Holdet 2024 Ma/1w Ma - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2024/25 - 2025/26
Institution Gentofte Gymnasium
Fag og niveau Matematik B
Lærer(e)
Hold 2024 Ma/1w Ma (1w Ma, 2w Ma)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Grundforløb
Titel 2 Generel funktionsteori
Titel 3 Eksponential- logaritme- og potensfunktioner
Titel 4 Trigonometri
Titel 5 Deskriptiv statistik
Titel 6 Polynomier
Titel 7 Analytisk plangeometri
Titel 8 Differentialregning
Titel 9 Sandsynlighedsregning og kombinatorik
Titel 10 Repetition og eksamensforberedelse.

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Grundforløb

Lineære funktioner:


Førstegradsligninger.
Koordinatsystemer. Kvadranter.
Lineære funktioner. Graf. Konstanternes betydning.
Formler til bestemmelse af forskrift ud fra to punkter.
Vækstegenskaben.
Ligefrem proportionalitet.
Eksempler på lineære modeller
Lineær regression og residualplot.
Forståelse af begrebet residual, så  man selv kan beregne et residual  uden brug af Maple.

Talmængder.
Regningsarternes hierarki.
Regning med parenteser og kvadratsætningerne.
Potensbegrebet og potensregneregler.
Rodbegrebet.
Brøker og regler for brøkregning.
Introduktion til MAPLE.
----------------------------------------------------------
Beviser medtaget:
Formler til bestemmelse af forskrift ud fra to punkter.
Vækstegenskaben.


Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 22,00 moduler
Dækker over: 26 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Generel funktionsteori

Begreber:
Beskrivelse af funktioner ud fra graftegning:
Monotoniforhold, maksimum og minimum.
Dm(f), nulpunkter, monotoniforhold, max/min eller Vm(f).
Lokale ekstrema.
Asymptoter, grafiske løsninger og symmetri.
Stykkevis defineret funktion (gaffelforskrift). Inklusive hvordan de gemmes i Maple.
Omvendt funktion.


Foreløbige Maple færdigheder:
Indtil nu skal du i Maple kunne:
Indskrive en funktion og arbejde med den.
- Graftegning - én eller flere grafen.
- Dimensionere koordinatsystemet.
- Løse en ligning.
- Gemme data og udføre lineær regression.
- Residualplot.
- Bruge Maple som en "lommeregner".
---------
Derudover er det smart at kende:
- expand, factor og simplify. Tre kommandoer som kan bruges til reduktion/omskrivninger af udtryk.


Ingen Ingen beviser eller ræsonnementer.

Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Eksponential- logaritme- og potensfunktioner

Procent- og rentesregning som intro til eksponentiel vækst.
Kapitalfremskrivning.

Eksponentielle funktioner.
Definition, graf.
To-punkts formlen. Med bevis.
Fordoblings- og halveringskonstant. Med bevis.
Omskrivning mellem b*a^x og b*e^(kx).
Vækstegenskaben.
Modeller og regression.
Enkeltlogaritmisk koordinatsystem.

Logaritmefunktioner.
Definition og graf.
log(x) og ln(x).
Arbejde med de tre logaritmeregneregler.
Bevis for de tre logaritmeregneregler. ( med log(x)).


Potensfunktioner.
Definition og graf.
To-punkts formlen.
Vækstegenskaben.
Modeller og regression.

Aflæsninger i enkelt- og dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.

Beviser og ræsonnementer medtaget:
To-punkts formlen eksponentiel funktion.
Fordoblings- og halveringskonstant for eksponentiel fkt.
De tre log-regneregler ( for ti-tals logaritmen).
Vækstegenskaben for potensfunktioner.
Vækstegenskaben for eksponentielle funktioner.


Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 19 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Trigonometri

Vinkler, trekanter.
Pythagoras. Med bevis.
180-graders reglen.

Enhedscirklen, cosinus, sinus og tangens.
Overgangsformler.

Den retvinklede trekant. Formler for cosinus, sinus og tangens . Med bevis.

Den generelle trekant. Cosinus- og sinusrelationerne .Med bevis.
Arealet af en trekant ( ½ appelsin). Med bevis.
Vi har i disse beviser primært haft fokus på de spidsvinklede tilfælde, omend vi  har læst og fået talt om  hele beviset.

Beregninger af sider og vinkler i vilkårlige trekanter.

Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 11,00 moduler
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Deskriptiv statistik


Statistisk behandling af data.

Ugrupperede observationer:
Hyppighed, frekvens, kumuleret frekvens.
Deskriptorer: Middelværdi, median. kvartilsæt ( og udvidet med min og max.) , kvartilbredde.
Diagrammer: Pindediagram og boksplot.

Grupperede observationer:
interval- hyppighed, frekvens. Kumuleret frekvens..
Deskriptorer: Middelværdi, median. kvartilsæt ( og udvidet med min og max.) , kvartilbredde og andre fraktiler.
Diagrammer: Histogram og sumkurve.

Ingen bbeviser eller ræsonnementer.
Færdigredigeret.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 5,00 moduler
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Polynomier



Andengradsligningen. Diskriminantmetoden.
Andengradspolynomiets graf, betydning af konstanterne a, b, c og diskriminanten..

Andengradspolynomier.
Toppunkt og symmetriakse..
Faktorisering og rødder (nulpunkter).

Polynomier af 3. og 4. grad . Kort intro med definition og grafer.

Andengrads-  og polynomiel regression i Maple.

Beviser og ræsonnementer:
Bevis for løsningsformlen til andengradsligninger.

Toppunktet og b's betydning bevises i forløbet "Differentialregning". Se dette forløb, hvor du finder mit dokument "Andengradspolynomier og differentialregning" vedhæftet.

Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Analytisk plangeometri

Koordinatsystemer  og punktmængder beskrevet ved ligninger og uligheder.

Den rette linje.
"Étpunktsformlen":  Bestemmelse af ligning ud fra kendt hældning og ét punkt.
Sammenhæng mellem hældninger og ortogonalitet af to rette linjer.
Beregning af vinkel mellem to linjer.
a=tan(v) hvor v er hældningsvinklen.
Spejling af et punkt i linjen y=x.

Afstand mellem to punkter. Midtpunkt af linjestykke.
Afstand mellem punkt og linje.  Afstand mellem parallelle linjer.
Cirkler. Cirklens ligning. Cirklens tangenter. Omskrivninger af cirklens ligning.

Skæringspunkter og ligningssystemer. Skæring mellem to linjer og mellem cirkel og linje.
Løsning uden og med Maple.
---------------------------------------------------------------------
Matematik-historisk perspektiv: Descartes geometri. Konstruktion af tal ud fra algebraiske udtryk. Konstruktion af multiplikation, division og uddragning af kvadratrod.

Beviser og ræsonnementer :
Ét-punkts-formlen.
Afstand mellem to punkter. Midtpunkt af linjestykke.
Afstand mellem punkt og linje.
Cirklens ligning.

Af supplerende (2.w) stof fremhæves:

Spejling af et punkt i linjen y=x.

Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Differentialregning

Grænseværdi og kontinuitet.
Differentiabilitet. Tretrinsreglen.
Bemærk: Tretrinsreglen læst i mine mine noter ( "Om tretrinsreglen", pdf).

Differentialkvotienter for simple funktioner: lineære, x^2, x^3, kvadratrod, 1/x,
Differentialkvotienter af eksponentielle, ln(x) , e^(kx) og potensfunktioner.

Regneregler for differentialkvotient: konstant-faktor, sum, differens, produkt, sammensat funktion of omvendt funktion.

Stationære punkter.
Sammenhæng mellem monotoniforhold, lokale ekstrema og differentialkvotient, herunder monotonisætningen.
Også medtaget, hvordan den dobbelt afledede kan anvendes til at vise, at et stationært punkt er et lokalt min/maks. ( " Anden afledede testen").

Optimeringsproblemer. Holdet har arbejdet med en temarapport om optimering ( økonomi).  Temarapporten ligger i holdets mappe og er vedhæftet timen den 11/12-25.
Vi afsluttede med fremlæggelser.

Fortolkning af f ' (xo) som væksthastighed i forbindelse med matematiske modeller.

Newtons metode til numerisk bestemmelse af nulpunkter.

------------------------

Beviser og ræsonnementer:
Udledning af differentialkvotient for lineære, kvadratrod, x^2 og x^3 ved tretrinsreglen.

Bevis for regneregler for differentialkvotient: konstant-faktor, sum/differens og produktreglen.

Tangentens ligning.

Differentiabilitet medfører kontinuitet.

Desuden et induktiv udledning af differentialkvotienten af X^n ( sætning side 53-54 i A2, selve induktionsprincippet er ikke formaliseret i bogen, men er omtalt af mig).

Newtons metode. Iterationsformlen udledt (side 97-98).

For andengradspolynomier er toppunktet og betydning af b i forskriften behandlet med bevis.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Af supplerende stof ( 2.w) fremhæves:
Beviser for de nævnte regneregler.
Newtons metode til nulpunktsbestemmelse.
Anden afledede testen..
Det induktive argument for differentialkvotient af x^n for n= 4, 5.....

Færdigred.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 30 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Elementær mængdeteoretisk indledning til emnet. Fælles- og foreningsmængde. Komplementærmængde. Venn diagrammer. Overskudsmængde og disjunkte mængder.

Stokastisk eksperiment og sandsynlighedsfelt.
Hændelser. Uafhængighed.
Kombinatorik: "Både og" og "enten eller" princippet. Fakultet.
Permutationer og kombinationer .
Pascals trekant.
Stokastisk variabel. Middelværdi og spredning for en stokastisk variabel.


Binomialfordeling.
Bernoulliforsøg og binomialeksperiment.
Sandsynlighedsfordeling for binomialfordelt stokastisk variabel.
Middelværdi og spredning i binomialfordelingen -uden bevis.
Beregninger i Maple.


Hypotesetest i binomialfordelingen.
Opstilling af nulhypotese. Signifikansniveau. Kritisk område og acceptområde. Testens kritiske niveau.
Binomialfordelt statistisk materiale.
Simulering af binomialforsøg med vilkårlig sandsynlighedsparameter. Program i Maple vedhæftet . Her har vi også på basis af "mange" binomialeksperimenter sammenlignet den teoretiske fordeling med det statistiske materiale.

Beviser og ræsonnementer :

Bevis for formlerne for kombinationer og permutationer K(n.r) og P(n,r).
Udledning af sandsynlighedsfordelingen for binomialfordelt stokastisk variabel.

Supplerende (2.w) fremhæves:
Permutationer P(n,r).

Færdigredigeret.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 25 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Repetition og eksamensforberedelse.

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer