Holdet 3x MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2025/26
Institution Vesthimmerlands Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Dorthe L. Nielsen
Hold 2023 MA/x (1x MA, 2x MA, 3x MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Funktioner og vækst
Titel 2 Beskrivende statistik (Deskriptiv)
Titel 3 Vektorer og trigonometri
Titel 4 Polynomier
Titel 5 Regneregler og formler
Titel 6 Sandsynlighedsregning I med binomialfordelingen
Titel 7 Bekræftende statistik - testteori
Titel 8 Differentialregning med SRO
Titel 9 Analytisk geometri
Titel 10 Integralregning
Titel 11 Vektorfunktioner
Titel 12 Differentialligninger
Titel 13 trigonometriske funktioner
Titel 14 Polære Grafer - forberedelsesmaterialet
Titel 15 Funktioner af to variable
Titel 16 Sandsynlighedsregning II Normalfordeling
Titel 17 Repetition

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Funktioner og vækst

Eleverne skal opnå et grundlæggende kendskab til eksponentialfunktionen og potensfunktionen, herunder deres forskrift og graf,samt fordoblings- og halveringskonstanten. Begreberne fremskrivningsfaktor og vækstrate fra det tidligere forløb repeteres i den nye sammenhæng.
Logaritmenfunktionen introduceres som den omvendte funktion til eksponentialfunktionen og anvendes først som "en logger". Dernæst indføres den som funktion med egenskaber og regneregler.
Et vigtigt element vil være oversættelsen mellem en sproglig beskrivelse og en passende væksttype, hvilket forudsætter et kendskab til de forskellige væksttypers karakteristiske egenskaber.
Eleverne skal desuden introduceres til den naturlige eksponentialfunktion.
Et centralt mål vil være evnen til at opstille modeller ved hjælp af regression og at kunne bestemme en forskrift ud fra to givne punkter.
Gaffelforskrifter.
Som opsamling på potensvækst laves en projektøvelse om balloner, som skal modelleres ud fra en af de 3 kendte væksttyper. Skaleringsprincip og procent-procent indgår her i anvendelse.
Centrale begreber for funktioner som definitionsmængde, værdimængde samt betydningen af konstanterne a og b indgår i forløbet.
Som spiral : elementære funktioner og funktionsbegrebet fra grundforløbet
som spiral : I slutningen af 1.g arbejdes med logaritmenfunktionen som funktion og logartimeregnereglerne bevises og anvendes. Der arbejdes med linearisering.og aflæsning på enkelt logaritmisk papir

i alt ca.40s
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 30,00 moduler
Dækker over: 21,33 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Beskrivende statistik (Deskriptiv)

I forløbet fokuseret på Ikke-grupperet og grupperet. observationer,.
Centrale deskriptorer er : hyppighed, middelværdi, spredningsmål, prikdiagram, outliers. frekvens, kumuleret frekvens, sumkurve, kvartilsæt, fraktiler, boksplot, højre-venstreskæv, kvartilbredde, variationsbredde,outliers, sammenligning af boksplot
Eleverne skal endvidere lære at importere store datasæt til Nspire.
Fremlæggelse : Ud fra 6 forskellige datasæt har eleverne arbejdet med at lave en videnskabelig poster til ophængning og præsentation hvor alle deskriptorer skal indgå og forklares. Konstruktiv kritik på udseende og post-it spørgsmål til hver plakat fra de øvrige elever.


ca. 31 s.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 13,00 moduler
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
  • IT - Npsire til deskriptiv statistik
Væsentligste arbejdsformer
  • Eksperimentelt arbejde
  • Gruppearbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 3 Vektorer og trigonometri

Vektorforløbet deles i mindre dele :
Del I :  forløbet introduceres vektorer i planen først geometrisk og dernæst med koordinater. Vi introducerer vektorer med et tegnekursus for at få en god forståelse for vektorer. Den retvinklede trekant medtages her. Udgangspunkt i forberedelsesmaterialet for hf om vektorer.
Del II Vektorer i planen
Centrale begreber for vektorer gennemgåes : nulvektor, tværvektor, forbindelsesvektor, stedvektor og enhedsvektor. Skalarprodukt og determinant indføres og behandles. Anvendelser heraf er projektion af vektor på vektor, areal udspændt af to vektorer, Endvidere skal eleverne kunne håndtere ortogonale og parallelle vektorer ud fra skalarprodukt og determinant.
Del III: Efter skalarproduktets indførelse arbejdes med den retvinklede trigonometri og formler/opgavetyper hertil.
Herefter færdiggøres vektorforløbet og trigonometri for vilkårlige trekanter indføres i sammenhæng med dette.
Aktivitet og eksperiment med teodolit med opmåling af anlægget i Aars. Vedhæftet fil ses under supplerende stof.
Eleverne skal ligeledes opnå  kendskab til højde, median og vinkelhalveringslinje
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 30,00 moduler
Dækker over: 26 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Polynomier

Forløbet har været bygget omkring en forståelse for andengradspolynomiets egenskaber med fokus på grafens egenskaber.
Konstanternes betydning er indset med anvendelse af skydere.
andengradsligningens løsning, særlige andengradsligninger
matematisk ræssonement : bevis for toppunktsformlen med differentialregning, faktorisering samt formlen for andengradsligningens løsning. Konstanternes betydning bevises.
generelt omkring vilkårlige polynomier og tredjegradspolynomiets graf.
andengradsregression og anvendelse af denne.
Projekt om Gaudis buer : parabler og kædelinjer i forbindelse med studietur til Barcelona. I projektet er krav om bevis for toppunktsformlen (se projektbeskrivelsen). Anvendelse og supplerende stof.


læst 68 s.
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Ny opgave 21-05-2024
Aflevering 14 17-09-2024
Omfang Estimeret: 15,00 moduler
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Formidling
Væsentligste arbejdsformer
  • Eksperimentelt arbejde
  • Gruppearbejde
  • Individuelt arbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 5 Regneregler og formler

Regneregler og kvadratsætninger - dels løbende - dels et lille forløb her om parentesregning.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Sandsynlighedsregning I med binomialfordelingen

I forløbet er arbejdet med :
(1) Stokastisk eksperiment, apriori og frekentielle sandsynligheder.
(2) Hændelser, Laplacefelt, uafhængige hændelser
(2)Anvende begreberne fakultet, permutation og kombination.
(3) Håndtere simple kombinatoriske beregninger af sandsynligheder ved additions og multiplikationsprincippet (tælletræer omtalt)
(4) Formlen K(n,r) i anvendelse
(5) Begrebet Stokastisk variabel - Beregne middelværdi, varians og spredning for stokastisk variabel med given sandsynlighedsfordeling.
(6) Anvende binomialfordeling til løsning af  problemstillinger.
(7) Beregne punktsandsynligheder og kumulerede sandsynligheder i binomialfordelingen.
(8) Beregne middelværdi og spredning., samt tegne søjlediagram på baggrund af binomialfordeling.
Kombinatorik anvendt i forbindelse med FFforløb om Enigma sammen med religion, hvor det maksimale antal kombinationer blev udregnet (hvor mange ledninger skal der til) og for 3 forskellige antal ledninger udregnedes det samlede antal kombinationer (supplerende stof)
(9) Udledning af formel for binomiale sandsynligheder ud fra et eksempel og derefter generelt.
(10) Kende betingelser for at et  empirisk datasæt kan betragtes binomialfordelt- herunder spørgsmål om med eller uden tilbagelægning. Det binomiale eksperiment og definitionen af dette har været centralt.
(11) Kende sammenhæng mellem binomialfordeling og normalfordeling, med middelværdi og spredning fra førstnævnte.





ca. 90 s
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Aflevering 12 21-08-2024
Aflevering 13 02-09-2024
Aflevering 15 08-10-2024
Omfang Estimeret: 16,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
  • Eksperimentelt arbejde
  • Gruppearbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 7 Bekræftende statistik - testteori

Faglige mål med forløbet :
Hypotesetest i binomialfordeling til vurdering af stikprøve i forhold til population (herunder begrebet ”den sande værdi for p”).
- Centrale begreber:i forbindelse med stikprøver og test : population, stikprøve, nulhypotese, alternativ hypotese, teststørrelse, kritisk værdi, signifikansniveau, p-værdi.
-  systematiske fejl og skjulte variable.
- Bestemme konfidensinterval for p ud fra stikprøveestimat med værktøjsprogram, herunder uddrage statistisk usikkerhed og brug af formlen baseret på n og p ̂.
-stikprøver - udvælgelser af disse, samt usikkerhed på konfidensinterval simuleret ved udtagning af stikprøver blandt glasperler.
- Argumentere for nødvendighed af hypotesestest som en- eller to-sidet test.
- samarbejde på tværs med samfundsfag om det amerikanske valg i FF4 om meningsmålinger.
- simulering af nulhypoteser omkring meningsmålinger i svingstater, binomialtest på baggrund af nulhypoteser omkring det amerikanske valg, samt statistisk usikkerhed og beregning af konfindensintervaller ud fra konkrete selvvalgte meningsmålinger.

læst ca. 30 s
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Prøve polynomier og binomial 25-10-2024
Aflevering 16 Test og andengradspol 29-10-2024
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige
  • Projektarbejde
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Lærerstyret undervisning

Titel 8 Differentialregning med SRO

Forløbet er bygget induktivt op omkring begrebet lokalt lineær og en beskrivelse af tangenten ud fra dette begreb. Ligeledes er tangent, sekant og tretrinsregel indset ved brug af animationer og skyder i Geogebra og Nspire.
Efter en introduktion til begreberne har vi først fokuseret på væksthastighed og tangentligning - senere anvendelser til monotoniundersøgelse og optimering. Som afslutning på forløbet  et særligt forløb med fokus på bevisteknik med tretrinsregel og sammensat funktion.
Faglige mål med emnet:
-at kunne definere og fortolke differentialkvotient, herunder væksthastighed
- På begrænset interval bestemme ekstrema og monotoniforhold ud fra graf
-Grafisk bestemme ligning for tangent til graf i Nspire og ved zooming og lokalt lineær.
-Differentiation af elementære funktioner uden CAS.og ved brug af regneregler.
- Differentiation af sum, differens, produkt, ”gange konstant” , sammensat funktion. (uden CAS).
- Løse simple opgaver: Bestemme afledt funktion, tangentligning, monotoniforhold, lokale ekstrema uden CAS
- Kunne løse mere komplicerede differentiationsopgaver med CAS.
- opstille simple modeller og lave modelleringsopgaver- blandt andet i projektet "Livet på en grillbar"
- Intuitiv forståelse af begreberne grænseværdi og kontinuitet (bl.a. ved monotoniforhold), herunder
   undersøgelser af disse i CAS.
- at kunne redegøre for og bevise afledet funktion for nogle af de elementære funktioner (selvstændigt
    ræssonnement forløb ved afslutningen af forløbet)
- Møde funktionstyper som ikke er kontinuerte og differentiable.
- Udledning af tangentens ligning ud fra viden om rette linjes ligning.
- Fortolke differentialkvotient i både ren og anvendt (væksthastighed) sammenhæng.
- projekt med optimering på en grillbar
- Brush up på brøkregning

læst ca 85s
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Aflevering 17 19-11-2024
Aflevering 18 04-12-2024
Julekagebagedyst 13-12-2024
Aflevering 18 differentialregning 14-01-2025
Aflevering 19 Differentialregning 27-01-2025
Aflevering 20 04-02-2025
Arbejde selv 24-02-2025
Aflevering 21 Optimeringsprojekt 04-03-2025
Prøve differentialregning 20-03-2025
Aflevering 22 Gaudiprojekt 20-03-2025
Aflevering 23 Anvendelser 03-04-2025
Omfang Estimeret: 35,00 moduler
Dækker over: 56 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Sociale
  • Samarbejdsevne - bag en aflevering i differentialregning
  • IT - Nspire og interaktive øvelser med tangent og sekant.
Væsentligste arbejdsformer
  • Eksperimentelt arbejde
  • Gruppearbejde
  • Individuelt arbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 9 Analytisk geometri

Fokus for forløbet er linjens ligning og parameterfremstilling,  afstand mellem punkt og linje, cirklens ligning og cirkeltangent, skæringer mellem forskellige objekter i planen (linje og linje, linje og cirkel osv). Endvidere skal eleverne kunne håndtere ortogonale og parallelle vektorer ud fra skalarprodukt og determinant.
Endvidere fokus på omskrivninger mellem parameterfremstilling og ligning ved punkt og normalvektor., samt omskrivning af cirklens ligning med kvadratkomplettering.
Vinkel mellem linjer
Afstand mellem punkt og linje ved dist-formler for hhv. y=ax+b og 0=ax+by+c.
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 14,00 moduler
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Integralregning

Forløbet indeholder arbejdet med bestemmelse af stamfunktion for elementære funktioner, herunder regneregler for integraler (sum, differens, gange konstant og substitution). Partiel integration er inddraget  og øvet et par gange.
Det bestemte integral er introduceret, og regneregler/indskudsreglen (med bevis). Bevis for arealfunktionen er en stamfunktion.
- Der er arbejdet med anvendelser i form af elementære opgaver med og uden CAS.
Endvidere er naturligvis bestemmelse af  areal afgrænset af funktioners grafer, rumfang af omdrejningslegeme (med bevis) og kurvelængde (uden bevis) inddraget.
Som anvendelse er set på blandet kugle, kegle og vinglas (vedhæftet med navnet gruppearbejde lektion 12)

Matematikhistorisk forløb med fokus på udviklingen af integralregningen og grænseværdiproblematik (fra korte træk af græsk matematik. Cavalieri, Kepler, ,  Newtons fluxioner/fluenter, Leibniz og notation).

i alt ca. 74 s.
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 25,00 moduler
Dækker over: 23,5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
  • Eksperimentelt arbejde
  • Gruppearbejde
  • Individuelt arbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 11 Vektorfunktioner

forløbet indeholder
Kendskab til vektorfunktioner og deres repræsentationer.
Bestemmelse af  skæringspunkter med akserne, dobbeltpunkt (med én kendt parameter-værdi), retningsvektor for tangent, tangentligning, vandret- og lodret tangent.
•Modeller beskrevet ved vektorfunktion, herunder objekters bevægelse med tid som input og i forlængelse heraf hastigheds- og accelerationsvektor.
Jævn cirkelbevægelse med hastighedsvektor og accelerationsvektor
bevis for kurvelængde.
Repetition af de dele af vektorregningen, som naturligt inddrages.

Forløbet er gennemgået på baggrund af forberedelsesmaterialet (træning i at arbejde selvstændigt med et forberedelsesmateriale) og suppleret med  teori og eksempler fra grundbogen.

i alt ca. 37 sider
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 15,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 12 Differentialligninger

Indhold  (kernestof)
Logistiske og lineære førsteordens differentialligninger (herunder eksponentiel og forskudt eksponentiel vækst) samt andre simple separable differentialligninger.
Løse separable differentialligninger og begyndelsesværdiproblemer med CAS..
Grundlæggende kvalitativ analyse af differentialligning (viden uden løsning).
Opstille eksponentiel, forskudt eksponentiel og logistisk differentialligning fra sproglig beskrivelse og løse sådanne med formelsamling.
Typeopgaverne i tilknytning til differentialligningen - hvor disse ikke løses.
• Undersøge om funktion er løsning til forelagt differentialligning.
• Bestemme tangent til ukendt løsning til differentialligning.og finde monotoniforhold/ekstrema for en ukendt løsning til differentialligningen.:
• Kende og bestemme linjeelement.
• Grafisk repræsentation af numerisk løsning af begyndelsesværdiproblem i hældningsfelt med CAS, samt aflæse vigtige egenskaber fra dette.

Særligt ræssonementsforløb med fokus på udledning af den fuldstændige løsning af differentialligninger (se supplerende stof)
Modelleringsforløb med fokus på anvendelser- vi har lavet forsøg med "den salte syge" og modelleret med eksponentiel og logistisk vækst, I modelleringsforløbet har vi arbejdet med SI-model og har lavet en numerisk løsning af ligningen og sammenlignet med vores optagne data. Endvidere modellering af blyforgiftning.

i alt ca. 75 s
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 40,00 moduler
Dækker over: 21,5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
  • Eksperimentelt arbejde
  • Gruppearbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde
  • Projektarbejde

Titel 13 trigonometriske funktioner

Med udgangspunkt i grafer i Nspire undersøges konstanternes betydning i en harmonisk svingning.
Radiantal indføres og sinus og cosinus udfoldes fra enhedscirkle  på tavle .
Grafisk behandling af trigonometriske funktioner i anvendt sammenhæng, herunder radianbegrebet, amplitude og svingningstid, periode, ligevægt knyttet til forskrift.
parallelforskydning af grafer.
-Løsning af trigonometriske ligninger med CAS og ved brug af enhedscirklen.
modellering og modelleringsfaserne med sinus og cosinus på eksempelplan.
ca. 25 s
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 14 Polære Grafer - forberedelsesmaterialet

Arbejde med årets forberedelsesmateriale : Polære grafer.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 7,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 15 Funktioner af to variable

Eleverne skal kunne :
(1) Kende og anvende begreber i problemløsning med funktioner af to variable i CAS.
(2) få en vis rummelig forståelse ud fra tegninger og planers ligning.
(3) Tegne grafer for funktioner af to variable, herunder niveau-kurver. og snitkurver - vi har anvendt Nspire her
(4) Bestemme partielle afledet, gradient, stationære punkter, saddelpunkter, ekstrema.
(5) Bestemme tangentplanens ligning .- konkrete opgaver



ca. 58 s
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
  • Gruppearbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 16 Sandsynlighedsregning II Normalfordeling

Formålet med forløbet er, at eleverne skal
Kende normalfordeling, herunder tæthedsfunktionen (tabel, graf, forskrift).
Kunne håndtere middelværdi og spredning som parametre, og hvilken betydning disse har for  beliggenheden af såvel tætheds-som fordelingsfunktion, udført med skydere i Nspire.
Kende til normale udfald og exceptionelle udfald, sandsynlighed for disse.
Kunne beregne sandsynligheder normalfordeling (i værktøjsprogram) - og opstille disse som integraler.
Undersøge om empirisk datasæt kan antages normalfordelt (i værktøjsprogram)..
Underrsøge og vurdere om residualer er normalfordelte.
Bestemme konfidensinterval for hældningskoefficient I Nspire og teste nulhupoteser for hældningen.
Approksimation til binomialfordelingen.


i alt ca.  s.46
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 7,5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
  • Eksperimentelt arbejde
  • Gruppearbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde