlen for fordoblingskonstanten.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7	Forberedelse til årsprøve Vi forbereder til hhv. skriftlig og mundtlig årsprøve.
Indhold
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8	Andengradspolynomiet I forløbet indfører vi andengradspolynomiet som en funktion vi er nødt til at indføre hvis vi skal beskrive visse sammenhænge, f.eks. arealet af en mark når sidelængderne varierer. Vi beskriver herunder rødder og hvordan vi finder dem, svarende til løsningen af andengradsligningen. Sammen med toppunktet bruger vi det til at løse konkrete problemer. Derudover skal vi se hvordan man har løst andengradsligninger omkring 800-tallet. Efter forløbet forventes du at kunne: - redegøre for forskriften for et andengradspolynomium, konstanterne og deres betydning for grafens udseende, herunder parablens tangenthældning i x=0 - redegøre for diskriminanten og bruge den til at afgøre antallet af skæringer med x-aksen - redegøre for sammenhængen mellem på den ene side andengradspolynomiet, parablen og dens rødder, og andengradsligningen og dens løsninger på den anden side - finde toppunktet for en parabel ved toppunktsformlen - redegøre for udledningen af koordinaterne for parablens toppunkt, særligt y-koordinaten - parallelforskyde grafen for et andengradspolynomium - forklare andre typer af forskrifter for andengradspolynomiet og hvad de har med parablens udseende at gøre - forklare betydningen af den sidste og næstesidste koefficient i et polynomium af højere grad Vi har i forløbet gennemført følgende bevis: - toppunktets koordinater, særligt y-koordinaten Fokuspunkter: - ræsonnement - problembehandling - historisk matematik i form af al-Khwarizmis metode til at løse andengradsligninger Arbejdsformer: - grafundersøgelse - klasseundervisning - gruppearbejde med problemløsning I forløbet er lærernoter af et omfang på ca. 3 s. blevet benyttet. I forløbet er følgende afsnit fra Systime's i-bog "Plus B1 stx" blevet brugt: - 5.2 Andengradspolynomiet (svarende til ca. 3 s.) - 5.3 Mere om parablen, fra toppen til og med Eksempel 1, men uden boksen "Bevis 1" (svarende til ca. 2 s.) - 5.5 Parallelforskydning af graf (svarende til ca. 2 s.) I forløbet er følgende øvrige materiale anvendt: - Et uddrag på ca. 4 s. af en oversat originaltekst af al-Khwarizmi. - Computermodellen "Andengradspolynomiets graf": https://www.geogebra.org/m/jctqqege - Computermodellen "Transform Graph X-Shift": https://www.geogebra.org/m/DyHxh8A4
Indhold	Kernestof: Læs om andengradspolynomiet i i-bogen her: 5.2 Andengradspolynomiet Lav følgende opgaver inden lektionen: Inden lektionen skal du samle op på din viden om andengradspolynomiet. Svar på spørgsmålene herunder og brug dine undervisningsnoter og brug i-bogen (5.2 Andengradspolynomiet og 5.3 Mere om parablen): Lav Opgave 1, Opgave 2 og Øvelse 5.3.5 i punkt 16) på onenote-siden: "Parablens toppunkt". Vi har arbejdet med dette i timen. Læs beviset for toppunktsformlen igennem. Find det midt på side 5.3 i i-bogen: 5.3 Mere om parablen Inden lektionen skal du læse om hvordan man kan flytte en funktion til højre og venstre og op og ned. Det kalder man for parallelforskydning. Test A.docx Forbered til en skriftlig test i denne lektion
Omfang	Estimeret: 15,00 moduler Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9	Vektorer og figurer og AI Dette forløb er kort og og vi repeterer grundlæggende vektorbegreber, introducerer determinanten og hvordan man kan bruge den til at bestemme arealer. Derudover ser vi på forskellige måder vi kan bruge AI i matematik, hvor vi samtidig er opmærksom på de falgruber der kan være ved det. Vi bruger AI (primært chatgpt) som matematikhjælper, som interviewer og som opgavestiller. Vi kommer også kort omkring ensvinklede trekanter og Pythagoras' sætning. Efter forløbet forventes du at kunne: - udregne determinanten mellem to vektorer - bestemme arealet af et parallelogram udspændt af to vektorer - bestemme arealet af en trekant udspændt af to vektorer - bestemme sidelængder i trekanter der er ensvinklede - bestemme sidelængder i retvinklede trekanter vha. Pythagoras' sætning Fokuspunkter: - matematisk symbolsprog - brug af CAS-værktøj til at regne med vektorer - brug af AI som et værktøj til bedre forståelse Arbejdsformer: - gruppearbejde - klasseundervisning I forløbet er lærernoter af et omfang på ca. 1,5 s. blevet benyttet. I forløbet er følgende afsnit fra Systime's i-bog "Plus B1 stx" blevet brugt: - 6.2 Ensvinklede trekanter (svarende til ca. 2 s.) - 6.3 Pythagoras' sætning (svarende til ca. 2 s.) I forløbet er følgende øvrige materiale anvendt: - Youtube-filmen "Vektorer - Areal af parallelogram": https://www.youtube.com/embed/zv6zalb_33Q?
Indhold	Supplerende stof: Inden lektionen skal du lade dig interviewe af en AI, f.eks. chatGPT i mindst 15 minutter. Formålet er at du bliver skarpere på de grundlæggende begreber inden for vektorregning. Brug formelsamlingen og i-bogen Vektorer og geometri (find selv den rel
Omfang	Estimeret: 6,00 moduler Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10	Funktioner, grafer og ligningsløsning I dette forløb arbejder vi mere i dybden med sammenhængen mellem skæring af grafer og ligningsløsning, herunder at løse to ligninger med to ubekendte. Undervejs beskæftiger vi os med omvendte funktioner i forbindelse med ligningsløsning. Vi lærer desuden potensfunktionen at kende samt hvordan man kan bruge enhedscirklen til at skabe en ny funktion, den harmoniske svingning, der beskriver sammenhænge hvor variationerne er gentagende. Undervejes i forløbet ser vi også på hvad en funktion egentlig er. Efter forløbet forventes du at kunne: - bestemme skæringspunkter mellem 2 grafer - løse 2 ligninger med 2 ubekendte ved substitutionsmetoden - tegne grafen for en stykkevist defineret funktion, som på et begrænset interval - bestemme skæringspunkter mellem en ret linje og en stykkevist defineret funktion - forklare hvad omvendte funktioner er og bruge dem til at løse ligninger der indeholder potenser af forskellige slags - forklare hvad en funktion er helt generelt - forklare hvad der kendtegner en potensfunktion, herunder betydningen af konstanterne i dens forskrift og den særlige egenskab ved potensfunktionen - udføre potensregression - sammenligne den lineære funktion, eksponentialfunktionen og potensfunktionen bl.a. mht. at udpege asymptoter og definitions- og værdimængde - forklare hvad enhedscirklen er hvordan sinus, cosinus og tangens er defineret derudfra - tegne en trigonometrisk funktion og aflæse amplitude, periode og udgangsniveau for svingningen Vi har i forløbet gennemført følgende bevis: - små selvvalgte beviser hørende til potensfunktionen, herunder at f(1)=b, den særlige potensegenskab og betydningen af fortegnet for a for hvorvidt potensfunktionen er voksende eller aftagende Fokuspunkter: - bevisførelse og ræsonnement i mere selvstændig grad - modellering Arbejdsformer: - gruppearbejde - gruppepræsentationer - ræsonnement I forløbet er lærernoter af et omfang på ca. 4,5 s. blevet benyttet. I forløbet er følgende sider fra Systime's i-bog "Plus B1 STX" blevet brugt: - 6.9.5 Skæring mellem linjer: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1309 (svarende til ca. 2 s.) - 1.6 Stykkevis lineære funktioner: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1237 (svarende til ca. 2 s.) - 4.1 Regneforskrift og graf for en potensfunktion: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1248 (svarende til ca. 3,5 s.) - 1.5 Funktioner: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1234 (svarende til ca. 2,5 s.) I forløbet er følgende sider fra Systime's i-bog "Plus B2 STX" blevet brugt: - 2.2 Den harmoniske svingning: https://plusstxb2.systime.dk/?id=2706 (svarende til ca. 4 s.)
Indhold	Kernestof: Inden lektionen har I en lille lektie. Sørg for at læse den blå kasse med overskriften Opgaveeksempel 2 på onenote-siden "Stykkevist definerede funktioner". Brug følgende spørgsmål som læsefokus: I arbejdede godt med skæring mellem grafer sidst😎 I skal have godt styr på de sidste detaljer, så inden lektionen skal du sørge for at lave opgave 1 og læse den grønne boks inde på onenote-siden: "Skæring mellem grafer". I arbejdede rigtig godt ved tavlerne i forrige lektion. Det var skønt 🌈 For at komme godt ind i den nye type funktion vi skal til at lære at kende, potensfunktionen, skal I læse lidt derhjemme. Lav opgave 1 på onenote-siden "Omvendte funktioner og ligningsløsning", dvs, udfyld skemaet. Ved funktionen på sidste række, (formel), må I gerne bruge TI-Nspire til at udregne funktionsværdier. I undervisningen mandag tog du et billede af tavlen. Brug det billede til at repetere hvordan cos(x), sin(x) og tan(x) er defineret. Du skal gerne kunne svare på følgende forståelsesspørgsmål:
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11	Sandsynlighedsregning Vi arbejder i forløbet med sandsynlighed hvor vi også arbejder med det vi kalder kombinatorik. Undervejs bestemmer vi også den frekventielle sandsynlighed ved flip med tændstikæsker og plastikkrus. Til sidst i forløbet fokuserer vi på at bruge kombinatorik til bestemme sandsynligheder, f.eks. ved situationer hvor man laver et udtræk fra en mængde. Efter forløbet forventes du at kunne: - redegøre for hændelse og udfaldsrum - forklare sandsynlighedsfelt - forklare symmetrisk udfaldsrum og udregning af sandsynlighed vha. gunstige og mulige udfald - forklare multiplikations- og additionsprincippet i forbindelse med kombinatorik - bestemme antal muligheder når rækkefølge både har og ikke har betydning, i form af hhv. permutationer og kombinationer - bruge kombinatorik i sandsynlighedsregning til f.eks. at bestemme sandsynligheden for udtræk af et bestemt antal røde bolde blandt et givet antal røde og blå bolde - forklare middelværdi og spredning for en stokastisk variabel Fokuspunkter: - problemløsning Arbejdsformer: - induktivt - klasseundervisning - gruppearbejde I forløbet er lærernoter af et omfang på ca. 3,5 s. blevet benyttet. I forløbet er følgende afsnit fra Systime's i-bog "Plus B2 stx" blevet brugt: - 4.1 Sandsynlighedsregning: https://plusstxb2.systime.dk/?id=2726 (svarende til ca. 5 s.) - 4.4 Stokastisk variabel fra afsnittet Middelværdi, varians og spredning: https://plusstxb2.systime.dk/?id=2745 (svarende til ca. 3 s.) - 4.2 Multiplikations- og additionsprincippet: https://plusstxb2.systime.dk/?id=2738 (svarende til ca. 5 s.) - 4.3 Kombinationer og permutationer, Eksempel 2 og 3: https://plusstxb2.systime.dk/?id=2739 (svarende til ca. 1,5 s.) I forløbet er følgende øvrige materiale anvendt: - "Vejen til Matematik B2" (Nielsen og Fogh, 1. udg., 2006): Eksempel 1.20, s. 134 (svarende til ca. 0,5 s.)
Indhold	Kernestof: I arbejdede godt med det man kalder den hamoniske svingning i forrige lektion. Inden denne lektion skal du læse eksemplet i i-bogen med brug af denne nye funktion (formel) (2.2 Den harmoniske svingning, Eksempel 1 - Tidevand). Inden lektionen skal i kigge jeres notearbejde fra sidst igennem. Lav derudover også følgende opgaver på s. 4.2 i i-bogen: 4.2 Multiplikations- og additionsprincippet Forbered til test i denne lektion. Dette dokument beskriver hvad du skal forberede dig på Test_forberedelse.docx Læs onenote-siden "Permutationer og kombinationer" på vores fælles onenote. Bemærk at jeg har lagt billeder af tavlen fra forrige lektion ind på onenote-siden. I denne lektion skal vi tilbage til at udregne sandsynligheder, men vi skal bruge kombinatorik som vi har arbejdet med i de seneste lektioner. Sørg for at læse Eksempel 3 på side 4.3 i i-bogen: 4.3 Kombinationer og permutationer
Omfang	Estimeret: 12,00 moduler Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12	Afledte funktioner og tangenter I forløbet udvider vi vores forståelse af funktioner. Vi diskuterer væksthastighed og tangenthældning, og vi undersøger hvilke sammenhænge der er mellem forskriften for en funktion og forskfriften for funktionens tangenthældningner. Dette fører os over i at aflede funktioner og arbejde med optimering. Undervejs lærer vi også den naturlige eksponential- og logaritmefunktion at kende. Undervejs i forløbet forbereder vi os også til terminsprøven. Efter forløbet forventes du at kunne: - udføre beregninger med den naturlige eksponential- og logaritmefunktion - tegne en tangent på en graf både i hånden og med IT-værktøj - forklare sammenhængen mellem væksthastighed, tangenthældning og den afledte funktion - aflede simple funktioner inklusiv en sum af to funktioner og produktet af en funktion med en konstant - benytte differentialregning til at optimere en variabel ud fra oplyste betingelser Fokuspunkter: - undersøgende matematik Arbejdsformer: - induktiv undersøgelse af sammenhængen mellem en funktions forskrift og tangenthældningen i forskellige punkter på funktionens graf - gruppearbejde - klasseundervisning I forløbet er lærernoter af et omfang på ca. 3,5 s. blevet benyttet. I forløbet er følgende afsnit fra Systime's i-bog "Plus B2 stx" blevet brugt: - 3.6.2 Optimering, dog ikke Eksempel 9: https://plusstxb2.systime.dk/?id=2719 (svarende til ca. 3 s.) I forløbet er følgende øvrige materialer anvendt: - Computermodellen "Funktion og afledet funktion": https://www.geogebra.org/m/zFDAAUQu - "Gyldendals Gymnasiematematik - Grundbog B2" (Clausen, Schomacker, Tolnø, 2. udg. 2011): s. 197-198 (svarende til ca. 1 s.) - Computermodellen "Graf for afledet funktion": https://www.geogebra.org/m/aPumfnzv
Indhold	Kernestof: Test A.docx
Omfang	Estimeret: 22,00 moduler Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13	Klimainnovation med binomialfordeling Med udgangspunkt i et tværfagligt forløb mellem dansk og matematik omhandlende klimaflygtninge, klimalitteratur og meningsmålinger, møder vi i forløbet binomialfordelingen, binomialtest og 95%-konfidensintervaller. Vi skelner mellem højre-, venstre- og tosidet binomialtest og hvordan vi drager konklusionerne i de forskellige tilfælde, og vi anvender 95%-konfidensintervaller til at sammenligne spørgeskemaer. Til arbejdet med binomialtest og bruger vi især GeoGebras sandsynlighedslommeregner. Vi afrunder forløbet med en kort gennemgang af normalapproksimationen af binomialfordelingen og med at simulere en nulhypotese ud fra Monty Hall-dilemmaet. Efter forløbet forventes du at kunne: - forklare binomialforsøget herunder middelværdi og spredning for en binomialfordelt stokastisk variabel - opstille nulhypotese og alternativ hypotese for en binomialtest - aflæse hvad der udgør populationen, stikprøven og teststørrelsen i konkrete situationer - forklare acceptmængde og kritisk mængde samt signifikansniveauet - foretage beregninger med CAS-værktøj og foretage fortolkninger på den baggrund - vurdere om en binomialtest er højre-, venstre- og tosidet - forklare systematiske fejl og skjulte variable på et overordnet niveau - beregne et estimat af en andel ud fra stikprøvestørrelse og antal succeser - forklare betydningen af konfidensintervaller og hvordan intervalbredden varierer med stikprøvens størrelse Vi har i forløbet gennemført følgende bevis: - sandsynlighedsfunktionen for binomialfordelingen Fokuspunkter: - modellering af situationer fra virkeligheden i forbindelse med binomialtest og 95%-konfidensintervaller - bevisførelse og ræsonnement - brug af CAS-værktøj og at lave fortolkninger ud fra resultater - læsning på engelsk Arbejdsformer: - gruppearbejde - klasseundervisning - projektarbejde I forløbet er lærernoter af et omfang på ca. 7,5 s. blevet benyttet. I forløbet er følgende afsnit fra Systime's i-bog "Plus B2 stx" blevet brugt: - 4.5 Binomialfordelingen (til og med Eksempel 2): https://plusstxb2.systime.dk/?id=2746 (svarende til ca. 4,5 s.) - 4.5.1 Hypotesetest i binomialfordelingen: https://plusstxb2.systime.dk/?id=2747 (svarende til ca. 6 s.) - 4.5.2 Konfidensinterval for andel (Sætning 3 og Eksempel 7): https://plusstxb2.systime.dk/?id=2748 (svarende til ca. 1,5 s.) I forløbet er følgende afsnit fra Systime's i-bog "Plus B1 stx" blevet brugt: - 7.3 Stikprøver (ikke afsnittet "Estimat af middelværdi og spredning for population" og Eksempel 4): https://plusstxb1.systime.dk/?id=1347 (svarende til ca. 5 s.) I forløbet er følgende øvrige materialer anvendt: - Youtube-filmen "Bevis for sandsynlighedsfordelingen for binomialfordelingen": https://www.youtube.com/watch?v=0gqxvRrQpms - En samling af meningsmålinger fra det amerikanske præsidentvalg i 2020: https://projects.fivethirtyeight.com/2020-election-forecast/ (siden er nu lukket) - Monty Hall-simulatoren: https://montyhall.io/ - Wikipedia-artiklen "Monty Hall problem" (engelsksproget): https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem (svarende til ca. 0,5 s.) - Computermodellen "Normal Approximation of Binomial Distribution": https://www.geogebra.org/m/aQ8vV0Kp
Indhold	Kernestof: Inden lektionen skal du afslutte opgave 1 som vi startede på i lektionen mandag. Opgaven ligger på onenote-siden: "Intro til binomialfordelingen" i den nye onenote-sektion Binomialtest og konfidensinterval. Vi skal arbejde med et bevis i denne lektion, og det skal du forberede dig til. Du skal se to bevisgennemgange og sammenligne dem. Lav opgave 1 og 2 inde på onenote-siden med titlen "Opsamling på binomialfordelingen med TI-Nspire". Læs om hvordan binomialtest kan bruges her i Eksempel 5 på denne side i i-bogen: 4.5.1 Hypotesetest i binomialfordelingen \| plus B2 stx Vi skal til at være helt skarpe på 95%-konfidensinterval. Sørg derfor for at læse om det i i-bogen. Inden lektionen skal I træne lidt selv. Lav derfor disse 2 opgaver hjemme til næste gang.
Omfang	Estimeret: 18,00 moduler Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14	Differentialregning og beviser Vi genoptager i dette forløb arbejdet med funktioners tangenthældninger. Vi har tidligere set på væksthastighed og tangenthældning, men i dette forløb gør vi mere ud af forskellige regneregler og at forstå hvordan man kan bevise differentialkvotienten. Det fører os også forbi sammensatte funktioner og arbejdet med monotoniforhold. I forløbet har vi undervejs fokus på bevisførelse og vi beviser udtrykket for differentialkvotienten for udvalgte funktioner. Efter forløbet forventes du at kunne: - redegøre for sammensatte funktioner - aflede mere komplicerede funktioner vha. CAS-værktøj - anvende produktreglen - anvende kædereglen - redegøre for tretrinsreglen generelt, herunder overfladisk forklare grænseværdi - anvende tretrinsreglen til at bestemme differentialkvotienten for udvalgte funktioner - bestemme ligningen for en tangent der rører en graf i et bestemt punkt - benytte differentialregning til at bestemme monotoniforhold for en funktion og forklare hovedprincipperne bag metoden - forklare begreberne kontinuitet og differentiabilitet Vi har i forløbet gennemført følgende beviser: - differentialkvotienten for den lineære funktion eller differentialkvotienten for andengradspolynomiet Fokuspunkter: - bevisførelse og ræsonnement - problemløsning - mundtlig formidling i forbindelse med præsentation og brug af tretrinsreglen i screencast-aflevering samt mundtlig formidling af sammensatte funktioner og kædereglen Arbejdsformer: - gruppearbejde - klasseundervisning I forløbet er lærernoter af et omfang på ca. 4 s. blevet benyttet. I forløbet er følgende afsnit fra Systime's i-bog "Plus B2 stx" blevet brugt: (svarende til ca. 1,5 s.) - 3.1 Differentialkvotient (Interaktivitet - Sekant og tangent): https://plusstxb2.systime.dk/?id=2716#c26335 (svarende til ca. 0,5 s.) - 3.2 Bestemmelse af differentialkvotienter (Tretrinsreglen, Sætning 1 og Sætning 3, inkl. beviser): https://plusstxb2.systime.dk/?id=2715 (svarende til ca. 3,5 s.) - 3.3.1 Sammensat funktion: https://plusstxb2.systime.dk/?id=2725 (svarende til ca. 1,5 s.) - 3.4 Ligning for tangent (Eksempel 1 og 3): https://plusstxb2.systime.dk/?id=2713 (svarende til ca. 3 s.) - 3.6 Monotoniforhold og anvendelse af differentialregning (ikke Eksempel 4): https://plusstxb2.systime.dk/?id=2711 (svarende til ca. 5,5 s.) I forløbet er følgende øvrige materialer anvendt: - Youtube-filmen "Monotoniforhold og monotonilinje": https://www.youtube.com/watch?v=Y-IyTIN2-ig
Indhold	Kernestof: Kig tilbage i dine noter fra det tidligere forløb omkring væksthastighed og besvar spørgsmålene herunder. I onenote, hed emnet Differentialregning. Vi skal godt videre med at aflede funktioner i dag. Sørg for at øve hvordan du afleder de 11 funktioner så du kan dem udenad. Du finder funktionerne i formelsamlingen eller i tabellen på onenote-siden "Den afledte funktion og væksthastighed". I arbejdede rigtig godt ved tavlerne sidst. Vi arbejdede med at aflede en funktion der består af et produkt. Vi skal som den sidste type funktion lære at aflede en funktion der er sammensat af to funktioner. I arbejdede supergodt med sammensatte funktioner og kædereglen sidst vi havde matematik 🤩 Det var fedt at se. Vi skal arbejde med tretrinsreglen i to lektioner i dag. Derfor skal du hjemme være omhyggelig med at læse tretrinsreglen. Vi afholder en test i denne lektion. Se beskrivelsen af testen under opgaver på lectio. Vi skal til at lære at arbejde med ligningen for en tangent. Der er tre situationer vi skal arbejde med, og inden lektionen skal du læse om den første. Inden lektionen skal du lave lave øvelse 3.6.9 i i-bogen: 3.6 Monotoniforhold og anvendelse af differentialregning
Omfang	Estimeret: 10,00 moduler Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 15	Linjer og geometri I forløbet udvider vi forståelsen af vektorer. Vi undersøger hvordan man kan bruge vektorbegreber til at beskrive egenskaber ved geometriske figurer, f.eks. linjens ligning eller parameterfremstillingen for en ret linje. Ud fra eksempler fra billedkunsten introducerer vi vektorprojektion, og vi beviser sætningen for vektorprojektion. Vi beskæftiger os dernæst med andre grundlæggende geometriske begreber, såsom vinkler mellem linjer og afstande mellem to punkter eller mellem et punkt og en linje. Afslutningsvist beskriver vi cirklen ved cirklens ligning, og vi vil bestemme tangenten til en cirkel. Efter forløbet forventes du at kunne: - redegøre for en normalvektor og anvende en normalvektor til at opstille en ligning for en linje gennem et kendt punkt - redegøre for parameterfremstillingen, hvordan den bestemmes ud fra forskellige oplysninger samt hvordan den tegnes - omskrive mellem en linjes parameterfremstilling og linjens ligning - bestemme vektorprojektion af en vektor på en anden vektor - bestemme vinkler mellem linjer - bestemme afstande mellem to punkter og mellem et punkt og en linje - forklare cirklens ligning, herunder at opstille en cirkels ligning ud fra forskellige oplysninger - omskrive cirklens ligning vha. kvadratsætninger, så den står på formen hvor centrumkoordinater og radius kan aflæses - afgøre om et givet punkt ligger på en kendt cirkel Vi har i forløbet gennemført følgende bevis: - formlen for projektionen af en vektor på en anden vektor - formlen for afstanden mellem et punkt og en linje Fokuspunkter: - forskellige måder at repræsentere det samme geometriske objekt, f.eks. en linje eller en cirkel - bevisførelse og ræsonnement Arbejdsformer: - gruppearbejde - klasseundervisning I forløbet er lærernoter af et omfang på ca. 3,5 s. blevet benyttet. I forløbet er følgende afsnit fra Systime's i-bog "Plus B1 stx" blevet brugt: - 6.9.2 Linjens ligning: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1306 (svarende til ca. 3,5 s.) - 6.9.1 Parameterfremstilling: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1305 (svarende til ca. 2,5 s.) - 6.6.1 Vektorprojektion og vinkel: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1318 (svarende til ca. 1,5 s.) - 6.6.2 Beviser for sætninger (Sætning 3 og Bevis 3): https://plusstxb1.systime.dk/?id=1346 (svarende til ca. 1,5 s.) - 6.9.4 Afstand mellem punkt og linje (Fra og med Eksempel 7): https://plusstxb1.systime.dk/?id=1308 (svarende til ca. 3. s) - 6.10 Cirklen (Fra og med afsnittet "Omskrivning af cirklens ligning"): https://plusstxb1.systime.dk/?id=1301 (svarende til ca. 2,5 s.) - 6.10.1 Tangent til cirkel: https://plusstxb1.systime.dk/?id=1320 (svarende til ca. 3 s.) I forløbet er følgende øvrige materiale anvendt: - Computermodellen "Vektorprojektion": https://www.geogebra.org/m/rzvfps7q - Youtube-filmen "Vektorprojektion - bevis": https://www.youtube.com/watch?v=wIvpWYMmQ8Q
Indhold	Kernestof: I arbejdede godt med den normalvektoren i torsdags. Vi skal have godt styr på linjens ligning, så inden lektionen skal du læse siden 6.9.2 Linjens ligning. Læs fra toppen og ned til og med "Eksempel 4". I lektionen skal vi lære parameterfremstillingen at kende. For at være godt klædt på, skal du læse om parameterfremstillingen inden lektionen. I forrige lektion arbejdede vi med parameterfremstillingen. I denne lektion skal vi træne at omskrive mellem linjens ligning og parameterfremstillingen. Derfor skal du arbejde med følgende derhjemme inden lektionen: Vi skal i denne lektion bruge formlen for vektorprojektion til at lave beregninger, og vi skal også bevise den. Inden lektionen i dag skal du læse onenote-siden: "Bevisgennemgang" der er en underside til siden "Bevis: vektorprojektion." Fokusér på de fire punkter under overskriften "Symbolforklaring til følgende bevis - læs dette først". Inden lektionen skal du lave denne opgave Inden lektionen skal I lave følgende opgave. Sørg for at bruge informationen I fik til sidst i forrige modul om cirklens ligning. Find den på onenote.
Omfang	Estimeret: 13,00 moduler Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 16	Repetition Vi repeterer hvad vi har lært i matematik og forbereder os til skriftlig og mundtlig eksamen. I tilfældet hvor man opgraderer til matematik A, arbejdes der selvstændigt med integralregning.
Indhold
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Vis samlet undervisningsbeskrivelse samt elevtilknytning til forløb