Holdet 2023 Ma/b - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2024/25
Institution Christianshavns Gymnasium
Fag og niveau Matematik B
Lærer(e) Asker Friis Bach, Michael Vernersen
Hold 2023 Ma/b (1b Ma, 2b Ma)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 0. Hjælpemidler til mundtlig prøve
Titel 2 1. Sandsynlighedsregning og kombinatorik
Titel 3 2. Vektorer
Titel 4 3. Potensfunktioner
Titel 5 4. Eksponentielle funktioner og logaritmer
Titel 6 5. Andengradspolynomiet
Titel 7 6. Forberedelse til eksamen
Titel 8 polynomier fortsat
Titel 9 funktioner
Titel 10 differentialregning
Titel 11 Statistik og sandsynlighed
Titel 12 Vektorer og analytisk geometri

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 0. Hjælpemidler til mundtlig prøve

Hjælpemidler til mundtlig prøve i matematik:

Prøven starter idet et spørgsmål er trukket. Bemærk at der er forskel på forberedelsestiden og selve prøven.

Under selve prøven er følgende tilladt:

• Talepapir. 1 side af et A4 papir med få noter. Fx kunne man skrive overskrifter til fremlæggelsesdelen, så man kan huske rækkefølgen. Alternativt et par korte hints / formler.


I forberedelseslokalet er følgende tilladt:

• Bøger. Herunder Kernestof Mat2, stx. Både i fysisk form og online versioner. Egne bøger og tekster er også tilladt.

• Al undervisningsmateriale. Herunder diverse pdf'er fra undervisningen og klassenotesbogen i OneNote. Fysisk og digitalt. Sørg for at downloade alt I skal bruge inden prøven.

• Egne noter. Både fysisk og digitalt. Digitale noter skal ligge lokalt (være downloadet) på egen computer.

• Lectio. Sørg for ikke at have andre faner åbne.

• Offline musik.

• Maple. Inklusiv Maple noter.


Følgende er ikke tilladt under hele prøven:

• Kommunikation med andre. Både direkte via beskeder, sociale medier osv. samt indirekte via fx deling af filer på diverse platforme. Dette gælder også MapleCloud.

• Brug af internettet. Inkluderer Google, ChatGPT, KhanAcademy osv.

• OBS: Det er ikke tilladt at modtage beskeder, så log ud af alle sociale medier og apps, der kan sende push-notifikationer med beskeder. Herunder mails.
Indhold
Omfang Estimeret: 0,00 moduler
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 2 1. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Sandsynlighedsregning og kombinatorik.

Pensum: Kapitel 4 i Kernestof Mat1, stx




1. Kombinatorik

   • Multiplikationsprincippet og additionsprincippet.

   • Permutationer

   • Kombinationer


------------------------------------------------------------------------


2. Sandsynlighedsregning

   • Introduktion til sandsynlighed

   • Sandsynlighedsfelter

   • Multiplikationsprincippet og additionsprincippet



------------------------------------------------------------------------

Pascals trekant og stokastiske variable er ikke gennemgået endnu.


Beskrivelse af emnet i læreplanen fra UVM:

2.2.4 Sandsynlighed

Eleverne skal have kendskab til både a priori (på forhånd givne) og frekventielle (statistisk bestemte) sandsynligheder og kende forskellen på disse. Sandsynlighedsfelter, herunder symmetriske sandsynlighedsfelter, behandles som model for stokastiske eksperimenter gennem konkrete eksempler.

Eleverne skal kende og kunne anvende begreberne fakultet, permutation og kombination. Eleverne skal
kunne håndtere konkrete simple kombinatoriske beregninger af sandsynligheder med additions- og
multiplikationsprincippet; herunder inddrages naturligt tælletræer, som eleverne kender fra folkeskolen.

I behandlingen af kombinatorik vil det være oplagt at inddrage Pascals trekant.

Bemærk, at den egentlige kombinatorik kun kræves behandlet i det omfang, der er nødvendigt for forståelsen af binomialfordelingen. Formlen for K(n,r) kan generaliseres ud fra et eksempel. Eleverne forventes kun at kunne håndtere simple sandsynlighedsberegninger med brug af denne forme i opgaver af typen ’antal gunstige divideret med antal mulige’, hvor ’antal gunstige’ kan udregnes med en eller flere kombinatoriske beregninger og ’antal mulige’ med én kombinatorisk beregning.

Uafhængige hændelser omtales i forbindelse med problemløsning, der kræver multiplikation af sandsynligheder, men gives ikke en selvstændig behandling.


Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 16,00 moduler
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 3 2. Vektorer

Vektorer.

Pensum: Kapitel 5 i Kernestof Mat1, stx




1. Vektorer i koordinatsystemet

   • Punkter i koordinatsystemet

   • Definition af vektorer som forskydninger

   • En vektors koordinater


------------------------------------------------------------------------


2. Regneregler for vektorer

   • Plus/minus vektorer. Både geometrisk i koordinatsystemet og ved at regne med koordinaterne

   • At gange en vektor med en konstant. Både geometrisk i koordinatsystemet og ved at regne med koordinaterne

   • Ligninger der involverer vektorer.


------------------------------------------------------------------------


3. Formler i vektorregning

   • Længden af en vektor

   • Skalarproduktet / prikproduktet af to vektorer

   • Tværvektoren

   • Determinanten af to vektorer.

   • Areal af trekanter og parallelogrammer via determinanten.


------------------------------------------------------------------------

Vinkler, trigonometri og projektioner er ikke gennemgået endnu.


Beskrivelse af emnet i læreplanen fra UVM:

2.2.7 Geometri og vektorregning


Vektorregningen i kernestoffet tjener flere formål. Vektorregningen skal bidrage til, at eleverne vedligeholder og udvikler deres beregningsmæssige og algebraiske færdigheder, som de har med fra grundskolen, samtidig med at de lærer noget helt nyt og går i dybden med nye geometriske begreber. Indførelsen af vektorbegrebet bør derfor såvel foregå i en vekslen mellem tegning og beregning som i en vekslen mellem aktiviteter med papir/blyant og matematiske værktøjsprogrammer, hvor eleverne arbejder med talforståelse, begrebsforståelse og algebra, parallelt med at de opstiller og løser geometriske problemer med vektorer i et koordinatsystem.

Eleverne skal i beregninger og i geometrisk fortolkning ved tegning kunne anvende regnereglerne for vektorer (addition, subtraktion og ‘gange en konstant’) og de elementære operationer til at bestemme: længden af en vektor, tværvektor til en given vektor, skalarproduktet og determinanten mellem to vektorer, vinkel mellem to vektorer (herunder parallelleog ortogonale vektorer) samt projektionen af en vektor på en vektor.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 16,00 moduler
Dækker over: 22 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 3. Potensfunktioner

Potensfunktioner.

Pensum: Kapitel 9 i Kernestof Mat1, stx

Link til noter




1. Forskrift og graf
Se noter.

   • Den generelle forskrift for potensfunktioner og eksempler. Specielt kvadratfunktionen x^2, kvadratrodsfunktionen sqrt(x) og den reciprokke funktion 1/x.

   • Graferne og fortolkningen af a og b koefficienterne.

   • Typer af potensfunktioner: voksende, aftagende og konstante. Konvekse, konkave og rette linjer


------------------------------------------------------------------------


2. Potensregneregler
Se noter.

   • Gange og division

   • Parenteser

   • Negative potenser

   • Rødder og brøkpotenser


------------------------------------------------------------------------


3. Formler og anvendelser

   • Topunktsformlen for potensfunktioner. Bestemmelse af a og b via to punkter på grafen. Se noter. Logaritmen er anvendt i Maple her. Logaritmen er først selvstændigt behandlet i næste forløb.

   • Potensregression og potensmodeller.

   • Vækst i procent for både x og y. (%-%-vækstegenskab)



------------------------------------------------------------------------

Begreberne definitionsmængde, værdimængde og monotoniforhold er ikke introduceret i en generel kontekst endnu.




Beskrivelse af emnet i læreplanen fra UVM:

2.2.5 Funktioner


Eleverne skal opnå viden om de elementære funktioner: lineære og eksponentielle funktioner samt potensfunktioner, herunder disse funktioners karakteristiske egenskaber og grafiske forløb med henblik på definitionsmængde, værdimængde, monotoniforhold samt asymptotiske forløb (eksponentiel og potens). Blandt potensfunktionerne forventes eleverne kun at kunne håndtere kvadratfunktionen, kvadratrodsfunktionen og den reciprokke funktion.


Eleverne skal kunne anvende de elementære funktioner i modellering, og de skal kunne forholde sig reflekterende til fremskrivninger ud fra modellerne, herunder diskutere idealiseringer og rækkevidden af modellerne med beregning af absolut/relativ afvigelse. De elementære funktioner bør derfor introduceres i en vekselvirkning mellem rent matematiske aktiviteter og modellering af virkelighedsnære problemstillinger, som giver mening for eleverne, og hvor de aktuelle funktioners egenskaber kommer særligt klart til udtryk.

Bemærk, at potensmodellers %-%-vækstegenskab ikke vil være genstand for afprøvning ved den skriftlige prøve
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 13,00 moduler
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 5 4. Eksponentielle funktioner og logaritmer

  Eksponentielle funktioner og logaritmer.

Pensum: Kapitel 7 + 12.3 + regnereglerne i 12.5 i Kernestof Mat1, stx




1. Forskrift og graf

   • Den generelle forskrift for eksponentielle funktioner og simple eksempler

   • Graferne og fortolkningen af a og b koefficienterne. Begreberne fremskrivningsfaktor og begyndelsesværdi.

   • Voksende og aftagende eksponentielle funktioner.


------------------------------------------------------------------------


2. Formler og anvendelser

   • Topunktsformlen for eksponentielle funktioner.

   • Eksponentielle modeller og eksponentiel regression

   • Halverings- og fordoblingskonstanten

   • Tallet 'e' og forskriften f(x) = c * e^(k*x). Omregning mellem b*a^x og  c * e^(k*x) ved hjælp af logaritmen.


------------------------------------------------------------------------


3. Logaritmer

   • Logaritmefunktionen som den omvendte funktion til eksponentialfunktionen.

   • Titalslogaritmen og den naturlige logaritme

   • Logaritmeregnereglerne



------------------------------------------------------------------------

Begreberne definitionsmængde, værdimængde og monotoniforhold er ikke introduceret i en generel kontekst endnu.



Beskrivelse af emnet i læreplanen fra UVM:

2.2.5 Funktioner

Eleverne skal opnå viden om de elementære funktioner: lineære og eksponentielle funktioner samt potensfunktioner, herunder disse funktioners karakteristiske egenskaber og grafiske forløb med henblik på definitionsmængde, værdimængde, monotoniforhold samt asymptotiske forløb (eksponentiel og potens).

Hvor der indgår konstanter i en regneforskrift for en lineær eller en eksponentiel funktion, forventes eleverne at kunne argumentere for disses betydning for det grafiske forløb.

Til de karakteristiske egenskaber for eksponentielle funktioner hører begreberne fremskrivningsfaktor og vækstrate, fordoblings- og halveringskonstant.

Eleverne skal kunne anvende de elementære funktioner i modellering, og de skal kunne forholde sig reflekterende til fremskrivninger ud fra modellerne, herunder diskutere idealiseringer og rækkevidden af modellerne med beregning af absolut/relativ afvigelse. De elementære funktioner bør derfor introduceres i en vekselvirkning mellem rent matematiske aktiviteter og modellering af virkelighedsnære problemstillinger, som giver mening for eleverne, og hvor de aktuelle funktioners egenskaber kommer særligt klart til udtryk.

De skal opnå viden om logaritmefunktionerne (10-talslogaritmen og den naturlige logaritme) og deres egenskaber. Eleverne forventes ikke at kunne håndtere koordinatsystem med logaritmisk skala ved den skriftlige prøve.


Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 13,00 moduler
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 6 5. Andengradspolynomiet

Andengradspolynomiet.

Pensum: Kapitel 1 i Kernestof Mat2, stx


1. Parabler og koefficienter

   • Den generelle forskrift for et andengradspolynomium.

   • Parabler

   •  Koefficienterne a, b og c. Specielt aflæsning af fortegnene fra en parabel.


------------------------------------------------------------------------


2. Toppunktet og diskriminanten

   • Diskriminanten.

   • Formel for toppunktet.

   • Bevis af toppunktsformlen.


------------------------------------------------------------------------


3. Andengradsligningen og rødder

   • Reducering af udtryk. Gange ind i parenteser.

   • Sammenhæng mellem diskriminantens fortegn og antallet af rødder.

   • Løsning af andengradsligninger via formel.

   • Den faktoriserede form af et andengradspolynomium.


------------------------------------------------------------------------

Polynomier af højere grad og begrebet 'grad' er kun introduceret i et begrænset omfang. Rødder for polynomier af højere grad er ikke behandlet endnu.




Beskrivelse af emnet i læreplanen fra UVM:

Funktioner

Eleverne skal opnå viden om andengradspolynomier samt overordnet kendskab til polynomier af højere grad.

Eleverne skal kunne håndtere begrebet rod i et polynomium og begrebet faktorisering, specielt med henblik på andengradspolynomier. Eleverne skal opnå viden om sammenhængen mellem grad og antal  rødder (nulpunkter) for polynomier. Specielt for andengradspolynomier skal eleverne kunne redegøre for både konstanternes og diskriminantens betydning for parablens beliggenhed i koordinatsystemet
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 18,00 moduler
Dækker over: 19 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 7 6. Forberedelse til eksamen

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 12,00 moduler
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 8 polynomier fortsat


Til eksamen skal du kunne:
- løse andengradsligninger (uden Cas)
- finde toppunkter (uden Cas)
- faktorisere et andengradspolynomium. (uden Cas)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 6,00 moduler
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 9 funktioner



Forløbet om funktioner dækker kapitel 2, side 24-31, som handler om
funktioner generelt, herunder:

1. monotoniforhold
       - ekstremumssteder (lokale og globale)
       - grafens forløb

2. regning med funktioner
      - plus, minus gange og dividere funktioner
        
3. sammensatte funktioner

Beskrivelse i læreplanen fra UVM:


Kernestoffet er:
- funktionsbegrebet, sammensat funktion, stykkevist defineret funktion, karakteristiske egenskaber ved følgende elementære
funktioner og deres grafiske forløb: lineære funktioner, polynomier, eksponentielle, potens- og logaritmefunktioner.

- monotoniforhold, ekstrema og optimering samt sammenhængen mellem disse begreber

Elever skal kunne anvende funktionsudtryk i opstilling af matematiske modeller på baggrund af data eller viden fra andre fagområder, kunne
analysere matematiske modeller, foretage simuleringer samt fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer
og rækkevidde af modeller.

Til eksamen skal du kunne:
- lave regression (lin. potens og eksponentielt) med Cas
- opskrive funktioner og plotte dem.
- Løse ligninger og fremskrive ved hjælp modeller/funktioner
- Finde f ' og forklare betydningen af f.eks. f ' (50).
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 10,00 moduler
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 10 differentialregning

Dette forløb dækker over kapitel 7, 8 og 9 i Kernstof 2.

Der indgår 2 beviser i dette forløb, som kommer til at optræde som eksamensspørgsmål. Det drejer sig om beviset for differentialkvotienten for f(x)=x^2 og formlen for tangentlinjers ligning: y = f ' (x0)* (x - x0) + y0. De differentialkvotienter, du skal kunne står på side 96 nederst i Kernestof 2.


I Bekendtgørelsen står der, at eleven skal kunne:

- anvende funktionsudtryk i opstilling af matematiske modeller på baggrund af data eller viden fra andre fagområder, kunne analysere matematiske modeller, foretage simuleringer samt fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modeller

- anvende differentialkvotient for funktioner og fortolke forskellige repræsentationer af denne

- gennemføre matematiske ræsonnementer og beviser

Til skriftlig eksamen:
- finde f ' (x) uden CAS
- finde tangentlinjensligning i et punkt (x0, f(x0)) uden CAS
- finde monotoniforhold v.h.a. f'.
- lave optimeringsopgaver v.h.a. f'
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 20,00 moduler
Dækker over: 41 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 11 Statistik og sandsynlighed

Dette forløb dækker over kapitel 5 og 6 i Kernestof 2.



Fra lærerplanen (stx matB):

– anvende statistiske og sandsynlighedsteoretiske modeller til beskrivelse af data fra andre fagområder,
- foretage simuleringer,
- gennemføre hypotesetest,
- bestemme konfidensintervaller,
- lave en normalfordelingsapproksimation
- og generelt at kunne stille spørgsmål ud fra modellen og have blik for, hvilke svar der kan forventes, samt være i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog.

– demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling.

Kernestoffet i statistik er formuleret således:
– kombinatorik,
- grundlæggende sandsynlighedsregning, sandsynlighedsfelt og stokastisk variabel,
- binomialfordeling
- hypotesetest inden for binomialfordelingen
- anvendelse af normalfordelingsapproksimation,
- konfidensinterval

Der er et spørgsmål i dette emne til den mundtlige eksamen, som handler om udregning af binomial sandsynlighed samt hypotesetest.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 17,00 moduler
Dækker over: 29 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 12 Vektorer og analytisk geometri

Forløbet om analytisk geometri og vektorer svarer til kapitel 11 i Kernstof 2, fra side 158-171.
Dvs.
- normalvektor og linjens ligning
- skæring mellem linjer
- Afstande
- Cirkler
- retningsvektor og parameterfremstillinger
- skæringspunkter og skæringstidspunkter
- Herudover er den såkaldte Carlsberg-metode blevet gennemgået, dvs. hvordan man finder skæringspunktet mellem to ikkeparallelle linjer, ax + by = c ved hjælp af determinanter.

Kernestoffet er ifølge bekendtgørelsen:

vektorer i to dimensioner givet ved koordinatsæt, herunder skalarprodukt, determinant, projektion, vinkler, areal, linje, cirkel, skæringer og afstandsberegninger samt anvendelser af vektorbaseret koordinatgeometri til opstilling og løsning af
plangeometriske problemer, herunder trigonometriske problemer.

Bekendtgørelsen siger, at du skal kunne:

- opstille plangeometriske modeller og løse plangeometriske problemer baseret på en analytisk beskrivelse af geometriske figurer i et koordinatsystem samt udnytte dette til at svare på teoretiske og praktiske spørgsmål.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: 25,00 moduler
Dækker over: 25 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer