Holdet 2024 Ma/qr - Undervisningsbeskrivelse

menu

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser
Termin(er) 2024/25
Institution Frederiksborg Gymnasium og hf
Fag og niveau Matematik B
Lærer(e) Jesper Bjørnholt
Hold 2024 Ma/qr (2qr Ma)
Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Titel 1 Differentialregning 1
Titel 2 Andengradspolynomier
Titel 3 Binomialfordeling og binomialtest
Titel 4 Trigonometriske og stykkevise funktioner
Titel 5 Analytisk geometri
Titel 6 Differentialregning 2
Titel 7 Repetition og eksamenstræning

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)
Titel 1 Differentialregning 1

Differentialregning 1

Kernestof
Vi arbejder uden definition og beviser i dette indledende forløb om differentialregning. Vi bestemmer differentialkvotient for potensfunktioner x^a, herunder også x, kvadratrod x og 1/x, differentialkvotient for konstant, e^x og ln(x). Vi ser også på hvordan man differentierer sin(x) og cos(x). Vi træner at bruge produktreglen (at differentiere for eksempel f(x)=x^2*ln(x)) og kædereglen til at differentiere sammensatte funktioner, når den indre funktion er en lineær funktion (for eksempel f(x)=e^(2x+1)).
Vi bruger derudover regneregler for differentialkvotient og bestemmer tangentens ligning.

Vi aflæser f’(x) grafisk som hældning af tangenten, og løser grafisk ligningen f’(x)=0 ved at finde steder med vandret tangent.

Vi bruger differentialregning til at finde monotoniforhold, lokalt minimum og maksimum, globalt minimum og maksimum, vendepunkt og optimere, når vi først har løst ligningen f’(x)=0. Vi bestemmer også væksthastighed, og træner på at tolke betydning af differentialkvotient i matematiske modeller (husk y-enhed per x-enhed).

Sideløbende snakker vi om sammensatte funktioner, definitionsmængde, værdimængde og repeterer forståelse af en funktion og at løse ligninger, reducere og andre basale færdigheder fra 1 hf.

Vi har i forløbet haft prøve med fokus på at differentiere og basale færdigheder i matematik.

Vi læser i Kernestof Mat 2 HF (af Per Gregersen og Henrik Bindesbøll Nørregaard) s. 92-97 (tangenthældning, vækst og afledet funktion), s. 110 til 113 (regneregler for at differentiere) og 122 til 127 (monotoniforhold, ekstrema og optimering). Vi læser også om s. 24-31 (om funktioner, definitionsmængde, værdimængde, monotoniforhold uden differentialregning og sammensatte funktioner).

Under differentialregning 2 (senere på året) har vi defineret sekant, tangent og differentialkvotient (vi lader x gå mod x0 og ikke h gå mod 0). Se dokument under første modul til dette forløb. Ud fra denne definition har vi gennemført de tre beviser nedenfor:

Beviser:
Udledning af differentialkvotient for x^2 (gennemført under repetition, se dokument under første modul til dette forløb)
Udledning af differentialkvotient for f(x)=ax+b (gennemført under repetition, se dokument under første modul til dette forløb)
Udledning af toppunktets x-værdi for andengradspolynomier ud fra differentialregning (s. 129 i Kernestof B2) (også gennemført under repetition)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 18 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 2 Andengradspolynomier

Andengradspolynomier

Kernestof:
Vi ser på nultegradspolynomier, førstegradpolynomier og andengradspolynomier. Vi finder rødder for polynomier. Særligt fokus på andengradspolynomier. Vi snakker om betydning af koefficienter a, b og c for andengradspolynomier. Her er b tangentens hældning ved skæring med y-aksen. Vi snakker kort om faktorisering, og hvordan man kan bruge faktorisering til at løse ligninger af typen f(x)=ax^2+bx uden at skulle bruge diskriminantformlen. Vi ser også på funktioner af typen f(x)=a(x-x1)(x-x2) hvor vi kan aflæse rødder direkte som x1 og x2.

I forløbet ser vi også på forskel mellem andengradsligninger og andengradspolynomier, samt diskriminantformlen for andengradsligninger og bestemmelse af toppunkt.

Vi snakker også om andengradsregression, der i Nspire hedder kvadratisk regression.

Bevis for diskriminantformlen (s. 13 i Kernestof 2 hf)
.
Bevis for toppunktsformlen er xt=-b/2a gennemføres i differentialregning 2, da det bygger på differentialregning, som vi kommer tilbage til.

Vi læser i Kernestof Mat 2 HF (af Per Gregersen og Henrik Bindesbøll Nørregaard) s. 8-15 og supplerende s. 16-17 om polynomier af højere grad end 2.

Sideløbende repeterer vi Nspireopgaver fra 1 hf og træner kvadratsætninger.

Supplerende stof om polynomier af højere grad end to (s. 16-17)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 3 Binomialfordeling og binomialtest

Binomialfordeling og binomialtest

Vi indleder med at se på en binomialfordeling mere teoretisk, der er opbygget af et basiseksperiment med en basishændelse (succes), og hvor komplementærhændelsen er fiasko. Binomialtesten har en basissandsynlighed p (sandsynligheden for basishændelsen), et antalsparameter n (som er antal gentagelser), en stokastisk variabel X (som er antal succeser i et eksperiment). Vi undersøger først, hvad sandsynligheden er, for at X er en bestemt værdi fx P(X=3), og senere, hvad sandsynligheden er for at X ligger mellem to værdier, eller er over eller under en værdi fx P(2<=X<=5) og P(X>4). Vi tegner søjlediagrammer for binomialfordelinger.

Vi regner generelt inden for sandsynlighedsregningen middelværdi, varians og spredning ud fra sandsynligheder, og ser på de lettere formler for at finde middelværdi, varians og spredning for binomialfordelte data, når vi kender n og p. Vi undersøger om en observation er et normalt eller et exceptionelt udfald. Til sidst laver vi to-sidet binomialtest (også kaldt dobbeltsidet binomialtest). I forløbet kigger vi også på simulering af kast med terninger, hvor vi undersøger den observerede sandsynlighed for et antal 6ere ud fra en skabelon i Nspire.

Vi har arbejdet ud fra følgende sider med tilhørende opgaver.

Læst:
Kernestof Mat B2 HF s. 66 til 75 (om binomialfordelingen)
Kernestof Mat B2 HF s. 82-85 (om binomialtest)
Kernestof Mat B2 HF s. 142-143 (om konfidensintervaller)
Normalfordelingen (note vedlagt første modul i forløbet)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 4 Trigonometriske og stykkevise funktioner

Trigonometriske og stykkevise funktioner

Vi repeterer aflæsning af sin(v) og cos(v), hvor v står i grader, ud fra enhedscirklen, og ser på, hvordan man kan aflæse sin(x) og cos(x), hvor x står i radianer i stedet for i grader. Vi oversætter mellem grader og radianer.

Derefter arbejder eleverne selv med forberedelsesmaterialet vedhæftet første modul i forløbet. Der arbejder de eksperimentelt og finder egenskaber for trigonometriske funktioner. Vi samler til sidst op, og bruger enhedscirklen til at tegne graf for de trigonometriske funktioner og ser på deres egenskaber. Vi finder altså at når f(x)=A*(sin(Bx+C)+k, er A amplitude, T=2*pi/B er perioden, C parallelforskyder mod venstre og D parallelforskyder opad.

Vi ser efter forberedelsesmaterialet på stykkevise funktioner og tegner dem i hånden og i Nspire, først simple stykkevise funktioner, og vi udfordrer til sidst ved at se på stykkevise funktioner, der indeholder trigonometriske funktioner.

Læst: Forberedelsesmateriale og eksempler på stykkevise funktioner ud fra arbejdsark.
Sideløbende snakker vi om stykkevise funktioner og tegner funktioner ud fra gaffelforskrifter både i hånden og i Nspire ud fra arbejdsark.

Vi arbejder med trigonometriske funktioner ud fra Kernestof og ud fra arbejdsark om stykkevise funktioner.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 5 Analytisk geometri

Analytisk geometri

Kernestof
Vi skriver linjens ligning som y=ax+b og tjekker om et punkt ligger på linjen. Vi beregner en linjes hældningsvinkel som a=tan(v). Vi bruger at to linjer er ortogonale, hvis deres hældninger ganget sammen giver -1. Vi finder vinkel mellem linjer ved at undersøge hver linjes hældningsvinkel med x-aksen. Vi bestemmer skæring mellem linjer i Nspire når man kender to ligninger. Vi beregner afstand mellem to punkter, et linjestykkes midtpunkt og afstand fra punkt til linje.

Vi beregner også afstand fra punkt til linje samt afstand mellem parallelle linjer.
Cirklen beskrives ved cirklens ligning, og vi ser på hvordan man kan bestemme cirklens ligning ud fra centrum og radius. Desuden repeteres kvadratsætninger fra 1g, og vi undersøger ved kvadratkomplettering hvordan man kan bestemme centrum og radius ud fra cirklens ligning både i hånden og med completesquare(…,x,y) i Nspire. Tangent bestemmes for en cirkel ved beregning af hældning af hjælpelinjen c gennem C og P, og det undersøges, om en bestemt linje er tangent for cirklen.

Kernestof Mat B2 HF s. 158-166, 174-175 (bevis for distformlen), udledning af cirklens ligning s. 176.

Beviser:
Bevis for hældningsvinklen v kan findes ved tan(v)=a (s.  168) (obs: Vi viser ikke v=tan^(-1)(a), der gælder ud fra formlen.
Bevis for dist-formel (s. 174-175)
Udledning af cirklens ligning (s. 175)
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 13 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 6 Differentialregning 2

Differentialregning 2

Vi definerer differentialkvotienten formelt hvor vi lader x gå mod x0, og beviser tre beviser inden for differentialregningen. Alle beviser er skrevet under differentialregning 1 for at have det samlet.
Indhold
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer
Titel 7 Repetition og eksamenstræning

Repetition og eksamenstræning

Vi gennemgår de beviser, vi har udskudt i løbet af året, og laver dispositioner i fællesskab, Vi regner repetitionsopgaver fra de forskellige forløb undervejs, for også at holde det ved lige. Beviserne er skrevet på de forløb, hvor de hører til.

Alle elever kommer ind individuelt og laver en minipræsentation af starten på en af jeres dispostioner for at træne at gå til tavlen og præsentere matematisk teori, matematisk resonement og evt. dele af et bevis.
Indhold
Kernestof:
Omfang Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer