Holdet 3i MA (2025/26) - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2023/24 - 2025/26
Institution Frederiksborg Gymnasium og hf
Fag og niveau Matematik A
Lærer(e) Jakob Bøje Pedersen
Hold 2023 MA/i (1i MA, 2i MA, 3i MA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Vækst, potens, rod og logaritme
Titel 2 Polynomier (historisk forløb)
Titel 3 Vektorregning
Titel 4 Deskriptiv statistik
Titel 5 Mere om funktioner
Titel 6 Differentialregning
Titel 7 Annuitetsopsparing og -lån
Titel 8 Integralregning
Titel 9 Vektorregning (linjer og cirkler)
Titel 10 Trigonometriske funktioner
Titel 11 Binomialfordelingen
Titel 12 SRO - Økonomisk ulighed - optakt til SRO
Titel 13 Diskret matematik
Titel 14 Differentialligninger
Titel 15 Mundtlig årsprøve (forberedelse)
Titel 16 Vektorfunktioner
Titel 17 Normalfordelingen
Titel 18 Funktioner af to variable
Titel 19 Forberedelsesmateriale og terminsprøve
Titel 20 Repetition

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Vækst, potens, rod og logaritme

Kernestof:
Potensregneregler, logaritmefunktionen, logaritmeregler og ligninger med potenser. Den eksponentielle udviklings forskrift og graf, betydningen af konstanterne a og b, 2punktsformlen, fordobling- og halveringskonstanten samt den eksponentielle model og eksponentiel regression. Forskrift, graf og vækstegenskab for potensfunktion (kort berørt).

Nspire:
Arbejde med funktioners forskrift og graf.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2 Polynomier (historisk forløb)

Kernestof:
Regning med bogstaver, kvadratsætningerne, nulreglen og andengradsligningen. Andengradpolynomiets forskrift og graf, grafisk betydning af konstanterne a,b,c og d, rødder/nulpunkter, toppunkt, faktorisering (f(x) = a(x-x1)(x-x2) for d mindst 0, forskriften udtrykt ved toppunktet (f(x) = (x-topx)^2 + topy) og kvadratisk regression. Polynomier generelt: forskrift, grafer,antal rødder og regression.

Historisk stof:
De tre af kvadratsætningerne er bevist ved at gange parenteserne sammen og de to første er bevist ved geometriske betragtninger, som hos Euklid.

Supplerende stof:
Bevis for andengradsligningen
Bevis for toppunktets x-koordinat og den betydning af b ved differentialregning (2.g).

TI-Nspire:
Regression, beregning og aflæsning/afmærkning af rødder, afmærkning af ekstrema.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3 Vektorregning

Forløbet er baseret på notat om vektorregning (30 sider).

Kernestof:
Definitionen af cos, sin og tan  på enhedscirklen samt disses relationer i retvinklede trekanter. Pythagoras, arealet af en trekant og ensvinklet trekanter.
Vektorbegrebet, nulvektor, stedvektor, regning med vektorer og den grafiske betydning, længden af vektorer, afstanden mellem to punkter, prikproduktet og regning med prikproduktet, regneregler for prikproduktet, vinklen mellem to vektorer og ortogonale vektorer. Enhedvektor, projektion af vektor på vektor, tværvektor, determinanten, sammenhæng mellem determinanten og prikproduktet, parallelle vektorer og areal af parallelogram.

Supplerende stof:
Bevis for a*b = b*a og a*a = |a|^2
Bevis for at to vektorer er ortogonale netop når prikproduktet er nul
Bevis for projektionsformlen
Bevis for sammenhæng mellem determinanten og tværvektor
Bevis for at to vektorer er parallelle netop når determinanten er 0

TI-Nspire:
Koordinatsystem med kvadratisk gitter, tegning af vektorer og trekanter, grafisk bestemmelse af vinkler og længder.

Studieretningsdag sammen med samfundsfag om sammenhængen mellem "børn" og forældres , adfærd omkring dyre forbrugslån.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4 Deskriptiv statistik

Kernestof:
Ugrupperede observationer herunder (udvidede) kvartilsæt. variationsbredde, middeltal, spredning, kvartilbredde, outlier, venstreskæv, højreskæv og boksplot.
Grupperede observationer herunder middeltal, histogram, sumkurve, kvartilsæt og fraktil.
Vi har også arbejdet med de statistiske begreber: Stikprøve, population, systematiske fejl, konfundering (skjulte variable).

TI-Nspire:
Importering af datasæt fra Excel, statistik med en variabel og statistik med en variabel og tegning af boksblot.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5 Mere om funktioner

Kerne stof:
Funktion som en del af en afbildning. Funktion beskrevet ved forskrift, tabel, grad og ord.
Sammensat funktion (fra indre - og ydre - til sammensat funktion og omvendt).
Stykkevis funktion (eksempel med progressiv beskatning og den numeriske værdi).
Aflæsning af dm, vm, ekstrema og monotoniforhold fra en graf.
Parallelforskydning af grafer efter en vektor.
Invers (omvendt) funktion: Bestemmelse ved beregning, spejling i diagonallinjen med ligning y = x og f(f^-1(x)) = f^-1(f(x)) = x.


TI-Nspire:
Graftegning, afmærkning af nulpunkter og ekstrema samt tegning af tangenter.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6 Differentialregning

Kernestof: differentialkvotienten  (den definition der har x-x0 i tælleren i sekantens hældning) og dens grafiske betydning, differentiation af simple funktioner, tangentens ligning, monotoniforhold, differentiation af produkt og sammensat funktion og optimering. Funktionerne ln(x) og exp(x) og deres egenskaber. Fortolkning af differentialkvotienten som væksthastigheden og matematiske modeller.

Supplerende stof:
Udledning (bevis) af differentialkvotienten for simple funktioner ax+b, x^2, kvadratroden af x og x^3.
Bevis for differentiation af en sum af to funktioner (kursorisk).
Bevis for differentiation af produktreglen.
Bevis for at en differentiabel funktion er kontinuert.
Bevis for x-koordinaten til parablens toppunkt og den grafiske betydning af koefficienten b i andengradspolynomiet.

Særlig fokus på forståelse af kontinuitet, differentialkvotienten, udledning af differentialkvotienter og opgaveregning

I Nspire har vi arbejdet med bestemmelse den afledede funktion,  tangentens ligning,  monotoniforhold og optimering.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 23 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7 Annuitetsopsparing og -lån

Kernestof:
Indekstal og renteformlen
har alle klasser arbejdet med i grundforløb i samarbejde med samfundsfag.

Supplerende stof:
Annuitetsopsparing og annuitetslån er behandlet med både formler og
tabeller (regneark).

TI-Nspire:
Tabeller ved matricer og ved regneark.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 2 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8 Integralregning

Kernestof: stamfunktioner (ubestemt integral), deres entydighed og regneregler for disse. Det bestemte integral og regneregler for disse, arealberegning af områder afgrænset af en eller flere grafer for kontinuerte funktioner. Integration ved substitution. Omdrejningslegemer og deres rumfang samt kurvelængden. Numeriske metoder er kun nævnt kursorisk.

Nspire: bestemmelse af stamfunktioner og bestemte integraler, løsning af ligninger, hvor der indgår et bestemt integral samt graftegning med henblik på arealbestemmelse.

Supplerende stof:
Bevis for regneregler for det ubestemte integral: sum af to funktioner.
Bevis for regneregler for det bestemte integral: sum af to funktioner.
Bevis for at det bestemte integral ikke afhænger af den valgte stamfunktion.
Bevis for at arealfunktionen er en stamfunktion og for sammenhængen mellem areal og det bestemte integral (integralregningens hovedsætning).
Bevis for bestemmelse af arealet af et område afgrænset af graferne for  to kontinuere funktioner.

Der har været særlig fokus på opgaveregning (arealberegning) og beviser.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9 Vektorregning (linjer og cirkler)

Kernestof:
Linjens ligning (normalvektorvektor) og parameterfremstilling (retningsvektor) samt vinkel og skæringspunkt mellem to linjer. Projektion af punkt på linje. Afstand mellem mellem to punkter samt mellem punkt og linje. Cirklens ligning og tangentens ligning og skæring mellem linje og cirkel.

Supplerende stof:
Udledning af linjens ligning og parameterfremstilling.
Udledning af cirklens ligning.

TI-Nspire:
Tegning af cirkler, linjer og deres skæringspunkter samt måling af vinkler mellem linjer.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10 Trigonometriske funktioner

Kernestof: radianer, grader, sin, og cos på enhedscirklen. Forskrift og graf for sin og cos samt trigonometriske ligninger. Den harmoniske svingning og den grafiske betydning af dens parametre. Trigonometriske funktioner som modeller.
Nspire: grader/radianer.

Forløbet indeholder også evaluering af undervisningen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11 Binomialfordelingen

Kernestof:
Tællemetoder: multiplikationsprincippet (både og), additionsprincippet (enten eller), tælletræ,antal rækkefølger(fakultet), antal permutationer  og antal kombinationer K(n,r) samt Pascals trekant.

Stokastisk eksperiment, frekvens og sandsynlighed.  Udfald, udfaldsrum, sandsynlighedsfordeling, sandsynlighedstabel og stolpediagram.
Stokatisk variabel, middelværdi, varians og spredning.

Binomialfordeling:  antallet af successer i n uafhængige basiseksperimenter, sandsynlighedsparameter p, antalsparameter n,  beregning af sandsynligheder, stolpediagram, middelværdi, spredning og varians.
Normalfordelingsapproksimation anvendes til beregning af normale- og exceptionelle udfald samt estimat og 95 %-konfidensinterval for sandsynlighedsparameter p.
Tosidet binomialtest: nulhypotese og alternativ hypotese for, signifikansniveau, acceptområde og kritisk område.

Nspire: beregning af fakultet,  K(n,r), tegning af stolpediagram og beregning af sandsynligheder i binomialfordelingen. Simulering af binomialfordelingen.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12 SRO - Økonomisk ulighed - optakt til SRO

SRO Laves sammen med samfundsfag om emnet økonomisk og social ulighed.
Vi har arbejdet med Lorenzkurver for indkomstfordelingen, ginikoefficient og den maksimale udligningsgrad (Robinhoodindekset). Vi har også opstillet og reduceret et sumudtryk for ginikoefficienten, dvs. en sum af arealer af trapezer (numerisk integration).
Data kommer fra Danmark Statistik. Eleverne har set på udviklingen de sidste 30 år og sammenlignet uligheden imellem danske kommuner.
Vi har arbejdet med, hvordan man skriftligt kan afrapportere/skrive om en matematik analyse som f.eks. en regression i en opgave som SRO og SRP.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13 Diskret matematik

Regning med endelige summer.
Sum og differens af summer, at sætte en konstante indenfor/udenfor sumtegnet samt forskydning af indeks.
Vi har arbejdet med summer op til og i SRO om Ginikoefficient og har opstillet og reduceret et sumudtryk for Ginikoefficienten, dvs. en sum af arealer af trapezer (numerisk integration).
Vi har arbejdet med summer i forløbet om funktioner af to variable. Her har vi udledt formlerne til bestemmelse  af hældningskoefficienten og konstantledet,når der udføres en  lineær regression ved mindst kvadraters metode.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14 Differentialligninger

Kernestof:
Begreberne differentialligning, dens orden, partiel løsning, fuldstændige løsning, løsningskurve og ”at gøre prøve”.
Bestemmelse af tangentens ligning i et givent punkt ud fra en differentialligning.
Hældningsfelt og numerisk løsning. Differentialligninger som modeller og opstilling/modellering af differentialligninger.
Løsning af lineære 1. orden differentialligninger og løsningsmetoden: separation af de variable.
Særligt differentialligningerne:
y' = ay
y' = b - ay
y' = ay(M - y)
og sammenhængen mellem y og y’ og hvad der heraf kan konkluderes om løsningskurverne. Samt deres fuldstændige løsninger og løsningskurvernes egenskaber.

TI-Nspire: Løsning af differentialligninger, tegning af hældningsfelter og numerisk løsning.

Supplerede stof:
Bevis for den fuldstændige løsning til hver af differentialligningerne y' = ay og y' = b - ay ved separation af de variable.

Emneopgave: opstilling og løsning af differentialligninger til beskrivelse af medicinkoncentrationen i kroppen . I starten tilføres medicin konstant  med drop, hvorefter der så lukkes for tilførslen.

Forløbet indeholder også et oplæg om muligheder med matematik ved SRP.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 23 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 15 Mundtlig årsprøve (forberedelse)

Klassen har ved små tavler øvet de beviser, der indgår ved den mundtlige årsprøve.

- Formlen til bestemmelse af koordinatsættet for projektion af vektor på vektor
- Udledning af differentialkvotienten for en simpel selvvalgt funktion
- Produktreglen for differentialkvotienter
- En differentiabel funktion er også kontinuert
- Integralregningens hovedsætning

Hvordan foregår den mundtlige eksamen i matematik og træning i at lave et "talepapir" til en mundtlig eksamen.
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 16 Vektorfunktioner

Kernestof:
Vektorfunktionens repræsentationsformer (parameterfremstilling/stedvektor, tabel og parameterkurve/banekurve), koordinatfunktioner, hastighedsvektor og accelerationsvektor.
Analyse af parameterfremstilling og dens forløb: skæring med koordinatakserne, lodrette- og vandrette tangenter, monotoniforhold for koordinatfunktionerne og dobbeltpunkter. Tangentens ligning og parameterfremstilling samt farten (længden af hastighedskurven).
Vektorfunktionen for en funktion. parameterkurve for cirklen og ellipsen.

TI-Nspire: tegning af parameterkurver (radianer/grader) og deres tangenter, sted-, hastigheds- og accelerationsvektorer.

Supplerende stof:
Bevis for at cirklens hastighedsvektor og accelerationsvektor er ortogonale.
Bevis for cirklens omkreds er 2*pi*r med udgangspunkt i at kurvelængden er det bestemte integral fra a til b for længden af hastighedsvektoren.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17 Normalfordelingen

Kernestof
Forskrift og graf for normalfordelingens tæthedsfunktionen og fordelingsfunktion samt betydningen af middelværdien og spredningen for grafernes form og beliggenhed. Standartnormalfordelingen. Beregning af sandsynligheder som integraler, normale og exceptionelle udfald.

Stikprøver, population, estimat for middelværdi og spredning.
At undersøge om et talmateriale er normalfordelt vha. normalfordelingsplot i Nspire

Lineær regression, punktplot, residual, residualplot, test for om residualerne er normalfordelt, kursorisk gennemgang af 95%-konfidensinterval for hældningen.

Supplerende stof
Bevis for at E(X) = my, når X er N(my,sigma).
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 18 Funktioner af to variable

Kernestof:
Det 3-dimensionale koordinatsystem, punkter, vektorer og planer.
Funktioner af to variable (forskrift, graf/flade), tegning af grafen, niveaukurver og snitkurver.
Partielle afledede, dobbeltafledede og den blandede afledede, gradienter, stationære punkter og arten af stationære punkter (saddelpunkter og ekstrema-punkter).

TI-Nspire: forskrift med to variable, partielle afledede, dobbeltafledede,  blandede afledede og graftegning i 3D.

Supplerende stof:
Udledning ud formler til beregning af a og b i y = ax + b ved lineærregression, ved mindste kvadraters metode.


Nedenstående videoer er set  i forbindelse med emnet.

Eks. 2 Funktion af to variable: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_134.html

Definition 13 og eks 14: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_136_1.html

Eks. 16: niveaukurver: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_136_2.html

Definition 17: snitfunktion og snitkurve: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_137_1.html

Eks. 18: Bestemmelse af snitfunktion: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_137_2.html

Eks. 24: Partielle afledede: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_138.html

Eks 25: Tangentplan https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_139_1.html

Definition 27 og eks. 28: Gradient: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_139_2.html

Eks. 31 og definition 32: Stationært punkt: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_140_1.html

Saddelpunkt: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_141_1.html

Eks. 38: Dobbelte partielle afledede: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/kernestof3/s_141_2.html
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 19 Forberedelsesmateriale og terminsprøve

Der er brugt tre moduler til at forberede terminsprøven, hvor eleverne har regnet tidligere stillet eksamenssæt samt tilbageaflevering af terminsprøven.
Der er brugt 4 moduler til forberedelsesmaterialet, hvor eleverne selv har arbejdet med materialet og har kunne spørge om hjælp.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 20 Repetition

Vi startede forløbet med et lille hængeparti om inverse funktioner.
Vi har talt om hvordan den mundlige eksamen foregår og eleverne har lavet talpapirer til nogle af eksamensspørgsmålene. Eleverne har to og to øvet beviser ved små tavler. Eleverne har set læreren gennemgå nogle af beviserne igen og endelig har eleverne regnet tidligere stillet eksamenssæt.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer