Holdet 3a MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2025/26
Institution Virum Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Signe Kvist Mengel
Hold 2023 MA/a (1a MA, 2a MA, 3a MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Mere algebra
Titel 2 Geometri og vektorregning del 1
Titel 3 Geometri og vektorregning - del 2
Titel 4 Procentregning og den eksponentielle funktion
Titel 5 Tre modelfunktioner - og logaritmerne
Titel 6 Forløbet 3xP
Titel 7 Differentialregning 1
Titel 8 Differentialregning 2
Titel 9 Trigonometriske funktioner og harmonisk svingning
Titel 10 Stykkevise funktioner og regressioner
Titel 11 Vektorregnigg og analytisk geometri
Titel 12 Studietur til Barcelona
Titel 13 Deskriptiv statistik og sandsynlighed
Titel 14 Integralregning
Titel 15 Differentialligninger
Titel 16 Funktioner af to variable
Titel 17 Vektorfunktioner
Titel 18 Normalfordelingen
Titel 19 Årets emne: Polære funktioner
Titel 20 Opsamling og repetition

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Mere algebra

Vi bygger videre på viden fra Grundforløbet.

Hovedmålet er at lære at isolere variable i diverse formler, hvilket både er nyttigt i matematik og i studieretningens naturvidenskabelige fag.

Vi arbejder desuden med kvadratsætningerne, hvor både 1. og 2. kvadratsætning er kendte fra 1g, med brøkregning, med 0-reglen og endeligt lærer vi, hvordan man kan bruge matematikprogrammet Maple til omskrivning af udtryk, løsning af ligninger og isolering i formler.

Endeligt arbejdede vi med notation for talmængder: Intervalnotation for sammenhængende dele af tallien samt listeformen. Endeligt berørte vi regnin med mængder via fællesmængde og foreningsmængde
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
  • Faglige - Algebra
Væsentligste arbejdsformer
  • Individuelt arbejde
  • Lærerstyret undervisning
  • Pararbejde

Titel 2 Geometri og vektorregning del 1

Dette er det første af i alt tre delforløb:


I forløbet arbejdede vi med:
• Grundlæggende begreber og notation i geometri
• Ensvinklede trekanter
• Definition af sin, cos og tan til en vinkel
• Forbindelse mellem sider og vinkler i retvinklede trekanter (Pythagoras, vinkelsummen og soh-cah-toa),

Bevis for Pythagoras sætning og Soh-Cah-Toa ved brug af ensvinklede trekanter.
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Geometri og vektorregning - del 2

Dette er anden del af forløbet "Geometri og vektorregning"

I forløbet arbejder vi  med:
*Vektorbegrebet. (En vektor er fastlagt ved størrelse og retning, ikke udgangspunkt)
* Repræsentant for en vektor
* Geometrisk definition af sum, differens og "gange med tal"

Vektorer i koordinatsystemet og forbindelse til punkter i koordinatsystemet:
* Forbindelsesvektor
* Stedvektor til punkt
* Definition af vektors koordinater
* Numerisk værdi
* Vektors længde ud fra koordinater og punkt-punkt afstandsformlen
* Enhedsvektor og enhedsvektors koordinater
* Vektors koordinater ud fra retningsvinkel og længde


Skalarproduktet:
*Definition ud fra koordinater
* Sætning om vinkel mellem vektorer inkl. bevis
* Sætning om betingelse for ortogonale vektorer inkl. bevis.
* Projektion af vektor på vektor - vi arbejdede med begrebet og sætningen, men udskød beviset til .g
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Mataflevering nr. 3 i 1a (Lille test 1) 13-12-2023
Mataflevering nr. 4 i 1a 01-02-2024
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13,5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Procentregning og den eksponentielle funktion

Vi lagde ud med grundlæggende procentregning med særligt fokus på fremskrivningsfaktor: at lægge p% af et tal til tallet svarer til at gange tallet med (1+r)=(1+p%). Vi inddrog desuden begreberne absolut tilvækst og relativ tilvækst.

Med udgangspunkt i filmen
"Matematikken bag Pensionssystemerne hos PFA og Edlund", del 1, <https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/virksomhederiundervisningen/PFA_film.html> , argumenterede vi for renteformlen (kapitalfremskrivningsformlen) og arbejdede med annuitetsopsparing og annuitetslån. Vi inddrog desuden begrebet gennemsnitlig rente.

For også at kunne tillægge betydning til renteformlen, når n ikke er et naturligt tal, arbejdede vi med det udvidede potensbegreb og potensregnereglerne.

Herefter tog vi fat på funktionsbegrebet, hvor vi lagde vægt på funktionsnotationen og oversættelse mellem repræsentationsformerne graf, regneforskrift og alm. sprog. Forløbet blev afsluttet ved, at eleverne selv opstillede en regneforskrift for en eksponentiel funktion ud fra en sproglig beskrivelse.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Mataflevering nr. 5 i 1a 26-02-2024
Mataflevering nr. 6 i 1a 12-03-2024
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 10,5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Tre modelfunktioner - og logaritmerne

I forløbet arbejdede vi med regneforskrift, graf og vækstegenskaber for den eksponentielle, den lineære og den potensielle funktion. Til tegning af grafer "i hånden" og dermed en første forståelse af grafens forløb og funktionens monotoniforhold , anvendte vi "sildebensmetoden". Vi arbejdede desuden med bevis med to-punktsformlerne for de tre førstnævnte funktioner, ligesom vi beviste en del sætninger om vækstegenskaber inkl. sætningen om den eksponentielle funktions fordoblings/halveringskonstant.

For at kunne indføre logaritmefunktionerne og dermed kunne løse de eksponentielle ligninger analytisk, arbejdede vi med begrebet "omvendt funktion", og den naturlige logaritmefunktion, ln blev indført som den omvendte funktion til den naturlige eksponentialfunktion, mens 10-tals logaritmen blev indført som den omvendte funktion til 10^x. Regnereglen log(a^x)=x*log(a) blev bevist.

Der blev desuden arbejdet med, hvordan Maple kan bruges ved løsning af opgaver med funktionsnotation.
Indhold
Kernestof:

Skriftligt arbejde:
Titel Afleveringsdato
Mataflevering nr. 8 i 1a 08-04-2024
Mataflevering nr. 9 i 1a 22-04-2024
Mataflevering nr. 10 i 1a (Lille test 3) 02-05-2024
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Forløbet 3xP

I forløbet 3xP arbejder vi med Parallelforskydning, Parabler og Polynomier.

Vi lægger ud med sætningerne om, hvordan punkters koordinater og regneforskriften for en funktion ændres ved en parallelforskydning.

Herefter ser vi på andengradspolynomiets graf og viser, at alle andengradspolynomiers grafer er parallelforskydninger af særligt simple andengradspolynomiers grafer. Herved beviser vi også toppunktsformlen.

Vi arbejder med andengradspolynomiets rødder og faktorisering.

Endeligt ser vi på polynomier. Forløbet evalueres i en minitest.

Sætningen om ændring af regneforskrift ved parallelforskydning får vi igen brug for i forløbet om "Svingninger"
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Differentialregning 1

Som introduktion til differentialregningens begreber (gennemsnitshastighed/sekanthældning" og øjeblikshastighed/tangenthældning) arbejdes med grafer, der angiver henholdsvis højden over jorden ved køretur i London Eye og antallet af bakterier som funktion af tiden.

Der arbejdes induktivt med at finde forskrifter for tangenthældning for potensfunktioner, mens nogle af disse udtryk bevises i det efterfølgende "del 2" forløb, ligesom nogle af regnereglerne for differentialkvotienter først findes induktivt i "del 1" forløbet og efterfølgende bevises i "del 2" forløbet.   

Differentialregningen er anvendt til at bevise sætninger om betydningen af konstanterne i andengradspolynomiet for parablens placering.

Forløbet evalueres undervejs ved små prøver, og afsluttes ved et lille projekt i optimering.

Delmål:
Skal kunne ”uden hjælpemidler”
* Vide at ”Differentialkvotienten er tangentens hældning”, og hermed kunne bestemme differentialkvotienten via indtegning af tangent. Og vide at differentialkvotient er øjeblikshastigheden, når den uafhængige variabel er tiden.
*Kunne fortolke differentialkvotient (husk: Enheden er altid ”y-enhed”/”x-enhed”
*Kunne finde formeludtryk for differentialkvotient - man skal kunne differentiere følgende funktioner x^n,√x,e^x,1/x, ln(x), x, 1, e^(k*x)  -  og desuden kunne bruge regnereglerne (koefficienter bliver stående ved differentiation, man differentierer hvert led for sig, produktreglen, reglen for differentiation af sammensat funktion
* Kunne finde tangentens ligning ud fra funktionens forskrift - både tilfældet, hvor man kender røringspunktets x-koordinat og tilfældet, hvor man kender tangentens hældning.
* Kunne finde monotoniforhold (løse ligning f' (x)=0, opstille monotonilinje, skrive monotoniforholdene korrekt op)
* Kunne gennemføre optimering - både i det heldige tilfælde, hvor man har givet en forskrift med kun én uafhængig variabel for den variabel, de skal ”optimeres” - og i det vanskeligere tilfælde, hvor man selv først skal opstille forskriften. (I det heldige tilfælde: Start med at løse f' (x)=0…)


Skal kunne ”med hjælpemidler”:
Alt ovenstående, og desuden skal man kunne:
* Bruge CAS til at differentiere og til at bestemme tangentligninger
* Bestemme monotoniforhold med brug af CAS
* Kunne gennemføre optimering - både i det heldige tilfælde, hvor man har givet en forskrift med kun én uafhængig variabel for den variabel, de skal ”optimeres” - og i det vanskeligere tilfælde, hvor man selv først skal opstille forskriften. (I det heldige tilfælde: Start med at løse f' (x)=0…)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 23 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Differentialregning 2

I dette forløb arbejder vi med beviser i differentialregningen.

Vi lægger ud med en kvalitativ indførsel af grænseværdi af en funktion. Dette begreb bruges til at definere kontinuitet af en funktion i et tal samt differentiabilitet af en funktion i et tal.

Vi beviser sætningerne om differentialkvotient af nogle simple funktioner og sætningerne om regneregler for differentiation (konstant gange funktion, sum, differens, produkt),

Der arbejdes i en stor del af tiden i pargrupper ved Whiteboards.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Trigonometriske funktioner og harmonisk svingning

Forløb, der lagde op til SRO-opgaven "Den harmoniske svingning"

I dette forløb opnår vi fortrolighed med en ny type modelfunktion, den såkaldte trigonometrisk funktioner, som kan bruges til at beskrive periodiske fænomener, dvs. fænomener, som gentager sig selv. Det kan fx være tidevand, et penduls svingning eller vekselstrøm.

Forløbet introduceres via videoen  ”Sines and cosines part I (periodic functions)” fra Project Matematics.
Vi udnytter i forløbet GeoGebra til visualisering.
Vi beviser sætningerne om den geometriske betydning af konstanterne i den harmoniske svingning  f(x)=a*sin(bx+c)+d.
Vi beviser desuden sætningen om differentiabilitet af en sammensat funktion, hvor den indre funktion er lineær.

Stikord til indhold: Definition af radiantal/vinkelmål i radian og retningspunkter, graf for sin, cos og tan, graf for harmoniske funktioner på formen f(x)=a*sin(bx+c)+d og konstanternes betydning for grafens forløb, løsning af ligninger med trigonometriske funktioner, differentiation af sin, cos og tan.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Stykkevise funktioner og regressioner

Hovedelementerne i forløbet er:

• Stykkevise funktioner - når samme regneforskrift ikke skal bruges for alle værdier af den uafhængige variabel
• Regression - metode til at komme fra data til model.
* "Håndberegning af konstanterne i den lineære model ved brug af optimering (minimering af kvadratsummen i et simpelt tilfælde med få punkter)
* Anvendelse af CAS (Maple) til lineær regression
* Bestemmelse af forskrift for eksponentiel funktion ved linearisering og lineær regression.
* Anvendelse af CAS (Maple) til eksponentiel, potensiel og polynomiel regression.

Stikord: Regneforskrift med tuborg/gaffelsforskrift, lineær regression og residualplot, eksponentiel regression,potensiel regression, brug af Maple til opgaveløsning
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Vektorregnigg og analytisk geometri

Vi fortsatte arbejdet med den grundlæggende vektorregning fra 1.g og anvendte derefter vektorregningen i den analytiske geometri.

En del af den grundlæggende analytiske geometri blev behandlet via gruppearbejde ud fra arbejdsark.

I forløbet er der desuden arbejdet med betydningen af den matematiske implikation, herunder med at formulere matematiske sætninger som implikationer og udpege præmis og konklusion. Dette er særligt gjort i beviset for linjens ligning.

Stikord til indhold:
* Projektion af vektor på vektor. (inkl.  bevis for projektionssætningen)
* Determinant og areal af parallelogram udspændt af to vektorer (inkl. bevis(
• Cirklens ligning (inkl. bevis)
• Linjens ligning  (inkl. bevis)
• Afstand fra punkt til linje - "dist"-formlen. (inkl. bevis)
• Skæringspunkter mellem linjer og cirkler.
• Tangenter til cirkler.
• Vinkler mellem linjer

• Linjens parameterfremstilling (inkl. bevis)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Studietur til Barcelona

På turen så vi på Barcelona som sted samt på elementer af Gaudís arkitektur ved brug af begreber og metoder fra matematik og fysik.

Inden afrejsen forberedte eleverne en præsentation af et udvalgt element af et af de værker, vi skulle  besøge, herunder en slide (A3) og handouts med en lille opgave.

På turen præsenterede den enkelte elev sit element for en del af de øvrige elever, ligesom den enkelte elev hjalp sine tilhørere med at løse den tilhørende opgave.

Desuden arbejdede eleverne inden turen med teori og opgaver om kædelinjer. På turen tog eleverne  billeder af diverse buer, og hjemme igen undersøgte de ved regression i Logger-Pro, om der var tale om parabler eller modificerede kædelinjer. Denne del indgik i en skriftlig opgave, Studietursopgaven.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13 Deskriptiv statistik og sandsynlighed


Deskriptiv statistik
* I forløbet arbejdede vi med at beskrive et datamateriale med deskriptorer og diagrammer, idet der både blev arbejdet med papir og blyant og programmer (Excel, Maple og GeoGebra).

*Som et eksempel på anvendelse så vi filmen om Novo fra projektet "Træk virksomheden ind i Undervisningen" "via https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/virksomhederiundervisningen/novo_film.html og vi anvendte Excel til at arbejde med et større datasæt fra Novo.

* Vi skelnede mellem ikke-grupperede data og grupperede data, idet begreberne frekvens,/ intervalfrekvens, gennemsnit og spredning fik særlig opmærksomhed. Desuden blev der arbejdet særligt med histogrammet og sumkurven.

Sandsynlighedsregning I:
Her arbejdede vi med grundlæggende begreber som endeligt sandsynlighedsfelt, hændelse og sandsynlighed for hændelse, stokastisk variabel, middelværdi og spredning af stokastisk variabel samt symmetrisk sandsynlighedsfelt.

Kombinatorik:
Vi arbejdede med de kombinatoriske principper additionsprincippet og multiplikationsprincippet, og udledte på baggrund af disse udtrykkene for antallet af r-delmængder af en n-mængde samt antallet af r-permutationer af en n-mængde.

Sandsynlighedsregning 2:
Ved brug af kunstig intelligens skrev vi Pythonkode, der kunne simulere stokastiske forsøg. På teoretisk grundlag udledte vi udtrykket for binomialfordelingens sandsynligheder. De beregnede sandsynligheder blev sammenliget med resultatet af de simulerede binomialforsøg.

Der blev arbejdet med ligesidet binomialtest, idet resultatet af simulering indgik som et eksempel.
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14 Integralregning

I dette forløb blev der arbejdet med stamfunktion/ ubestemt integral og bestemt integral samt med sætninger til arealbestemmelse, rumfangsbestemmelse samt længden af en graf. Vi beviste hovedsætningen om arealfunktionen som stamfunktion samt sætningerne om areal mellem grafer. Vi arbejde desuden med kvalitativ opstilling af udtryk med bestemte integraler via en opfattelse af dx som en "meget lille tilvækst", og integralet som en "sum af uendeligt mange led".
Som engelsksproget tekst indgår "What dx actually means" af Kenny Felder, 1996.
Der er løs side 7-36 i "Lærebog i Matematik, A# Stx af Brydensholt og Ebbesen, Systime 2019.
Desuden er der læst supplerende materiale om fortolkning af bestemt integral.
Indhold
Kernestof:

Supplerende stof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 15 Differentialligninger

Dette forløb bestod af 2 delforløb:
I første delforløb arbejdede vi med differentialligninger som begreb, herunder med linjeelementer og hældningsfelt for en differentialligning og med begrebet løsningskurve. Desuden arbejdede vi med opstilling af differentialligninger ud fra en sproglig beskrivelse, løsningsformler inkl. beviser og sammenligning af resultat af simuleringer med applet med animation af vand, der strømmer ud af en beholder.

I andet delforløb arbejdede vi under overskriften "Den første beskrivelse af logistisk vækst" med Pierre Verhulst' originale artikel i dansk oversættelse. Forløbet er evalueret med en lille test efter først delforløb.

I forløbet er der læst:
I "Lærebog i Matematik, Stx A3", Brydensholt og Ebbesen, Systime 2019 side 45-73,dog fraregnet "Separation af variable" men suppleret med andre beviser for løsningsformlerne (efter noter af Mike Auerbach)
Desuden er der læst note om Pierre Verhuls' artikel inkl. selve artiklen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 16 Funktioner af to variable

I dette forløb arbejdede vi med at etablere en fortrolighed med 3D koordinatsystemet særligt med henblik på forståelse af begreberne snitkurve, niveaukurve, partiel differentiation og stationært punkt.
I forløbet er der læst:
"Lærebog i Matematik, A3 Stx", Brydenholt og Ebbesen, Systime 2019 side 99-123 suppleret med diverse arbejdsark i brug af GeoGebra til visualisering.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17 Vektorfunktioner

Vektorfunktioner.

I forløbet arbejdede vi indledningsvist med, hvorledes parameterværdier fastlægger punkter på en banekurve. Herefter arbejdede vi med differentiation af vektorfunktion og for beskrivelse af bevægelse med hastighedsvektor og accelerationsvektor. Endeligt arbejdede vi med parameterfremstilling for en almindelig funktions graf samt med cirklens parameterfremstilling.

I forløbet er der i "Lærebog i Matematik, Stx A2", Ebbesen og Brydensholt læst side 269-280.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6,5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 18 Normalfordelingen

I forløbet er der med udgangspunkt i et større  datasæt repræsenteret med histogram og sumkurve arbejdet med beskrivelse af grupperede observationssæt med normalfordelingen. Nogle af normalfordelingens  egenskaber er desuden bevist, herunder linearisering af kumuleret frekvens ved brug af standardnormalfordelingen til undersøgelse af, om data kan antages udtaget af en normalfordeling.  Der er desuden ved brug af simulering i Maple arbejdet med konfidensinterval for hældningskoefficient, og via eksperimenter med skrabelodder med konfidensinterval for andel.

I forløbet er der læst
"Lærebog i Matematik, Stx A2", Ebbesen og Brydensholt side 197-204, 211-215.

"Lærebog i Matematik, Stx A3", Ebbesen og Brydensholt side 140-142, 146-149.

Supplerende tekst med definitioner og beviser.
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 19 Årets emne: Polære funktioner

Selvstændigt arbejde med forberedelsesmaterialet til årets emne.
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 20 Opsamling og repetition

Vi samler op på nogle af de centrale beviser, som vi kun nåede at arbejde mere overfladisk med i årets løb. Desuden regning af eksamensopgaver som forberedelse til skriftlig studentereksamen.
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer