|
Titel
7
|
Differentialregning 1
Som introduktion til differentialregningens begreber (gennemsnitshastighed/sekanthældning" og øjeblikshastighed/tangenthældning) arbejdes med grafer, der angiver henholdsvis højden over jorden ved køretur i London Eye og antallet af bakterier som funktion af tiden.
Der arbejdes induktivt med at finde forskrifter for tangenthældning for potensfunktioner, mens nogle af disse udtryk bevises i det efterfølgende "del 2" forløb, ligesom nogle af regnereglerne for differentialkvotienter først findes induktivt i "del 1" forløbet og efterfølgende bevises i "del 2" forløbet.
Differentialregningen er anvendt til at bevise sætninger om betydningen af konstanterne i andengradspolynomiet for parablens placering.
Forløbet evalueres undervejs ved små prøver, og afsluttes ved et lille projekt i optimering.
Delmål:
Skal kunne ”uden hjælpemidler”
* Vide at ”Differentialkvotienten er tangentens hældning”, og hermed kunne bestemme differentialkvotienten via indtegning af tangent. Og vide at differentialkvotient er øjeblikshastigheden, når den uafhængige variabel er tiden.
*Kunne fortolke differentialkvotient (husk: Enheden er altid ”y-enhed”/”x-enhed”
*Kunne finde formeludtryk for differentialkvotient - man skal kunne differentiere følgende funktioner x^n,√x,e^x,1/x, ln(x), x, 1, e^(k*x) - og desuden kunne bruge regnereglerne (koefficienter bliver stående ved differentiation, man differentierer hvert led for sig, produktreglen, reglen for differentiation af sammensat funktion
* Kunne finde tangentens ligning ud fra funktionens forskrift - både tilfældet, hvor man kender røringspunktets x-koordinat og tilfældet, hvor man kender tangentens hældning.
* Kunne finde monotoniforhold (løse ligning f' (x)=0, opstille monotonilinje, skrive monotoniforholdene korrekt op)
* Kunne gennemføre optimering - både i det heldige tilfælde, hvor man har givet en forskrift med kun én uafhængig variabel for den variabel, de skal ”optimeres” - og i det vanskeligere tilfælde, hvor man selv først skal opstille forskriften. (I det heldige tilfælde: Start med at løse f' (x)=0…)
Skal kunne ”med hjælpemidler”:
Alt ovenstående, og desuden skal man kunne:
* Bruge CAS til at differentiere og til at bestemme tangentligninger
* Bestemme monotoniforhold med brug af CAS
* Kunne gennemføre optimering - både i det heldige tilfælde, hvor man har givet en forskrift med kun én uafhængig variabel for den variabel, de skal ”optimeres” - og i det vanskeligere tilfælde, hvor man selv først skal opstille forskriften. (I det heldige tilfælde: Start med at løse f' (x)=0…)
|