Holdet 2023 Ma/d - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2024/25
Institution Frederiksborg Gymnasium og hf
Fag og niveau Matematik B
Lærer(e) Ida Holst, Jesper Bjørnholt
Hold 2023 Ma/d (1d Ma, 1d Max, 2d Ma)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Eksponentialfunktioner
Titel 2 Polynomier
Titel 3 Vektorer 1 og trigonometri
Titel 4 Differentialregning og repetition
Titel 5 Deskriptiv statistik
Titel 6 Sandsynlighedsregning og kombinatorik
Titel 7 Binomialfordeling og binomialtest
Titel 8 Normalfordelingen
Titel 9 Trigonometriske og stykkevise funktioner
Titel 10 Analytisk geometri
Titel 11 Differentialregning 2
Titel 12 Repetition og eksamenstræning

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Eksponentialfunktioner

Eksponentialfunktioner (med Ida og Mikkel)

I har arbejdet med eksponentialfunktioner, hvordan man tolker a og b i eksponentialfunktioner og opstiller en eksponentialfunktion. I har trænet hvordan man kan opstille en eksponentialfunktion ud fra data (eksponentiel regression) og to punkter (topunktsformel eller eksponentiel regression). I har også kigget på fordoblingskonstant og halveringskonstant. I har arbejdet ud fra , men det gennemgåede svarer til grundbog B1 s. 130-135

I har bevist topunktsformlen for eksponentialfunktioner (grundbog B1 s. 138-139) og vi har i repetitionsforløb i 2g bevist formlen for fordoblingskonstanten (grundbog B1 s. 139).

Desuden kort om logaritmer.
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 18 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 2 Polynomier

Andengradspolynomier (Mikkel og så Jesper)

Kernestof:
Vi har defineret andengradspolynomier og set på grafen for et andengradspolynomium (en parabel). Vi har snakket om betydning af koefficienter a, b og c samt betydningen af diskriminanten d=b^2-4*a*c for andengradspolynomier. Her var b tangentens hældning ved skæring med x-aksen. Vi har fundet rødder for polynomier også kaldet nulpunkter med diskriminantformlen. VI har reduceret med kvadratsætninger med det formål at kunne bruge det i beviset for diskriminantformlen. Derefter har vi set på forskel mellem andengradsligninger og andengradspolynomier, samt diskriminantformlen for andengradsligninger og bestemmelse af toppunkt. Vi har løst ligninger med nulreglen, der siger, at et produkt er 0 hvis og kun hvis en af faktorerne er 0.

Vi har også lavet andengradsregression, der i Nspire hedder kvadratisk regression.
Bevis for diskriminantformlen - se video på første modul i forløbet.

Sideløbende har I repeteret at løse opgaver om lineære funktioner og eksponentialfunktioner i Nspire.

Stoffet er gennemgået ud fra arbejdsark men svarer til:
Kernestof B2 s. 8-15. Alle arbejdsark ligger desuden på første modul, hvor I kan læse samme teori.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 3 Vektorer 1 og trigonometri

Vektorer 1 og trigonometri (Jesper og Ida)

Vi introducerer vektorer og bruger dem til at løse geometriske problemer. Også i trigonometrien (det vil sige beregning af sider og vinkler i trekanter). Vi definerer en vektor som en retning og en længde, og ser først på, hvordan vi regner med vektorer ved hjælp af deres koordinater. Vi definerer sum af vektorer, en konstant gange en vektor, differens mellem vektorer, nulvektor, den modsatte vektor og stedvektor. Alle begreber ser vi på både geometrisk og ved at regne med koordinater.

Vi finder koordinatsæt til en vektor fra A til B (der er to punkter) og beregner længde af vektorer ved længdeformlen. Vi bruger indskudssætningen


Vi skal derefter træne at løse simple ligninger, der indeholder vektorer.

Vi definerer sinus og cosinus ud fra enhedscirklen.

Vi definerer en vinkel mellem to vektorer samt ortogonale og parallelle vektorer. Vi definerer prikproduktet, og bruger det til at vurdere om vektorer er ortogonale. Vi definerer determinanten og til at vurdere om to vektorer er parallelle. Vi bestemmer også vinklen præcist med formel for vinkel mellem vektorer.

Vi lærer at regne vektoropgaver i Nspire, og finder prikprodukt ved dotp(..,...) og længden ved norm(...). Vi bemærker, at Nspire ikke kan notere så godt om vektoropgaver og træner på at forklare notation, når vi bruger Nspire: Fx. "I opgaven skrives vektorer uden vektorpile, men markeres med fed." I forhold til trekanter træner vi på at løse trekantopgaver ved konstruktion (til når der står "tegn en model" eller "konstruér trekanten".

Vi træner på at bruge sinus, cosinus og tangens i en retvinklet trekant, Pythagoras sætning og både den simple arealsætning og arealformlerne. I vilkårlige trekanter konstruerer vi, eller laver beregninger med vektorer.

Vi beviser at to vektorer a og b er ortogonale, hvis og kun hvis deres prikprodukt er 0 (Jakobs noter s. 13)
Vi beviser egenskab 1 og 3 for determinanten (Jakobs noter s. 21-23)

Teori ud fra to dokumenter:
Jesper Bjørnholt: Ensvinklede trekanter, den simple arealsætning, Pythagoras og arealformlerne. 2023
Jesper Bjørnholt: Retvinklede trekanter 2023
Jakob Bøje Pedersen: Vektorer.teori.2023
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 20 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 Differentialregning og repetition

Differentialregning og repetition

Kernestof
Da så mange havde haft svært ved årsprøven, og knap halvdelen ikke bestod, starter vi året med at repetere 1g-opgaver i små gruppeafleveringer på klassen.

Vi går derefter i gang med at differentiere i hånden, og vi bestemmer differentialkvotient for potensfunktioner x^a, herunder også x, kvadratrod x og 1/x, differentialkvotient for konstant, e^x og ln(x). Vi ser også på hvordan man differentierer sin(x) og cos(x) (som vi i et senere forløb introducerer som funktioner). Vi træner at bruge produktreglen (at differentiere for eksempel f(x)=x^2*ln(x)) og kædereglen til at differentiere sammensatte funktioner, når den indre funktion er en lineær funktion (for eksempel f(x)=e^(2x+1)). Vi bruger derudover regneregler for differentialkvotient og bestemmer tangentens ligning.

Vi aflæser f’(x) grafisk som hældning af tangenten, og løser grafisk ligningen f’(x)=0.

Vi bruger differentialregning til at finde monotoniforhold, lokalt minimum og maksimum, globalt minimum og maksimum, vendepunkt, optimere, bestemme væksthastighed, og at tolke betydning af differentialkvotient i matematiske modeller.

Sideløbende træner vi reduktion, gange ind i parentes, potensregneregler, ligningsløsning, at indsætte i en funktion samt de tre store emner: vektorregning, lineære funktioner og eksponentialfunktioner fra sidste år.

Vi har gennemgået ud fra arbejdsark og powerpoint, men det gennemgåede svarer til Kernestof B2 s. 92-97 (om at differentiere) s. 110-113 (om at differentiere sværere funktioner),  s. 122-131 (om monotoniforhold, ekstrema og optimering). Vi har dog hoppet over udledning af y-værdi for toppunktet s. 129.

Under differentialregning 2 (senere på året) har vi defineret sekant, tangent og differentialkvotient (vi lader x gå mod x0 og ikke h gå mod 0). Se dokument under første modul til dette forløb. Ud fra denne definition har vi gennemført de tre beviser nedenfor:

Beviser:
Udledning af differentialkvotient for x^2 (gennemført under repetition, se dokument under første modul til dette forløb)
Udledning af differentialkvotient for f(x)=ax+b (gennemført under repetition, se dokument under første modul til dette forløb)
Udledning af toppunktets x-værdi for andengradspolynomier ud fra differentialregning (s. 129 i Kernestof B2) (også gennemført under repetition)




Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 23 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 5 Deskriptiv statistik

Deskriptiv statistik

Kernestof: Bemærk: Der kan ikke komme opgaver i dette til skriftlig eksamen, men det kan der til gruppedelprøven.

Vi har arbejdet med deskriptiv statistik for ugrupperede og grupperede observationer:
For ugrupperede observationer har vi arbejdet med begreberne middelværdi, frekvens, hyppighed, stolpediagram (i bogen kaldt pindediagram), prikdiagram, median, kvartilsæt og boksplot er gennemgået. Vi ser også på forskellen mellem middelværdien (gennemsnittet) og medianen (hvor 50% ligger på den værdi eller under).

For deskriptiv statistik med grupperede observationer har vi arbejdet med: intervaller, intervalhyppighed, intervalfrekvens, histogram, kumuleret frekvens, sumkurve og kvartilsæt. For grupperede observationer har vi kun aflæst, men ikke selv lavet diagrammer.

Vi har kun arbejdet med at tegne boksplot, stolpediagram, prikdiagram osv. i hånden.
Emnet er gennemgået ud fra arbejdsark og at arbejde selv med fagligt stof inden opsamling, men det gennemgåede stof svarer til:  
Kernestof B1 s. 46-55 (dog uden begreberne "ordnet observationssæt" og "typetal"). Typetallet betyder bare den observation, der var flest af.


Eleverne har selv tilegnet sig stoffet ud fra tekst, og har løbende skulle svare på læsespørgsmål og lave små opgaver for at vise, at de har tilegnet sig stoffet.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 4 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 6 Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Kernestof:
Vi snakker om en sandsynlighedsmodel også kaldt et sandsynlighedsfelt. Vi ser, at en sandsynlighedsmodel består af udfald, og deres sandsynlighed, og kalder alle udfald til sammen for et udfaldsrum. Når vi ser på flere udfald samlet, kalder vi dem hændelser. Vi konstaterer, at summen af alle sandsynligheder i en sandsynlighedsmodel er 1, og hvis alle sandsynligheder i en model er ens, kalder vi modellen for en symmetrisk sandsynlighedsmodel.
Vi snakker om, at når man skal finde sandsynligheden for en hændelse, der består af flere udfald kan man bruge additionsprincippet (enten-eller-princippet) fx P(”1 eller 2”)=P(1)+P(2). Når to hændelser er uafhængige kan man bruge multiplikationsprincippet fx P(”2 seksere med to terninger”)=P(6)*P(6) (både-og-princippet).
Vi tegner tælletræer i hånden, og udregner sandsynligheder ved P(H)=(antal gunstige)/(antal mulige)
Derefter indføres notationen fakultet (!), og vi regner fx 3!=3*2*1. Vi beregner antal permutationer (når rækkefølgen har betydning, som i passwords), og antal kombinationer (når rækkefølgen ikke har betydning, som når man skal lave en klike).
Vi har arbejdet med stoffet ud fra gennemgang, arbejdsark og opgaveregning, men I kan læse om stoffet nedenfor:

Kernestof B1 s. 66 til 77. OBS: Bogen indfører begreberne A priori og frekvensbaseret sandsynlighedsregning, og de begreber har vi ikke brugt. Vi har heller ikke arbejdet med Pascals trekant., men alt andet på siderne.
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 7 Binomialfordeling og binomialtest

Binomialfordeling og binomialtest

Vi indleder med at se på en binomialfordeling mere teoretisk, der er opbygget af et basiseksperiment med en basishændelse (succes), og hvor komplementærhændelsen er fiasko. Binomialtesten har en basissandsynlighed p (sandsynligheden for basishændelsen), et antalsparameter n (som er antal gentagelser), en stokastisk variabel X (som er antal succeser i et eksperiment). Vi undersøger først, hvad sandsynligheden er, for at X er en bestemt værdi fx P(X=3), og senere, hvad sandsynligheden er for at X ligger mellem to værdier, eller er over eller under en værdi fx P(2<=X<=5) og P(X>4). Vi tegner søjlediagrammer for binomialfordelinger.

Vi regner generelt inden for sandsynlighedsregningen middelværdi, varians og spredning ud fra sandsynligheder, og ser på de lettere formler for at finde middelværdi, varians og spredning for binomialfordelte data, når vi kender n og p. Vi undersøger efter næste forløb om normalfordelingen, om en observation er et normalt eller et exceptionelt udfald. Til sidst laver vi to-sidet binomialtest (også kaldt dobbeltsidet binomialtest). I forløbet kigger vi også på simulering af kast med terninger, hvor vi undersøger den observerede sandsynlighed for et antal 6ere ud fra en skabelon i Nspire.

Vi har arbejdet ud fra følgende sider med tilhørende opgaver.

Læst:
Kernestof B2 s. 66 til 75 (om binomialfordelingen)
Kernestof B2 s. 82-85 (om binomialtest)
Kernestof B2 s. 142-143 (om konfidensintervaller)
Normalfordelingen (note vedlagt første modul i forløbet)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 8 Normalfordelingen

Normalfordelingen

Supplerende stof:
Vi ser på, hvordan middelværdi (my) og spredning (sigma) kan beregnes ud fra kendte data og de tre kriterier at data er normalfordelte nemlig at data sigter efter middelværdien, at data rammer med en vis usikkerhed (udtrykt ved spredningen) og at der ligger flere data tæt på end langt fra middelværdien. Vi skelner mellem den teoretiske middelværdi og spredning (for en population) og den beregnede middelværdi og spredning (beregnet ud fra en given stikprøve). Vi introducerer frekvensfunktionen (der også kaldes tæthedsfunktionen) og ser at grafen for denne er klokkeformet samt, hvordan grafen afhænger af middelværdi og spredning. Vi ser også på 95% konfidensintervaller. I den forbindelse kigger vi på forskellige modeller, hvor normalfordelingen anvendes.

Læst:
"Normalfordelingen 2d 24": Note om normalfordelingen af Jakob Bøje Pedersen (redigeret af Jesper Bjørnholt)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 9 Trigonometriske og stykkevise funktioner

Trigonometriske og stykvise funktioner

Vi repeterer aflæsning af sin(v) og cos(v), hvor v står i grader, ud fra enhedscirklen, og ser på, hvordan man kan aflæse sin(x) og cos(x), hvor x står i radianer i stedet for i grader. Vi oversætter mellem grader og radianer. Vi arbejder eksperimentelt og finder egenskaber for trigonometriske funktioner. Vi bruger enhedscirklen til at tegne graf for de trigonometriske funktioner og ser på deres egenskaber. Vi finder frem til egenskaber via eksperimenter. Vi finder altså at når f(x)=A*(sin(Bx+C)+k, er A amplitude, T=2*pi/b er perioden, c parallelforskyder mod venstre og d parallelforskyder opad (vi har kaldt b for omega og c for phi og D for k).
Vi ser på stykvise funktioner og tegner dem i hånden og i Nspire, både stykvise funktioner, og udfordrer til sidst ved at se på stykvise funktioner, der indeholder trigonometriske funktioner.

Sideløbende snakker vi om stykkevise funktioner og tegner funktioner ud fra gaffelforskrifter både i hånden og i Nspire ud fra arbejdsark.

Vi arbejder med trigonometriske funktioner ud fra Kernestof og ud fra arbejdsark om stykkevise funktioner. I kan læse mere:   
Kernestof B2 s. 40-47 om trigonometriske funktioner
Kernestof B1 s. 217-218 om stykkevise funktioner.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 10 Analytisk geometri

Analytisk geometri
Kernestof
Vi ser ved beregning på, hvordan man ud fra et punkt og en normalvektor kan opstille linjens ligning, og at linjens ligning kan stå på tre former y=ax+b, a(x-x0)+b(y-y0)=0, ax+by+c=0 og.
Vi ser ved beregning på, hvordan man ud fra et punkt og retningsvektor kan opstille linjens parameterfremstilling.
Vi beregner en linjes hældningsvinkel som a=tan(v). Vi bruger at to linjer er ortogonale, hvis og kun hvis prikproduktet af deres normalvektorer er 0, og at hvis og kun hvis deres hældninger ganget sammen er -1, er linjerne også ortogonale. Vi finder vinkel mellem linjer som vinkel mellem retningsvektorer eller normalvektorer, og bestemmer skæring mellem linjer i Nspire når man kender to parameterfremstillinger, to ligninger eller en parameterfremstilling og en ligning. Vi beregner afstand mellem to punkter, et linjestykkes midtpunkt og afstand fra punkt til linje.
I forløbet repeteres projektion af vektor på vektor, tværvektor og determinant fra 1g, Vi beregner også afstand fra punkt til linje samt afstand mellem parallelle linjer.
Cirklen beskrives ved cirklens ligning, og vi ser på hvordan man kan bestemme cirklens ligning ud fra centrum og radium. Desuden repeteres kvadratsætninger fra 1g, og vi undersøger ved kvadratkomplettering hvordan man kan bestemme centrum og radius ud fra cirklens ligning både i hånden og med completesquare(…,x,y) i Nspire. Tangent bestemmes for en cirkel ved beregning ud fra normalvektor og punkt, og det undersøges, om en bestemt linje er tangent for cirklen.

Sideløbende repeteres vektorregningen fra 1g.
Kernestof B2 s. 158-171, 172 (udledning af linjens ligning), udledning af cirklens ligning s. 176.

Beviser:
Udledning af linjens ligning (s. 172)
Udledning af cirklens ligning (s. 176)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 12 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 11 Differentialregning 2

Differentialregning 2

Vi definerer differentialkvotienten formelt hvor vi lader x gå mod x0, og beviser tre beviser inden for differentialregningen. Alle beviser er skrevet under differentialregning 1 for at have det samlet.
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 1 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 12 Repetition og eksamenstræning

Repetition og eksamenstræning

Vi gennemgår de beviser, vi har udskudt i løbet af året, og laver dispositioner i fællesskab, Vi regner repetitionsopgaver fra de forskellige forløb undervejs, for også at holde det ved lige. Beviserne er skrevet på de forløb, hvor de hører til.

Alle elever kommer ind individuelt og laver en minipræsentation af starten på en af jeres dispostioner for at træne at gå til tavlen og præsentere matematisk teori, matematisk resonement og evt. dele af et bevis.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer