|
Titel
11
|
Sandsynlighedsregning, kombinatorik, hypotesetest
I dette emne ser vi på sandsynlighedsregning, sandsynlighedsfordelinger herunder behandles binomialfordelingen i detaljen. Normalfordelingen introduceres overordnet i forbindelse med normalfordelingsapproximation. Vi ser på hypotesetest ved brug af binomialfordelingen og på konfidensintervaller. Keywords for emnet kan nævnes som:
Sandsynlighedsmodel, udfaldsrum, hændelser, grundlæggende udfald, multiplikation- og additionsprincippet, Fakultet, permutationer, kombinationer, uafhængighed, Stokastisk variabel, stolpediagram, middelværdi, varians, spredning, Binomialforsøg og fordeling, sandsynlighedsparameter, antalsparameter, basiseksperiment, approksimation med binomialfordelingen, Stikprøve med og uden tilbagelægning, hypotesetest -Binomialtest, tosidet, ensidet (venstresidet og højresidet test), kritisk mængde, signifikansniveau, fejl af 1. og 2. art, nul- og alternativ hypotese, opionsundersøgelser, 95% konfidensinterval og fortolkning heraf.
De specifikke læringsmål vi opfylder efter dette emne er:
Sandsynlighed og stokastisk variabel:
- Kende forskellen på a priori (på forhånd givne) og frekventielle (statistisk bestemte) sandsynligheder.
- Sandsynlighedsfelter, herunder symmetriske sandsynlighedsfelter.
Kombinatorik:
- Bruge additions- og multiplikationsprincippet til simple kombinatoriske beregninger af sandsynligheder. Kendskab til brugen af tælletræer.
- Kende og kunne anvende begreberne fakultet, permutation og kombination. For eksempel: at kunne håndtere simple sandsynlighedsberegninger med K(n,r) i opgaver af typen ’antal gunstige divideret med antal mulige’, hvor ’antal gunstige’ kan udregnes med en eller flere kombinatoriske beregninger og ’antal mulige’ med én kombinatorisk beregning.
- Kende til Pascals trekant og hvordan den bruges i kombinatorik.
- Viden om uafhængige hændelser og betydningen i forhold til multiplikation af sandsynligheder samt binomialfordelingen
Stokastisk variabel og Binomialfordelingen:
- Overfladisk kendskab til stokastisk variabel og hvordan den bruges i behandlingen af binomialfordelingen. Herunder brug og forståelse for betydningen af modellen X~b(n,p)
- Kunne afgøre hvornår et stokastisk eksperiment er binomialfordelt og hvornår det ikke er. Dvs. afgøre hvornår man kan bruge binomialfordelingen og hvornår vi må bruge P(A) = gunstige/mulige. Her diskuteres også betydningen af tilbagelægning.
- Beregne middelværdi, varians og spredning for en stokastisk variabel med en given sandsynlighedsfordeling.
(generelle formler). For en binomialfordelt stokastisk variabel kendes tilhørende formler for middelværdi og spredning.
- Man kan beregne punktsandsynligheder P(X=r) og kumulerede sandsynligheder, f.eks. P(X≤r).
- Tegne og aflæse på et søjlediagram på baggrund af en binomialfordeling.
Hypotesetest:
- Bruge hypotesetest i binomialfordelingen til at vurdere påstande. Her både dobbeltsidet, venstresidet og højresidet test (Ved den skriftlige prøve gives kun opgaver i to-sidet test, dvs. at kunne opstille simple nulhypoteser af typen p=p_0)
- I forbindelse med binomialtest kendes til begreberne: population, stikprøve, nulhypotese, alternativ hypotese, teststørrelse, kritisk område, acceptområde, signifikansniveau og p-værdi.
- Konklusioner draget af et hypotesetest diskuteres med henblik på systematiske fejl (bias) og skjulte variable (konfundering).
- Bestemme konfidensintervaller for sandsynlighedsparameteren p (’den sande’ værdi for p i populationen) ud fra stikprøvens størrelse n og et stikprøveestimat for p (ofte kaldet phat) med de indbyggede faciliteter, som et matematisk værktøjsprogram tilbyder
- Kunne uddrage den statistiske usikkerhed ud fra konfidensintervallet.
- Kunne håndtere beregninger med den eksakt udledte formel (gengivet i formelsamlingen) for usikkerhed baseret på normalfordelingsapproximationen.
- Viden om at en rimelig normalfordelingsapproksimation kræver, at både n⋅ p≥5 og n⋅(1- p)≥5 (eleverne forventes ikke at argumentere for dette i besvarelsen af opgaver ved den skriftlige prøve)
Simulering:
- Selvstændigt at kunne gennemføre simulering af en nulhypotese i et matematiske værktøjsprogram (i forbindelse med binomialtest).
Normalfordeling og Normalfordelingsapproximation:
- Kendskab til normale udfald (højst to spredninger fra middelværdi) og exceptionelle udfald (mere end 3 spredninger fra middelværdi) samt finde sandsynligheder for normale eller exceptionelle udfald.
- Viden om normalfordelingsapproximation ved stor antalsparameter i binomialfordelingen.
Materiale:
MAT A2 stx, kap 7, 64 sider.
MAT A2 stx, kap. 8, 34 sider.
MAT A2 stx, kap. 9, 25 sider.
i alt 123 sider.
OBS:
Normalfordelingen er kun overordnet berørt og derfor gennemgås kapitel 8 grundigere i 3g.
Der mangler deskriptiv statistik fra 1.g, altså kapitel 11 i MAT A1 stx bogen. Dette dækker over, grupperede og ugrupperede observationer, median, kvartilsæt, fraktiler, middelværdi, varians og spredning, indekstal, boksplot, stolpediagram.
Materiale:
MAT A1, kap. 11
|