Holdet 3x MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2025/26
Institution Helsingør Gymnasium
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Troels Breum
Hold 2023 MA/x (1x MA, 2x MA, 3x MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Grundforløb: Lineær vækst, lineære funktioner
Titel 2 Aritmetik og algebra
Titel 3 Analytisk geometri 1: Vektorer i planen
Titel 4 Polynomier og ligningsløsning
Titel 5 Eksponentielle funktioner og potensfunktioner
Titel 6 FF2 med fysik - regressionsmodeller
Titel 7 Funktioner
Titel 8 Trigonometri
Titel 9 Opsamling på 1g inden prøve
Titel 10 Differentialregning
Titel 11 Statistik og sandsynlighedsregning
Titel 12 Integralregning
Titel 13 SRO
Titel 14 Analytisk geometri 2: Vektorer, linjer og cirkler
Titel 15 Funktioner af to variable
Titel 16 Årsprøve og terminsprøve-træning
Titel 17 Differentialligninger
Titel 18 Normalfordelingen
Titel 19 Trigonometri
Titel 20 Vektorfunktioner
Titel 21 Forberedelsesmateriale: Polære funktioner
Titel 22 Deduktion - bevisførelse
Titel 23 Matematik-historisk projekt
Titel 24 Eksamenstræning

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Grundforløb: Lineær vækst, lineære funktioner

Lærebog: F. Clausen, G. Schomacker & J. Tolnø, ’Gyldendals Gymnasiematematik G / Grundforløbsbogen’, Gyldendal 2017:

Kapitel 1, Lineære modeller (s. 17-52, ca. 36 sider):
1.2 Lineære funktioner
1.3 Grafer for lineære funktioner
1.4 Skæringspunkt mellem to linjer
1.5 Skæring med akserne (med bevis)
1.6 Hældningskoefficient
1.7 Lineære tilvækster (med beviser)
1.8 To-punktsformlen (med bevis)
1.9 Lineære modeller: Fortolkning, opstilling og anvendelse
1.10 Koordinatsystemer
1.11 Proportionalitet
1.12 Lineær regression og residualplot

Kapitel 3, Algebra (s. 70-76, 78-82, ca. 12 sider):
3.1 Regningsarternes hierarki og parentesregler
3.2 Simpel reduktion
3.3 Brøkregler
3.5 Løsning af ligninger af første grad

Kapitel 4, Matematik på A-, B- og C-niveau (s. 84-86, ca. 3 sider):
4.1 Rebet om Jorden

Samlet omfang ca. 51 sider.
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 0 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 3 Analytisk geometri 1: Vektorer i planen

Forløbet er det første af to forløb i analytisk plangeometri.
Forløbet introducerer vektorbegrebet og regneregler for vektorer algebraisk og geometrisk, herunder "kræfternes parallelogram".

Dernæst gennemgås
Vektorlængde/Afstandsformel

Regneregler for prikprodukt

Trigonometri i enhedscirkel

Forløbet afsluttes med det første større bevis for sætningen om vinkel mellem vektorer, inkl. bevis for additionsformlen
cos(u-v)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)

Materialer:

Forberedelsesmaterialet for Hf matematik (Vektorer, December 2019, maj/juni 2020 og august 2020): s. 1-16
Grundbog A1: 133-173 og s. 218-220.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Polynomier og ligningsløsning

I forløbet præsenteres, anvendes og bevises den generelle andengradslignings løsningsformel.
Andengradspolynomiets forskrift, rødder, og sammenhæng med grafens udseende og toppunkt - primært gennem eksempler og eksplorativt i GeoGebra med "skydere" (tages op igen ifm. differentialregning og andengradspolynomiets afledte funktion).
Forløbet afsluttes med at betragte faktorisering af forskellige polynomier af højere grad end to.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Eksponentielle funktioner og potensfunktioner

Forløbet dækker kernestoffet om eksponentielle funktioner og potensfunktioner.

Først repeteres procentregning og procentvækst.  Dernæst renteformlen, der oversættes til den generelle forskrift f(x)=b*a^x. Grafisk betydning af a og b. Fortolkning af eksponentielle modeller, med fokus på fremskrivningsfaktor og enheder.
Logaritmer og logaritmeregneregler introduceres.
To-punkts-formlen for eksponentielle funktioner (med bevis), Formlen for fordoblings-/halveringskonstant (med bevis).

Potensfunktioner. Grafisk betydning af a og b. Fortolkning af potensmodeller, med fokus på enheder. To-punkts-formlen for potensfunktioner (med bevis).
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 FF2 med fysik - regressionsmodeller

FF2 afvikledes som forløb med matematik og fysik.

Fokus på modellering og regression: Lineær regression (mindste kvadraters metode) og eksponentiel regression. Vurdering af models anvendelighed. Fejlkilder.

Teori (fysik):
1) Note om Galilei (Uddrag af Orbit C)
2) Galilei og faldrenden (egen note)
3) Galilei og pendulet (egen note)

Eksperimentelt arbejde (fysik):
1) Kugler på skråplan
2) Frit fald med timer
3) Pendulets periode
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Funktioner

Grundlæggende funktionslære:
Funktioner og grafer. Grafers skæringspunkter.
Definitions- og værdimængde.
Sammensat og invers funktion.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer



Titel 10 Differentialregning

Vi har genopfrisket almindelig funktionslære: punkt, graf, forskrift, definitions- og værdimængde, sammensat og invers funktion mm.
Forløbet starter med differentiation af forskellige simple funktioner uden bevis for regneregler.
Undervejs udledes følgende differentialkvotienter/regneregler med "tre-trins-reglen":
f(x)=x^2 => f'(x)=2x
Konstant-reglen
Sumreglen
Differensreglen
Produktreglen

Desuden arbejdes med forskellige anvendelser af differentialregning og funktionsundersøgelse: optimering og beskrivelse/undersøgelse af vækst.

Der er ikke givet en grundig indføring i grænseværdibegrebet eller kontinuitet.

Kædereglen er kun introduceret og anvendt, ikke bevist.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Statistik og sandsynlighedsregning

Forløbet indledes med en repetition af deskriptiv statistik, der kun ellers er berørt i grundforløbet.

Forløbet dækker introduktion til kombinatorik, herunder multiplikations- og additionsprincippet, samt permutationer og kombinationer).

Forløbet dækker desuden introduktion til sandsynlighedsregning, herunder begrebet sandsynlighedsmodel, og sandsynlighedsfordeling/-funktion, samt repetition af begreberne middelværdi og spredning.

Formlen for binomialsandsynligheder udledes, fører til definitionen af binomialfordelingen.

Forløbet afsluttes med introduktion af binomialtest (i Maple) og anvendelse ifm. opinionsundersøgelser.

Forløbet introducerer alene normalfordelingen som den fordelingsfunktion med samme middelværdi og spredning, som binomialfordelingen "nærmer sig", når antalsparameteren går mod uendelig. (Normalfordelingen behandles i 3g)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 Integralregning

FORLØBSBESKRIVELSE:
Integralregning behandles for både ubestemte og bestemte integraler. Sammenhængen med differentialregning gennemgås nøje. Arealfunktioner defineres forud for det bestemte integral. Både CAS og notation bruges der en del tid på. Integrationsregnereglerne for sum og differens af funktioner tillige med konstant-faktor-reglen gennemgås for både ubestemte og bestemte integraler. Der afsluttes med integration ved substitution, rumfangsbestemmelse af omdrejningslegemer og (ifm. repetitionsforløb i starten af 3g:) kurvelængdebestemmelse.

FORMÅL
- oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse
- anvende funktionsudtryk og udtryk for afledede funktioner i opstilling af matematiske modeller på baggrund af datamateriale eller viden fra andre fagområder, kunne analysere givne matematiske modeller, foretage simuleringer samt fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modeller
- anvende forskellige fortolkninger af stamfunktionsbegrebet
- operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori

INDHOLD / KERNESTOF:
- stamfunktion for de elementære funktioner, ubestemte og bestemte integraler, sammenhængen mellem areal og stamfunktion, regneregler for integration af sum og differens af funktioner samt af en funktion gange en konstant og integration ved substitution, anvendelser af integraler

METODER:
Undervisningen vil blive tilrettelagt med følgende metoder:

- læreroplæg
- projektarbejde
- pararbejde
- gruppearbejde
- elevfremlæggelser
- blandet induktivt og deduktivt arbejde

MATERIALE:
- Gyldendals gymnasiematematik A2 s. 34-58.
- Mathematicus.dk
- Matx.dk

EVALUERING
Forløbet kulminerer i et designprojekt.
Eleverne skal bruge deres viden om funktioner / grafers beskrivelser samt deres viden fra forløbet om omdrejningslegemer. Eleverne skal lave en bæredygtig genstand og produktet skal være en planche, hvorpå deres tanker om designet kommer til udtryk. Projektet afsluttes med en fernisering.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 19 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 14 Analytisk geometri 2: Vektorer, linjer og cirkler

Forløbet indledes med en repetition af vektorregning fra 1g.
Dernæst introduceres determinanten og arealet af det udspændte parallelogram (uden bevis).
Bestemmelse af vektorprojektion (vektor på vektor - med bevis).
Cirklens ligning og kvadrat-komplementering.
Tangent til cirklen.
Linjens ligning og parameterfremstilling.
Skæring mellem linjer (på forskellig form).
Skæring mellem linje og cirkel.
Afstand mellem punkt og linje.

Arbejdsformer inkluderer gruppearbejde og -fremlæggelser, ABaCus, video-beviser, begrebskorts-øvelser.
Forløbet er afsluttet med en prøve uden hjælpemidler.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 15 Funktioner af to variable

Formål:
Fra læreplanen (faglige mål):
- oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse
- anvende funktionsudtryk og udtryk for afledede funktioner i opstilling af matematiske modeller på baggrund af datamateriale eller viden fra andre fagområder, kunne analysere givne matematiske modeller, foretage simuleringer samt fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modeller
– opstille geometriske modeller og løse geometriske problemer baseret på en analytisk beskrivelse af geometriske figurer og flader i koordinatsystemer samt udnytte dette til at svare på teoretiske og praktiske spørgsmål, herunder problemløsning med anvendelse af vektorfunktioner og funktioner af to variable
- kommunikere aktivt i, med og om matematik i både mundtlig og skriftlig formidling
Indhold: Hvad skal vi arbejde med? '

Kernestof (fra læreplan): funktioner af to variable, partielle afledede og grafisk forløb, herunder niveaukurver
I forløbet gennemgås følgende begreber:
- Koordinatsystemer, vektorer og geometri i 3D (inkl. ligning for plan og ligning for kugle).
- Funktioner af to variable og graf, niveaukurver, snitkurver, partielle afledede, gradient, tangentplant, stationære punkter (maksimum, minimum, saddelpunkt), art af stationære punkter.

Metoder:
Undervisningen vil blive tilrettelagt med følgende metoder:
Gruppearbejde
Læreroplæg
Kreative øvelser
Elever til tavlen
Matrixgruppeøvelser


Materiale:
Gyldendals gymnasiematematik A3 s.
Mathematicus
Abacus

Evaluering:
Der afholdes en prøve i det lærte stof efter endt forløb.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 16 Årsprøve og terminsprøve-træning

Vi repeterer og træner  mundtlig årsprøve
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17 Differentialligninger

Forløbet omfatter kernestoffet inden for emnet differentialligninger: At gøre prøve, orden, partikulær løsning, fuldstændig løsning, bestemmelse af tangentligning ud fra differentialligning, linjeelementer, hældningsfelter, simple vækstmodeller:
y'=k,
y'=k*y, dvs. eksponentiel vækst med bevis for fuldstændig løsning
y'=b-a*y, dvs. forskudt eksponentiel vækst med bevis for fuldstændig løsning
y'=y*(b-a*y), dvs. logistisk vækst med bevis for fuldstændig løsning.
Separation og de variable (uden bevis)
Den lineære differentialligning af første orden (med bevis for fuldstændig løsning).
Opstilling af differentialligninger ud fra tekst.

Forløbet afsluttedes med skriftlig prøve med hjælpemidler.

I forlængelse af forløbet blev i januar i et dobbeltmodul afholdt en forelæsning med øvelser (ekstern oplægsholder) om epidemimodellering og logistisk vækst.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 22 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 18 Normalfordelingen

Forløbet dækker sandsynlighedsregnings-kernestoffet inden for emnet Normalfordelingen, og bygger oven på forløbet "Kombinatorik og sandsynlighedsregning", der introducerede normalfordelingen som den fordelingsfunktion med samme middelværdi og spredning, som binomialfordelingen "nærmer sig", når antalsparameteren går mod uendelig.

Forløbet introducerer:
Stokastisk variabel, Middelværdi, spredning, standardnormalfordeling, normalfordeling, tæthedsfunktion, fordelingsfunktion, beregning af sandsynligheder, QQ-plot, konfidensinterval for hældning (kort).

Forløbet afsluttedes med en skriftlig prøve uden hjælpemidler.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer


Titel 20 Vektorfunktioner

Forløbet dække kernestoffet inden for emnet Vektorfunktioner:
Vektorfunktion, parameterkurve, parameterfremstilling, koordinatfunktioner, partikels stedvektor, skæringspunkter med akserne, monotoniforhold for koordinatfunktionerne, differentialkvotient for vektorfunktion - hastighed og acceleration, tangentvektor, ligning for tangent, lodrette og vandrette tangenter, dobbeltpunkter, vinkel mellem tangenter.
En forskrift for den jævne cirkelbevægelse udledes.

Forløbet afsluttedes med en skriftlig prøve med (og uden) hjælpemidler.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 21 Forberedelsesmateriale: Polære funktioner

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer



Titel 24 Eksamenstræning

Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer