Holdet 2023 Ma/b - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2024/25
Institution Sankt Annæ Gymnasium
Fag og niveau Matematik B
Lærer(e) Kristine Bak Bacher
Hold 2023 Ma/b (1b Ma, 2b Ma)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Procenter og rentesregning
Titel 2 Potensfunktioner
Titel 3 Vektorregning
Titel 4 Statistik og modeller
Titel 5 Vektorer, linjer og cirkler
Titel 6 Polynomier
Titel 7 Differentialregning
Titel 8 Sandsynlighedsregning og kombinatorik
Titel 9 Matematik på tværs

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Procenter og rentesregning

I grundforløbet var der bl.a. fokus på lineære funktioner og lineær vækst. I dette forløb undersøges en andet vækstform, nemlig eksponentiel vækst. Når der tilføres renter til en opsparing eller når fænomener udvikler sig relativt (procentvist) med tiden, så taler man om eksponentiel vækst.
Med renteformlen og den eksponentielle funktion opstår et behov for at løse ligninger med logaritmer og generelt for at forstå potensnotation og kende potensregnereglerne.
Men hvorfor opstod logaritmerne i det hele taget? I et historisk perspektiv ser vi på, hvordan logaritmetabeller blev konstrueret, og hvordan de kunne løse et behov for at lave multiplikationsstykker om til additionsstykker i en tid før lommeregnere og computere.
Når man sparer op løbende eller betaler af på et lån, er det nyttigt at kende annuiteter. I forløbet undersøges annuitetslån og annuitetsopsparing, herunder beviset for annuitetsopsparing.

Stikord:
- Potensregning
- Logaritmer
- Procent og fremskrivning
- Renteformlen
- Annuitetsregning
- Eksponentiel vækst
- Halverings- og fordoblingskonstanter
- Eksponentiel regression
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 20,00 moduler
Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 2 Potensfunktioner

I et kort forløb undersøges en tredje vækstform, nemlig potensvækst. Med udgangspunkt i kvadratfunktionen, kvadratrodsfunktionen og den reciprokke funktion undersøges de særlige egenskaber ved potensfunktionen.

Potensfunktionens graf kan være hurtigt voksende, konstant voksende, langsomt voksende, konstant eller aftagende. Vi undersøger sammenhængen mellem a-værdien og de forskellige vækstformer.

Stikord:
- Kvadratfunktion
- Kvadratrodsfunktion
- Reciprok funktion
- Potensfunktion
- Aftagende og voksende grafer
- Potensregression
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 3 Vektorregning

Hvordan kan man beskrive bevægelse med matematik? Vektorer er pile, som kan beskrive forskydning af punkter i et koordinatsystem. Pilene kan bruges til at lave en ny måde at regne på, nemlig vektorregning.

I forløbet undersøger vi, hvordan man kan regne med vektorer både geometrisk og algebraisk. Med materialet "Kan man regne med andet end tal?" undersøger vi, hvordan sum af vektorer kan konstrueres geometrisk, så vi regneoperationen plus er kommutativ og associativ. Vi ser på modsatte vektorer og differensen mellem vektorer.

Vi indfører prikproduktet (skalarproduktet) for at kunne karakterisere to vektorers indbyrdes forhold, altså om vinklen mellem de to vektorer er spids, stump eller ret. Her opstår et behov for at forstå definitionen af cosinus ud fra enhedscirklen, hvilket bygger videre på grundforløbets undervisning i trigonometri.

Vi arbejder med beviset for cosinusrelationerne, og vi bruger cosinusrelationerne til at bevise formlen for vinklen mellem to vektorer. Undervejs får vi anledning til at repetere kvadratsætningerne.

Stikord:
- Vektor
- Længde af vektor
- Forbindelsesvektorer
- Indskudssætningen
- Prikprodukt/skalarprodukt
- Enhedscirklen
- Cosinusrelationerne
- Formlen for vinklen mellem to vektorer
- Kvadratsætningerne
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 Statistik og modeller

Artiklen "10 ud af 9 bliver snydt af statistik" fortæller, at man kan blive snydt af statistik på forskellige måder. Det kan være pga. manipulation af grafer, misforståelser, skjulte variable eller fænomener som Simpsons paradoks, hvor aggregeret data viser et andet billede end data fordelt på grupper eller afdelinger. Vi starter dette forløb op med artiklen samt DR-udsendelsen "Statistik, magt og manipulation" for at få et bredt perspektiv på, hvad statistik kan bruges til, og hvorfor man skal holde tungen lige i munden, når man begiver sig ud i at fortolke statistik.

I et historisk perspektiv dykker vi ned i optagelsestallene til UC Berkeley i 1973, hvor universitetet blev beskyldt for at kønsdiskriminere. Det er et berømt eksempel på Simpsons paradoks, da det viser sig, at kvinder faktisk i de fleste tilfælde har en fordel over mænd, selv om flere mandlige ansøgere optages på universitetet. Den afgørende forskel er i søgemønstrene, og ikke begrundet i diskrimination ved optagelsen.

I forbindelse med Forskningens Døgn deltager vi i et foredrag med professor Martin Stendel fra DMI, der fortæller om klimamodeller. Her får vi et perspektiv på hvordan komplekse modeller opbygges og testes. I undervisningen arbejder vi med regressionsmodeller og vurdering af deres gyldighed og rækkevidde.

Sidste del af forløbet begiver sig ind i den deskriptive statistik. Vi fokuserer på middeltal, median og kvartilsæt, idet vi undersøger hvordan man kan karakterisere forskellige typer af observationssæt. Er middeltallet eller medianen bedst til at beskrive et bestemt datasæt? Er lærerens alder en outlier i 1b?

Stikord:
- Ugrupperet og grupperet data
- Middeltal/gennemsnit
- Median
- Kvartilsæt
- Kvartilbredde
- Variationsbredde
- Outlier
- Boksplot
- Sumkurve
- Regressionsmodellers rækkevidde
- Residualer
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 5 Vektorer, linjer og cirkler

Vi kender vektorregningen fra 1.g. I dette forløb anvendes vektorregningen som grundlag for at beskrive de geometriske figurer punkter, linjer og cirkler i koordinatsystemet. Linjer beskrives med linjens ligning på formen ax+by+c=0, hvor a og b er normalvektorens koordinatsæt. Linjer beskrives også med parameterfremstilling. Cirklens ligning opstår som konsekvens af Pythagoras' sætning.

Undervejs ser vi på, hvordan man kan afgøre om linjer er parallelle eller ortogonale, bestemme skæringspunkter, projicere vektorer og punkter, finde afstande og undersøge antallet af skæringspunkter mellem linjer og cirkler.

Der har været særligt fokus på udvalgte beviser, herunder vinkel mellem vektorer og produktet af hældningskoefficienter for ortogonale linjer.

Stikord:
- Tværvektor
- Determinant
- Linjens parameterfremstilling
- Linjens ligning på normalform
- Afstand mellem punkter
- Afstand mellem punkt og linje
- Cirklens ligning
- Cirkeltangenter
- Polære koordinater
- Faktorisering og kvadratkomplettering
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 18,00 moduler
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 6 Polynomier

Forløbet tager udgangspunkt i 2. gradspolynomiet, herunder konstanternes betydning for grafen, toppunktets placering og symmetriegenskaberne. Vi løser andengradsligninger, og vi faktoriserer 2. gradspolynomiet.
Polynomier af højere grad introduceres.

Vi bruger andengradspolynomiet som et afsæt for undersøge, hvordan kunstig intelligens virker. Gennem undervisningsforløbet "AI og rødder i andengradspolynomiet" tilgængeligt på www.aimat.dk undersøger vi, hvordan træningsdata kan fremstilles, og i online-foredraget "Kunstig intelligens under luppen" får vi et bredere billede af, hvordan kunstig intelligens er afhængig af træningsdata.

Stikord:
- Andengradspolynomiet
- Andengradsligningen
- Diskriminant og rødder
- Faktorisering

Litteratur:
Carstensen; Frandsen; Lorentzen; Madsen: Mat A2 - stx, 3.udg., Systime; sider: 10-29 og 31-32.

Foredrag:
Kasper Green Larsen - Kunstig intelligens under luppen: Hvordan virker motoren nedenunder? (Afholdt for Videnskabernes Selskab.)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 7 Differentialregning

Efter at have studeret 2. gradspolynomiet i sidste forløb studerer vi tangenthældningen forskellige steder på grafen. Tangenthældningen giver anledning til forskellige fortolkninger og i modelleringssammenhænge er det særligt nyttigt at forstå tangenthældningen som en væksthastighed.

Vi kan også bruge tangenthældningen og den afledte funktion til at bestemme monotoniforhold for et udvalg af differentiable funktioner. Det kalder vi en funktionsundersøgelse, og det er særlig anvendeligt i forbindelse med optimering, hvor et lokalt ekstremum kan vises at være en optimal løsning på et problem i en anvendelseskontekst.

I gruppeprojektet "Årets påskechokolade" skal den mest optimale beholder til chokolade designes. Her sammenlignes en kasseformet, et prisme med sekskantet bund samt en cylinderform. Med brug af optimering ses det, at cylinderformen minimerer materialeforbruget til beholderen.

Stikord:
- Regneregler for differentiation
- Begrebet differentialkvotient
- Beviser med tretrinsreglen
- Væksthastighed og tangenthældning
- Optimering

Litteratur:
Carstensen; Frandsen; Lorentzen; Madsen: Mat A2 - stx, 3.udg., Systime; sider: 50-70, 75-76, 83-85, 105-108 og 112-119.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 17,00 moduler
Dækker over: 23 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 8 Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Dette forløb tager udgangspunkt i kombinatorik, hvor vi undersøger permutationer og kombinationer, herunder binomialkoefficienten og Pascals trekant. Vi inddrager vores tidligere viden om sandsynlighedsregning og indfører stokastiske variable, for hvilke vi kan bestemme middelværdi og spredning. Det bruges eksempelvis til at regne på gevinster og overskud i lotterier.

I et historisk perspektiv læser vi et uddrag af Sir Ronald Fishers artikel "Mathematics of a lady tasting tea". I artiklen diskuteres et forsøg, der skal afgøre, om en forsøgsperson kan smage forskel på, om der er hældt te eller mælk først i en kop te. I forsøget skal forsøgspersonen udpege hvilke fire kopper, der først fik hældt mælk i, ud af i alt otte kopper. I artiklen introduceres begreberne nulhypotese og signifikansniveau.

Vi anvender binomialtest i etsidet og tosidet udgave. Her designer vi et test til at afgøre, om man kan smage forskel på to forskellige slags cola. Binomialfordelingens approksimation til normalfordelingen inddrages til at afgøre om udfald er normale eller exceptionelle samt til bestemmelse af 95 %-konfidensintervaller.

Stikord:
- Sandsynlighedsfordeling
- Symmetrisk sandsynlighedsfelt
- Stokastisk variabel
- Middelværdi og spredning
- Binomialforsøg
- Binomialfordelingen
- Hypotesetest
- Signifikansniveau

Litteratur:
Carstensen; Frandsen; Lorentzen; Madsen: Mat A2 - stx, 3.udg., Systime; sider: 228-239, 249-272, 320-330 og 336-341.
Uddrag af James R. Newman, The World of Mathematics, Volume III., Part VIII, Statistics and the Design of Experiments (New York, Simon & Schuster, 1956), siderne 1514-1521
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 19,00 moduler
Dækker over: 19 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer