Holdet 2022 MA/f - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2022/23 - 2024/25
Institution Z - Rosborg Gymnasium og HF 2
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Lone Koed Thorhauge
Hold 2022 MA/f (1f MA, 2f MA, 3f MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 0: Grundforløb om lineære funktioner
Titel 2 1: Andengradspolynomier
Titel 3 2: Grundlæggende funktionsteori
Titel 4 3: Analytisk geometri I
Titel 5 4: Funktionsteori I
Titel 6 5: Om andengradsligningen
Titel 7 6: Kryptologi
Titel 8 7: Funktionsteori II
Titel 9 Studietur
Titel 10 8: Differentialregning I
Titel 11 9: SRO
Titel 12 10: Analytisk geometri II
Titel 13 11: Integralregning I
Titel 14 12: Differentialregning II
Titel 15 13: Integralregning II
Titel 16 14: Sandsynlighedsregning og statistik I
Titel 17 15: Sandsynlighedsregning og statistik II
Titel 18 16: Differentialligninger
Titel 19 17: Vektorfunktioner
Titel 20 18: Funktioner af to variable
Titel 21 19: Blandet
Titel 22 20: Logistisk vækst og Verhulst
Titel 23 21: Forberedelsesmateriale
Titel 24 22: Mundtlighed
Titel 25 23: Eksamenstræning

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 0: Grundforløb om lineære funktioner

Lineære funktioner, herunder:

De grundlæggende regnearter
Parentesregneregler
1. gradsligninger (opstilling og løsning heraf)
Introduktion til variabel- og funktionsbegrebet
Lineær regression
Den rette linjes ligning
Betydning af a og b i y = ax + b
Matematisk modellering
Projekt 1: nedbrydning af alkohol
Projekt 2: teori for en ret linje
Indhold
Omfang Estimeret: 15,00 moduler
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 1: Andengradspolynomier

Kvadratsætningerne inkl. algebraisk bevis.
Andengradsligninger inkl. bevis for løsningsformlen/diskriminantformlen.
Nulreglen.
Andengradspolynomier:
- forskrift og graf
- koefficienternes betydning
- toppunkt (uden bevis i 1g - i 2g bevist vha. differentialregning)
- rødder
- faktorisering (uden bevis)
- andengradsregression
- anvendelser af andengradspolynomier
- brugen af Nspire

Kompendiet "Funktioner og ligninger" af Thomas Heide-Jørgensen er anvendt i forløbet. Det gælder siderne:
73-87
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 9,00 moduler
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 2: Grundlæggende funktionsteori

Talmængder og intervaller herunder mængdenotation.
Præsentation af de grundlæggende funktionsbegreber: funktionsværdi, definitionsmængde, værdimængde, monotone funktioner, konstante funktioner, bestemmelse af monotoniforhold, ekstremum (maksimum og minimum).
Intro til følgende funktioner (ligning, graf og konstanternes betydning): ligefrem og omvendt proportionalitet, eksponentielle funktioner, potensfunktioner.
Andengrads-, eksponentiel- og potensregression i Nspire.

Kompendiet "Funktioner og ligninger" af Thomas Heide-Jørgensen er anvendt i forløbet. Siderne:
1-7, 11-15, 20-22, 25-28 (læs selv)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 11,00 moduler
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 3: Analytisk geometri I

Introduktion til den grundlæggende teori om vektorer i planen.
Punkter og vektorer herunder vektorer mellem punkter og midtpunktsformlen (bevist i en aflevering).
Enhedscirklen, sinus, cosinus og tangens samt anvendelser til beregninger i retvinklede trekanter.

Skalarprodukt og determinant samt beregning af vinklen mellem vektorer (inkl. bevis), projektion af vektor på vektor (inkl. bevis) og areal af parallelogram og trekant (u. bevis).
Ortogonale og parallelle vektorer herunder bevis for hvordan skalarproduktets og determinantens egenskaber afslører hhv. ortogonale vektorer og parallelle vektorer.

Brug af Nspire's geometri-applikation (punkter, vektorer, linjestykker og trekanter) samt opgaveregning med og uden Nspire.

Kompendiet "Analytisk geometri" af Thomas Heide-Jørgensen er anvendt i undervisningen. Følgende sider:
4-5, 7-8, 12-18, 22-30, 33-38, 42-45, 48-53 (dog uden afsnit 1.5.5 "Determinanter og ligningssystemer").
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 17,00 moduler
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 4: Funktionsteori I

Indekstal

Det udvidede potensbegreb og potensregneregler.
Forskrift og graf for eksponentielle funktioner og konstanternes betydning.
Formler til beregning af a og b ud fra to punkter (inkl. bevis).
Logaritmefunktioner og logaritmeregneregler (inkl. bevis). Herunder den naturlige logaritmefunktion og den naturlige eksponentialfunktion.
Vækstegenskaber (inkl. bevis) og fordoblings- og halveringskonstant (inkl. bevis).
Eksponentiel regression i Nspire.

Teorien om potensfunktioner blev læst og gennemarbejdet i grupper ved hjælp af små tavler og opgaveregning med og uden hjælpemidler.
Udvalgte grupper fremlagde afslutningsvist beviset for vækstegenskaberne og beviset for formlerne for a og b på tavlen.
Til slut fælles opsamling og oversigt over de 3 grundlæggende vækstmodeller.

Kompendiet "Funktioner og ligninger" af Thomas Heide-Jørgensen er anvendt i forløbet. Det omfatter siderne:
31-46, 53-56
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 16,00 moduler
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 5: Om andengradsligningen

Matematikhistorisk: Arbejde med tekst af al-Khwarizmi fra begyndelsen af 800-tallet. Fokus på at omdanne tekst til nutidigt matematisk symbolsprog.

Faktorisering af et andengradspolynomium (inkl. bevis)
Faktorisering til ligningsløsning og reduktionsopgaver

Kompendiet "Funktioner og ligninger" af Thomas Heide-Jørgensen er anvendt i forløbet. Det omfatter siderne: 88-89
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 6: Kryptologi

Optakt til studietur.

Begreber: Kryptologi, klartekst, kryptotekst, kryptering, dekryptering, kryptosystem, kryptoanalyse

Monoalfabetiske kryptosystemer: additivt og ikke-additivt.
Permutationer, statistisk analyse, bogstavfrekvensfordeling, bogstavklasser, bigrammer og trigrammer.

Polyalfabetiske kryptosystemer. Algoritme. Vigeneretabellen, nøgle.

Vi så filmen the Imitation Game med fokus på at genkende objekter, problemer og løsninger fra vores forløb om kryptosystemer.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 7: Funktionsteori II

Stykkevist definerede funktioner. Gaffelforskrift. Grafer for stykkevist definerede funktioner. Opstilling af forskrift ud fra beskrivelse. Indtegning i Nspire.

Inverse/omvendte funktioner. Ud fra forskrift og som spejling i linjen y=x.

Parallelforskydning af grafer. Forskydning i x-aksens retning, forskydning i y-aksens retning.

Trigonometriske funktioner. Radianer, enhedscirklen. Omskrivning af trigonometriske funktioner.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Studietur

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 8: Differentialregning I

Væksthastighed som tangenthældning. Differentialkvotient.
Regneregler for differentialkvotienter (uden bevis), herunder sumregel, "konstant gange en funktion", produktreglen og kædereglen. Differentiation af simple funktioner.

Tangentens ligning, røringspunkt,

Monotoniforhold og optimering.

Optimeringsprojekt.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 9: SRO

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 13 11: Integralregning I

Stamfunktion og integrationsprøve
Det ubestemte integral og integration af basisfunktioner. Stamfunktion gennem et punkt.
Regneregler for det ubestemte integral; sum, differens, "konstant gange en funktion" og integration ved substitution.

Det bestemte integral, integrationsgrænser og bestemmelse af disse.
Regneregler for det bestemte integral; sum, differens, "konstant gange en funktion", og integration ved substitution.
Løst: sammenhæng mellem integral og areal.

Arealet mellem grafer, rumfang af omdrejningslegemer, kurvelængdebestemmelse.

Beviser:
Forskellen på to stamfunktioner til f er en konstant (gennemgået af LT)
Volumen af kegle og/eller kugle i grupper og som aflevering.

Materiale:
I noten "Integralregning" af Thomas Heide-Jørgensen
side 3-8, 15-17, 22-38 (dvs. emnerne "Partiel integration" og "Integralregningens hovedsætning" er sprunget over).
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14 12: Differentialregning II

Sekanthældning og tangenthældning. Differenskvotient og differentialkvotient. Grænseværdier, kontinuitet og differentiabilitet.

Tretrinsreglen for simple funktioner: kvadratfunktionen, omvendt proportionalitet, kubikfunktionen og kvadratrodsfunktionen.

Tretrinsreglen for sum af funktioner, differens af funktioner, "konstant gange en funktion" og produkt af funktioner.

Differentiation af den naturlige eksponentialfunktion
Differentiation af den naturlige logaritmefunktion (valgfri)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 16 14: Sandsynlighedsregning og statistik I

Vi har kort arbejdet med stx A-forberedelsesmaterialet "Binomialfordeling" fra 2017. Da de skriftlige eksamener startede op samtidig med forløbet, er det et meget blandet udbytte fra forløbet.

Vi fortsætter forløbet efter sommerferien.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17 15: Sandsynlighedsregning og statistik II

Introduktion til binomialfordelingen som et eksempel på en diskret sandsynlighedsfordeling, herunder binomialsandsynligheder, kumulerede sandsynligheder, middelværdi og spredning.
Redegørelse for formlen for binomialsandsynligheder.

Grundlæggende om anvendt statistik.
Hypotesetest, dobbeltsidet og ensidet binomialtest.
Statistisk usikkerhed og 95%-konfidensinterval for en andel/sandsynlighedsparameter.

Introduktion til normalfordelingen (herunder standardnormalfordelingen) som eksempel på en kontinuert sandsynlighedsfordeling, herunder tæthedsfunktion og fordelingsfunktion samt normalfordelingens egenskaber.
Begreberne normale udfald og exceptionelle udfald.
Transformation mellem normalfordeling og standardnormalfordeling.

Lineær regression som statistisk metode: residualer, residualplot, residualspredning, undersøge om residualerne er normalfordelte, bestemme konfidensinterval for hældningskoefficienten. Undersøge om data er normalfordelt.
Bevise udvalgte egenskaber for normalfordelingen (mundtlig træning).

Læsestof:
"Sandsynlighed og statistik" af Thomas Heide-Jørgensen, følgende sider:
5-13, 18-20, 22-23, 27-32, 35, 41-54, 59-65, 68-74, 81-82, 87-94, 106-120
samt arbejdsark udleveret digitalt og printet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 18 16: Differentialligninger

Genkende en differentialligning.
Undersøge om en funktion er løsning til en differentialligning.
Skelne mellem generel løsning, en løsning til differentialligningen og en partikulær løsning. Begyndelsesværdiproblem. Analytisk løsning af differentialligninger, herunder separation af de variable.

Bestemme hældning af og ligning for tangenten til en løsningskurve for differentialligningen i et punkt. Linjeelementer og hældningsfelter.

Differentialligninger i Nspire. Desolve-kommandoen og hældningsfelter. Numerisk løsning og valg af Eulers metode eller Runge-Kutta som en knap i programmet.

Opstille simple differentialligninger ud fra en sproglig formulering.

Læsestof:
Kompendiet "Differentialligninger" af Thomas Heide-Jørgensen, følgende sider:
4-9, 13-15, 18-22, 28-29
samt diverse arbejdsark der er udleveret i forløbet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 19 17: Vektorfunktioner

Forløbet startes op med udgangspunkt i linjens- og cirklens parameterfremstilling som eksempler på kendte vektorfunktioner. Herefter arbejdes med forberedelsesmaterialet med det formål at træne denne arbejdsform inden terminsprøven.

Begreber fra dette forløb:
Vektorfunktioner og parameterkurve, koordinatfunktion, banekurve, parameterkurvens retning, positiv omløbsretning, skæringer med koordinatakser, dobbeltpunkter, punkter og stedvektorer til punkter, differentiable vektorfunktioner, tangentvektorer til banekurven, lodrette og vandrette tangentvektorer, hastighedsvektoren, fart, accelerationsvektoren, længden af en parameterkurve i et interval, areal af afgrænset område, krumning, dobbeltafledede mht. parameteren t.

I dette forløb har vi fokuseret på selvstændig strukturering af tid, faglig fordybelse, individuelt arbejde og mestring af Nspire-kommandoerne tilknyttet materialet.

Læsestof: Forberedelsesmaterialet, stx A, 2019.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 10,5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 20 18: Funktioner af to variable

Dette forløb er terminprøvens forberedelsesmateriale. I dette arbejde med forberedelsesmaterialet var arbejdsgangen struktureret af underviseren, således det var skitseret for eleverne hvor langt de skulle være nået hvert modul for at nå igennem forberedelsesmaterialet indenfor tidsrammen.
Udover arbejdet med forberedelsesmaterialet har der været indlagt opvarmningsopgaver, der har trænet elevernes færdigheder fra forberedelsesmaterialet uden hjælpemidler, da forberedelsesmaterialet udelukkende fokuserer på arbejdet med hjælpemidler.

Begreber fra dette forløb:
Funktioner af en variabel samt lodret og vandret snit som udgangspunkt for funktioner af to variable, snitkurver og niveaukurver.
Grafen for en funktion af to variable, punkter på grafer til funktioner af to variable.
Partiel differentiation, gradient samt fortolkning heraf.
Tangentplaner (uden krydsprodukt og uden bevis), ekstrema for en funktion af to variable, arten af ekstremumspunkterne, stationære punkter samt arten af de stationære punkter.

Læsestof:
Forberedelsesmaterialet "Funktioner af to variable", stx A, 2013
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 21 19: Blandet

I denne periode - klemt inde af terminsprøver og vinterferie - har der været nogle blandede aktiviteter i kategorien "kunsten at opfylde en læreplan".

Eleverne har derfor arbejdet med annuitetsopsparing og annuitetslån, herunder har de også bevist annuitetsformlen vha. rækkesummer.

Vi har udvidet de trigonometriske funktioner med den harmoniske svingning, herunder definitions- og værdimængden for den harmoniske svingning. Arbejdet foregik delvist gennem en GeoGebra animation med skydere. Begreber: amplitude, vinkelfrekvens, periode, faseforskydning, periodicitet, radianer.

Også repetition af integration ved substitution...
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 22 20: Logistisk vækst og Verhulst

Dette forløb er en særskilt undersøgelse af den logistiske vækst.

Der er arbejdet med centrale egenskaber for den logistiske vækst: maksimal vækst, asymptotisk adfærd, bæreevne, eksponentiel vækst for små x.

Verhulst' originale - men oversatte - artikel er læst, og udvalgte dele af artiklen er efterprøvet. I forlængelse heraf blev det historiske perspektiv knyttet til gennem videoen med Henrik Kragh Sørensen i linket: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/10danskematematikere/index.html

I den sammenhæng er det vist at Verhulst' udtryk for logistisk vækst kan omskrives til udtrykket i formelsamlingen vha. andre konstanter. Det er også bevist at den logistiske vækst (fra formelsamlingen) løser den logistiske ligning. Dog er entydigheden ikke bevist.

Læsestof:
Nspire-dokument "Intro til logistisk vækst" samt arbejdsark, "Arbejdsark til Verhulst" nummer 1 og 2 og "hjælpeark til at vise den logistiske vækst er løsnings til den logistiske ligning" samt dokumentet "Verhulst kilden" der er den oversatte original-artikel af Verhulst.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 23 21: Forberedelsesmateriale

Betingede sandsynligheder og Bayes' sætning.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 24 22: Mundtlighed

Dette forløb om/i den matematiske mundtlighed og bevisførelse er tredelt:

Spiraler: I en udvidelse af forløbet "Vektorfunktioner" har vi undersøgt og bevist egenskaberne for Archimedes spiral og den logaritmiske spiral.

Differentialligninger: Vi har vist entydighed og eksistens af løsningerne til den eksponentielle vækst og den forskudte eksponentielle vækst.


Mindste kvadraters metode: Der anvendes forståelse og begreber fra forløbet "Funktioner af to variable" til at udlede dele af beviset for lineær regression vha. mindste kvadraters metode på residualerne. Beviset for hældningskoefficientens udtryk er bearbejdet af enkelte elever og skitseret for andre. Beviset for skæringen med y-aksen er gennemgået af alle.

Læsestof: Arbejdsark udleveret digitalt og som print.
Samt "Differentialligninger" af Thomas Heide-Jørgensen, side 30-34.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer