Holdet 2022 MA/t - Undervisningsbeskrivelse - Lectio

Holdet 2022 MA/t - Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Termin(er)	2022/23 - 2024/25
Institution	Tårnby Gymnasium
Fag og niveau	Matematik A
Lærer(e)	Mehmet Temizsoy
Hold	2022 MA/t (1t MA, 2t MA, 3t MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Titel 1	Eksponentialfunktioner
Titel 2	Potensfunktioner
Titel 3	Polynomier
Titel 4	Vektorer og geometri
Titel 5	Statistik og sandsynlighedsregning
Titel 6	Differentialregning
Titel 7	Mere om funktioner
Titel 8	Integralregning
Titel 9	Mere om funktioner
Titel 10	Trigonometriske funktioner
Titel 11	Differentialligninger
Titel 12	Vektorfunktioner og banekurver
Titel 13	Forberedelsesmateriale
Titel 14	Funktioner af to variable
Titel 15	Normalfordelingen
Titel 16	Diverse

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)

Titel 1

Eksponentialfunktioner

Kernestof:
Forskrift for eksponentialfunktioner herunder betydning af a og b, vækstegenskaber, fordoblings- og halveringskonstant (inkl. bevis for fordoblingskonstant), regression, eksponentialfunktion fastlagt ved to punkter (inkl. bevis for topunktsformlen).

Undervejs introduceres der kort til logaritmefunktioner med grundtallet 10 og e. Vi ser på regnereglerne (ingen beviser) og anvender logaritmer til at løse ligninger med eksponentielle funktioner.

Derudover arbejder vi med lån og opsparing. Vi kommer ind på renteformlen, samt annuitetsopsparing og annuitetslån.

Faglige mål:
– håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende
symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold
– oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse
– anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og
problemløsning
– operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved
opbygningen af matematisk teori

Supplerende stof
– opsparings- og gældsannuitet

Arbejdsformer:
– selvstændigt arbejde
– gruppearbejde
– mundtlige og skriftlige arbejdsformer
– it

Indhold

Kernestof:

Skriftligt arbejde:

Titel	Afleveringsdato
Matematikaflevering 1	12-12-2022

Omfang

Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16

Særlige fokuspunkter

Væsentligste arbejdsformer

Titel 2

Potensfunktioner

Kernestof:
Forskrift for potensfunktioner herunder betydning af a og b, potensregression, vækstegenskaber (procent procent-vækst), Udledning (bevis) af a og b fastlagt ved to punkter

Faglige mål:
– håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende
symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold

– oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse

–  anvende simple funktionsudtryk i modellering af data, kunne foretage fremskrivninger og forholde sig reflekterende til disse
samt til rækkevidde af modeller

– anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og
problemløsning

– operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved
opbygningen af matematisk teori

Supplerende stof
–  overslagsregning, regningsarternes hierarki, simpel symbolmanipulation, ligefrem og omvendt proportionalitet,
ligningsløsning med algebraiske og grafiske metoder

–  funktionsbegrebet, karakteristiske egenskaber ved lineære, eksponential- og potens-funktioner samt deres grafiske forløb

–  kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling

Arbejdsformer:
– selvstændigt arbejde
– gruppearbejde
– mundtlige og skriftlige arbejdsformer
– it

Indhold

Kernestof:

Skriftligt arbejde:

Titel	Afleveringsdato
Matematikaflevering 2	22-12-2022
Matematikaflevering 3	17-01-2023

Omfang

Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13

Særlige fokuspunkter

Væsentligste arbejdsformer

Titel 3	Polynomier Kernestof: Vi undersøger polynomier af n'te orden med særlig fokus andengradspolynomiet, vi ser herunder på antallet af rødder og ekstremasteder. Vi laver dybere undersøgelse af parablen og undersøger de tre konstanters betydning for udseenet af grafen. Vi faktoriserer polynomiet, løser andengradsligningen og finder toppunkter. Der føres bevis for løsningen til andengradsligningen Vi ser på faktoriseringsbegrebet og parallelforskydning af grafer (herunder særlig parabler) Faglige mål: – håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold – oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – demonstrere viden om fagets metoder og identitet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling Arbejdsformer: – selvstændigt arbejde – gruppearbejde – mundtlige og skriftlige arbejdsformer – it
Indhold	Kernestof: Jeg gennemgik sidste del af beviset for løsningen til andengradsligninger.Senere blev klassen delt i to - dem som forstod beviset og dem som ikke forstod det. Jeg hjalp dem, der havde svært ved det. De restende arbejdede med Øvelser 5.2.1 - 5.2.8 Binomialtest Nspire - forklaring 4.5.1 Hypotesetest i binomialfordelingen 4.5.2 Konfidensinterval for andel FF2 i 1T SA-MA.docx Statistisk usikkerhed og konfidensinterval 5.3 Mere om parablen Vi så på parablers toppunkter og så sammenhængen mellem det og max/min.Vi så på toppunktsformlen og regnede eksempler ud. Til sidst arbejdede eleverne med opgaven forneden image.png På mandag skal I deltage i en ABACUS aktivitet i forbndelse med årgangsundervisningen. I skal tilknytte jer nedenstående hold. Kode er anført Tavlegennemgang af beviset for parablens symmetriakse. Vi blev dog ikke færdige, så jeg fortsætter næste gang. Husk: meld dig på ABACUS Vi startede modulet med en lille quiz. I resten af modulet gennemgik jeg resten af beviset for symmetriakse for en parabel. Eleverne havde svært ved at forstå omskrivningerne. Måske behov for at vende tilbage i 2g eller 3g. 5.4 Faktorisering 5.5 Parallelforskydning af graf Symmetriakse for 2 gradspolynomium Vi startede med at tale om beviset for symmetriakse for et polynomium fra forrige modul. Eleverne blev inddel i grupper og så videoen (linket) for kaste lys over beviset.Jeg gennemgik faktorisering af andengradspolynomiet og baggrund for denne. Eleve Løs følgende opgave til timen: Læs følgende afsnit:5.6 Polynomiel regression Vi arbejdede videre med faktorisering af polynomiet og gennemgang elevgennemgang af lektien. Vi løste flere opgaver - blandt andet at faktoropløse følgende polynomier : Vi gennemgik parallelforskydning af parabler og så hvordan man kan beregne forskriften for den nye parabel ud fra den forrige. Vi så på, at en forskydning i x-aksens retning kaldes for p (h i nogle bøger) og y-aksens retning for k.Vi så på sætningen: Træningsopgaver med andengradspolynomier.docx TG-læser i første halvdel. I anden halvdel gennemgik jeg sætningerne fra sidste modul, og dernæst eksempler. Karaktersamtaler, mens eleverne arbejdede med opgaverne, som er vedlagte. Supplerende stof:
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4	Vektorer og geometri Kernestof: I forløbet viser vi, hvordan vektorer kan benyttes til at beskrive den rette linje. Et fast punkt og en vektor, der ikke er nulvektoren, kan på forskellige måder fastlægge en linje. Vi udleder i kapitlet linjens ligning ved hjælp af en vektor vinkelret på linjen, og vi udleder linjens parameterfremstilling ved hjælp af en vektor parallel med linjen. Vi skal desuden se på metoder og formler, der gør det muligt at beregne skæringspunkter mellem linjer, ortogonale linjer, vinkler mellem linjer og afstande mellem punkter og linjer. Med cirklen placeret i koordinatsystemet opstiller vi cirklens ligning og viser, hvordan eventuelle skæringspunkter mellem en linje og en cirkel kan beregnes. En linje, der kun skærer cirklen en gang, kaldes en tangent til cirklen, og vi viser til sidst, hvordan ligninger for cirkeltangenter kan bestemmes. – vektorer i to dimensioner givet ved koordinatsæt, herunder skalarprodukt, determinant, projektion, vinkler, areal, linje, cirkel, skæringer og afstandsberegninger samt anvendelser af vektorbaseret koordinatgeometri til opstilling og løsning af plangeometriske problemer, herunder trigonometriske problemer Faglige mål: – håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning Arbejdsformer: – selvstændigt arbejde – gruppearbejde – mundtlige og skriftlige arbejdsformer – it
Indhold	Kernestof: 6. Vektorer og geometri 6.1 Grundlæggende om trekanter Række 3Oliver D. Nathalie Magnus Svejstrup Liva Skøtt Maya Heindorff Benjamin Yousefi Caroline Kjærgaard Clara Sophia Eva Harumi Fújita Række 2Maria-Maja Aagaard Mathias Castro Frida Geert Alfred William Milla Obbekær Asaad Said Ella Brun Luna Ahlefe Eleverne gennemgik grundlæggende viden om trekanter. Dernæst blev de introduceret til ensvinklede trekanter og hvordan man kan beregne de manglede sider. Eleverne arbejdede med Øvelser 6.2.1 - 6.2.4 i Plus A1 stx 6.4 Grundlæggende vektorbegreber 6.4.1 Regning med vektorer Vi gennemgik grundlæggende vektorbegreber som:1) vektorer og deres definition2) repræsentant for vektor3) begyndelsespunkt og slutpunkt4) egentlige vektorer og nulvektoren5) Længde af en vektor6) Enhedsvektor7) Paralle (ensrettede og modsatrettede) o 6.4.2 En vektors koordinater Vi gennemgik vektorsubtraktion og multiplikation med skalar(tal). Vi så på den geometriske fortolkning af det og eleverne arbejdede med Øvelser 6.4.4 - 6.4.7 i plus A1 stx.Til sidst læste eleverne lektien til næste modul. Gennemgang af koordinater til vektorer vha. basisvektorerne i og j. Vi så på både sum, differens og multiplikation med en skalar. Eleverne arbejdede med øvelserne 6.4.8 - 6.4.9 samt 6.4.11 i plus A1 stx. Vi gennemgik stedvektor, tværvektor, længden af en vektor samt vektoren AB's koordinater (vektoren fra punkt A til punkt B). Eleverne arbejdede med Øvelse 6.4.13, Øvelse 6.4.18 samt Øvelse 6.4.19 i Plus A1 stx. 6.4.3 En vektors længde og afstandsformlen Vi gennemgik længden af en vektor og afstandsformlen (afstanden mellem to punkter). Eleverne fik en del af modulet til at arbejde med deres aflevering. 6.5 Retvinklede trekanter 6.5.1 Beregning i en retvinklet trekant Vi definerede cos, sin og tan ud fra enhedscirklen og opdagede sammenhængen mellem vinkler og de tre funktioner. Vi så på retningsvektor, retningspunkt, enhedsvektor. Eleverne arbejdede med Øvelser 6.5.1 - 6.5.3 i Plus A1 stx Gennemgang af de polære koordinater og angivelse af vektorer på polær form. Udledning af cos, sin og tan for retvinklede trekanter og med tilhørende eksempel. Løs følgende opgave til timen: Elevgennemgang af lektien. Eksempler og resten af modulet arbejdede eleverne med Øvelser 6.5.7 - 6.5.13 i Plus A1 stx. Gennemgang af skalarprodukt (også kaldet prikprodukt) med tilhørende eksempler.Gennemgang af sætningen om skalarprodukt og ortogonale vektorer: Løs følgende opgaver til timen: Læs følgende til timen:6.6 Skalarprodukt Vi gennemgik regnereglerne for skalarprodukt uden at bevise dem, men vi blev overbeviste om deres rigtighed ved at anvende eksempler. Dernæst gennemgik vi øvelse 6.6.2+6.6.3 i Plus A1 stx og forsøgte at anvende Nspire til til at beregne skalarprodukt Læs følgende om vektorprojektion og ikke vinkler:6.6.1 Vektorprojektion og vinkel Se følgende video om vektorprojektion til timen:Vektorprojektion - hvad er det? Projektionsvektor skyder.ggb Færdiggørelse af beviset for sætningen om ortogonale vektorer 6.6.1 Vektorprojektion og vinkel Efter prøven gennemgår jeg formlen for vektorprojektion med tilhørende eksempler. Eleverne arbejder med øvelsen: Øv jer på beviset for vektorprojektion:6.6.1 Vektorprojektion og vinkel Jeg gennemgår sætningen for vektorprojektion og laver dernæst beviset for klassen: Gennemgang af aflevering 5.Vi arbejdede med vi sætningen om vinklen mellem to vektorer 6.7 Determinant image.png Vi gennemgik sætningen om koordinatformel for determinant med tilhørende eksempler Gennemgang af sinusrelationer samt beviset for den ene af formlerne. 6.8.1 Sinusrelationerne 6.8.2 Cosinusrelationerne Læs følgende til timen: Jeg gennemgik linjens parameterfremstilling i detaljer med tilhørende eksempler. Eleverne arbejdede med videre med Øvelser 6.9.4 - 6.9.8 i Plus A1 stx. Læs følgende til timen:6.9.2 Linjens ligning Se følgende video om linjens parameterfremstillingLinjens parameterfremstilling Gennemgang af én af opgaverne fra sidste modul. Dernæst intro til sætningen:og beviset for den. Eleverne arbejdede med Øvelser 6.9.9 - 6.9.15 i Plus A1 stx. 6.9.2 Linjens ligning Repetition af linjens ligning på normalform og vi så på begge former af ligningen. Den ene fås hvis man ganger parenteserne ud og samler konstantleddet (se sætning forneden): Dernæst så vi på hvordan man kan omskrive linjens ligning til parameterfrem Læs følgende:6.9.3 Vinklen mellem linjer Læs følgende:6.9.4 Afstand mellem punkt og linje Gennemgang af vinklen mellem to linjer. Vi så, at man ikke direkte kan beregne vinklen mellem to linjer, men at man skal benytte linjernes retningsvektorer og normalvektorer og beregne vinklen mellem dem vha. den sædvanlige vinkelformel. Enten to ret Læs følgende6.9.4 Afstand mellem punkt og linje Se følgende video for at få en ide, om bevis til sætningen. Beviset her er lidt anderledes end det, som er i bogen:Afstand fra punkt til linje - bevis Gennemgang af sætningen for afstandsformlen mellem linjen på formen ax+by+c=0 og punktet P(x1,y1) og linjen på formen y=ax+b og punktet P(x1,y1). Vi arbejdede med to eksempler. Dernæst arbejdede eleverne med beviset for sætningen i grupper. Til sids Jeg gennemgår beviset for afstandsformlen fra i går. Læs følgende:6.9.5 Skæring mellem linjer Læs føl Se eksempel 9 og 10 for hjælp til denne opgave:Se eksempel 11 for hjælp til denne opgave:Se eksempel 12 for hjælp til denne opgave: Eleverne arbejdede selv i grupper hvor de undersøgte skæring mellem linjer i de tre former, som man kan møde dem i:1) begge linjer angivet på normalform2) begge linjer angivet på parameterform3) en linje angivet på normalform og en på parameterform Prøve i vektorer Supplerende stof:
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 27 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5

Statistik og sandsynlighedsregning

Kernestof:
– statistiske metoder til håndtering af diskret og grupperet datamateriale, grafisk præsentation af statistisk materiale,
stikprøve og empiriske statistiske deskriptorer samt anvendelse af lineær, eksponentiel, potens- og polynomiel regression,
herunder usikkerhedsbetragtninger og residualplot

– kombinatorik, grundlæggende sandsynlighedsregning, sandsynlighedsfelt og stokastisk variabel, binomialfordeling, konfidensintervaller og hypotesetest i binomialfordelingen.

Faglige mål:
- anvende funktionsudtryk og udtryk for afledede funktioner i opstilling af matematiske modeller på baggrund af
datamateriale eller viden fra andre fagområder, kunne analysere givne matematiske modeller, foretage simuleringer samt
fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modeller

– anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og
problemløsning

– demonstrere viden om fagets metoder og identitet

– kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling

Supplerende stof
– bearbejdning af autentisk datamateriale

– simulering af nulhypotese

– simulering af nulhypotese

– begreber og metoder fra diskret matematik

Arbejdsformer:
– selvstændigt arbejde
– gruppearbejde
– mundtlige og skriftlige arbejdsformer
– it

Indhold

Kernestof:

Skriftligt arbejde:

Titel	Afleveringsdato
Aflevering 9 - videobeviser	30-08-2023

Omfang

Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 18

Særlige fokuspunkter

Væsentligste arbejdsformer

Titel 6	Differentialregning Faglige mål: – anvende funktionsudtryk og udtryk for afledede funktioner i opstilling af matematiske modeller på baggrund af datamateriale eller viden fra andre fagområder, kunne analysere givne matematiske modeller, foretage simuleringer samt fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modeller – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – demonstrere viden om matematikkens udvikling i samspil med den historiske, videnskabelige og kulturelle udvikling – demonstrere viden om fagets metoder og identitet – anvende begreber og metoder fra diskret matematik inden for udvalgte områder – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling – læse matematikfaglige tekster på engelsk samt, når det er muligt, på andre fremmedsprog. Kernestof: – definition og fortolkning af differentialkvotient, herunder væksthastighed, afledet funktion for de elementære funktioner samt regnereglerne for differentiation af sum, differens og produkt af funktioner samt differentiation af sammensat funktion – monotoniforhold, ekstrema og optimering samt sammenhængen mellem disse begreber og begrebet differentialkvotient Supplerende stof: – regnereglen for differentiation af brøker (kvotientreglen) samt gennemgang af beviset – grænseværdibegrebet – kontinuitetsbegrebet – differentiabilitetsbegrebet – vægt på deduktive metoder og bevisførelse inden for udvalgte emner, herunder infinitesimalregning – bearbejdning af autentisk datamateriale Arbejdsformer: – selvstændigt arbejde – gruppearbejde – mundtlige og skriftlige arbejdsformer – it
Indhold	Kernestof: Ikke lektie:3.2 Differentialkvotient Genlæs følgende og fokuser på definitionen:3.2 Differentialkvotient Gennemgang af sekanthældning samt tangenthældning og grænseværdibegrebet. Beviset for differentialkvotienten for et andengradspolynomium findes i jeres bog. Sørg for selv at lave beviset, men hvis i har brug for inspiration kan i se det her: Regneregler.docx Medbring jeres 4 bevis-ark fra sidste modul. Vi gennemgår nogle af beviserne i fællesskab, men i skal selv forsøge at lave så meget som muligt som forberedelse til modulet. Tabel over afledede.pdf 3.4 Regneregler for differentiation Konstantreglen og sumreglen gennemgås Mere om sumreglen, og nu også differens og produktreglen. Vi arbejder videre med produktreglen og indfører også kvotientreglen. Dernæst forsøger vi at arbejde med beviserne for sumreglen og produktreglen. Løs følgende opgaver i timen og tjek facit i Nspire eller i bogens facitliste: Lille prøve i differentialregning uden hjælpemidler. Arbejd med følgende opgaver: Besvarelser til kvotientreglen.pdf Udledning af følgende: Læs om beviset for produktreglen i følgende kapitel:3.4 Regneregler for differentiation Her er sætningen: Afsnit En af jer udleder produktreglen. Dernæst ser vi på beviset for kvotientreglen. 3.7 Ligning for tangent Uden hjælpemidler: Løs følgende opgave til timen: I arbejder med opgaverne fra i fredags. Læs følgende til timen:3.8 Monotoniforhold I timen skal i arbejde i grupper med lektien.Dernæst se følgende videoer i grupperne: Raul og SejadKvotient og productMaria-Maja og ChloéKonstant, sum og produktMarie og FridaKvotient og produktClara og NathalieProdukt og sumOliver og AlfredSum og productSimon V og LouiKvotient og produktSimon S og BertilKvotient og produktMaja, Luna, 3.8 Monotoniforhold Vi arbejder videre med opgaverne fra sidse modul om monotoniforhold Kære 2t. Jeg kommer ikke til matematiktimen. I skal derfor selv arbejde i dette modul. I kan vælge mellem følgende to ting:1) Arbejde videre på jeres video2) Gå i gang med jeres næste aflevering (aflevering 14). Jeg har lagt opgaverne op til jer.I ka I skal i grupper arbejde med sammenhængen mellem grafen for en funktion og dens afledede. En af grupperne fremlægger for resten af klassen i slutningen af modulet. Jeg gennemgår sammenhængen mellem grafen for en funktion og dens afledede. Julehygge og afslutning Arbejde med følgende opgaver i timen: Læs følgende til timen:3.8.1 Kontinuerte funktioner defineret på intervaller Gennemgang af dobbeltafledede. Se denne video, som forklarer det, som jeg forsøgte at forklare i sidste modul:Calculus AB/BC – 5.7 Using the Second Derivative Test to Determine Extrema Kort intro til væksthastigheder og notation. Betydning af N'(t), N(t) og N(t)=konstant. Eleverne arbejder med opgaverne i lærebogen. Til sidst arbejdes der med følgende opgaver: Valgfagsorientering Løs disse opgaver ud over dem fra i går: Elevgennemgang og diskussion af enkelte opgaver fra de forrige moduler ved tavlen. Vi fokuserede igen på den anden afledede og hvordan denne kan bruges til at bestemme typen af ekstremumssted. Læs følgende om optimering:3.10 Optimering Miniprøve i differentialregning uden hjælpemidler. Vi nåede stort set kun prøven i dette modul. Vi arbejder videre med optimering og gode besvarelser af eksamensopgaver i næste modul. image.png Video 1: Optimering vha. differentialregning - eksempel 7 eksempler fra samme lærer:Optimering 1 - Indledning Uden CAS:
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 39 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7	Mere om funktioner Faglige mål: – anvende funktionsudtryk og udtryk for afledede funktioner i opstilling af matematiske modeller på baggrund af datamateriale eller viden fra andre fagområder, kunne analysere givne matematiske modeller, foretage simuleringer samt fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modeller – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – demonstrere viden om matematikkens udvikling i samspil med den historiske, videnskabelige og kulturelle udvikling – demonstrere viden om fagets metoder og identitet – anvende begreber og metoder fra diskret matematik inden for udvalgte områder – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling – læse matematikfaglige tekster på engelsk samt, når det er muligt, på andre fremmedsprog. Kernestof: - Genkende sammensatte funktioner - Sammensætte to funktioner - Opløse sammensatte funktioner - Differentiere sammensatte funktioner - - Differentiation af sammensatte funktioner Supplerende stof: - Grundlæggende mængdelære - herunder fællesmængder, foreningsmænder, differensmængder og komplementære mængder -Definition af funktionsbegrebet vha. mængder og afbildninger fra en mængde over i en anden herunder omæne, codomæne, værdier, billeder, værdimængde og definitionsmængde. - Arbejdsformer: – selvstændigt arbejde – gruppearbejde – mundtlige og skriftlige arbejdsformer – it
Indhold	Kernestof: Prøverne afleveres tilbage. Vi tager sidste modul med optimering. Opgaveregning og gennemgang af opgaver i plenum. image.png Eleverne udarbejder deres folder i differentialregning. Vi bruger også næste modul på det. 3.12 Hvad har vi lært om differentialregning? 3.11 Projekter
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8	Integralregning
Indhold	Kernestof: Kort introduktion til Riemann-summer, herunder oversummer og undersummer og hvordan man kan definere bestemte integraler som grænseværdier for summer i intervallet [a,b](formel) Integralregning - introduktion Eleverne læser kapitlet igennem og diskuterer indholdet med hinanden. Vi gentager pointerne fra i går. Jeg gennemgår ubestemte integraler og introducerer integrationsprøven. Vi ser på eksempler.Eleverne ser på sætningen og beviset selv: Vi gennemgår ubestemte integraler og husker at addere integrationskonstanten. Derudover ser vi på ubestemte integraler der går gennem helt særlige punkter. Her skal vi bestemme værdien af integrationskonstanten.Løs følgende opgaver i timen: Opgaver hvor man skal bestemme integrationskonstanten k: Læs følgende to afsnit til timen: Gennemgang af kendte stamfunktioner. Eleverne arbejder med følgende opgaver samt opgaverne fra sidste modul: Gennemgang af sætningen med tilhørende eksempler. image.png Læs følgende til timen:1.2 Areal og bestemt integral Gennemgang af lektien med fokus på at , så arealfunktionen er en stamfunktion til . Gennemgang af aflevering 14 i plenum. Vi ser blandt andet på nulreglen.Kort intro til sætningen:Vi ser følgende bevis for sætningen i plenum:Bevis: arealfunktionen er en stamfunktion til f(x) Gennemgang af aflevering 15 i plenum.Elevgennemgang af beviset for sætningen: Jeg laver beviset for arealsætningen i plenum.Eleverne arbejder med følgende opgaver: Gentager pointerne fra beviset. Dernæst laver jeg et eksempel med at bestemte integraler. Vi ser, at vi ender med et tal og ikke en funktion. 1.2.2 Bevis for integralregningens hovedsætning 1.2.3 Regneregler for bestemte integraler Program:1) Vi ser på sætning 2 samt beviset for denne:2) Vi arbejder med afsnittet foroven (skal ikke læses) og se at 3) Eleverne arbejder selv med regnereglerne for bestemte integraler:4) Opgaver Program for modulet1) Vi arbejder videre med opgaverne fra sidste modul.2) Elevgennemgang af enkelte opgaver3) Vi ser på sætning 2 igen og laver nogle af beviserne: Program for modulet:1) Vi ser på sætningen fra sidste modul og jeg gennemgår eksempler til flere af regnereglerne:2) I arbejder med opgaver fra bogen og opgaver, som jeg medbringer.3) Elevgennemgang af enkelte opgaver på tavlen.4) Afrunding af module Program for modulet:1) Vi beviser enkelte regneregler fra sætningen2) I får tid til at arbejde på jeres næste aflevering. Løsning til opgave 11 Program for modulet:1) Bevise regnereglerne fra sidste uge (vi nåede det ikke i sidste modul)2) Gennemgå enkelte opgaver fra fredag d. 5/4.3) Løse følgende opgaver: Læs følgende til timen:1.2.4 Punktmængder mellem grafer Øv jer på beviset fra sidste gang. Elevgennemgang af beviset om areal mellem to grafer. Beviset skal udføres uden noter.Dagens program:1) Elevgennemgang af beviset om areal mellem to grafer. Beviset skal udføres uden noter.2) I skal arbejde med eksam Løs denne opgave til timen: Læs følgende til timen:1.3 Omdrejningslegemer og kurvelængde Løs opgaverne: Gennemgås på tavlen: Bevis volumen af omdrejningslegeme Vi udleder formlerne for volumenen af en cylinder, kegle og en kugle vha. omdrejningslegemer. Vi arbejder med partiel integration i denne time, og ser hvilke type funktioner man kan integrere via denne metode.Integrationsteknik - Delvis integration (partiel integration).pdf Integrationsteknik - Delvis integration (partiel integration).pdf I skal i grupper læse følgende grundigt og løse de fire opgaver nederst på siden. I skal lave alle mellemregningerne i hånden, tage et billede og lægge det op under den aflevering, som jeg opretter til i dag kl. 15.15. I skal arbejde i følgende grupp
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 35 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9	Mere om funktioner Faglige mål – anvende funktionsudtryk og udtryk for afledede funktioner i opstilling af matematiske modeller på baggrund af datamateriale eller viden fra andre fagområder, kunne analysere givne matematiske modeller, foretage simuleringer samt fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modeller – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – demonstrere viden om matematikkens udvikling i samspil med den historiske, videnskabelige og kulturelle udvikling – demonstrere viden om fagets metoder og identitet – anvende begreber og metoder fra diskret matematik inden for udvalgte områder – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling – læse matematikfaglige tekster på engelsk samt, når det er muligt, på andre fremmedsprog. Kernestof - Genkende sammensatte funktioner - Sammensætte to funktioner - Opløse sammensatte funktioner - Differentiere sammensatte funktioner - - Differentiation af sammensatte funktioner - Omvendte funktioner Supplerende stof - Grundlæggende mængdelære - herunder fællesmængder, foreningsmænder, differensmængder og komplementære mængder -Definition af funktionsbegrebet vha. mængder og afbildninger fra en mængde over i en anden herunder omæne, codomæne, værdier, billeder, værdimængde og definitionsmængde. - Arbejdsformer – selvstændigt arbejde – gruppearbejde – mundtlige og skriftlige arbejdsformer – it
Indhold	Kernestof: 8.7 Sammensatte funktioner Læs følgende side 1-4 (ikke om intervaller):Elementaer_matematik_maengder_og_udsagn.pdf Se følgende video om mængdelære:Mængdelære (grundlæggende) Vi så i fællesskab videoen forneden og eleverne arbejdede derefter selv med funktionsbegrebet og hvordan funktioner kan beskrives vha. mængder. Vi definerede funktionsbegrebet vha. mængder og afbildninger fra en mængde over i en anden. Vi brugte ord som domæne, codomæne, værdier, billeder, værdimængde og definitionsmængde. Vi arbejdede med definitionerne for injektive, surjektive og bijektive funktioner/afbildninger. Eleverne prøvede i slutningen af modulet at koble det til inverse/omvendte funktioner. Læs følgende om omvendte/inverse funktioner i bogen MAT A1 STX:1.7 Sammensætning af funktioner I sidste modul gennemgik jeg sammensætninger af funktioner. Læs følgende lektie om sammensatte funktioner:*1.7 Sammensætning af funktioner Løs opgaven: Læs følgende:1.8 Omvendt funktion image.png Læs følgende:3.4.1 Sammensat funktion Vi arbejder med integration ved substitution. Vi nåede kun et eksempel pga. TG-læser. Prøve hvor formelsamling er tilladt. Prøve i:- Sammensatte funktioner- Inverse funktioner- Differentiation af sammensatte funktioner Læs følgende om integration ved substitution1.1.2 Regneregler for ubestemte integraler Løs disse to hjemmefra og tjek resultatet i Nspire: Jeg kommer ikke på skolen i dag, og i skal arbejde selv i dette modul.Jeg kan nås via Teams. Opgaverne som var lektie til i går, tager vi på tavlen i dette modul. Løs opgaverne, så du kan gennemgå dem uden noter ved tavlen :) Vi mødes ved Naturcenter Amager, Granatvej 5, 2770 Kastrup kl. 10.00.Husk at medbringe gode gå-sko/vandrestøvler, stor madpakke og drikkelse til hele dagen. Hvis det regner, så husk også regntøj.Vi skal selvfølgelig også indtage lidt forsyninger på v
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10	Trigonometriske funktioner Kernestof – I dette kapitel indføres vinkelmålet radiantal. Derudover indføres funktionerne sinus, cosinus og tangens, og vi bestemmer de afledede funktioner for hver af disse funktioner. Desuden vises, hvordan trigonometriske ligninger løses – grafisk håndtering af simple trigonometriske funktioner og deres egenskaber i et matematisk værktøjsprogram – Den harmoniske svingning og konstanternes betydning for grafens udseende. Faglige mål – anvende differentialkvotient for funktioner og fortolke forskellige repræsentationer af denne Arbejdsformer – selvstændigt arbejde – gruppearbejde – mundtlige og skriftlige arbejdsformer – it
Indhold	Kernestof: Vi skal gennemgå følgende i dag:2. Trigonometriske funktioner Valgfrit: Genlæs dette fra i mandags:2.1 Sinus, cosinus og tangens som funktioner Jeg bliver forsinket med ca. 45 min pga. lægebesøg. I skal arbejde selv i første halvdel af modulet. I skal i grupper, som jeg angiver forneden finde ud af følgende:a) Brug enhedscirklen til at tegne grafen for sin(x)b) Brug enhedscirklen til at tegn Læs følgende til timen:2.3 Den harmoniske svingning
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11	Differentialligninger Faglige mål – håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold – oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse – anvende forskellige fortolkninger af stamfunktionsbegrebet og forskellige metoder til løsning af differentialligninger – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling Kernestof – Definition af differentialligninger og notationsprincippet i forskellige former – Tangentligninger til løsningskurver og linjeelementer – Lineære og separable differentialligninger af første orden generel formel og herunder specialtilfældene: y' = ky og y' = b - ay – Den logistiske differentialligning og logistisk vækst, herunder analyse af den logistiske differentialligning – Separable differentialligninger og metoden "separation af de variable" som løsningsmetode – Kvalitativ analyse af differentialligninger samt opstilling af simple differentialligninger Supplerende stof Arbejdsformer – selvstændigt arbejde – gruppearbejde – mundtlige og skriftlige arbejdsformer – it
Indhold	Kernestof: Læs følgende om differentialligninger:2. Differentialligninger \| plus A3 stx image.png Læs følgende til timen:2.3 Lineære differentialligninger af 1. orden \| plus A3 stx Læs følgende til timen om: Lineære differentialligninger af 1. orden heraf:2.3.1 y" = ky \| plus A3 stxJeg gennemgår beviset for løsningsformlen til DE af typen y'=ky.Fokus på fuldstændige og partikulære løsninger. Elevgennemgang af beviset for løsningsformlen til DE af typen y'=ky.Dernæst løser i følgende opgaver: Jeg gennemgår sætningen for DE af typen y'=b-ay og lavet beviset på tavlen. Elevgennemgang af beviset for sætningen fra igår ( Løsningsformlen for DE af typen y'=b-ay). Løs denne opgave til timen: Vi gennemgik opgaven på tavlen i fællesskab.Dernæst forklarede jeg hvad "forskudte eksponentiel funktion" vil sige. Dvs. løsningen til DE af typen y'=b-ay har løsninger der "bare" er sædvanlige eksponentialfunktioner, men forskudt med størrelsen b/a Læs følgende mens i venter på mig:2.3.3 y" + g(x)y = h(x) \| plus A3 stx Repetition af gårdagens modul.Eleverne arbejder med følgende opgaver samt sætningen i den nye lektie. Beviset tager vi næste gang. Se følgende video for bevis af sætningen fra sidste modul. Bemærk, at han kalder f(x) og g(x) for a(x) og b(x), men samme princip:Panserformlen - Bevis Gør rede for hvordan den lineære 1. ordens DE på formen y'+g(x)y=h(x) kan omskrives til specialtilfældene:y'=ky samt y'=b-ay.Hvad er g(x) og h(x) lig med i begge tilfælde. Lav udregningen.Gør rede for hvordan løsningsudtrykket (Panserformlen) til DE I første halvdel af modulet skal i arbejde med følgende: I anden halvdel af modulet skal I arbejde på jeres aflevering. Jeg går rundt og hjælper. Læs følgende til timen:2.4 Logistisk differentialligning \| plus A3 stx Gentagelser fra i går kan ses i følgende video:Logistisk vækst og væksthastighed - introBrug den S-formede logistiske graf fra i går, og tænk så over hvordan grafen for y' som funktion af y vil se ud (kig nøje på akserne her og akserne fra i går): ( Gentagelser fra i sidste kan ses i følgende video:Logistisk vækst og væksthastighed - introBrug den S-formede logistiske graf fra i går, og tænk så over hvordan grafen for y' som funktion af y vil se ud (kig nøje på akserne her og akserne fra i går): Vi lavede beviset for løsningsformlen til DE af typen y'=ay(M-y) ved at indføre hjælpefunktionen z(x)=1/f(x). Alle øver beviset for løsningsformlen til DE af typen y'=ay(M-y). Alle løser følgende opgaver til timen: Løs følgende opgaver til timen: Opgaver vi arbejder i timen: Opgaver vi arbejder med i timen: Opgaver til timen: 2.5 Separable differentialligninger \| plus A3 stx I dag skal alle have nissehuer med :) Marie husker tinkahuen til mig :)
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 22 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12	Vektorfunktioner og banekurver Faglige mål – håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold – oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse – anvende forskellige fortolkninger af stamfunktionsbegrebet og forskellige metoder til løsning af differentialligninger – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning Kernestof – Defiition af vektorfunktioner – Grafisk forløb af banekurver, herunder tangentbestemmelse (vandret og lodret), samt anvendelser af vektorfunktioner og undersøgelse af punkternes beliggenhed ift. linjer – Fra almindelige funktioner til vektorfunktioner og omvendt – Grafisk og analytisk analyse af banekurver, herunder skæringspunkter med akserne og dobbeltpunkter – Differentiation af vektorfunktioner, herunder definition af hastighedsvektor og accelerationsvektor. Grafisk og fysisk analyse af disse vektorer. Supplerende stof Arbejdsformer – selvstændigt arbejde – gruppearbejde – mundtlige og skriftlige arbejdsformer – it
Indhold	Kernestof: Læs følgende til timen:3. Vektorfunktioner og banekurver \| plus A3 stx Prøve i differentialligninger. Håndskrevne noter og formelsamling tillades som hjælpemidler. SRP-snak Løs følgende opgave til timen: Opgaver vi arbejder med i modulet: Med hjælpemidler: 3.3 Differentiation af vektorfunktioner \| plus A3 stx image.png 3.4 Cirkelbevægelse \| plus A3 stx Løs opgaven: Læs følgende sætning og tilhørende bevis (bemærk at det er en anden lærebog). Det er vigtigt, at i forstår en linje før i går videre til næste:6.9 Fordybelsesafsnit: Kurvelængder \| MAT A3 stx
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13	Forberedelsesmateriale Faglige mål Kernestof – kombinatorik, grundlæggende sandsynlighedsregning, sandsynlighedsfelt – Udfaldsrum og sandsynlighedsfunktion – Fælleshændelse, foreningshændelse, differenshændelse og komplementærhændelse – Regning med sandsynligheder – Betinget sandsynlighed – Loven om total sandsynlighed Supplerende stof [/b] Arbejdsformer – selvstændigt arbejde – gruppearbejde – mundtlige og skriftlige arbejdsformer
Indhold	Kernestof: stx_mat_a_forberedelsesmateriale_15012024_23539-87777.pdf
Omfang	Estimeret: 4,00 moduler Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14	Funktioner af to variable Faglige mål – håndtere formler, kunne opstille og redegøre for symbolholdige beskrivelser af variabelsammenhænge og kunne anvende symbolholdigt sprog til at løse problemer med matematisk indhold – oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse – anvende forskellige fortolkninger af stamfunktionsbegrebet og forskellige metoder til løsning af differentialligninger – anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling – kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling Kernestof – Definition af funktioner af to variable – Grafen for funktioner af to variable samt det tredimensionale koordinatsystem – Niveaukurver, snitfunktioner og snitkurver – Partielle afledede og geometrisk betydning af de partielle afledede – Tangentplan og tangentplanligningen – Gradientens retning og størrelse – Stationære punkter og ekstrema og herunder typen af et stationært punkt Supplerende stof Arbejdsformer – selvstændigt arbejde – gruppearbejde – mundtlige og skriftlige arbejdsformer – it
Indhold	Kernestof: image-20250306130048-1.png 4. Funktioner af to variable \| plus A3 stx Terminsprøve 3t MA 2025 (MY).pdf 4.2 Niveaukurver og snit \| plus A3 stx Funktioner af to variable graf, snitfunktion og niveaukurve i Nspire. image.png Besvarelse: Gradient: Første halvdel af modulet ser vi på hvordan man afgør typen af stationære punkter:4.4 Stationære punkter og ekstrema \| plus A3 stxVideo hvor man ser hvordan man bestemmer arten:Funktioner af to variable - Stationære punkter og arten (ekstremum, sadde
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 15	Normalfordelingen
Indhold	Kernestof: Første halvdel af modulet ser vi på hvordan man afgør typen af stationære punkter:4.4 Stationære punkter og ekstrema \| plus A3 stxVideo hvor man ser hvordan man bestemmer arten:Funktioner af to variable - Stationære punkter og arten (ekstremum, sadde Læs følgende til timen:4.6 Normalfordelingen \| plus A2 stx Se begge videoer:Video 1 med eksempler for at opnå større forståelse med middelværdi og spredning:Normalfordeling, med Nspire image.png Funktioner af to variable typeopgaver.docx
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 16	Diverse
Indhold	Kernestof: Mundtlige prøveeksamener Løsningsforslag aflevering 27 (uden hjælpemidler).docx Løsningsforslag aflevering 28 (uden hjælpemidler).docx Vejledning til Nspire:nspire vejledning og formler 2.pdf Løsningsforslag til forberedelsesmaterialet:løsningforberedelsesmaterialet24-25.docx
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Vis samlet undervisningsbeskrivelse samt elevtilknytning til forløb