Undervisningsbeskrivelse
Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
|
Termin(er)
|
2023/24 - 2024/25
|
|
Institution
|
Århus Akademi
|
|
Fag og niveau
|
Matematik A
|
|
Lærer(e)
|
Jesper Matthiasen, Nicolaj Merrild Andersen
|
|
Hold
|
2023 MA/x (1x MA, 2x MA)
|
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
|
Titel
1
|
Tal & ligninger (NA)
MATERIALER:
Se Nicolajs OneNote
INDHOLD:
- Løsning af ligninger
- Potenser og potensregler
- Brøker
- Kvadratsætninger
- Reduktionsopgaver
|
|
Indhold
|
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
11 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
2
|
Vækst & funktioner (NA)
MATERIALER:
Se Nicolajs OneNote
Materiale til procentregning er hentet fra hjemmesiden: https://sites.google.com/view/hfmatematikc/
suppleret med kompendiet "Matematik C" udfærdiget af Anders Elkrog
INDHOLD:
1) Lineære funktioner:
Forløbet involverede følgende:
- Grafen for en lineær funktion, og betydningen af a og b
- Formler for a og b
- Vækstegenskaben
- Stykkevis lineære funktioner, gaffelforskrifter
- Lineær regression og residualer
- Bevis for to-punktsformel for a
2) Procent- og rentesregning:
- Andel/helhed
- Fremskrivningsfaktor
- Gennemsnitlig rente,
- Renteformlen.
- Indekstal
3) Eksponential- og logaritmefunktioner
- Graf for eksponentielle funktioner, og betydningen af a og b
- Vækstegenskaber
- Fordoblings- og halveringskonstanter
- Bevis for to-punktsformlen for a og fordoblingskonstanten
- Titalslogaritmen og den naturlige logaritme
- Beviser for logaritmeregnereglerne
4) Potensfunktioner
- Regneforskrift og grafer for potenssammenhænge
- Regneforskrift ud fra to punkter på grafen
- Vækstegenskaben (procentændringen i x-værdier til en procentændring i y-værdierne)
- Omvendt proportionalitet
- Potensregression
- Bevis for to-punktsformlen for a i potensfunktioner (Kompendium)
5) Funktioner generelt
- Hvad er en funktion?
- Sammensatte funktioner
- Inverse funktioner
- Injektive funktioner
- Hvornår har en funktion en invers funktion
- Læsning af matematikfaglig tekst på engelsk
|
|
Indhold
|
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
32 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
3
|
Polynomier - specielt andengradspolynomier (NA)
MATERIALER:
Teorien stammer fra nogle noter
Se Nicolajs OneNote
INDHOLD:
- Forskrift for det generelle andengradspolynomium
- Grafisk betydning af koefficienterne a, b, c og diskriminanten d
- Faktorisering
- Definitonsmængde/værdimængde for et andengradspolynomium
- Forskydning af graf
Perspektivering: Kastevinkler ved at inddrage formel fra fysik
Beviser
- Bevis for toppunktsformlen
- Bevis for at finde nulpunkter i et andengradspolynomium
- Bevis for faktorisering
- Bevis for forskriften udtrykt vha. toppunkt
|
|
Indhold
|
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
16 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
4
|
Differentialregning (NA + Ma)
MATERIALER:
- Note om differentialregning med de vigtigste beviser 2025 (13 sider)
- Se i øvrigt Nicolajs OneNote
INDHOLD:
- Væksthastigheder og fortolkning
- Differentialkvotienter vha WM
- Tangentligningen
- Monotoniforhold og ekstrema
- Optimering, herunder matematisering
- Tangentligninger
- Regneregler: Produktreglen, sumreglen (og subtraktions reglen), konstantfaktorreglen, differentiation af sammensat funktion
Beviser:
- f(x)= x² og f(x) = x³
- f(x) = ax² + bx + c
- 1/x
- Kvadratrodsfunktionen
- sumfunktionen
- konstantfaktor funktionen
- produktreglen
- x^n via induktion
- ln(x) kort version
-Kontinuitet (overfladisk)
-Differentiable funktioner ("glatte funktioner")
Differentialkvotienter man skal kunne uden hjælpemidler: Polynomier, kvadratsrods funktionen, 1/x, lineære funktioner, konstante funktioner, e^x, e^kx
Projekter:
Optimerings gruppe-opgaver
"Stjernekrig" (Tangentligninger)
"Den idelle dåse"
"Baywatch"
"J-dag"
|
|
Indhold
|
|
|
Omfang
|
Estimeret:
16,00 moduler
Dækker over:
31 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
5
|
Analytisk plangeometri (NA)
MATERIALER:
Se Nicolajs OneNote
INDHOLD:
- Afstandsformel punkt-punkt
- Afstand mellem punkt og linje
- Cirklens ligning
- Skæring mellem cirkel og linje
- Ortogonale linjer
- Linjens generelle ligning
- Løsning af ligningssystemer vha. substitution (og lige store koefficienters metode)
- Kvadratkomplettering
Beviser for Afstandsformel punkt-punkt, Afstand mellem punkt og linje, Ortogonale linjer
|
|
Indhold
|
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
7 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
6
|
Sandsynlighedsregning (NA + Ma)
MATERIALER:
Note 1: Kombinatorik 2025
Note 2: Sandsynlighed og kombinatorik 2025
Note 3: Binomialfordeling 2025
Note 4: Binomialtest 2025
Videofilm:
Hvorfor binomialfordeling?: https://youtu.be/3jW-ZFWu0MY
Bevis for binomialkoefficient (K-formel): https://youtu.be/9JWoGgqTTjY
Bevis for binomialsandsynlighed: https://youtu.be/vCOdhdqPun4
Binomialtest - sådan gøres det: https://youtu.be/YweQJz3bGYA
Se i øvrigt Nicolajs OneNote
INDHOLD:
- Multiplikationsprincippet og additionsprincippet
- Stokastisk variabel
- Middelværdi og spredning
- Binomialfordelingen
- Binomialtest
- Konfidensintervaller
- Binomialkoefficienter ud fra Pascals trekant
Perspektivering til hypergeometriske model
Projekt: M&M´s
|
|
Indhold
|
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
19 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
7
|
Vektorer (NA)
MATERIALER:
Se Nicolajs OneNote
INDHOLD:
- Addition af vektorer (og subtraktion)
- Konstant gange vektor
- Længden af en vektor
- Skalarprodukt
- Vinkel mellem vektorer
- Determinant (incl areal af parallelogram)
- Projektion af vektor
- Parameterfremstilling for en ret linje
- Normalvektor/tværvektor
- Ligning for ret linje ud fra normalvektor og punkt
Beviser: Projektion af vektor, Vinkel mellem to vektorer, Regneregler for skalarprodukt
|
|
Indhold
|
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
11 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
8
|
Differentialligninger (Ma)
INDHOLD:
1) Grundlæggende kendskab til differentialligninger (efterprøvning af løsning, tangenter, monotoni).
Opstilling af differentialligninger ud fra sproglig eller grafisk beskrivelse. Linjeelementer.
2) Fuldstændig og partikulær løsning, hældningsfelt (visualisering).
Løsning af differentialligninger med CAS.
Løs ved brug af integration.
3) Løsning af differentialligninger med løsningsformler (genkendelse af struktur).
Beviser for 3 løsningsformler for lineære 1.ordens ligninger.
4) Videregående metoder:
Separable differentialligninger (metode)
Grundlæggende kendskab til logistisk vækst ud fra differentialligningen og løsningsfunktion (ikke bevis for løsningsformel).
Numerisk løsning af differentialligninger (metode).
MATERIALE:
- Note 1: Hvad er en differentialligning? (2 sider)
- Note 2: Tangenter og differentialligninger (1 side)
- Note 3: Monotoniforhold og differentialligninger (1 side)
- Note 4: Løsning med WM (2 sider)
- Note 5: Løsning med formelsamling (1 side)
- Note 6: Linjeelement og hældningsfelt (3 sider)
- Note 7: Opstilling af differentialligninger (2 sider)
- Note 8: Logistisk differentialligning (3 sider)
- Note 9: Beviser for differentialligninger (2 sider)
- Note 10: Numerisk løsning af differentialligninger (1 side)
- Opgaveark 1-11
Videofilm:
Hvad er en differentialligning?: https://youtu.be/0y7J0m-enlI
Undersøg om en funktion er en løsning: https://youtu.be/FwJ1zKGvUJY
Bestem en tangentligning: https://youtu.be/ku-qKQkcbUc
Monotoniforhold og ekstrema for en løsning: https://youtu.be/ygiCY31hr8E
Løsning ved brug af WM: https://youtu.be/uefS3T6l8Qk
Linjeelement, hældningsfelt, løsning i GeoGebra: https://youtu.be/wu9EBiRtPAM
Læs og løs 1: https://youtu.be/NsY9gmdctlY
Læs og løs 2: https://youtu.be/VQm2xO35Xlg
Løs ved integration eller formelsamling: https://youtu.be/V42ulMQ0oMA
Løs separabel differentialligning: https://youtu.be/AqdVU7nxZBA
Eulers metode (demo i GeoGebra): https://www.geogebra.org/m/NUeFjm9J
Bevis for sætning 1: https://youtu.be/1X2-iI2DHnA
Bevis for sætning 2: https://youtu.be/WIqD8w15t2k
Bevis for sætning 3: https://youtu.be/VrKadGe8Y6U
|
|
Indhold
|
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
19 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
9
|
Trigonometriske funktioner (Ma)
INDHOLD:
- Definition af cosinus- og sinus-funktioner
- Trigonometriske grundligninger
- Differentialkvotienter og væksthastigheder
- Harmonisk svingning med anvendelser
MATERIALER:
- Demo med enhedscirkel og trigonometriske funktioner:
https://phet.colorado.edu/sims/html/trig-tour/latest/trig-tour_all.html?locale=da
- Note om trigonometriske funktioner og harmonisk svingning (18 sider)
- Arbejdsark om trigonometriske funktioner
|
|
Indhold
|
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
9 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
10
|
SRO-forløb (MA-Ke)
INDHOLD:
Fællesfagligt forløb (nr. 4) i MA-Ke.
Emne: Farvestoffer og lineær regression.
Arbejdet omhandlede lineær regression, residualer og residual-analyse, herunder udledning ad mindste kvadraters metode for en proportionalitet, anvendelse af dobbelt-afledede til at argumentere for minima.
MATERIALER:
- Note om mindste kvadraters metode for proportionalitet (2 sider)
- Note om mindste kvadraters metode for lineær funktion (3 sider)
- Note om matematikkens metoder
|
|
Indhold
|
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
1 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
11
|
Integralregning (Ma)
INDHOLD:
1) Stamfunktion, ubestemte og bestemte integraler (definitioner). Symbolik mht. integration.
- Integrationsprøven.
- Sætninger om stamfunktioner, herunder regneregler for ubestemte integraler (sum og differens af funktioner samt af en funktion gange en konstant
- Integration ved substitution som metode.
2) Bestemte integral (definition).
- Integralregningens hovedsætning incl. bevis
- Areal mellem grafer og areal begrænset af negativ funktion incl. beviser.
- Indskudsreglen.
3) Anvendelser af integraler til arealberegning, rumfangsbestemmelse og kurvelængdebestemmelse (generelt kun metoder - ikke beviser).
- Rumfangsformlen for en kugle og en kegle dog hér incl. beviser.
- Projektopgave med modellering af ølglas
Supplerende stof:
Sammenhængen mellem areal og stamfunktion er - jvf. lærerplanen - givet en særlig behandling mhp deduktiv metode og bevisførelse
MATERIALER:
- Note 1: Stamfunktioner - ubestemt integral (5 sider)
- Note 2: Definition af bestemt integral (2 sider)
- Note 3: Sætninger om anvendelse af bestemte integraler (4 sider)
- Note 4: Numerisk integration og ligningsløsning (2 sider)
- Note 5: Bevis for integralregningens hovedsætning (5 sider)
- Note 6: Omdrejningslegemer og volumen (2 sider)
- Note 7: Kurvelængde (1 side)
- Note 8+9: Rumfang af kugle og kegle (3 sider)
- Opgaveark 1-10
Videofilm:
Beviset for integralregningens hovedsætning 1.del: https://youtu.be/VhqcHEDIQic
Beviset for integralregningens hovedsætning 2.del: https://youtu.be/IDiQ2sLzuc4
Integration ved substitution - 1 (metode): https://youtu.be/DvlwiBEed0Q
Integration ved substitution - 2 (metode): https://youtu.be/ZA2sQ1MqEAA
Integration ved substitution og grænseskift (metode): https://youtu.be/RgcqsPMrf0o
|
|
Indhold
|
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
20 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
12
|
Normalfordeling (Ma)
INDHOLD:
- Introduktion til normalfordeling
- Standardnormalfordelingen med tætheds- og fordelingsfunktion (med forskrift og graf)
- (μ,σ)-normalfordelingen med tætheds- og fordelingsfunktion (med forskrift og graf)
- Middelværdi og spredning (μ,σ)
- Normale eller exceptionelle udfald
- Beregning af sandsynligheder ved brug af integralregning
- Beregning med sandsynlighedslommeregneren i GeoGebra
- Normalfordelingstilpasning på datasæt i Excel
- Konfidensinterval for hældning (metode)
MATERIALER:
- Note 1: Introduktion til normalfordeling
- Note 2: Normalfordeling
- Note 3: Normale og exceptionelle udfald
- Note 4: Normalfordelingstilpasning i Excel
- Note 5: Oplæg og opgaveark om konfidensinterval for hældning (2 sider)
Video:
- Konfidensinterval for hældning (metode): https://youtu.be/Ni0vS66ijhQ
Opgaveark 1-5
|
|
Indhold
|
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
15,6 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
13
|
Funktioner af 2 variable (Ma)
INDHOLD:
Forløbet har jvf læreplanen haft fokus på anvendelse af begreber i problembehandling på et instrumentelt niveau med og uden værktøjsprogrammer.
- Forskrifter for funktioner af to variable, herunder punkter og grafer i 3D
- Bestemmelse af ligninger og forskrifter for enkle niveaukurver og snitkurver for grafer.
- Analyse af snitkurver ved brug af metoder fra funktioner af én variabel.
- Partielle afledede (både første og anden), bestemmelse af gradienter.
- Eksempler på bestemmelse af stationære punkter samt bestemmelse af arten af disse (saddelpunkter, ekstremumspunkter eller uafklarede).
- Anvendelse på mindste kvadraters metode ifb med SRO'en
MATERIALE:
- Note om metoder og begreber (15 sider)
- Note om brug af CAS i WordMat og GeoGebra (9 sider)
- Opgaveark 1-7
|
|
Indhold
|
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
7 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
14
|
Vektorer & vektorfunktioner (Ma)
INDHOLD:
Forløbet har jvf læreplanen haft fokus på anvendelse af begreber i problembehandling på et instrumentelt niveau med og uden værktøjsprogrammer.
- Vektorfunktioner og deres banekurver - givet både som s(t) og ved koordinatfunktioner x(t) og y(t)
- Banekurvers skæringspunkter med koordinatakserne, dobbeltpunkter (når en parameterværdi er kendt) samt retningsvektor for tangent og tangentligning,
herunder ligning for vandret og lodret tangent.
- Modeller beskrevet som vektorfunktioner, hvor tiden er input og stedkoordinaterne er output. Hastigheds- og accelerationsvektor.
- Cirklens parameterfremstilling
Supplerende stof:
- Parameterfremstilling for tangenter
- Eliminering af parametre for linjer, cirkler og ellipser (omskrivning fra parameterform til ligning)
- Bevis for vinklen mellem to vektorer (prikprodukt)
- Bevis for formlen for kurvelængde på banekurve (kursorisk)
- Tegning af klassiske, navngivne kurver
MATERIALER:
- Note om vektorfunktioner (side 1-20 undt. side 7 og 9)
- Note om prikprodukt og beviser (5 sider)
- Recap om cirkelligningen, linjens parameterfremstilling og prikprodukt
- Arbejdsark 1-4
|
|
Indhold
|
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
9 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
|
Titel
15
|
Betinget sandsynlighed - forberedelsesmateriale
INDHOLD:
- Kort opsamling på vigtige grundbegreber i sandsynlighedsregning. Symbolsprog contra normalsprog.
- Betinget sandsynlighed, herunder Bayes’ sætning.
- Loven om total sandsynlighed.
- Eksempler på anvendelser inden for medicin og jura.
MATERIALE:
- UVM's forberedelsesmateriale (20 sider)
- Supplerende opgaver
|
|
Indhold
|
|
|
Omfang
|
Estimeret:
Ikke angivet
Dækker over:
6 moduler
|
|
Særlige fokuspunkter
|
|
|
Væsentligste arbejdsformer
|
|
{
"S": "/lectio/311/stamdata/stamdata_edit_student.aspx?id=666\u0026prevurl=studieplan%2fuvb_hold_off.aspx%3fholdid%3d60999288145",
"T": "/lectio/311/stamdata/stamdata_edit_teacher.aspx?teacherid=666\u0026prevurl=studieplan%2fuvb_hold_off.aspx%3fholdid%3d60999288145",
"H": "/lectio/311/stamdata/stamdata_edit_hold.aspx?id=666\u0026prevurl=studieplan%2fuvb_hold_off.aspx%3fholdid%3d60999288145"
}