Holdet 2022 MA/y - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2022/23 - 2024/25
Institution Frederiksborg Gymnasium og hf
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Jakob Bøje Pedersen
Hold 2022 MA/y (1y MA, 2y MA, 3y MA)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Vækst, potens, rod og logaritme
Titel 2 Polynomier (historisk forløb)
Titel 3 Vektorregning
Titel 4 Deskriptiv statistik
Titel 5 Rentesregning
Titel 6 Mere om funktioner
Titel 7 Differentialregning
Titel 8 Integralregning
Titel 9 Vektorregning (linjer og cirkler)
Titel 10 Trigonometriske funktioner
Titel 11 Sandsynlighedsregning og binomialfordelingen
Titel 12 SRO-differetialligninger
Titel 13 Diskret matematik - numerisk integration
Titel 14 Differentialligninger
Titel 15 Vektorfunktioner
Titel 16 Normalfordelingen og lineær regression
Titel 17 Funktioner af to variable
Titel 18 Forberedelsesmaterialet - Betinget sands.
Titel 19 Repetition, terminsprøve, beviser

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Vækst, potens, rod og logaritme

Kernestof:
Potensfunktioner, potensregneregler, logaritmefunktionen, logaritmeregler og ligninger med potenser. Den eksponentielle udviklings forskrift og graf, betydningen af konstanterne a og b, 2punktsformlen, fordobling- og halveringskonstanten samt den eksponentielle model og eksponentiel regression.

Nspire:
Arbejde med funktioners forskrift og graf.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 2 Polynomier (historisk forløb)

Kernestof:
Regning med bogstaver, kvadratsætningerne, nulreglen og andengradsligningen. Andengradpolynomiets forskrift og graf, grafisk betydning af konstanterne a,b,c og d, rødder/nulpunkter, toppunkt, faktorisering (f(x) = a(x-x1)(x-x2) for d mindst 0, forskriften udtrykt ved toppunktet (f(x) = (x-topx)^2 + topy) og kvadratisk regression. Polynomier generelt: forskrift, grafer,antal rødder og regression.

Historisk stof:
De tre af kvadratsætningerne er bevist ved at gange parenteserne sammen og de to første er bevist ved geometriske betragtninger, som hos Euklid.

Supplerende stof:
Bevis for andengradsligningen
Bevis for toppunktets x-koordinat og den betydning af b ved differentialregning (2.g).
Bevis for andengradspolynomiets faktorisering.

TI-Nspire:
Regression, beregning og aflæsning/afmærkning af rødder, afmærkning af ekstrema.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 3 Vektorregning

Forløbet er baseret på notat om vektorregning (30 sider) vores Grundbog er anvendt som supplerende læsning i dette forløb.

Kernestof:
Definitionen af cos, sin og tan  på enhedscirklen samt disses relationer i retvinklede trekanter. Pythagoras, arealet af en trekant og ensvinklet trekanter.
Vektorbegrebet, nulvektor, stedvektor, regning med vektorer og den grafiske betydning, længden af vektorer, afstanden mellem to punkter, prikproduktet og regning med prikproduktet, regneregler for prikproduktet, vinklen mellem to vektorer og ortogonale vektorer. Enhedvektor, projektion af vektor på vektor, tværvektor, determinanten, sammenhæng mellem determinanten og prikproduktet, parallelle vektorer og areal af parallelogram.

Supplerende stof:
Bevis for a*b = b*a og a*a = |a|^2
Bevis for at to vektorer er ortogonale netop når prikproduktet er nul
Projektionsformlen
Sammenhæng mellem determinanten og tværvektor
To vektorer er parallelle netop når determinanten er 0

TI-Nspire:
Koordinatsystem med kvadratisk gitter, tegning af vektorer og trekanter, grafisk bestemmelse af vinkler og længder.

Studieretningsdag sammen med biotek med emnet Epidemier: arbejdet overfladsisk med SIR-modellen, besøg på medicinsk museum og byvandring i det gamle København med fokus på levn fra epidemier i Kbh.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 Deskriptiv statistik

Kernestof:
Ugrupperede observationer herunder (udvidede) kvartilsæt. variationsbredde, middeltal, spredning, kvartilbredde, outlier, venstreskæv, højreskæv og boksplot.
Grupperede observationer herunder middeltal, histogram, sumkurve, kvartilsæt og fraktil.
Vi har også arbejdet med de statistiske begreber: Stikprøve, population, systematiske fejl, konfundering (skjulte variable).

Alle grundforløbsklasser har arbejdet med indekstal i et forløb sammen med samfundsfag..

TI-Nspire:
Importering af datasæt fra Excel, statistik med en variabel og statistik med en variabel og tegning af boksblot.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 5 Rentesregning

Kernestof:
Indekstal og renteformlen
Forløbet er lavet i samarbejde med samfundsfag.

Supplerende stof:
Annuitetsopsparing og annuitetlsån er behandlet med både formler og tabeller.

TI-Nspire:
Tabeller ved matricer og ved regneark.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 1 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 6 Mere om funktioner

Kerne stof:
Funktion som en del af en afbildning. Funktion beskrevet ved forskrift, tabel, graf og ord.
Sammensat funktion (fra indre - og ydre - til sammensat funktion og omvendt).
Stykkevis funktion (eksempel med progressiv beskatning og den numeriske værdi).
Aflæsning af dm, vm, ekstrema og monotoniforhold fra en graf.
Parallelforskydning af grafer efter en vektor.
Invers (omvendt) funktion: Bestemmelse ved beregning, spejling i diagonallinjen med ligning y = x og f(f^-1(x)) = f^-1(f(x)) = x.


TI-Nspire:
Graftegning, afmærkning af nulpunkter og ekstrema samt tegning af tangenter.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 7 Differentialregning

Kernestof: differentialkvotienten  (den definition der har x-x0 i tælleren i sekantens hældning) og dens grafiske betydning, differentiation af simple funktioner, tangentens ligning, monotoniforhold, differentiation af produkt og sammensat funktion og optimering. Funktionerne ln(x) og exp(x) og deres egenskaber. Fortolkning af differentialkvotienten som væksthastigheden og matematiske modeller.

Supplerende stof: udledning af differentialkvotienten for simple funktioner ax+b, x^2, kvadratroden af x og x^3.
Bevis for differentiation af en sum af to funktioner (kursorisk).
Bevis for differentiation af produktreglen.
Bevis for at en differentiabel funktion er kontinuert.
Bevis for x-koordinaten til parablens toppunkt og den grafiske betydning af koefficienten b i andengradspolynomiet.

Særlig fokus på forståelse af kontinuitet, differentialkvotienten, udledning af differentialkvotienter og opgaveregning

I Nspire har vi arbejdet med bestemmelse den afledede funktion, af tangentens ligning, af monotoniforhold og optimering.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 23 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 8 Integralregning

Kernestof: stamfunktioner (ubestemt integral), deres entydighed og regneregler for disse. Det bestemte integral og regneregler for disse, arealberegning af områder afgrænset af en eller flere grafer for kontinuerte funktioner. Integration ved substitution. Omdrejningslegemer og deres rumfang samt kurvelængden. Numeriske metoder er kun nævnt kursorisk.

Nspire: bestemmelse af stamfunktioner og bestemte integraler, løsning af ligninger, hvor der indgår et bestemt integral samt graftegning med henblik på arealbestemmelse.

Supplerende stof:
Bevis for regneregler for det ubestemte integral: sum af to funktioner og produkt af funktion og konstant.
Bevis for regneregler for det bestemte integral: sum af to funktioner og produkt af funktion og konstant.
Bevis for at det bestemte integral ikke afhænger af den valgte stamfunktion.
Bevis for at arealfunktionen er en stamfunktion og for sammenhængen mellem areal og det bestemte integral.
Bevis for bestemmelse af arealet af et område afgrænset af graferne for  to kontinuere funktioner.

Der har været særlig fokus på opgaveregning (arealberegning) og beviser.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 16 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 9 Vektorregning (linjer og cirkler)

Kernestof:
Linjens ligning (normalvektorvektor) og parameterfremstilling (retningsvektor) samt vinkel og skæringspunkt mellem to linjer. Projektion af punkt på linje. Afstand mellem punkt og linje. Cirklens ligning og tangentens ligning og skæring mellem linje og cirkel.

Supplerende stof:
Udledning af linjens ligning og parameterfremstilling.
Udledning af cirklens ligning.

TI-Nspire:
Tegning af cirkler, linjer og deres skæringspunkter samt måling af vinkler mellem linjer.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 10 Trigonometriske funktioner

Kernestof: radianer, grader, sin, og cos på enhedscirklen. Forskrift og graf for sin og cos samt trigonometriske ligninger. Den harmoniske svingning og den grafiske betydning af dens parametre. Trigonometriske funktioner som modeller.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 11 Sandsynlighedsregning og binomialfordelingen

Kernestof:
Tællemetoder: multiplikationsprincippet (både og), additionsprincippet (enten eller), tælletræ,antal rækkefølger(fakultet), antal permutationer  og antal kombinationer K(n,r) samt Pascals trekant.

Stokastisk eksperiment, frekvens og sandsynlighed.  Udfald, udfaldsrum, sandsynlighedsfordeling, sandsynlighedstabel og stolpediagram.
Stokatisk variabel, middelværdi, varians og spredning.

Binomialfordeling:  antallet af successer i n uafhængige basiseksperimenter, sandsynlighedsparameter p, antalsparameter n,  beregning af sandsynligheder, stolpediagram, middelværdi, spredning og varians.
Normalfordelingsapproksimation anvendes til beregning af normale- og exceptionelle udfald samt
estimat og 95 %-konfidensinterval for sandsynlighedsparameter p.
Tosidet binomialtest: nulhypotese og alternativ hypotese for, signifikansniveau, acceptområde og kritisk område.

Nspire: beregning af fakultet,  K(n,r), tegning af stolpediagram og beregning af sandsynligheder i binomialfordelingen. Simulering af binomialfordelingen.

Forløbet indeholder også en studieretningsdag, hvor klassen blandt andet har tegnet overlevelses kurver og beregnet middellevealderen betinget af at man er i live på forskellige aldre.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 12 SRO-differetialligninger

SRO er med bioteknologi og matematik.
Emnet er Enzymers aktivitet og matematik bidrager med især differentialligninger.
Eleverne har arbejdet med simple førsteordens differentialligning, partikulær løsning, den fuldstændige løsning, at gøre prøve og separation af de variable. Fokus har været at bestem den fuldstændige løsning til differentialligningerne y' = -k (nulte ordens reaktion) og y' = -ky (første ordens reaktion) ved separation af de variable.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 13 Diskret matematik - numerisk integration

Eleverne har arbejdet med numerisk integration. Herunder venstre-, højre- og trapezsummer samt udledning (bevis) for sammenhængen med det bestemte integral. Eleverne har selv arbejdet med emnet for at træne arbejdsmetoden til det supplerende materiale.

Der er også brugt to moduler på at forberede  mundtlig årsprøve.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 14 Differentialligninger

Kernestof:
Begreberne differentialligning, dens orden, partiel løsning, fuldstændige løsning, løsningskurve og ”at gøre prøve”.
Bestemmelse af tangentens ligning i et givent punkt ud fra en differentialligning.
Hældningsfelt og numerisk løsning. Differentialligninger som modeller og opstilling/modellering af differentialligninger.
Løsning af lineære 1. orden differentialligninger og løsningsmetoden: separation af de variable.
Særligt differentialligningerne:
y' = ay
y' = b - ay
y' = ay(M - y)
og sammenhængen mellem y og y’ og hvad der heraf kan konkluderes om løsningskurverne. Samt deres fuldstændige løsninger.

TI-Nspire: Løsning af differentialligninger, tegning af hældningsfelter og numerisk løsning.

Supplerede stof:
Bevis for den fuldstændige løsning til hver af differentialligningerne y' = ay og y' = b - ay ved separation af de variable.

Emneopgave: opstilling og løsning af differentialligninger til beskrivelse af medicinkoncentrationen i kroppen. I starten tilføres medicin konstant  med drop, hvorefter der så lukkes for tilførslen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 15 Vektorfunktioner

Kernestof:
Vektorfunktionens repræsentationsformer (parameterfremstilling/stedvektor, tabel og parameterkurve/banekurve),  koordinatfunktioner, hastighedsvektor og accelerationsvektor.
Analyse af parameterfremstilling og dens forløb: skæring med koordinatakserne, lodrette- og vandrette tangenter, monotoniforhold for koordinatfunktionerne og dobbeltpunkter,. Tangentens ligning og parameterfremstilling samt farten (længden af hastighedskurven).
Vektorfunktionen for en funktion. parameterkurve  for cirklen og ellipsen.

TI-Nspire: tegning af parameterkurver (radianer/grader) og deres tangenter, sted-, hastigheds- og accelerationsvektorer.

Supplerende stof:
udledning af cirklens parameterfremstilling.
Bevis for cirklens omkreds er 2*pi*r med udgangspunkt i at kurvelængden er det bestemte integral fra a til b for længden af hastighedsvektoren.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 16 Normalfordelingen og lineær regression

Kernestof
Forskrift og graf for normalfordelingens tæthedsfunktionen og fordelingsfunktion samt betydningen af middelværdien og spredningen for grafernes form og beliggenhed. Standartnormalfordelingen. Beregning af sandsynligheder som integraler, normale og exceptionelle udfald.

Stikprøver, population, estimat for middelværdi og spredning.
At undersøge om et talmateriale er normalfordelt vha. normalfordelingsplot i Nspire

Lineær regression, punktplot, residual, residualplot, test for om residualerne er normalfordelt, 95%-konfidensinterval for hældningen og mindste kvadraters metode.

Supplerende stof
Bevis for at E(X) = my, når X er N(my,sigma).
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 17 Funktioner af to variable

Kernestof:
Det 3-dimensionale koordinatsystem, punkter, vektorer og planer.
Funktioner af to variable (forskrift, graf/flade), tegning af grafen, niveaukurver og snitkurver.
Partielle afledede, dobbeltafledede, gradienter, stationære punkter og arten af stationære punkter (saddelpunkter og ekstremumspunkter). Tangentplaner er kort nævnt.

TI-Nspire: forskrift med to variable, partielle afledede, dobbeltafledede og graftegning i 3D.

Supplerende stof:
Udledning ud formler til beregning af a og b i y = ax + b ved lineærregression, ved mindste kvadraters metode.
Bevis for at gradienten angiver retningen i xy-planen, hvor funktionstilvæksten er størst, når gradienten er forskellig fra nulvektoren.

Nedenstående videoer er set  i forbindelse med emnet.

Eks. 2 Funktion af to variable: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_134.html

Definition 13 og eks 14: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_136_1.html

Eks. 16: niveaukurver: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_136_2.html

Definition 17: snitfunktion og snitkurve: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_137_1.html

Eks. 18: Bestemmelse af snitfunktion: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_137_2.html

Eks. 24: Partielle afledede: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_138.html

Eks 25: Tangentplan https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_139_1.html

Definition 27 og eks. 28: Gradient: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_139_2.html

Eks. 31 og definition 32: Stationært punkt: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_140_1.html

Saddelpunkt: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_141_1.html

Eks. 38: Dobbelte partielle afledede: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_141_2.html
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 17 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 18 Forberedelsesmaterialet - Betinget sands.

Eleverne har selv arbejdet med forberedelsesmaterialet om betinget sandsynlighedsregning.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 19 Repetition, terminsprøve, beviser

Eleverne har lavet talepapir til nogle af de mundtlige eksamensspørgsmål.
Eleverne har øvet på nogle af de centrale sætninger og beviser fra stoffet.
Eleverne har har forberedt og efterarbejdet terminsprøven.
Eleverne har regnet tidligere stillet eksamensopgaver.
Eleverne har lavet mundtlige fremlæggelser for hinanden.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 15 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer