Holdet 3g MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2025/26
Institution Morsø Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Jesper Kjær Nannerup
Hold 2023 MA/g (1g MA, 2g MA, 3g MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Lineære modeller
Titel 2 Grundlæggende algebra
Titel 3 Procentregning og eksponentialfunktioner
Titel 4 FF1g - Rent vand til alle
Titel 5 Ræsonnement og bevisførelse - introduktion
Titel 6 Logaritmefunktioner og regneregler
Titel 7 Potensfunktioner
Titel 8 Andengradsligninger og andengradspolynomier
Titel 9 Analytisk geometri 1
Titel 10 Deskriptiv statistik
Titel 11 Analytisk geometri
Titel 12 Differentialregning og optimering
Titel 13 Sandsynlighedsteori og kombinatorik
Titel 14 Binomialfordeling, konfidensinterval og simulering
Titel 15 Integralregning
Titel 16 Forberedelse mundtlig årsprøve
Titel 17 Differentialligninger
Titel 18 Undervisning 6. klasses-elever
Titel 19 Vektorfunktioner og parameterkurver
Titel 20 Terminsprøvetræning
Titel 21 Funktioner af to variable
Titel 22 Normalfordelingen og lineær regressionsanalyse

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Lineære modeller


KERNESTOF:
Lineære funktioner
Grafer for lineære funktioner
Koordinatsystemet
Skæring mellem to punkter.
Hældningskoefficient
Lineære tilvækster
Topunkts-formlen herunder bevis
Lineære modeller
Lineær regression og residualplot
De fire repræsentationsformer for variabelsammenhæng.

Anvendelse af Nspire
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 18,00 moduler
Dækker over: 26 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Grundlæggende algebra

INDHOLD:
- regnearternes hierarki
- brøkregneregler
- potensregneregler
- kvadratsætninger
- ligningsløsning
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Procentregning og eksponentialfunktioner

Indhold (kernestof):
- anvendelse af procentregneregler
- absolut og relativ vækst
- eksponentialfunktioner (forskrift, konstanters navne og betydning, definitions- og værdimængde, relation til renteformel, grafens udseende, bestemmelse af konstanter ud fra 2 punkter, fordoblings- og halveringskonstant)
- introduktion til 10-talslogaritmen og den naturlige logaritme. Brug af logaritmeregneregler

Der er desuden arbejdet med:
- grundlæggende færdigheder med CAS-værktøj (eksponentiel regression, definition af funktioner, ligningsløsning)
- bevidsthed om fordele og ulemper ved brug af computer samt papir og blyant
- Introduktion til de reelle tal og notation med brug af fx " k \in \{R} "
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 FF1g - Rent vand til alle

På verdensplan har 2,2 milliarder mennesker ikke adgang til rent, sikkert drikkevand. I FF1g-forløbet kombineres fagene biologi og matematik i et projektarbejde til at undersøge ”Rent drikkevand til alle”.

FAGLIGE MÅL I BIOLOGI:  
- At redegøre for bakteriers opbygning, livscyklus, vækst og deres evne til at gøre os syge.
- At undersøge bakteriers vækst og vurdere under hvilke forhold, bakterierne har størst vækst.
- At vurdere om det er biologi relevant at bruge gærceller som model for bakterievækst.  

FAGLIGE MÅL I MATEMATIK:
- At redegøre for graf og forskrift i eksponentialfunktioner, herunder betydning af konstanterne a og b.
- At anvende eksponentiel regression i CAS på et datasæt og vurdere kvalitet af matematisk model ud fra residualplot
- At gøre basale overvejelser vedrørende modellers rækkevidde
- At kunne forklare og sætte i kontekst, begrebsparret empirisk/formel

EKSPERIMENTELT ARBEJDE:
Bestemmelse af celletal ved tællekammer
Fremstilling af standardkurve ved spektrofotometri
Gærcellers vækst ved 20 grader og 37 grader (Datasæt udleveret)

BASAL VIDENSKABSTEORI:
Eleverve skal redegøre for begrebsparret ”Empirisk og formel” fra bogen Vidensmønstre, og forklare begrebernes relevans for dette projekt. I denne forbindelse skal I inddrage teorien om matematisk modellering.

I grupper skal eleverne lave en PowerPoint præsentation, som afslutningsvist fremlægges.
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
  • Eksperimentelt arbejde
  • Projektarbejde

Titel 5 Ræsonnement og bevisførelse - introduktion

FAGLIGE MÅL
- Ræsonnement som evne til at forbinde nogle grundlæggende regler og præmisser i en logisk argumentationsrække som fører til en konklusion
- Beviser for topunktsformlen for både lineære og eksponentialfunktioner

For at træne ræsonnement har vi
- ført diskussion af enkle Georg Mohr-opgaver i grupper
- løst sudoku i par, så der skulle argumenteres for hvert placeret tal
- diskuteret opgaven "Rebet om jorden"
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 3,00 moduler
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Logaritmefunktioner og regneregler

KERNESTOF
Definition på 10-tals logaritmefunktion samt den naturlige logaritmefunktion, logaritmeregneregler og deres anvendelse i ligningsløsning, fordoblingskonstant for eksponentialfunktioner.

Fokus på matematisk ræsonnement. Et af målene med forløbet er at føre nogle af beviserne for eksponentialfunktioners egenskaber.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Potensfunktioner

KERNESTOF
Potensfunktionens forskrift, egenskaber, grafisk forløb, eksempler på modellering via. potensfunktioner, potensvækst. Sammenligning af de tre vækstformer: lineær, eksponentiel- og potensvækst, potensregression, bestemmelse af forskrift ud fra to givne punkter.

SUPPLERENDE
Bevisførsel: gennemgang af bevis for topunktsformlen for bestemmelse af konstanter i potensfunktion.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Andengradsligninger og andengradspolynomier

KERNESTOF
Andengradsligning - definition og løsningsstrategier
Andengradspolynomiet - definition
Generel løsning af andengradsligninger (herunder anvendelse af diskriminant)
Grafens udseende: Parabel og toppunkt
Finde parablens toppunkt
Løsninger af andengradsligninger med henholdsvis b=0 og c=0
Faktorisering af andengradspolynomium

SUPPLERENDE
Anvendelse af Nspire og Geogebra til løsninger af andengradsligninger
Eksperimenter med parabler
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Analytisk geometri 1

Forløbet giver en grundlæggende introduktion til vektorer.

Addition, subtraktion, skalarmultiplikation, nulvektor, vektorligninger, længde, forbindelsesvektor, stedvektor, indskudssætningen, enhedsvektor, prikprodukt, vinkel mellem vektorer, ortogonale og parallelle vektorer.

Derudover en introduktion til enhedscirklen, hældningsvinkel og trigonometri. Der arbejdes med sinus- og cosinusrelationerne som supplerende stof.

Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A1 s. 148-152 + 158-189.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Deskriptiv statistik

INDHOLD
Siderne 108-124 i Grundbogen er udgangspunktet for forløbet

Indekstal
Ugrupperede observationer
Grupperede observationer
Middeltal
Spredning
Venstre- og højreskæv fordeling
Hyppighed, frekvens og relativ hyppighed
Boksplot og kvartiler
Median
Histogram
Kumuleret frekvens
Fraktiler

SUPPLERENDE:
Anvendelse af Nspire til deskriptiv statistik
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Analytisk geometri

Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 20,00 moduler
Dækker over: 23 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Differentialregning og optimering

INDHOLD

Kernestof
- differentiation af forskellige funktionstyper (herunder lineære, polynomier, 1/x, kvadratrod x (potens), eksponentialfunktioner og logaritmefunktioner)
- Anvendelse af  regneregler (sum, differens, konstant ganget på funktion, produkt, sammensat)
- bestemmelse af tangentligninger
- bestemmelse af monotoniforhold samt lokale ekstrema
- grafisk forståelse for kontinuitet og differentiabilitet
- begreberne sekant, tangent og differentialkvotient
- udledning af differentialkvotienter
- udledning af regneregler
- modellering og optimering via. differentialregning
- differentialregning anvendt til bevis af toppunktsformlen samt bevis for tangents ligning i (0,c) for 2.gradspolynomium

Supplerende stof
- Arbejde med matematisk ræsonnement og bevisførsel bevisopgaver
- anvendelse af CAS løbende i arbejdet med opgaver - især til eksperimentelt arbejde.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 20,00 moduler
Dækker over: 25 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer



Titel 15 Integralregning

Kernestof
Følgende begreber er behandlet
Stamfunktion, ubestemt integral, stamfunktioner med grafer gennem bestemte punkter og med bestemte tangenter, bestemt integral, arealbestemme via bestemt integral, areal mellem to grafer, arealer for områder under x-aksen.

Supplerende stof
Ræsonnement og bevisførsel har været et gennemgående tema for arbejdet med integralregning. I denne forbindelse har vi som en hovedsætning bevist, at en arealfunktion er en stamfunktion, samt den tilhørende sætning om at det bestemte integrale er lig med arealet under grafen for en ikke-negativ kontinuert funktion.
Brug af Nspire til illustrationer og beregninger har været gennemgående.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 20,00 moduler
Dækker over: 21 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 17 Differentialligninger

KERNESTOF
Definition differentialligning samt part. og fuldst. løsninger, Kontrol af mulig løsning ved "gør prøve", bestemmelse af tangentligninger, linjeelementer, hældningsfelt, skitsering af løsning via hældningsfelt, vækstmodeller: lineær, eksponentiel og forskudt eksponentiel vækst, tolkning af grafisk sammenhæng mellem y' og y, løsningsformler for vækstmodellers differentialliginger og beviser for samme (bevis for øsningsformel for logistisk vækst kun studeret kort), separation af variable og anvendelse af teknik til bevis for løsningsformel for y'=ky, introduktion til lineære differentialligninger af 1. orden og deres generelle løsningsformel.

SUPPLERENDE STOF
Anvendelse af CAS til udarbejdelse af hældningsfelt og løsningskurver, brug af desolve.
Beviser af løsningsformler:
- Ved separation af variable: y'=ky
- y'=b-ay (ved at vise eksistens og dernæst entydighed)
- Analyse af logistisk differentialligning ud fra teori om andengradspolynomier (supplerende note)
- Definition af tallet e samt bevis for at (e^x)'=e^x (supplerende note)

Særligt studerede eksempler:
Afkøling af genstand modelleret ved forskudt eksponentiel vækst
Rygtespredning på skole som logistisk vækst

MATERIALE:
Kapitel 2 i A3: Differentialligninger (I afsnit 2.8 og 2.9: kun nedslagsvist)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 20,00 moduler
Dækker over: 19 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 18 Undervisning 6. klasses-elever

Eleverne har i grupper planlagt en valgfri aktivitet for besøgende 6. klasser til en årlig matematikdag.

Kriterier for aktiviteten var
- Den skulle var 15 minutter
- Den skulle være matematisk udfordrende
- Den skulle være motiverende for målgruppen

I forberedelsesfasen har holdet udarbejdet passende opgaver med afsæt i 6. klasse-elevers matematiske kunnen. For at finde et passende niveau, har holdet set på almindeligt 6. klasses pensum i matematik.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 19 Vektorfunktioner og parameterkurver

KERNESTOF
Definition på vektorfunktion, skæringspunkter med akser, monotoniforhold for koordinatfunktioner og kobling af disse til grafisk billede for banekurve (herunder bestemmelse af eventuelle vandrette og lodrette tangenter), identifikation af dobbeltpunkter og undersøgelse af vinkel mellem tangenter i samme, hastighedsvektor/tangentvektor, fart som normen af hastighedsvektor, anvendelse: den jævne cirkelbevægelse.

SUPPLERENDE STOF
- Trigonometriske funktioner har vi anvendt i en række eksempler. I denne forbindelse er definitioner af sinus og cosinus ud fra enhedscirklen repeteret.
- Den jævne cirkelbevægelse har været særligt studeret. Herunder at hastighedsvektor er ortogonal på stedvektor samt accelerationsvektor. Desuden at farten (længden af hastighedsvektoren) er konstant for partikel beskrevet ved jævn cirkelbevægelse (tavlenote herom).
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 20 Terminsprøvetræning

Fokus har været på skriftlige eksamensopgaver. Nedslag i bestemte områder har været bestemt af elevernes ønsker.

Som træning til den skriftlige eksamen har eleverne selvstuderet emnet talteori, som også var genstand for afprøvning til terminsprøven. Dette emne er siden taget op som supplerende stof og indgår i den mundtlige eksamen i et enkelt spørgsmål.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 4,00 moduler
Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 21 Funktioner af to variable

KERNESTOF
Vektorer i 3D
Introduktion til vektorer i 3D, længdeformel vektor, prikprodukt, normalvektor til plan, planens ligning, kuglens ligning.

Funktioner af to variable
Grafen som "landskab, niveaukurver, snitkurver, partielle afledede, gradient og tolkning af gradientens retning og længde i et punkt, tangentplan til en flade i et punkt (er givet en særlig behandling), stationære punkter, undersøgelse af arten af stationære punkter, krydsprodukt.

SUPPLERENDE STOF
Udledning af tangentplanens ligning i et punkt er givet en særlig behandling, idet holdet er præsenteret for og har arbejdet med udledning af tangentplanens ligning med udgangspunkt i at tangentplanen er den plan der udspændes af tangentlinjerne for snitfunktionerne i henholdsvis x- og y-aksens retning i et givet punkt på fladen for en pæn (flere gange differentiabel) funktion.

Desuden er der arbejdet med anvendelse af Nspire til illustration af en række af ovenstående begreber.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 8,00 moduler
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 22 Normalfordelingen og lineær regressionsanalyse

KERNESTOF
Tæthedsfunktion og fordelingsfunktion, forskrift og graf, bestemmelse af intervalsandsynligheder, betydning af middelværdi og spredning for grafs udseende, observationer indenfor 1, 2 og 3 spredninger, standardnormalfordelingen og sammenhæng mellem vilkårlig og standardnormalfordelt stokastisk variabel, overfladisk anvendelse af QQ-plot til kontrol af om data er normalfordelte, diskussion af kontinuert overfor diskret sandsynlighedsfordeling (med henvisning til binomialfordelingen som sammenligningsgrundlag), bestemmelse af middelværdi og spredning ud fra to kendte fraktiler (er givet en særlig behandling), modellering via normalfordelingen.

Lineær regressionsanalyse: Residualspredning, undersøgelse af om residualer er normalfordelte, bestemmelse af konfidensinterval for hældningskoefficient i lineær regressionsmodel med henblik på kontrol af om der eksisterer signifikant lineær sammenhæng.

SUPPLERENDE
Bestemmelse af middelværdi og spredning ud fra to kendte fraktiler er givet en særlig behandling, for at der kom et vist fokus på ræsonnement og bevisførsel også i dette forløb.

MATERIALE:
Kapitel 5 i A3: Sandsynlighedsregning og statistik 2
Supplerende note om bestemmelse af middelværdi og spredning ud fra to kendte fraktiler
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer