Holdet 2z Ma (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2024/25 - 2025/26
Institution Aalborghus Gymnasium
Fag og niveau Matematik B
Lærer(e) Thomas Hassing Skjærbæk
Hold 2024 Ma/z (1z Ma, 2z Ma)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Procent og rente
Titel 2 Eksponentiel udvikling og logaritmer
Titel 3 Tal og grundlæggende regneteknik
Titel 4 Geometri og trigonometri
Titel 5 Potensudvikling og proportionalitet
Titel 6 Andengradsligninger, -polynomier og polynomier
Titel 7 Differentialregning
Titel 8 Analytisk Plangeometri
Titel 9 Sandsynlighedsregning og kombinatorik
Titel 10 Fordelinger og tests
Titel 11 Stykkevis defineret funktioner

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Procent og rente

Procent og rente
- Procentændring og fremskrivningsfaktoren
- Procentafvigelse mellem to værdier
- Fremskrivning
- Kapitalfremskrivningsformlen / renteformlen
-- Grundformlen (Kn = ...) er udledt ud fra logik
- Omskrivning af renten for m terminer til n terminer (bl.a. år <-> måned)
- Gennemsnitlig procentvis ændring
- Indekstal
- Opsparingsannuitet
- Serielån og annuitetslån

Temaforløb om opsparing og lån
Her er arbejdet med formidling, forskellige lånetyper og forskellige lånemuligheder, herunder hvad man skal være opmærksom på, når man låner penge
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Temaforløb - Opsparing og lån 13-12-2024
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Eksponentiel udvikling og logaritmer

Eksponentiel udvikling
- Forskriften f(x)=b*a^x og konstanternes betydning
- Renteformlen som eksempel
- Vækstegenskab: konstant-procent
- Monotoniforhold
- Definitionsmængde og værdimængde
- Asymptotisk forløb
- Bestemmelse af forskrift givet to punkter med bevis
- Eksponentiel regression
-- Vurdering af model ved enkeltlogaritmisk koordinatsystem samt bevis for, at punkterne skal ligge på en ret linje

Eulers tal og den naturlige eksponentialfunktion
- Lidt historie om Euler
- Estimering af e med renteformlen (samt andre metoder)
- Egenskaber ved den naturlige eksponentialfunktion
-- Henvisning til differentialregning og spor til integralregning

Logaritmer
- Invers/omvendt funktion
- Den naturlige logaritme
- 10-tals-logaritmen (med henvisning til eksponentiel notation)
- Logaritmeregneregler
- Logaritmisk skala
-- Brug af enkeltlogaritmisk papir

Eksponentiel udvikling
- Forskriften f(x)=b*e^(k*x) og konstantens betydning
- Omskrivning mellem de to skriveformer
- Hvorfor denne notation med henvisning til differentialregning og spor til integralregning
- Kort om væksthastigheder

Eksponentiel udvikling
- Fordoblings- og halveringskonstanten for begge skrivemåder
- Bevis for fordoblingskonstanten
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Tal og grundlæggende regneteknik


- Talmængder
- Intervalnotationer
- Regnearternes hierarki
- Eksakt og tilnærmet værdi, herunder betydende cifre
- Overslagsregning
- Parentesregneregler, herunder kvadratsætningerne begge veje
- Numerisk/absolut værdi
- Bogstavreduktion
- Opløsning i faktorer
- Potensregneregler
- Eksponentiel notation
- Regneregler for rødder
-- Rødder og ligninger
- Brøkregneregler

Ligninger
- Førstegradsligninger
- Ligninger med simple rødder
- Ligninger med CAS
- Uligheder
- Ligningssystemer med fokus på 2 ligninger med 2 ubekendte
-- Substitutionsmetoden
-- Lige store koefficienters metoden
-- Isolering af den ene ubekendte i begge ligninger (sammenligning med skæringspunktet mellem to grafer)
- Lineære ligningssystemer (n ligninger med n ubekendte) v.h.a. rækkeoperationer i en matrix
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Geometri og trigonometri

- Grundlæggende begreber: højde, median, normal, midtnormal, vinkelhalveringslinje
- Indskrevet og omskrevet cirkel
- Ensvinklede trekanter
- Cosinus, sinus og tangens i en retvinklet trekant
- Enhedscirklen (med udledning af cosinus og sinus)
-- Geometrisk fortolkning af tangens
- Cosinusrelationerne og sinusrelationerne (med bevis for begge)
-- Arealet af en vilkårlig trekant (appelsinformlen: 0,5*a*b*sin(C) - med bevis)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Potensudvikling og proportionalitet

Potensudvikling
- Karakteristika for grafen for potensudviklinger
- Bestemmelse af forskrift givet to punkter
- Procent-procent vækst (Fy-formlen)
- Potensregression
- Dobbeltlogaritmiske koordinatsystemer

Proportionalitet
- Ligefrem proportionalitet (med henvisning til lineære funktion)
-- Kort om opstilling af en differentialligning
- Omvendt proportionalitet (med henvisning til potensfunktioner)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Andengradsligninger, -polynomier og polynomier

Andengradsligninger
- herunder løsningsformlen med bevis
- nulreglen

Andengradspolynomier
- herunder rødder, nulpunkter og toppunkt for den tilhørende parabel (samt bevis herfor)
- faktorisering
- formlen f(x) = a*(x-h)^2+k hvor (h,k) er toppunktet
- betydningen af a, b, c og d for grafen for et andengradspolynomium

Generelt om polynomier
- den generelle forskrift
- antal rødder for lige/ulige grad
- faktorisering
- polynomiel regression
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Differentialregning

Grænseværdi, kontinuitet og differentiabilitet.

Differenskvotienten og differentialkvotienten, herunder sekant- og tangenthældning.

Regneregler med beviser for
- (f+g)'(x0) = f'(x0) + g'(x0)
- (f-g)'(x0) = f'(x0) - g'(x0)
- (f*g)'(x0) = f'(x0)*g(x0) + f(x0)*g'(x0)
- (f/g)'(x0) = (f'(x0)*g(x0) + f(x0)*g'(x0))/(g(x0))^2 (kvotientreglen er ikke bevis)
- (k*f)'(x0) = k*f'(x0)
- (fog)'(x0) = f'(g(x0))*g'(x0) (kædereglen er ikke bevist)

Differentiable funktioner med bevis
- f(x) = a*x+b
- f(x) = x^2
- Kvadratrodsfunktionen
- Funktionen f(x) = 1/x

Fortolkning af differentialkvotienten
- som tangenthældningen til grafen i punktet (x0,y0)
-- herunder tangentens ligning y = f'(x0)*(x-x0) + f(x0)
- som væksthastigheden

Funktionsanalyse
- ekstremumspunkter
- monotoniforhold (herunder monotonilinjen).

Praktisk anvendelse
- optimering

Hele forløbet er blevet afsluttet med et optimeringsprojekt, hvor eleverne har skulle designe deres egen flaske til en juledrik. Flaske skulle bruge så lidt materiale som givet givet nogle betingelser. Eleverne har til sidst fremlagt deres designs for hinanden.

Der er arbejdet med WordMat og GeoGebra
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 27 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Analytisk Plangeometri

Linjens ligning: y = a*x+b
- y = a*(x-x1) + y1 (med henvisning til tangentformlen fra differentialregning)
- hældningsvinkel (og vinkel med andenaksen)
- ortogonale linjer
- afstand mellem punkt og linje (dist-formlen)

Cirklens ligning: (x-x0)^2 + (y-y0)^2 = r^2
- afstanden mellem to punkter (med bevis)
-- cirklens ligning er godtgjort ud fra afstanden mellem to punkter
- tangent til cirklen givet et punkt på cirklen
- hvordan undersøges det, om en linje er en tangent til cirklen
- skæring mellem linje og cirkel
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Sandsynlighedsregning generelt
- Udfaldsrum
- Hændelser
- Sandsynlighedsfordeling (tabel og diagram)
- Stokastisk variabel X
- Symmetriske sandsynlighedsfelter
-- P(A) = gunstige/mulige

- A-priori og frekventielle sandsynligheder samt de store tals lov
-- Herunder simulering af terningekast (med snak om repræsentativitet med spor til tests)
- Lidt mængdeteori
- Regneregler for sandsynligheder
- Disjunkte hændelser
- Betinget sandsynlighed
- Uafhængighed
- Loven om total sandsynlighed
- Bayes' formel

Kombinatorik
- Additionsprincippet (enten-eller)
- Multiplikationsprincippet (både-og)
- Tælletræer
- Additionsprincippet og multiplikationsprincippet i forhold til sandsynligheder (med henvisning til hhv. disjunkte hændelser og uafhængige hændelser)

- Permutationer og kombinationer
- Fakultet
- Permutationer P(n,r) (både bevist og redegjort ud fra et eksempel)
- Kombinationer K(n,r) (både bevist og redegjort ud fra et eksempel)
-- Pascals trekant til at bestemme K(n,r)
-- Logisk argumentation for at K(n,r) = K(n,n-r)
--- Bonus: Pascals trekant til at udvide potensen for en 2-leddet størrelse
- Hypergeometriske sandsynligheder (med godtgørelse af formlen)
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Aflevering 6 29-01-2026
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Fordelinger og tests

Binomialfordelingen
- Udledning af formlen
- Kumulerede sandsynligheder
- Sandsynlighedsfordeling (tabel, pindediagram og trappediagram)
- Middelværdi og spredning (herunder normale og exceptionelle udfald)
-- Formlen for middelværdien er blevet beviset
-- Formlen for spredning er blevet bevist for X~b(1,p)

Binomialtest
- Nulhypotese (venstre-, højde- og dobbeltsidet)
- acceptmængde, kritisk mængde, signifikansniveau, fejltyper
- Udførelse i WordMat/Excel og delvist manuelt med de kumulerede sandsynligheder
- P-værdi

Normalfordeling
- Kort beskrivelse af normalfordelingen
- Tæthedsfunktion og fordelingsfunktion
- Normale udfald og exceptionelle udfald

Konfidensintervaller
- Punktestimat og standardfejl
- Forskellige konfidensintervaller
- Test med konfidensinterval for andel
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
2z Ma skr. prøve#2 02-03-2026
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Stykkevis defineret funktioner

Stykkevis defineret funktioner
- Kontinuerte og ikke-kontinuerte
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 1 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer