Holdet 3x MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse - Lectio

Holdet 3x MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Termin(er)	2023/24 - 2025/26
Institution	Det frie Gymnasium
Fag og niveau	Matematik A
Lærer(e)	Mette Liebst-Olsen
Hold	2023 MA/x (1x MA, 2x MA, 3x MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Titel 1	Lineære funktioner (grundforløb)
Titel 2	Kvadratsætninger og reduktion
Titel 3	Andengradsligninger og 2. gradspolynomiet
Titel 4	Eksponentielle funktioner
Titel 5	Regression samt vurdering af model
Titel 6	Potensfunktioner
Titel 7	Modellering med 2. gradspolynomiet
Titel 8	Deskriptiv statistik
Titel 9	Opsamling på linære
Titel 10	Differentialregning
Titel 11	Funktioner - parallelforskydning af graf
Titel 12	Sandsynlighed og statistik
Titel 13	Vektorer og geometri
Titel 14	Funktioner - logaritmefunk. (herunder omvendte)
Titel 15	Integralregning
Titel 16	Normalfordelingen med inddragelse af integraler
Titel 17	Trigonometriske funktioner (harmoniske svingning)
Titel 18	Differentialligninger
Titel 19	Vektorfunktioner
Titel 20	Funktioner af to variable
Titel 21	Polære funktioner (forberedelsesmaterialet)
Titel 22	Differens ligninger (supplerende)

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)

Titel 1	Lineære funktioner (grundforløb) Materialer: I dette forløb er der anvendt materialer delt under CC licens om de indgående emner. Øvrige materialer anvendt fremgår af de individuelle lektionsbeskrivelser i lectio. Geogebra Classic 6 har været anvendt som CAS og grafiske programmer. Platformen abacus.dk har også været anvendt til træning af samarbejde, regnefærdigheder og begrebsforståelse. Appwriter er anvendt så, at offline versionen må benyttes af ordblinde elever ved eksamen. Links: https://www.geogebra.org/classic?lang=da www.abacus.dk https://drive.google.com/drive/folders/1YWGQwlDpERaQUC2PN-IyZzyMnyfVRcX6 Formål: Formålet med forløbet er at dække de dele af lærerplanens krav til kernestof og supplerende stof, samt faglige mål og kompetencer, som er i spil ifbm arbejdet med forløbets emner. Evaluering: Eleverne får skriftlig evaluering på fysiske afleveringer Forløbet evalueres efter behov undervejs mundtligt i klassen Arbejdsformer: Individuelt arbejde, gruppe-arbejde, elev-fremlæggelser ved tavlen, tavleundervisning, egen læsning af fagligt materiale, opgaveløsning. Øvrige bemærkninger: Opstart af ny klasse Emner dækket i undervisningen (angivet i parentes, hvis det er supplerende stof): Regnearternes Hierarki Koordinatsystemet Lineære funktioner Lineær regression Lineære modeller De fire repæresentationsformer Brøkregning Bevis for to-punktsformlen for lineære funktioner Løsning af førstegradsligninger
Indhold
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2	Kvadratsætninger og reduktion - Kvadratsætninger (primært med brug fra venstre mod højre) Materialer: ibog: Madsen, B. M. et al, "plus A1 STX", Systime. Kap. 2.1.2+2.1.3 https://plusstxa1.systime.dk/?id=1215
Indhold
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3	Andengradsligninger og 2. gradspolynomiet - Simple andengradsligninger - Andengradsligninger med sammensatudtryk - Den generelle andengradsligning - At kunne løse andengradsligninger vha nulreglen og med diskriminantmetoden. - Betydning af diskrminanten (d<0,d=0,d>0). -Andengradspolynomiet og den graf. - Forståelse af koefficienternes betydning for grafens udseende. - Toppunktsformlen. - Faktorisering. Beviser gennemgået: - løsningsformel for 2. gradspolynomiet. Materialer: ibog: Madsen, B. M. et al, "plus A1 STX", Systime - kap.2.4.1 https://plusstxa1.systime.dk/?id=1238 - Kap 5 (5.5 og 5.6 er gennemgået i senere forløb) https://plusstxa1.systime.dk/?id=1218
Indhold
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 30 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4	Eksponentielle funktioner Emner: Rentesregning - kapitalfremskrivning regneforskrift og graf Intro til logaritmefunktionere Løsning af ligninger - herunder anvendelse af logaritmeregnereglen log(a^x)=x*log(a) Fordobling- og halveringskonstant Vækstegenskaber (absolut på x medfører procentvis på y) Bestemmelse af forskrift ud fra to-punkter Beviser gennemgået: - Fordoblingskonstant Materialer: ibog: Madsen, B. M. et al, "plus A1 STX", Systime -Kap. 3 https://plusstxa1.systime.dk/?id=1216
Indhold	Kernestof: Hent programmet Maple23 på din computer. I dette dokument finder du et link til download og installationsguide: Afsnit
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 25 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5	Regression samt vurdering af model Der blev arbejdet med maple. - Lineær- og eksponentiel regression - Residualer - Residualplot - Vurdering af model. Materialer: ibog: Madsen, B. M. et al, "plus A1 STX", Systime Kap. 1.8+1.9 - https://plusstxa1.systime.dk/?id=1227 Kap 4.4 - https://plusstxa1.systime.dk/?id=1283
Indhold
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6	Potensfunktioner Emner: Forskrift og graf Vækstegenskaber Forskrift ud fra to punkter Omvendt proportionalitet Potens regression Materialer: ibog: Madsen, B. M. et al, "plus A1 STX", Systime - kap. 4 - https://plusstxa1.systime.dk/?id=1226
Indhold	Kernestof: Bevis at grafen for en potens funktion altid går gennem (1,b) - altså at f(1)=b når f(x)=b*x^a
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7	Modellering med 2. gradspolynomiet - Forskrift ud fra 3 punkter - Polynomiel 2. grads regression (kvadratisk regression) Materialer: Vi arbejdede primært ud fra opgaver stillet i undervisningen.
Indhold	Kernestof: Bestem en forskrift for andengradspolynomierne når:
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8	Deskriptiv statistik Indhold: - Ugrupperede observationer - hyppighed, kumuleret hyppighed, frekvens, kumuleret frekvens. - Deskriptorer (typetal, median, middelværdi, varians & spredning, (udvidet)kvartilsæt, kvartilbredde, outlier) - Diagrammer (prikdiagram, pindediagram, boksplot) Grupperede observationer - Intervalhyppighed, intervalfrekvens, kumuleret intervalfrekvens. - Deskriptorer (middelværdi, varians & spredning, (udvidet)kvartilsæt, fraktil, kvartilbredde, outlier) - Diagrammer (sumkurve, boksplot) Materialer: ibog: Madsen, B. M. et al, "plus A1 STX", Systime - Kap 7 - https://plusstxa1.systime.dk/?id=1226
Indhold
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9	Opsamling på linære - Stykkevis lineære funktioner - gaffelforskrifter Materialer: ibog: Madsen, B. M. et al, "plus A1 STX", Systime Kap. 1.6 - https://plusstxa1.systime.dk/?id=1237
Indhold
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10	Differentialregning - lidt om grænseværdier - 3 trinsreglen til udledning af differentialkvotienter --> grafisk arbejde i geogebra. - Regneregler for differentiation (herunder introduktion til sammensatte funktioner) - Tangentens ligning - Monotoniforhold - herunder grafisk skelnen mellem f og f ' samt tolkning af f '' ifht krumning. - Sproglig tolkning af f '. - Optimering Gennemgåede beviser: (x^2)'=2x (kf(x))'=kf'(x) Parablens toppunkts x-koordinat (ved brug af differentialregning) Produktregel Materialer: ibog: Madsen, B. M. et al, "plus A2 STX", Systime - kap. 3 - https://plusstxa2.systime.dk/?id=2700 Videoer: - Differentialkvotient af sammensat funktion: https://www.youtube.com/watch?v=MT8NExVz-1M&t=299s - Grafen for f og f' : https://www.youtube.com/watch?v=x7zoH8bUuVY - Bevis for produktreglen - https://www.youtube.com/watch?v=Z7jKMwFp4jc
Indhold	Kernestof: Lav øvelse 2 (som I begyndte på i klassen) i dette dokument HUSK at downloade (og forsøge at installere) maple 2024 Hvis ikke du nåede det i sidste time, så sørg for at Lav mindst 1 (og gerne flere) opgaver fra opgavegeneratoren: https://www.geogebra.org/m/aqzayznj Afsnit
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 42 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11	Funktioner - parallelforskydning af graf - Lodret parallelforskydning af graf - Vandret parallelforskydning af graf Materialer: ibog: Madsen, B. M. et al, "plus A1 STX", Systime - Kap. 5.5 - https://plusstxa1.systime.dk/?id=1342
Indhold
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12	Sandsynlighed og statistik - Sandsynlighedsregning (udfald, sandsynlighed, sandsynlighedsfelt, hændelser) - multiplikations- og additionsprincippet - Kombinationer og permutationer (herunder Pascals trekant) - Stokastisk variabel (beregning af middelværdi, varians og spredning for en sådan; samt normale og exceptionelle udfald) Binomialfordeling: - Binomialforsøg - Binomialfordelt stokastisk variabel (beregning af middelværdi og spredning for en sådan; samt normale og exceptionelle udfald) - Hypotesetest (Nulhypotese, Signifikansniveau, Teststørrelse, Acceptmængde + kritisk mængde) Normalfordeling: - Normalfordelt stokastisk variabel (beregning af middelværdi og spredning for en sådan; samt normale og exceptionelle udfald) - Approximation af binomialfordeling til normalfordeling - Tæthedsfunktion - Fordelingsfunktion - Konfidensintervaller for andel. - Simulering af 95%-konfidensintervaller (at vi ved mange beregninger af konfidensintervaller af kendt sandsynlighed kun får intervaller i 95% af tilfældene som indeholder den sande sandsynlighed). - QQ-plots til undersøgelse om et datasæt er normalfordelt - QQ-plots til undersøgelse om residualerne (fra en lineær regression) er normalfordelt. - Konfidensinterval for hældningskoefficienten (i forbindelse med lineær regression). Efter forløbet var klassen på besøg hos Epinion, hvor de forklarede om hvordan de bruger bl. a. konfidensintervaller i deres hverdag. Beviser: - Arg. for beregning af sandsynligheder i binomialfordelingen. - Udledning af formel for konfidensintervaller Materiale: Svan, K. K. & Lyndrup, O. "Sandsynlighedsregning og statistik med binomialfordelingen", s. 19-22 + 29-34, Htx forberedelsesmateriale, Januar 2019. ibog: Madsen, B. M. et al, "plus A2 STX", Systime - Kap. 4 - https://plusstxa2.systime.dk/?id=2760
Indhold	Kernestof: 4.3 Kombinationer og permutationer \| plus A2 stx
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 42 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13	Vektorer og geometri - Grundlæggende om trekanter - Ensvinklede trekanter - Pythagosras' læresætning - Grundlæggende vektorbegreber - Enhedscirklen (både polære og kartetiske koordinater) - Retvinklede trekanter - Skalarprodukt - Determinant - Vilkårlige trekanter - Rette linjer (linjens ligning, paramterfremstilling, omregninger mellem de to former, skæring mellem linjer på forskellige former) - Løsning af to ligninger med to ubekendte - Cirklen (omskrivning til cirklens ligning, skæring mellem cirkel og linje) Beviser: - Formler for retvinklede trekanter - At ortogonale vektorers skalarprodukt giver nul (også i tilfælde af at vektor b er parallel med en af akserne) - Determinant og areal af parallellogram - Udledning af linjens parameterfremstilling - Udledning af cirklens ligning Materialer: ibog: Madsen, B. M. et al, "plus A1 STX", Systime - kap. 6 - https://plusstxa1.systime.dk/?id=1219
Indhold	Kernestof: Lav øv. 6.6.6, hvis ikke du nåede det i timen omvendte.funktioner.ggb description
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 54 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14	Funktioner - logaritmefunk. (herunder omvendte) - Omvendte funktioner - 10-tals logaritme - naturlig logaritme - Regneregler for logaritmer - historisk anvendelse - transformation til lineær Beviser: - Regneregler for logaritmer Materialer: ibog: Madsen, B. M. et al, "plus A2 STX", Systime - kap. 1 - https://plusstxa2.systime.dk/?id=2723
Indhold	Kernestof: omvendte.funktioner.ggb description Hvis ikke du var til timen i torsdags (og det var der MANGE der ikke var). Forventes det (som altid) at du har kigget på torsdagens præsentation, sat dig ind i de ting vi har gennemgået og regnet de tilhørende opgaver.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 15	Integralregning - Stamfunktion og ubestemt integrale - Bestemmelse af partikulær stamfunktion ud fra et givent punkt eller en given tangent - Regneregler for ubestemte integraler (herunder integration ved substitution) - Stamfunktion og areal - Bestemt integrale - Regneregler for bestemte integraler (herunder integration ved substitution) - Tolkning af det bestemte integrale for både positiv og negativ funktion - Areal af punktmængder mellem grafer - Omdrejningslegeme (også for et hult) - Kurvelængde Beviser: - Integralregningens hovedsætning del 1 - Sammenhæng mellem arealer og summer - Formel for omdrejningslegeme - Formel for kurvelængde Materialer: ibog: Madsen, B. M. et al, "plus A3 STX", Systime Kap. 1 https://plusstxa3.systime.dk/?id=2700 Videoer: - Integralregningens hovedsætning del 1 - https://www.youtube.com/watch?v=1b3OV7lTtE4&t=1s - Sammenhæng mellem arealer og summer - https://www.youtube.com/watch?v=Lsv-eJXXT5g - Formel for omdrejningslegeme - https://www.youtube.com/watch?v=hzCYu7Ie3DU - Formel for kurvelængde - https://www.youtube.com/watch?v=EIq3ODoYEoQ
Indhold	Kernestof: Download installationsfil til maple 2025 og installér programmet. Hvis du har plads, skal du vente med at afinstallere 2024 programmet til du er sikker på at 2025 fungerer. se videoen med bevis for integralregningens hovesætning Lav opg 4 fra "Blandede opgaver", hvis ikke du nåede det i timen https://docs.google.com/document/d/1EKZplu69bajMjtIhqrwX8Gd5y729N3hdGj8UwqyY5mc/edit?tab=t.0 Første halvdel af klasselisten (t.o.m Layana) ser Bevis for omdrejningslegeme - videoSidstehalvdel af klasselisten (fra o.m Lilly) ser Bevis for kurvelængde - video Overvej om du har lyst til at gennemgå et af beviserne for klassen.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 38 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 16	Normalfordelingen med inddragelse af integraler - Tæthedsfunktion - Fordelingsfunktion (graf og som integral) - Standard normalfordeling Beviser: Normale udfald for normalfordelingen Materialer: Brydensholt, M & G. R. Ebbesen, "Lærebog i Matematik, stx A3", Systime, s. 140-149 Videoer: Normale udfald for normalfordelingen - https://www.youtube.com/watch?v=hdAZLlPoLfY
Indhold
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17	Trigonometriske funktioner (harmoniske svingning) - radiantal som vinkelmål - cosinus og sinus som funktioner - trigonometriske sammenhænge (fra formelsamling, argumenteret ud fra enhedscirklen) - ligningsløsning med trigonometriske funktioner (intervalsolve) - Den harmoniske svingning (herunder værdimængde, konstanters betydning) Beviser: - trigonometriske sammenhænge (fra formelsamling, argumenteret ud fra enhedscirklen) - At værdimængden for den harmoniske svingning er [d-A;d+A} - at (sin(x))'=cos(x) Materialer: ibog: Madsen, B. M. et al, "plus A2 STX", Systime Kap. 2 - https://plusstxa2.systime.dk/?id=2713 Videoer: Trigonometriske funktioner - https://www.youtube.com/watch?v=YPANa5thLR0 Den harmoniske svingning - https://www.youtube.com/watch?v=noSpl7-z7FM Betydning af konstanter (harmonisk svingning) - https://www.youtube.com/watch?v=r3DPWkXkyU4&list=PL2cHPbw1WGYN1LqO2rQuWE9I-h0o1fxFZ&index=6 Bevis (sin(x))'=cos(x) - https://www.youtube.com/watch?v=QQiOr06LWj4
Indhold
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 18	Differentialligninger - Hvad er en differentialligning? - undersøgelse af om en funktion er løsning til en differentialligning - Tangentligninger, linjeelementer og hældningsfelter - Lineære differentialligninger af 1. orden - Logistisk differentialligning - herunder særlige egenskaber. - Uhæmmet og hæmmet vækst. - Opstilling af differentialligninger. Beviser: - Løsningsformlen til y'=ky. - Løsningsformlen til y'=b-ay. - Panserformlen - Beviser for egenskaber ved den logistiske differentialligning (bæreevne er M, samt y'(max) er M/2) - At løsningsformlen ér én løsning til den logistiske differentialligning. Materialer: ibog: Madsen, B. M. et al, "plus A3 STX", Systime Kap. 2 (undt. 2.5) - https://plusstxa3.systime.dk/?id=2701 Videoer: - Bestemmelse af tangentligning https://www.youtube.com/watch?v=DXhM4s6DSuI&ab_channel=DennisPipenbring - At løsningsformlen ér én løsning til den logistiske differentialligning https://www.youtube.com/watch?v=mp7Cr6wNzus&ab_channel=MichaelGrankvistS%C3%B8rensen
Indhold	Kernestof: Læs om anvendelser af differentialligninger (slut ved eksempel 2)
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 28 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 19	Vektorfunktioner - Hvad er en vektorfunktion? - Skæringspunkter og dobbeltpunkter - differentiation af vektorfunktioner (herunder hastighedsvektor og accelerationsvektor og betydning af disse ifht banekurven) - tangent til banekurve - Cirklens parameterfremstilling (udledning heraf) - Cirkelbevægelse. Beviser: - Udledning af cirklens parameterfremstilling - Bevis for hastighedsvektor og accelerationsvektor i en cirkel altid er ortogonale. - Bevis for at længden af hastighedsvektoren i en cirkel ikke afhænger af a, b og t, men er proportional med r Materialer: ibog: Madsen, B. M. et al, "plus A3 STX", Systime Kap 3 (i 3.4 "cirkelbevægelse" er der kun arbejdet med "del 1 - undersøgelse af cirklens parameterfremstilling" (ikke del 2 "cykloiden")) - https://plusstxa3.systime.dk/?id=2702
Indhold	Kernestof: Læs om hastigheds- og accelerationsvektor Orientér jer i dette dokument med eksamensspørgsmål. I timen vælger vi, hvilke der skal med (se kommentarer i dokument).
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 28 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 20	Funktioner af to variable - Beregning af funktionsværdier - Tegning af graf - Snitfunktioner og snitkurver - Niveaukurver (konturplot/højdekurver) - Partielle afledede - Tangentplan - Gradient (beregning og tolkning) - dobbelte og blandede partielle afledede - Stationære punkter (stedbestemmelse samt artsbestemmelse) Materialer: ibog: Madsen, B. M. et al, "plus A3 STX", Systime Kap. 4 - https://plusstxa3.systime.dk/?id=2703 Videoer: Partielle afledede: https://www.youtube.com/watch?v=8kaddm8y1f0&t=538s Udledning af tangentplan: https://youtu.be/UtXvSgXF6zg?si=ReX1CI_hQi47Np9h
Indhold
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 25 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 21	Polære funktioner (forberedelsesmaterialet) Selvstændigt arbejde med mulighed for vejledning. Materiale: Forberedelsesmateriale til stx-A MATEMATIK 2026-2027 (polære funktioner) - ligger i drev (skal downloades): https://drive.google.com/file/d/1JrQ8i_Mc3udrJbGwUErPJFnHlyipV5DW/view?usp=drive_link
Indhold	Kernestof: Afsnit
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 22	Differens ligninger (supplerende) Indholdet er helt supplerende (dvs spørgsmål om emnet indgår IKKE i den skriftlige prøve) - Hvad er en differensligning - Førsteordens lineære differensligninger (herunder bevis for lukket form) - Diskret logistisk vækst - Cobwebdiagram og fikspunkter - Newton-Raphson metode til bestemmelse af nulpunkter Materialer: Forberedelsesmateriale til stx-matematik A-niveau 2020 (differensligninger) Ligger i drev (skal downloades): https://drive.google.com/file/d/1O7LG_6U0zLtuAszO7_1GO1XFY-D0jNQG/view?usp=drive_link Videoer: Bevis for Lineær differensligning af første orden på lukket form - https://www.youtube.com/watch?v=cF5ukf3UkmE Diskret logistisk vækst - https://www.youtube.com/watch?v=zC-XRh1ZTQ0 Cobwebdiagram og fikspunkter - https://www.youtube.com/watch?v=e7ShifhcGGE Newton-Raphson metode til bestemmelse af nulpunkter - https://www.youtube.com/watch?v=fa2SEDESmhU
Indhold	Kernestof: se video se video om Cobwebdiagram og fikspunkter
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Vis samlet undervisningsbeskrivelse samt elevtilknytning til forløb