Holdet 2022 MA/b - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2022/23 - 2024/25
Institution Virum Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Niels Nørskov Laursen
Hold 2022 MA/b (1b MA, 2b MA, 3b MA)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Introforløb
Titel 2 Geometri og trigonometri
Titel 3 Analytisk geometri
Titel 4 Procent- og rentesregning
Titel 5 Funktioner
Titel 6 Differentialregning
Titel 7 Historisk matematik
Titel 8 Differentialligninger
Titel 9 Trigonometriske funktioner
Titel 10 Differensligninger & numerisk løsning af ligninger
Titel 11 Vektorregning
Titel 12 Vektorfunktioner
Titel 13 Integralregning
Titel 14 Funktioner af to variable og rumgeometri
Titel 15 Sandsynlighedsregning og statistik

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Introforløb

* Ligninger
* Kvadratsætninger
* Kvadratkomplettering
* Potenser og rødder
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 2 Geometri og trigonometri

STIKORD:
* Grundlæggende geometri, f.eks. vinkelsum, Pythagoras, osv.
* Beregninger i retvinklede trekanter
* Appelsinformlen
* Sinusrelationerne
* Cosinusrelationerne
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 3 Analytisk geometri

STIKORD:
* Afstand fra punkt til punkt
* Cirklens ligning
* Linjens ligning
* Skæring mellem linje og cirkel
* Afstand fra punkt til linje
* Ortogonale linjer
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 Procent- og rentesregning

STIKORD:
* Renteformlen
* Opsparingsannuitet
* Gældsannuitet
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 5 Funktioner

GRUNDBEGREBER
* Definitionsmængde, værdimængde, forskrift, graf, asymptoter, osv.
* Omvendt funktion
* Lineære funktioner
* Stykkevis lineære funktioner
* Polynomier

ANDENGRADSPOLYNOMIER
* Grafens udseende
* Toppunkt
* Faktorisering
* Regression

EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
* Fremskrivningsfaktor og vækstrate
* Grafens udseende
* Topunktsformlen for eksponentielle funktioner
* Vækstegenskaber
* Regression


POTENSFUNKTONER
* Grafens udseende
* Topunktsformel for potensfunktioner
* Vækstegenskaber
* Regression


LOGARITMER
* Definition af log og ln
* Grafens udseende
* Logaritmeregneregler
* Løsning af ligninger ved hjælp af logaritmer
* Fordoblings- og halverings-konstant

Desuden har vi lavet større projektarbejde om modeller for udviklingen af verdens befolkningstal.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 18 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 6 Differentialregning

De centrale dele af teorien er behandlet grundigt med fokus på beviser og argumentation, men enkelte dele af teorien er kun behandlet overfladisk, se nedenstående bemærkninger.


BEMÆRKNINGER:
- Der er ikke arbejdet med løsning af uligheder "ved håndkraft".
(dog har vi brugt, at man vender ulighedstegnet, når der ganges med et negativt tal på begge sider)
- Der er ikke arbejdet med kvotientreglen - her er der brugt CAS.
- Definitionen af stationært punkt 4.1.1 (side 69) bruges ikke, da denne formulering reserveres til funktioner af to variable.



FORARBJDE TIL DIFFERENTIALREGNING:
* Regning med funktioner: Sum, differens, produkt og kvotient
* Sammensat funktion
* Lodret og vandret parallelforskydning
* Fortegnsskema
* Grænseværdi
* Kontinuitet

DIFFERENTIALREGNING: DIFFERENTIALKVOTIENT OG REGNEREGLER
* Definition af differentialkvotient
* Definition af differentiabel funktion
* Tangent og sekant
* Differentiabilitet af simple funktioner
* Differentiation af produkt, sum, differens og konstant gange f
* Kædereglen: Differentiation af sammensat funktion
* Differentiation af omvendt funktion

MONOTONI, EKSTREMA OG OPTIMERING
* Monotoniforhold
* Vandret vandetangent
* Ekstrema, maksimum, minimum, lokalt maksimum, lokalt minimum
* Differentiabilitet fra højre og fra venstre
* Grænseovergange med plus/minus uendelig
* Middelvæksthastighed og øjeblikkelig væksthastighed
* Krumningsforhold: Brug af f '' og konveks samt konkav funktion
* Optimering
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 34 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 7 Historisk matematik


Årgangsfagdag (4 moduler) om historisk matematik.
Materialet  "Talsystemer, algoritmer og regning med tal" af Grete Ridder Ebbesen (2023) side 1-26 er anvendt samt BBC dokumentaren "The Story of Maths1 The Language of the Universe".

* Ægypterne
* Babylonerne
* Arabertallene og titalsystemet
* Divisionsalgoritmen
* De binære tal
* De oktale tal
* De hexagesimale tal
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 1 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 8 Differentialligninger

STIKORD:
* Opstilling af differentialligninger
* Fuldstændig løsning og partikulær løsning
* Retningsfelter
* Løsning ved integration               y' = g(x)
* Lineær 1. ordens differentialligning og panserformlen
* Eksponentiel vækst                     y' = k y
* Forskudt eksponentiel vækst      y' = b - ay
   (lineært aftagende væksthastighed som funktion af y)
* Separation af de variable            y' = h(x) g(y)
* Den logistiske differentialligning  y' = (b - ay) y   og  y' = ay (M - y)

Det skal bemærkes, at de tre beviser: Eksponentiel vækst, forskudt eksponentiel vækst og logistisk vækst har vi lavet på to forskellige måder. For det første har vi gennemgået beviserne fra Lærebog i Matematik A3STX, og for det andet har vi gennemgået beviserne fra Gyldendals Gymnasiematematik A3 (hvor man bruger "hjælpefunktioner").

Desuden har vi lavet et større projektarbejde om modeller for udviklingen af verdens befolkningstal ved hjælp af henholdsvis eksponentiel, forskudt eksponentiel og logistisk vækst.

Vi har læst:
Brydensholt & Ebbesen: Lærebog i matematik A3 STX, Systime; sider: 45-72

Men vi har også suppleret med nogle sider fra Gyldendals Gymnasiematematik:
Clausen Schomacker Tolnø 2019 Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A3; sider: 21, 27-28, 35, 40-45, 182-186
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 25 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 9 Trigonometriske funktioner


Forløbet har fokus på anvendelser og regneteknik, og der er ikke brugt tid på beviser.

STIKORD:
* Enhedscirklen, retningspunkter og radiantal
* Definition af cosinus og sinus
* Den trigonometriske grundrelation
* Overgangsformler
* Definition af periodisk funktion
* Sinusfunktionen, cosinusfunktionen og tangensfunktionen
* Løsning af ligninger på formen sin(x) = a
* Harmoniske svingninger
* Amplitude, periode (svingningstid)
* Lodrette og vandrette parallelforskydninger
* Differentiation af sin, cos og tan
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 10 Differensligninger & numerisk løsning af ligninger

Et lille forløb, hvor der er lagt vægt på at binde emnet "differensligninger" sammen med emner fra den øvrige undervisning: Renter og annuitet samt numerisk løsning af ligninger.

* 1. ordens lineære differensligninger
* Newton-Raphsons metode og numerisk løsning af ligninger

Vi har læst:
Forberedelsesmateriale STX A 2020; sider: 3-12, 20-23
Indhold


Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 11 Vektorregning

Det skal bemærkes, at i undervisningen er vektorer fra starten af defineret ved hjælp af koordinater, og i alle de beviser, som er gennemgået, er der regnet med koordinater. Der er altså ingen "rene geometriske beviser".

Forløbet har flere dele:

INDLEDENDE VEKTORREGNING
* Vektors koordinater
* Retningsvinkel
* Sum og differens
* Tal gange vektor
* Vektors længde
* Vektor fra punkt til punkt
* Indskudsreglen (uden bevis)

SKALARPRODUKT OG DETERMINANT
* Skalarprodukt og regneregler
* Vinkel mellem vektorer
* Skalarprodukt og ortogonale vektorer
* Tværvektor og determinant
* Determinant og areal af parallelogram

PROJEKTION OG LINJER
* Projektion af vektor på vektor
* Linjens parameterfremstilling
* Linjens ligning ud fra punkt og normalvektor
* Ortogonale linjer og produkt af hældningskoefficienter
* Afstand fra punkt til linje

CIRKLER OG LINJER
* Cirklens ligning
* Skæring mellem linjer
* Skæring mellem cirkel og linje

Vi har læst:
Brydensholt, Morten & Ridder Ebbesen, Grete: Lærebog i matematik A2 STX, Systime; sider: 217-267
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 18 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 12 Vektorfunktioner

Et forløb med fokus på opgaveregning. En undtagelse er beviset i forbindelse med jævn cirkelbevægelse.

STIKORD:
* Definition af vektorfunktion
* Koordinatfunktioner, parameter og parameterintervallet
* Graf: Banekurve (parameterkurve)
* Linjens parameterfremstilling
* Cirklens parameterfremstilling
* Differentiation af vektorfunktion
* Definition af tangent til banekurve
* Jævn cirkelbevægelse

Vi har læst:

Brydensholt, Morten & Ridder Ebbesen, Grete: Lærebog i matematik A2 STX, Systime; sider: 269-284

Laursen N N 2025 Jævn cirkelbevægelse vektorfunktioner.pdf
(her kan man finde teori om jævn cirkelbevægelse)
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 13 Integralregning


STIKORD:
* Stamfunktion
* Ubestemte integraler
* Integration ved substitution
* Bestemte integraler
* Arealberegning
* Volumen af omdrejningslegemer
* Kurvelængde
* Uegentlige integraler
* Partiel integration er kort gennemgået i forbindelse med eksponentialfordelingen

Det skal nævnes, at vi ikke har bevist formlen for volumen af omdrejningslegemer og at vi har argumenteret for, hvordan man kan komme frem til formlen for kurvelængde (ikke et formelt bevis). Vi har også ved hjælp af formlen for volumen af omdrejningslegeme bevist formlerne for volumen af cylinder, kegle og kugle.

Vi har læst:
Hansen, Christian H. (2024) Integralregning; sider: 1-31

Brydensholt & Ebbesen: Lærebog i matematik A3 STX, Systime; sider: 42-44
(om uegentlige integraler)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 19 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 14 Funktioner af to variable og rumgeometri

Fokus er i den første del (om funktioner af to variable) på anvendelse af teorien samt 3D-grafer og ikke på beviser. Fokus i den anden del (om rumgeometri) er på at få en bedre forståelse af 3D-grafer, at generalisere vektorbegreber fra 2D til 3D og lave nogle beviser.

FUNKTIONER AF TO VARIABLE
* Definitionsmængde og værdimængde
* 3D-graf
* Snitfunktioner og snitkurver
* Niveaukurver
* Partielle afledede
* Gradient
* Ekstrema, stationære punkter og deres art

RUMGEOMETRI
* Vektorer i 3 dimensioner (koordinater, skalarprodukt, længde, osv)
* Planens ligning ud fra punkt og normalvektor
* Ligning for tangentplan
* Afstand fra punkt til plan

Vi har læst:
Brydensholt & Ebbesen: Lærebog i matematik A3 STX, Systime; sider: 99-132

Ebbesen G og Brydensholt M 2011 DEN GAMLE Lærebog i matematik 3; sider: 129-141, 163-165, 167-169  (om rumgeometri)

Clausen Schomacker Tolnø 2019 Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A3; sider: 100-102, 114-116  (om rumgeometri)
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 15 Sandsynlighedsregning og statistik

Forløbet har flere dele: kombinatorik, sandsynlighedsregning, kontinuerte fordelinger, lineær regression og statistik. Bemærk, at vi ud over normalfordelingen også har arbejdet med eksponentialfordelingen for at repetere grundbegreberne om kontinuerte fordelinger på en måde, som kan "regnes i hånden".

DESKRIPTIV STATISTIK
* Ugrupperede observationssæt: Hyppigheder, frekvenser, middeltal, kvartiler, boksplot
* Grupperede observationssæt: Kumulerede frekvenser, sumkurve

KOMBINATORIK OG SANDSYNLIGHEDSREGNING
* Mængdelære: Fællesmængde, foreningsmængde
* Permutationer og fakultet (!)
* Kombinationer og binomialkoefficienter
* Udfaldsrum og hændelser
* Sandsynlighedsfunktion
* Stokastisk variabel
* Middelværdi og varians
* Bernouilli-forsøg
* Binomialfordelingen: Binomialformlen, middelværdi og spredning
* Binomialtest (tosidet)
* Konfidensinterval for andel
* Usikkerhed og meningsmålinger

FORBEREDELSESMATERIALET OM BETINGET SANDSYNLIGHED
* Betinget sandsynlighed
* Loven om total sandsynlighed
* Bayes´ sætning


KONTINUERTE FORDELINGER
* Tæthedsfunktioner og fordelingsfunktioner for kontinuerte fordelinger

   Normalfordelingen
* Tæthedsfunktioner og fordelingsfunktioner for normalfordelingen
* Middelværdi og spredning, samt graf for tæthedsfunktion
* Beregning af sandsynligheder ved hjælp af integralregning
* Standardnormalfordelingen og transformation til standardnormalfordelingen
* Fraktiler, fraktilfunktion og fraktilplot

   Eksponentialfordelingen
* Bevis for fordelingsfunktionens forskrift
* Bevis for formel for middelværdi
* Bevis for formel for median


LINEÆR REGRESSION
* Lineær regression: Den bedste lineære model
* Residualer, kvadratsum og mindste kvadraters metode
* Residualspredning
* Fraktilplot af residualer
* Konfidensinterval for hældning

Bemærk, at beviset for sætningen om hvordan a og b bestemmes ud fra et datasæt ved lineær regression ikke er gennemgået, men idéen i beviset er gennemgået ved at tage udgangspunkt i et datasæt bestående af tre punkter og derefter opstille kvadratsummen som funktion af a og b i dette eksempel. Partiel differentiation og bestemmelse af det stationære punkt samt dets art giver til sidst a og b således, at kvadratsummen er minimal.

Vi har læst:
Brydensholt, Morten & Ridder Ebbesen, Grete: Lærebog i matematik A1 STX, Systime; sider: 227-245 (om deskriptiv statistik)

Brydensholt, Morten & Ridder Ebbesen, Grete: Lærebog i matematik A2 STX, Systime; sider: 149-215 (om kombinatorik og sandsynlighedsregning)

Brydensholt & Ebbesen: Lærebog i matematik A3 STX, Systime; sider: 42-44, 133-142, 146-156  (kontinuerte fordelinger generelt, normalfordelingen)

Auerbach, M. (2021): Statistik; sider: 27-35 (pdf-fil om lineær regression)
 
Christian Holst Hansen (2024): Eksponentialfordelingen; sider: 1-3

Forberedelsesmateriale til stx-A MATEMATIK 2024-2025 side 1-21
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 33,5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer