Holdet 3y MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2025/26
Institution Gentofte Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e)
Hold 1y MA (1y MA, 2y MA, 3y MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Grundforløb
Titel 2 Generel funktionsteori
Titel 3 Eksponentielle funktioner
Titel 4 Potensfunktioner
Titel 5 Polynomier
Titel 6 Vektorer 1
Titel 7 Differentialregning
Titel 8 Sandsynlighedsregning
Titel 9 Mere om vektorer og analytisk plangeometri
Titel 10 Deskriptiv statistik med normalfordeling
Titel 11 Modeller med harmoniske svingninger
Titel 12 Repetition
Titel 13 Integralregning
Titel 14 Harmoniske svingninger
Titel 15 Differentialligninger
Titel 16 Vektorfunktioner ( parametriserede kurver).
Titel 17 Funktioner af to variable
Titel 18 Normalfordeling og residualanalyse
Titel 19 Forberedelsesmateriale: "Polære funktioner"
Titel 20 Repetition

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Grundforløb

Lineære funktioner:


Førstegradsligninger.
Koordinatsystemer. Kvadranter.
Lineære funktioner. Graf. Konstanternes betydning.
Formler til bestemmelse af forskrift ud fra to punkter.
Vækstegenskaben.
Ligefrem proportionalitet.
Eksempler på lineære modeller


Talmængder.
Regningsarternes hierarki.
Regning med parenteser og kvadratsætningerne.
Potensbegrebet og potensregneregler.
Rodbegrebet.
Brøker og regler for brøkregning.
Introduktion til MAPLE
Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 19 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Generel funktionsteori

Plan for indhold:
Formler.
Funktionsbegrebet. Forskrift, funktionsværdi, graf.
Monotoniforhold og lokale og globale ekstrema. Begreberne læres ud fra graf.
Sammensat funktion. Her har vi suppleret med et par sider af mine noter. Her introduceres "bolle-notationen"  for sammensætning af funktioner og, hvordan man afgør definitionsmængden .
Stykkevis definerede funktioner. Graftegning i Maple. Numerisk værdi.
Kontinuert og diskontinuert- igen ud fra grafisk betragtning.
Invers funktion. Begrebet injektiv funktion nævnt i undervisningen, se lektie på lektionen 29/1 (indsat definition).
Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Eksponentielle funktioner


Indhold:
Procentregning og renteformlen.
Titalslogaritmen og den naturlige logaritmefunktion.
Eksponentielle ligninger.
Grundigt arbejdet med logaritmeregneregler ( ud fra Log(x) ).
Eksponentielle funktioner. Graf. Konstanternes betydning.
Formler til bestemmelse af forskrift ud fra to punkter.
Vækstegenskaben.
Fordoblings- og halveringskonstant.
Eksponentiel regression og mere om residualer- hvad betyder det at "de er passende små"?

Beviser og ræsonnementer:
De tre logaritmeregneregler ( vi tog titalslogaritmen).
Formler til bestemmelse af forskrift ud fra to punkter.
Formler for fordoblings- og halveringskonstant.


Opsparing og gæld:
Dette forløb dækker også over FF1 med samfundsfag: "Ligestilling og pension". Herunder Opsparings- og gældsannuitet.

Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Potensfunktioner

Potensfunktioner.
Graf. Konstanternes betydning.
Formler til bestemmelse af forskrift ud fra to punkter.
Vækstegenskaben.
Potensregression og residualer inkl. residualplot i Maple.
Ligefrem og omvendt proportionalitet.
Afsluttet med sammenligning af de tre væksttyper: lineær, eksponentiel og potensvækst.


Beviser og ræsonnementer:
Formler til bestemmelse af forskrift ud fra to punkter.
Vækstegenskaben (sætning 1.8 side 48 i A1).
Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Polynomier

Begreber og indhold:
Definition af polynomier.
Andengradsligninger.
Andengradspolynomier. Parablen. Toppunkt og rødder. Konstanterne a, b og c's betydning grafisk.
Omskrivning af andengradspolynomiet til "toppunktsformlen" .
Faktorisering af polynomier. Nulreglen til løsning af ligninger.
Polynomier af grad >2 : Grafernes mulige udseende og afhængighed af konstanterne. Rødder ved faktorisering og løsning i Maple.
Sætninger om antallet af rødder: Et n'te gradspolynomium har højst n rødder og et polynomium af ulige grad kan ikke være uden rødder.
Polynomiel regression i Maple.

I puljetimer har elever forberedt oplæg og gennemført oplæg om en temaopgave "Optimering med andengradsploynomier".  Temaopgaven er vedhæftet lektionen 22/2-2024.

Beviser og ræsonnementer:
Diskriminantformlen til bestemmelse af rødder.
Symmetri og toppunkt forklaret ud fra eksempler på  formen nævnt i sætning 2.7 (side 96).
Toppunktets 1. koordinat bliver i øvrigt udledt i et senere forløb "Differentialregning".
Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 11,00 moduler
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Vektorer 1

Begreber:
Vektorbegrebet. Regneregler for vektorer. Punkter og vektorer; Stedvektor.
Parallelitet og ortogonalitet. Vinklen mellem to vektorer.
Prikprodukt.
Enhedscirklen, cosinus, sinus og tangens.
Trigonometriske formler: Retvinklede trekanter,  Cosinusrelationerne anført.

Beviser og ræsonnementer:
De 6 gængse regneregler for vektorer.
Indskudssætningen.
Koordinatsættet til vektor AB. Afstand mellem to punkter.
Regneregler for prikprodukt bevist.
Tigonometriske formler i retvinklede trekant bevist, ligeledes hvordan cosinusrelationen følger af regneregel 6 for prikprodukt.
Bevis for prikproduktets uafhængighed af koordinatsystem.
Bevis for formlen for cosinus til vinklen mellem to vektorer ud fra uafhængigheden. Dette er læst efter egne noter:
"Bevis for sætning om vinklen mellem to vektorer.pdf" som fremgår af undervisningsbeskrivelsen og er vedhæftet 29/4 -2024.
Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 11,00 moduler
Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Differentialregning

Sekanter og deres hældning. Beregninger og antydning af grænseværdi.
Differentialkvotienter for polynomier.
De simple regneregler for diff. (sum, differens og konstant-faktor).
Tangentens ligning.
Kogebogsopskrift til tangentens ligning er vedhæftet den 15/5-24.
Lokale ekstrema og f'(x)=0.

Bestemmelse af monotoniforhold og ekstrema ud fra differentialkvotient..
Lokale maksima, minima og vendetangenter.

Kogebogsopskrift til bestemmelse af monotoniforhold er vedhæftet den 13/8-24.
Bevis for førstekoordinaten til parablens toppunkt.

Differentialkvotient af flere funktioner: potens- logaritme og eksponentialfunktioner.
Omskrivninger af eksponentielle funktioner mellem formerne b*a^x og b*exp(kx) og kendskab til differentialkvotient i begge tilfælde.
Differentialkvotient er væksthastighed. Forståelse gennem arbejde med modeller.
Optimering .
Sammenhæng mellem grafens forløb og  f og f ' ( betydning af fortegn).

Hvad betyder det, at en funktion er kontinuert hhv. differentiabilitet.
Definition af differentiabilitet. Grænseværdier.

Optimering : Vi har arbejdet med en minirapport med anvendelser af differentialregning til optimering. Rapporten er lagt i holdmapperne 2w og 2yMa den 19/8-24.


Beviser og ræsonnementer:

Vi har brugt "tretrinsreglen" . Den findes som præsentation på lektionen den 3/10-24 og den efterfølgende lektion. Og som dokument torsdag den 10/10-24.
Differentialkvotienter for: x^2,x^3, 1/x , lineære funktioner .

Regneregler: sum, konstant-faktor og produktreglen bevist. ( differensreglen også bevist som en øvelse, men den står ikke i bogen).
Bevis for førstekoordinaten til parablens toppunkt.

Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 25 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Sandsynlighedsregning

Stokastisk eksperiment og sandsynlighedsfelt.
Hændelser. Uafhængighed.
Kombinatorik: "Både og" og "enten eller" princippet. Fakultet.
Permutationer og kombinationer .
Pascals trekant.
Middelværdi og spredning for stokastisk variabel.


Binomialfordeling.
Middelværdi og spredning i binomialfordelingen -uden bevis.
Beregninger i Maple.
Normale og exceptionelle udfald i binomialfordelingen.
Er data binomialfordelt? Stikprøve med og uden tilbagelægning.

Hypotesetest i binomialfordelingen. Opstilling af nulhypotese.
Konfidensintervaller for p-estimat ud fra en stikprøve. Opinionsundersøgelser.
Simulering af binomialforsøg med vilkårlig sandsynlighedsparameter. Program i Maple vedhæftet  14/1-25.

Beviser og ræsonnementer :
Formlerne for K(n,r) og P(n,r) er bevist. Mine noter. Vedhæftet den 21/11-24.
Binomialfordelingen. Udledning af sandsynlighedsfordelingen med udgangspunkt i et eksempel, som så generaliseres til slut ( side 119-120 i A2).

Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 21 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Mere om vektorer og analytisk plangeometri

Begreber:
Rette linjer: Ligning på normalform. Parameterfremstillinger. Skæringspunkter og vinkler mellem.
Projektioner: Vektor på vektor og punkt på linje.
Vinkler mellem vektorer og drejningsvinkel fra vektor a til vektor b.
Tværvektor og determinant. Egenskaber ved determinant.
Afstand mellem punkt og linje og mellem parallelle linjer.
Cirkler: Cirklens ligning, omskrivninger af denne, tangenter til cirkler. Skæring med linjer.

Beviser og ræsonnementer:
Linjens ligning på normalform og parameterfremstillingen.
Projektion af vektor på vektor.
Determinanten:
det(a,b)=â *b
det(b,a) = - det(a,b)
Sætning om parallelitet og determinant.

Cirklens ligning udledt.


Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 14,00 moduler
Dækker over: 18 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Deskriptiv statistik med normalfordeling

Indekstal behandlet.
Deskriptiv statistik for ugrupperede og grupperede observationer. Aller deskriptorer og diagrammer nævnt i det læste er behandlet.
Outliers.
Maple anvendt i grad betydelig til den skriftlige del.
Anvendelser af statistik. Stikprøvers repræsentativitet.
:

Præsentationen af tæthedsfunktionen og tegning af Gauss kurver.
Konfidensintervaller udregnes som arealer under Gauss.
Vi ser video med og snakker om "Galtons bræt".
Eksempel på normalfordelte observationssæt i opgaver.
Vi ser ved tegning i Maple, at normalfordelingen approksimerer binomialfordelinger når
n*p>5 og n*(1-p)>5., idet vi sammenligner pindediagram for sandsynlighedsfordelingen for bin(n,p) med gausskurven for normalfordelingen med samme middelværdi og spredning som bin(n,p).

Ingen beviser eller ræsonnementer.

Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Modeller med harmoniske svingninger

Modeller med harmoniske svingninger.
Vi har læst efter Grundbog B2. Stoffet er vedhæftet den 6/5-25.

I skal kunne håndtere harmoniske svingninger i Maple.
Modellerne kan indgå i gruppedelseksamen til mundtlig eksamen.
1. Radiantal for en vinkel i stedet for gradtal.
2. Modeller med harmoniske svingninger.

Vi har bl.a. arbejdet med modeller for:

- Dagens længde som funktion af tidspunkt på året.
- Vandstand som funktion af tidspunkt på døgnet.
- Sammenhæng mellem tid og højde over jorden ved bevægelse i et pariserhjul.
- Co-2 koncentrationen i en sø - afhængighed af tidspunkt på dagen.

Ingen beviser eller ræsonnementer.

Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Repetition

Ønskede områder:

Hvor meget vi når må vi se i de sidste timer...

1. Monotoniforhold og fortegn for f '(x).

2. Vektorer.
3. Lidt om grænseværdier.

4. Kombinatorik.

5. Konfidensinterval og binomialtest.


Færdigred.
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13 Integralregning

Definition af ubestemt integral (stamfunktion)
Integration af de grundlæggende funktioner. "Integrationsprøven"
Regneregler for stamfunktioner (sum, differens og konstant gange funktion ) med beviser.

Integration ved substitution inklusive et bevis.

Sætninger om, at der findes uendelig mange stamfunktioner, hvis der findes én og at F(x)+k udgør samtlige stamfunktioner. Begge sætninger er behandlet med beviser.
Bestemmelse af stamfunktion gennem et givet punkt eller med en givet tangent.
Definition af bestemt integral.
Regneregler for bestemt integral (sum, differens og konstant gange funktion) med beviser.
Arealberegninger: mellem graf for positiv funktion og førsteaksen samt mellem to grafer (for positive funktioner).
Rumfang af Omdrejningslegemer bestemt at områder mellem to grafen.
Middelværdi af en kontinuert funktion som eksempel på en anden anvendelse af integralregning.
Kurvelængde.
---------------------------------------------------------------------------
Beviser og ræsonnementer:
Regneregler for ubestemt og bestemt integral (sum, differens og konstant gange funktion ) .
Integration ved substitution inklusive et bevis.

Sætninger om, at der findes uendelig mange stamfunktioner, hvis der findes én og at F(x)+k udgør samtlige stamfunktioner.
Arealfunktionen er en stamfunktion.
Sætning om "arealet under grafen" for en positiv kontinuert funktion.
Sætning om "arealet mellem to grafer", hvor f >=g.

Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 18,00 moduler
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14 Harmoniske svingninger

Radiantal.
De trigonometriske grundfunktioner cosinus og sinus.
Forståelse af amplitude, vinkelhastighed, periode og faseforskydning.
Differentiation og integration af disse funktioner.

Modeller med harmoniske svingninger.
Ingen beviser eller ræsonnementer.

Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 15 Differentialligninger

Begreber:
Differentialligning, fuldstændig løsning og partikulær løsning.
Tangentbestemmelse ud fra differentialligning, linjeelementer og hældningsfelter.
Hældningsfelter i Maple.
Vækstmodellerne lineær, eksponentiel, forskudt eksponentiel og logistisk vækstmodel.
Ordenen af en differentialligning. Første ordens differentialligning.
Opstilling af differentialligning ud fra viden om vækstegenskab.
Logistiske differentialligning.
Differentialligningsmodeller i anvendelser.
Løsning ved "separation af de variable" .Uden bevis.

Beviser og ræsonnementer:
Vi har udledt de fuldstændige løsninger til følgende:
y ' = ky .
y '=b-ay. Dette er læst efter mine noter. Vedhæftet lektionen 24/10-2025.
Den logistiske vækstmodel:
Vi har haft megen fokus på opstilling af modellen samt analyse af mulige løsninger ud fra differentialligningen. (side 41-45, 64-67 i A3).
Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 22 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 16 Vektorfunktioner ( parametriserede kurver).

Begreber:
Parameterfremstillinger og banekurver.
Hastighedsvektor, accelerationsvektor, tangenter.
Dobbeltpunkter og vinkler mellem tangenter i dobbeltpunkter.
Særligt fremhævede eksempler: Cirkelbevægelse, cykloiden, logaritmisk spiral, parabler .


Beviser og ræsonnementer:
Hastigheds- og accelerationsvektor for jævn cirkelbevægelse udledes ved differentiation og det vises, at hastighedsvektoren er ortogonal på stedvektoren og at accelerationsvektoren er modsat rettet stedvektoren.
Ellers ingen.
Færdigred!
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17 Funktioner af to variable

Begreber:
3d koordinatsystemer. Planer og deres ligninger uden bevis.
Funktioner og deres grafer ( flader) . Tegning i Maple.
Partielle afledede og gradient.
Tangentplaner.
Stationære punkter. Afgøre karakteren af et stationært punkt ud fra de 2. afledede.


Beviser og ræsonnementer:

Her har vi læst mine noter "Differentiable funktioner i én og to variable", som er vedhæftet lektionen 20. februar 2026.
Indholdet er:
1. Først udledes og forklares "det approksimerende førstegradspolynomium i x0" . Tangenten præsenteres som grafen for dette. Dette virker samtidig som en repetition af "tangentens ligning".

2. Med afsæt i dette gives en begrundelse for tangentplanens ligning for funktioner i to variable. Ræsonnementet afsluttes med at vise at:

Delta z = skalarproduktet af gradienten og ændringsvektoren.

Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 18 Normalfordeling og residualanalyse

Begreber:
Normalfordelingen som statistisk og sandsynlighedsteoretisk model.
Tætheds- og fordelingsfunktion og deres grafer.

Er data med god tilnærmelse normalfordelte? Her har vi primært brugt QQ-plot i Maple. Men vi har også set normalfordelingsregression i Maple og ganske kort omtalt, hvordan man uden CAS kan anvende "normalfordelingspapir", som vi dog kun har set tegnet i Maple.

Hvor god er den lineære model?:
Residualanalyse med inddragelse af normalfordeling.
Lineær regression, hvor a er tæt på 0. Er der belæg for en sammenhæng mellem x og y?
95% konfidensinterval for a i den lineære model.

Beviser og ræsonnementer:
Ingen.
Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 19 Forberedelsesmateriale: "Polære funktioner"


Forberedelsesmaterialet omfatter indholdet i det notesæt, som er givet af ministeriet.

Vedhæftet modul 4. maj 2026.

Der planlægges ikke at bruge emnet til mundtlig eksamen.

Emnet er "Polære koordinater og polære funktioner".

Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 20 Repetition

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer