Holdet 2022 MAA/k - Undervisningsbeskrivelse - Lectio

Holdet 2022 MAA/k - Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Termin(er)	2022/23 - 2024/25
Institution	Rungsted Gymnasium
Fag og niveau	Matematik A
Lærer(e)	Jes Christian Bergholt, Maria Folsach Graham, Simone Gravlund Nielsen
Hold	2022 MAA/k (1k MAA, 2k MAA, 3k MAA)

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Titel 1	Procentregning
Titel 2	Eksponentielle sammenhænge 1
Titel 3	Andengradsligninger
Titel 4	Trigonometri
Titel 5	Vektorer
Titel 6	Eksponentielle sammenhænge 2
Titel 7	Potensfunktioner
Titel 8	Polynomier
Titel 9	Logaritmefunktioner
Titel 10	Trigonometriske funktioner
Titel 11	Differentialregning 1
Titel 12	Funktioner af to variable 1
Titel 13	Optakt til SRO
Titel 14	Rette linjer
Titel 15	Sandsynlighedsregning og kombinatorik
Titel 16	Repetition
Titel 17	Binomialfordelingen
Titel 18	Differentialregning 2
Titel 19	Integralregning
Titel 20	Differentialligninger
Titel 21	Normalfordelingen
Titel 22	Mere om lineær regression
Titel 23	Cirkler og ellipser
Titel 24	Funktioner af to variable 2
Titel 25	Vektorfunktioner
Titel 26	Forberedelsesmateriale (sandsynlighedsregning)
Titel 27	Repetition

Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb)

Titel 1	Procentregning Indhold • At lægge procent til / trække procent fra en begyndelsesværdi • Begreberne vækstrate og fremskrivningsfaktor • Formlerne S=B(1+r), B=S/(1+r) og r=S/B-1 • Formlen K1=K0(1+r) og videre til renteformlen Kn=K0(1+r)^n • Forskel på eksempelvis helårlig og halvårlig rentetilskrivning • Gennemsnitlig rente • Indekstal • Annuiteter Grundlæggende regnefærdigheder Omskrivning procent/brøk/decimal
Indhold	Kernestof: Procent, fremskrivningsfaktor og vækstrate.docx
Omfang	Estimeret: 5,00 moduler Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 2	Eksponentielle sammenhænge 1 Indhold • Fremskrivningsfaktor a og vækstrate r. • Forskrift for en eksponentialfunktion, herunder a og b's betydning for grafens udseende + bevis • Eksponentiel regression samt beregning af x og y i Maple. • Eksponentielle modeller, herunder opstilling af model ud fra givne oplysninger samt fortolkning af a og b i en given model. • Bestemmelse af a og b ud fra to punkter + bevis. • Eksponentiel vækst. • Eksponentiel notation. • Fordoblings- og halveringskonstant, definition samt formlerne for T2 + T1/2. ln/log er foreløbig blot en knap på lommeregneren… Grundlæggende regnefærdigheder: • Potensregneregler. Brøkregneregler.
Indhold	Kernestof: Undervisningsministeriets trivselsværktøj Opgaver - opstille eksponentielle funktioner.docx Besvarelse mattræning 1a.mw Afsnit Eksponentiel regression.pdf
Omfang	Estimeret: 9,00 moduler Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 3	Andengradsligninger Indhold • Repetition af løsning af 1.gradsligninger • Løsning af 2.gradsligninger • Arbejde med løsning af ligninger i maple (brug af "solve") • Diskriminantformlen • Arbejde med beviset for diskriminantformlen Grundlæggende regnefærdigheder: • Parenteser. • Kvadratsætninger • Reduktion.
Indhold	Kernestof: Afsnit 2.4.1 Andengradsligningen Hjælpenote 1.g.docx
Omfang	Estimeret: 5,00 moduler Dækker over: 5 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 4	Trigonometri Indhold • Navngivning af sider og vinkler i trekanter • Højde, median, vinkelhalveringslinje • Ligebenet, ligesidet, retvinklet, spidsvinklet, stumpvinklet trekant • Vinkelsum og areal af trekant • Pythagoras’ Læresætning • Ensvinklede trekanter • Definition af sinus og cosinus ud fra enhedscirklen • Definition af tangens • sin, cos og tan i retvinklede trekanter + bevis (uden brug af vektorer) • De omvendte til sinus, cosinus og tangens • Regning af sider og vinkler i vilkårlige trekanter Grundlæggende regnefærdigheder
Indhold	Kernestof: 2.4.1 Andengradsligningen Udregning af sider og vinkler i retvinklede trekanter.docx Opgaver, sin, cos og tan, retvinklet trekant.docx Retvinklede trekanter (Matematik C, Trigonometri) – Webmatematik Opgave, aflæsning af sinus og cosinus.docx Opgaver vilkårlige trekanter.docx Flere opgaver med sin, cos og tan i retvinklet trekant.docx Udregning af sider og vinkler i vilkårlige trekanter.docx Trigonometri - Bevis: cos, sin & tan for retvinklede trekanter
Omfang	Estimeret: 6,00 moduler Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 5	Vektorer Vektorer • Grundlæggende vektorberegning ○ Hvad er en vektor ○ Vektorers koordinater ○ Nulvektoren og egentlige vektorer ○ En vektors længde ○ Tværvektoren ○ Enhedsvektoren ○ Stedvektoren ○ Forbindelsesvektor og afstandsformlen • Regning med vektorer ○ Sumvektor ○ Differensvektor ○ Gange en faktor på en vektor • Vektorberegning i maple • Skalarprodukt og ortogonale vektorer (bevis for ortogonale vektorer) • Determinant og parallelle vektorer • Areal af parallelogram og trekant udspændt af to vektorer • Vinkel mellem to vektorer og herunder den geometriske betydning af skalarproduktet Projektion af en vektor på en anden
Indhold	Kernestof: Vektorer (Matematik B, Vektorer i 2D) – Webmatematik Bilag vektorer.pdf 9.6 Opgaver til Vektorer og geometri Vektorregning i maple.mw Regning med vektorer (Matematik B, Vektorer i 2D) – Webmatematik Intro vektorer.pdf Skalarprodukt (Matematik B, Vektorer i 2D) – Webmatematik 6.6 Skalarprodukt 6.7 Determinant 6.6.1 Vektorprojektion og vinkel Vinkel mellem vektorer (Matematik B, Vektorer i 2D) – Webmatematik Projektion af vektor på vektor (Matematik B, Vektorer i 2D) – Webmatematik Skalarprodukt og ortogonalitet
Omfang	Estimeret: 11,00 moduler Dækker over: 10 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 6	Eksponentielle sammenhænge 2 Indhold • Logaritmeregneregler • 10-talslogaritmen og den naturlige logaritme • Løsning af ligninger med eksponentielle funktioner. • Fordoblings- og halveringskonstant, definition samt formlerne for T2 + T1/2. (bevis) Grundlæggende regnefærdigheder: • Potensregneregler. • Brøkregneregler.
Indhold	Kernestof: Repetitionsopgaver i eksponentielle sammenhænge.pdf 3.3 Fordoblingskonstant, halveringskonstant og vækstegenskab
Omfang	Estimeret: 4,00 moduler Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 7	Potensfunktioner Indhold • Forskrift for en potensfunktion, herunder a og b's betydning for grafens udseende samt potensvækst (bevis for betydningen af b og potensvækst) • Omvendt proportionalitet • 2-punktsformlen for potensfunktioner • Potensregression i Maple. • Løsning af ligninger af n'te grad. For n ulige og n lige. Grundlæggende regnefærdigheder: - Potensregneregler.
Indhold	Kernestof: Potensfunktioner - Bevis: Betydningen af b og vækst 3.3 Fordoblingskonstant, halveringskonstant og vækstegenskab 4.4 Eksponentiel og potensregression 4.5 Hvad har vi lært om de tre funktionstyper? 4.1 Regneforskrift og graf for en potensfunktion Regression i maple.mw 2.4.2 Ligninger af n"te grad Note over emner i 1.g.docx
Omfang	Estimeret: 5,00 moduler Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 8	Polynomier Indhold Generelt om funktioner: • Forskrift for et polynomium og polynomiel regression. • Rødder/nulpunkter for en funktion. • Voksende, aftagende og konstante funktioner. • Monotoniforhold og ekstrema, herunder forskel på lokale og globale ekstrema (maksima/minima). • Lodret og vandret parallelforskydning af graf. Andengradspolynomiet: • Forskrift og graf, herunder koefficienternes betydning. • Rødder og toppunkt + bevis for toppunktsformlen. • Faktorisering af andengradspolynomiet. Materiale Systime plus A1 stx: kapitel 5.1-5.6.
Indhold	Kernestof: SYSTIME: "Plus A1 stx"; sider: 1262, 1274-1276, 1343, 10724 i-bog 5.1 Polynomier generelt (p1262) incl øvelse 5.1.1 - 5.1.5 Monotoni og ekstrema.docx Monotoniforhold og ekstrema (P1262) incl. øvelse 5.1.6 - 5.1.8 5.2 Andengradspolynomiet (p1274) incl. øvelse 5.2.2-5.2.4+5.2.6 5.2 Andengradspolynomiet.docx 5.2 Andengradspolynomiet (p1274) incl. øvelse 5.2.2-5.2.4+5.2.6-5.2.8 5.3 Mere om parablen (p1275) indtil Eksempel 3. Incl. øvelse 5.3.1 Vejledning til 2k MAA om opgavebesvarelser.pdf Om besvarelse af skriftlige matematikopgaver - flappen.pdf 5.3 Mere om parablen (p1275), hovedvægten på bestemmelse af 2. koordinaten for toppunktet. Incl. øvelse 5.3.1 Øvelse 5.3.2-5.3.4 (c10724) øvelse 5.3.1-5.3.4.mw 5.4 Faktorisering (p1276) incl. øvelse 5.4.1 - 5.4.3 5.5 Parallelforskydning af graf (p1342), incl. øvelse 5.5.1-5.5.2 øvelse 5.5.1.mw 5.6 Polynomiel regression (p1343) incl. øvelse 5.6.1
Omfang	Estimeret: 10,00 moduler Dækker over: 11 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 9	Logaritmefunktioner Indhold • Definition af 10-talslogaritmen log(x) og den naturlige logaritme ln(x). • Graf for log(x) og ln(x). • Logaritmeregneregler + bevis. • Transformation fra eksponentialfunktion/potensfunktion til lineær funktion + bevis. Generelt om funktioner: • Omvendte funktioner, herunder graf og forskrift. Materiale Systime plus A2 stx: kapitel 1
Indhold	Kernestof: SYSTIME: "Plus A2 stx"; sider: 2748, 2750-2751, 2759, 26444 i-bog 1.1 Definition af logaritmefunktioner (p2751) incl. øvelse 1.1.1 - 1.1.4 1.2 Regneregler for logaritmer (p2750) til og med øvelse 1.2.1 - 1.2.2.Øv beviserne for regnereglerne. Vi arbejder med tavlerne Vækstegenskab for ln og log (c26444) + øvelse 1.2.3-1.2.4 1.3 Logaritmiske sammenhænge (p2749) incl. øvelse 1.3.1 - 1.3.2 1.4 Transformation til lineær sammenhæng (p2748)Øv jer i beviserne 1.5 Omvendte funktioner (p2759) incl. øvelse 1.5.1 - 1.5.4
Omfang	Estimeret: 8,00 moduler Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 10	Trigonometriske funktioner Indhold: • Definition af radiantal, herunder repetition af enhedscirklen. • Omskrivning fra grader til radianer og omvendt. • Funktionerne sin(x), cos(x) og tan(x), herunder graf, periodicitet samt definitions- og værdimængde. • Løsning af trigonometriske grundligninger sin(x)=k, cos(x)=k og tan(x)=k. • Definition af harmonisk svingning: f(x)=A*sin(bx+c)+d, hvor A,b>0. • Graf for en harmonisk svingning, herunder amplitude A, periode T (svingningstid), konstanten b, udgangsniveau y=d, fasekonstant c og faseforskydning -c/b. • Ekstrema samt definitions- og værdimængde for en harmonisk svingning. Materiale Systime plus A2 stx: kapitel 2
Indhold	Kernestof: SYSTIME: "Plus A2 stx"; sider: 2714, 2719 i-bog 2.1 Sinus, cosinus og tangens som funktioner (p2714) incl øvelse 2.1.1 - 2.1.3 2.2 Trigonometriske grundligninger (p2719) incl øvelse 2.2.1 Sæt jer i grupperne nedenfor fra timens start. Lav opgave 5.2.2 i kap.5 (c25186) Tjek jeres OneNote i matematik fra 1g. Hvis I synkroniserer, skulle I gerne have fanen for både 1g og 2g (se nedenfor). Sæt jer i grupperne fra timens start. Kun til jer, der ikke var til timen onsdag: Tilmeld dig holdet "2k MAA 2023-2024" på ABaCus (se nedenfor). Færdiggør de fire opgaver på arket "harmoniske svingninger, aflæsning af A, b, c og d". Kig opgaverne igennem, som du løste til testen i mandags på ABaCus.dk. Kan du se, hvad du skulle have gjort i opgaver med fejl? Noter hvis du har spørgsmål.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 11	Differentialregning 1 Indhold • Begreberne tangent, sekant, differentialkvotient, differenskvotient, grænseværdi og udledning af f'(x) for en række simple funktioner vha. tre-trins-reglen (beviser). • Differentiation af funktioner, herunder regneregler: konstantfaktor-, sum-, differens-, produkt- og kædereglen. • Notationen f'(x), herunder bestemmelse af fx f(3) og f'(3), både ved aflæsning og beregning. • Tangentens ligning. • Væksthastighed: bestemmelse af f'(t0) samt fortolkning af f'(t0) i en given model. • Bevis for førstekoordinaten til parablens toppunkt. • Bestemmelse af ekstrema, dvs. maksima og minima, vha. differentialregning (metode: løs f'(x)=0, tegn graf og udregn tilhørende y-værdi(er)). Evaluering Forløbet afrundes med en test uden hjælpemidler, men med formelsamling. Eleverne har desuden holdt oplæg to og to (udledning af differentialkvotienten for kvadratrodsfunktionen). Materiale Systime plus A2 stx: kapitel 3.0, 3.2, 3.3, 3.4, 3.7, 3.9
Indhold	Kernestof: Læs gerne lidt om Georg Mohr 1.runde inden modulet: Lav den interaktive øvelse i kapitel 3.2 som opsamling på mandagsmodulet. Til de fraværende i mandags: Læs om A-lympiaden. Har vi ikke fire elever, som vil være med? Øv dig på beviset for at f'(x0)=2x0, når f(x)=x^2, så du kan gennemgå for din gruppe på en tavle. Hvis I vil læse op på den centrale ide i differentialregning, som vi har snakket om de sidste par gange, så kan I læse kapitel 3.2. Færdiggør opgave 2 og 3 på arket "Differentialkvotienter i Maple". Nye grupper i matematik frem til jul - sæt jer i dem fra timens start. Færdiggør opgave 1 fra sidst med papir og blyant (se nedenfor). Se videoen i linket som opsamling på bestemmelse af f'(x), som vi arbejdede med i tirsdags. Husk som altid papir, blyant og FORMELSAMLING :) Øv dig på beviset for differentialkvotienten for f(x)=kvadratrod(x), som vi arbejdede med sidst. Beviset kan ses i videoen nedenfor. Du skal kunne gennemgå beviset uden at være alt for afhængig af dine noter. Færdiggør øvelse 3.7.1 og 3.7.3 med papir og blyant (kap.3.7 i "plus A2"). Færdiggør opgave 1 og 2 om væksthastighed på arket fra sidst (se nedenfor). Færdiggør opgave 3 og 4 om væksthastighed på arket fra sidst (se nedenfor). Ingen lektier :) Vi skal bruge et par præmier til bingo (gerne pakket ind) og lidt julesnacks, fx pebernødder. Tag meget gerne lidt med :) Se video i link som opsamling på kædereglen, som vi arbejdede med i går.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 14 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 12	Funktioner af to variable 1 Indhold: • Definition af en funktion af to variable. • Definitionsmængde for en funktion af to variable. • Det tredimensionale koordinatsystem, herunder xy-, xz- og yz-planen. • Grafen for en funktion af to variable. • Snitfunktioner, herunder snitkurver. • Partielle afledede funktioner. • Stationære punkter og ekstrema. Mål: I skal både med og uden hjælpemidler være i stand til at: • Bestemme funktionsværdien f(x0,y0). • Bestemme x eller y givet de to andre værdier, fx løs ligningen f(x,2)=3, og forklare den grafiske betydning. • Angive definitionsmængden for en funktion f(x,y). • Indtegne punktet (x0,y0,z0) i et 3D-koordinatsystem. • Tegne grafen for f(x,y) (kun i Maple). • Bestemme forskriften for snitfunktionen i x- eller y-retningen, når y eller x fastholdes på en bestemt værdi. • Tegne snitkurver (kun i Maple). • Bestemme de partielle afledede for en funktion f(x,y). • Bestemme de partielle afledede for en funktion f(x,y) i et givent punkt og forklare den geometriske betydning. • Bestemme stationære punkter for f(x,y) og afgøre arten, dvs. maksimumspunkt, minimumspunkt eller saddelpunkt (kun i Maple). Materiale: Systime plus A stx: kapitel 4 (enkelte dele gemmes til 3g)
Indhold	Kernestof: Sæt jer i de nye grupper i matematik (frem til vinterferien): Forbered dig til Mat Test 2 (se under opgaver her på Lectio). Forsøg så godt I kan at lave opgave 3 og øvelse 3 på arket "indledende arbejde i funktioner af to variable" (se nedenfor). Vi gennemgår fælles i timen. Lav de to øvelser nedenfor i Maple. Brug evt. Maples røde hjælpemapper til at se, hvordan man tegner grafen for en funktion af to variable. Husk at sætte jer i mat-grupperne: Se videoerne nedenfor med eksempler på bestemmelse af partielle afledede funktioner, som vi arbejdede med i torsdags.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 8 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 13	Optakt til SRO Intro Vi arbejder i SRO i fagene matematik og samfundsfag med emnet normalitet og afvigelse, herunder køn og seksualitet. Vi snakker om det at arbejde "med" og "i" matematik (matematisk metode). Opgaveformulering I har forskellige opgaveformuleringer i jeres SRO, men matematikken er den samme: Redegør for mindste kvadraters metode til bestemmelse af konstanterne a og b i den lineære regressionsmodel y=ax+b. Redegørelsen skal indeholde en forklaring af begreberne residual og kvadratsum samt bestemmelse af minimum for kvadratsummen S(a,b). Undersøg sammenhængen mellem … og … . Anvend lineær regression og data fra… . Vurder den lineære models anvendelighed til at beskrive sammenhængen mellem de variable. Indhold • Lineær regression, residualer, residualplot, forklaringsgrad og vurdering af model (regressionsanalyse). • Begreberne kausalitet og korrelation. • Udledning af a og b i regressionsligningen y=ax+b vha. mindste kvadraters metode. I vælger selv, om I vil tage udgangspunkt i et eksempel eller mere generelt i punkterne (x1,y1), (x2,y2),…,(xn,yn). Beviset forløber i følgende trin: ° opstil et udtryk for kvadratsummen S(a,b), som er en funktion af de to variable a og b. ° bestem de partielle afledede funktioner vha. kædereglen. ° sæt de partielle afledede funktioner lig 0 for at bestemme det stationære punkt (vi gemmer argumentet for, at det er et minimumspunkt til 3g). ° isoler a og b i de to ligninger - først b og herefter a. Materiale • plus stx A1 kapitel 1.8-1.9 • Lineær regressionsanalyse kapitel 8 (ukendt bog) • Mat i samf af Thomas Schausen og Lise Heller (systime 2024), kapitel 4 • Arbejdskompendium udarbejdet af Simone Gravlund og Lotte Nørtoft • Bevis af Dennis Pipenbring: https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=opIjb0kjwpc
Indhold	Kernestof: Grupper i SRO-forløbet (sæt jer i dem fra timens start): Medbring formelsamling og noter fra forløb om funktioner af to variable. Medbring arbejdsarket om mindste kvadraters metode fra i går. Download ExamCookie Information til elever om skriftlige prøver og eksamen 2024.pdf Færdiggør øvelse 1 og øvelse 2 i PDF'en "Redegørelse for mindste kvadraters metode". Det er en god ide at se videoen om sumtegnet inden dagens modul. Kausalitet og korrelation, 2k MAA.pdf Se videoen i linket (eller dele af den) og overvej, om du i din SRO vil gøre rede for mindste kvadraters metode ud fra et eksempel eller om du vil bevise formlerne for a og b generelt. For at blive så godt klædt på til SRO som muligt, er det en god ide at læse kapitel 4 om korrelation og kausalitet - I kender begreberne fra samfundsfag (se vedhæftet). Ingen lektier :) Til gengæld er der en del lektier til tirsdagsmodulet.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 7 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 14	Rette linjer INDHOLD • retningsvektor og normalvektor • linjens parameterfremstilling • linjens ligning a(x-x0)+b(y-y0)=0 og ax+by+c=0 • skæring mellem linjer • ortogonale linjer og parallelle linjer • vinkel mellem linjer • hældningsvinkel • afstand fra punkt til linje I skal være i stand til at: • bestemme parameterfremstilling/ligning for en linje ud fra et punkt og en retningsvektor/normalvektor. • tegne en linje ud fra dens parameterfremstilling/ligning. • aflæse parameterfremstilling/ligning for en linje. • afgøre om et punkt ligger på en linje ud fra parameterfremstilling/ligning. • afgøre om to linjer er ortogonale, parallelle eller ingen af delene. • omskrive fra parameterfremstilling til ligning og omvendt. • bestemme hældningsvinkel for en linje samt vinklen mellem to linjer vha. retningsvektorer eller normalvektorer (kun Maple/GeoGebra). • bestemme skæringspunkt mellem to linjer. • bestemme afstanden fra et givent punkt til en linje. Beviser: • bevis for at to linjer y=ax+b og y=cx+d er ortogonale netop når a*c=-1. • udledning af linjens ligning. • udledning af linjens parameterfremstilling. • bevis for formlen for afstand fra punkt til linje. Materiale: Systime plus A1 stx: kapitel 6.9
Indhold	Kernestof: Sæt jer som I har lyst - 8 grupper med max 4 i hver. Medbring jeres noter fra 1g om vektorregning - ellers ingen lektier. Nye grupper i mat: Færdiggør de to øvelser nedenfor med papir og blyant. Se videoen i linket som opsamling på linjens parameterfremstilling fra sidst. Øv dig på beviset for linjens parameterfremstilling, så du kan gennemgå for andre i mindre grupper ved en tavle stort set uden at bruge noter. Noter hvis du har spørgsmål til beviset. Færdiggør øvelse 6.9.10, 6.9.12 og 6.9.14 i plus A1 med papir og blyant. Ingen lektier - nyd ferien :) Husk at sætte jer i mat-grupperne: Færdiggør opgave 1 og opgave 3 på arket "skæring mellem rette linjer UH" med papir og blyant. Færdiggør øvelse 6.9.16, 6.9.17 og 6.9.18 i plus stx A1: Færdiggør til og med opgave 7 på arket "parallelle linjer, hældningsvinkel og afstand fra punkt til linje".
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 15	Sandsynlighedsregning og kombinatorik INDHOLD Kombinatorik: • Multiplikations- og additionsprincippet, herunder fakultet. • Permutationer P(n,r) og kombinationer K(n,r). • Formlen for K(n,r) + bevis med udgangspunkt i et eksempel. • Pascals trekant og kommandoen binomial i Maple. Sandsynlighedsregning: • Sandsynlighedsfelt, herunder udfaldsrum og sandsynlighedsfunktion. • Hændelse og komplementær hændelse. • Symmetrisk sandsynlighedsfelt + formlen P(A)=g/n. • Sandsynligheder hvori K(n,r) indgår. • Begrebet stokastisk variabel X, herunder sandsynlighedsfordeling og middelværdi for X. • A-priori-sandsynligheder, frekventielle sandsynligheder og De store tals lov. Binomialfordelingen: Binomialfordelingen introduceres med et eksperiment med terningekast, hvor vi i grupper kaster fem terninger en masse gange og hver gang tæller antal seksere. • definition af binomialforsøg, herunder basisforsøg, "succes" og "fiasko", uafhængige hændelser, antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p. • formlen for P(X=r) + bevis med udgangspunkt i eksempel med terningekast (antal seksere i fem kast). • gensyn med binomialkoefficienten K(n,r) fra kombinatorikken. • punktsandsynligheder og kumulerede sandsynligheder, herunder forskel på kommandoerne binpdf og bincdf. • middelværdi for en binomialfordelt stokastisk variabel samt det mest sandsynlige udfald. • søjlediagram over sandsynlighedsfordelingen for en binomialfordelt stokastisk variabel. Materiale Systime plus A2 stx: kapitel 4.0-4.4 (vi gemmer varians og spredning samt normale og exceptionelle udfald til 3g) Systime plus A2 stx: kapitel 4.5 (vi gemmer stikprøver med og uden tilbagelægning samt hypotesetest og konfidensinterval til 3g)
Indhold	Kernestof: Lav de tre opgaver i sandsynlighedsregning fra folkeskolens afgangsprøve: Hvis I vil læse op på beviset for afstand fra punkt til linje, som vi arbejdede med sidst, finder I det her: Sæt jer i de nye mat-grupper: Medbring din SRO med SG's kommentarer. I sandsynlighedsregning får vi brug for kombinatorik. Se videoen i linket og løs øvelsen nedenfor. Færdiggør opgave 1-3 uden hjælpemidler på arket "Opgaver i K(n,r)". Ingen lektier :) Men tag arket med fra i går, hvor vi kastede med terninger. Ingen lektier :) Sidste modul med grupperne nedenfor: Læs kapitel 4.5 i plus A2 stx (stop ved eksempel 2) som opsamling på binomialfordelingen fra sidste uge. Færdiggør opgave 1-3 på arket "opgaver i binomialfordelingen" i Maple. Forbered dig til Mat Test 3.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 9 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 16	Repetition Vi forbereder os til mundtlig årsprøve.
Indhold	Kernestof: Sæt jer som I har lyst til i vores tre sidste matematikmoduler. Medbring matematiknoter fra både 1g og 2g. Vi skal repetere. Øv dig på det bevis, som er i det årsprøvespørgsmål, som du arbejdede med i fredags. Du skal kunne gennemgå beviset på en whiteboardtavle uden at kigge alt for meget på dine noter. image.png
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 17

Binomialfordelingen

Indhold

Vi genopfrisker definitionen af et binomialforsøg, formlen for P(X=r) samt beregning af binomialsandsynligheder vha. Maple-kommandoerne binpdf og bincdf.

Herefter arbejder vi med følgende, som vi har gemt til 3g:

• Middelværdi, varians og spredning for en stokastisk variabel.
• Middelværdi og spredning for en binomialfordelt stokastisk variabel samt det mest sandsynlige udfald.
• Stikprøver med og uden tilbagelægning, herunder ægte over for tilnærmet binomialforsøg.
• 95%-konfidensinterval for andel, herunder beregning vha. hhv. formel og Maple-kommando + fortolkning af intervallet.
• Binomialtest (både tosidet og ensidet), herunder population, stikprøve, nulhypotese, signifikansniveau, teststørrelse, acceptmængde, kritisk mængde og p-værdi.

Binomialtests introduceres med en stikprøve med farvefordeling på biler, hvor vi undersøger nulhypotesen "halvdelen af bilerne i Hørsholm Kommune er sorte eller hvide" ved at gå ud og tælle biler på parkeringspladser i området.

Forløbet afrundes med et besøg (mat/samf) hos Epinion gennem Åben Virksomhed, hvor vi hører om, hvordan noget af den matematik, som vi har arbejdet med, bruges ifm. meningsmålinger (statistisk usikkerhed).

Materiale
Systime plus A2 stx: kapitel 4.4-4.5
https://aabenvirksomhed.dk/da-gymnasiet/undervisningsforloeb/alle/statistik-i-hverdagen

Indhold

Kernestof:

Skriftligt arbejde:

Titel	Afleveringsdato
Mat Træning 1	21-08-2024

Omfang

Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5

Særlige fokuspunkter

Væsentligste arbejdsformer

Titel 18	Differentialregning 2 INDHOLD Forløbet er primært teoretisk funderet. Vi repeterer differentialregning fra 2g og bygger mere på: • Monotoniforhold, herunder monotonisætningen, monotonilinjer samt grafen for f og f'. • Differentiabilitet og kontinuitet, herunder definition af hvad det vil sige, at en funktion er hhv. kontinuert og differentiabel i x0. • Udledning af differentialkvotienten for sin(x) vha. tre-trins-reglen. • Regneregler for differentiation: konstantfaktor-, sum-, differens-, produkt- og kæderegel (bevis for kf, f+g og fg). • Udledning af differentialkvotienten for e^kx, a^x og x^a vha. kædereglen, herunder gensyn med logaritmer. • Udledning af tangentens ligning. Bemærk at beviset for differentialkvotienten for sin(x) ikke er i jeres bog - se i stedet OneNote. Forløbet afrundes med en skriftlig aflevering og prøve i nogle af beviserne (skrive forklaringer til hvert trin). Materiale: Systime plus A2 stx: kapitel 3.1-3.8 (med overspringelser) Systime MAT A2 stx: kapitel 6.7 (alternativt https://www.youtube.com/watch?v=SUznfHv1XXE)
Indhold	Kernestof: På figuren ses grafen for en funktion f. Besvar spørgsmålene nedenfor. Færdiggør øvelserne på arket om grafen for f og f', som I fik udleveret fysisk i onsdags. Repetition: læs kapitel 3.2 i plus A2 stx (stop når I når til eksempel 2) og besvar spørgsmålene nedenfor med udgangspunkt i figuren. Repetition: øv dig på beviset for differentialkvotienten for x^2, så du kan gennemgå ved en tavle i mindre grupper. Øv dig på beviset for differentialkvotienten for sin(x), så du kan gennemgå for andre ved en tavle uden at kigge for meget i dine noter. Lav repetitionsarket om logaritmer (brug max 30 min). Læs kapitel 3.1 (fra definition 1) og afsnittet "ikke-differentiable funktioner" i kapitel 3.2 - begge dele i plus stx A2.
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 19

Integralregning

Formål
At opnå forståelse for at det at integrere en funktion er det modsatte af at differentiere.
At opnå fortrolighed med begreberne stamfunktion, ubestemt integral og bestemt integral.
At kunne anvende bestemte integraler til udregning af areal, kurvelængde og rumfang af omdrejningslegeme.

Mål:
I skal efter forløbet kunne:
• definitionen på at F(x) er en stamfunktion til f(x).
• undersøge om en given funktion er stamfunktion til f(x).
• forklare, hvorfor en kontinuert funktion har uendelig mange stamfunktioner samt vide at disse stamfunktioner blot har en konstant k til forskel.
• bestemme stamfunktioner til simple funktioner samt til funktioner på formen f(x)+g(x), f(x)-g(x) og k*f(x) (sum-, differens- og konstantfaktorreglen).
• bestemme ubestemte integraler og vide at det ubestemte integral er en kort og hensigtsmæssig betegnelse for en eller anden stamfunktion.
• bestemme en stamfunktion, hvis graf går gennem et bestemt punkt.
• afgøre ud fra to grafer for hhv. f og F hvilken funktion, der hører til hvilken graf.
• bestemme bestemte integraler og kende regnereglerne for bestemte integraler, herunder indskudsreglen, samt tolke integralerne geometrisk.
• bestemme ubestemte og bestemte integraler, hvori der indgår en sammensat funktion, vha. integration ved substitution.
• bestemme arealet under grafen for en kontinuert ikke-negativ funktion f i intervallet [a;b], herunder bestemme integrationsgrænserne ved at løse f(x)=0.
• bestemme arealet mellem to grafer, herunder bestemme integrationsgrænserne ved at løse f(x)=g(x).
• bestemme arealet over grafen for en kontinuert ikke-positiv funktion f i et interval [a;b].
• bestemme kurvelængde og rumfang af omdrejningslegemer vha. det bestemte integral (primært MH).

Beviser:
• Bevis for mindst to regneregler for bestemte integraler.
• Bevis for integralregningens hovedsætning del 1*: "A(x) er stamfunktion til f(x)" (i tilfældet hvor f er voksende), herunder definition af arealfunktionen A(x) hørende til f(x).
• Bevis for integralregningens hovedsætning del 2.*
• Bevis for rumfanget af en kegle vha. integralregning. **

* beviset gennemgås IKKE som i bogen, men som i Gyldendals Gymnasiematematik A2.
** beviset er IKKE i bogen, men i jeres noter.

Materiale:
Systime plus A3 stx: kapitel 1.
Systime Gyldendals Gymnasiematematik A2: kapitel 6.5.

Indhold

Kernestof:

Skriftligt arbejde:

Titel	Afleveringsdato
Mat Træning 3 / Mat Test 1	18-09-2024
Mat Træning 4	02-10-2024
Mat Test 2	25-10-2024

Omfang

Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 12

Særlige fokuspunkter

Væsentligste arbejdsformer

Titel 20

Differentialligninger

Indhold

Generelt
I skal være i stand til, at
• forklare hvad man forstår ved en differentialligning og dens orden, herunder hvad man forstår ved en løsning.
• forklare forskellen på en fuldstændig løsning og en partikulær løsning.
• undersøge, om en given funktion er løsning til en forelagt differentialligning (”at gøre prøve”).
• bestemme tangentligningen til grafen for en funktion f(x) i et punkt P, når det oplyses, at f(x) er løsning gennem P til en forelagt differentialligning.
• forklare hvad man forstår ved et linjeelement (x0,y0;y0') og et hældningsfelt.
• tegne hældningsfeltet til en given differentialligning i Maple og forklare, hvordan hældningsfeltet kan bruges til at få en ide om, hvordan løsningskurverne ser ud.
• opstille en simpel differentialligning ud fra en sproglig beskrivelse.

Vækstmodeller
Vi har arbejdet med følgende tre vækstmodeller:
• y’=ky (eksponentiel vækst, når c>0)
• y’=b-ay (forskudt eksponentiel vækst, når c>0)
• y’=y(b-ay) (logistisk vækst)

I skal kunne beskrive grafen for y’ som funktion af y samt grafen for y som funktion af x (vi har haft fokus på tilfældet hvor k,a,b,c,x,y>0).
I skal kunne bestemme den fuldstændige løsning samt partikulære løsninger til differentialligninger af disse typer, både med og uden hjælpemidler.
I skal endvidere kunne udlede den fuldstændige løsning til differentialligningerne y'=ky og y'=b-ay.

Lineære førsteordens differentialligninger
I skal kunne forklare, hvad der forstås ved en lineær førsteordens differentialligning samt løse en sådan type differentialligning vha. panserformlen.

Separable differentialligninger
I skal kunne forklare, hvad der forstås ved en separabel differentialligning samt hvordan denne løses ved separation af de variable.

Materiale:
Systime plus A3 stx: kapitel 2.0-2.5

Verhulst og befolkningsvækst
Som introduktion til logistisk vækst arbejder vi med Verhulsts beskrivelse af befolkningsvækst med udgangspunkt i hans artikel ”Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement” (1838) – oversat til dansk.

Indledningsvis ser vi videoen ”Hvorledes Verhulst fik beskrevet logistisk vækst” (med enkelte overspringelser), der sætter artiklen ind i en historisk kontekst. Herefter arbejdes i grupper med selve artiklen og de tilhørende arbejdsspørgsmål.

Indhold
• Eksponentiel vækst og fordoblingstid
• Analyse af Verhulsts behandling af data fra USA’s befolkningstal
• Relativ væksthastighed og logistisk vækst
• Verhulsts differentialligning dp/dt=mp-np^2 + sammenligning med nutidig ligning

Materiale
Video + arbejdsspørgsmål: https://lru.praxis.dk/Lru/microsites/10danskematematikere/henrik_kragh_soerensen.html
Kilden (artiklen) + arbejdsspørgsmål:
http://www.henrikkragh.dk/logistisk-vaekst/Verhulst1838-print.pdf
Arbejdsspørgsmålene er udarbejdet af SG med udgangspunkt i materiale på:
https://matematikhistorie.wordpress.com/2014/02/17/logistisk-vaekst-fortaellende-og-autentisk-matematikhistorie-i-gymnasiet/

Indhold

Kernestof:

Skriftligt arbejde:

Titel	Afleveringsdato
Mat Træning 5	30-10-2024
Mat Træning 6	26-11-2024
Mat Træning 7	29-11-2024

Omfang

Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 14

Særlige fokuspunkter

Væsentligste arbejdsformer

Titel 21

Normalfordelingen

Indhold

• Definition af en normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi my og spredning sigma.
• Repetition af histogram og sumkurve.
• Normalfordelingens tæthedsfunktionen f(x) og fordelingsfunktion F(x), herunder forskrift og graf.
• Beregning af sandsynligheder i normalfordelingen vha. bestemte integraler og vha. kommandoen normalcdf i Maple.
• Normale og exceptionelle udfald.
• Definition af en standardnormalfordelt stokastisk variabel, herunder sammenhæng mellem phi(x) og f(x).
• Undersøgelse af hvorvidt en observeret størrelse X er normalfordelt vha. QQ-plot/fraktilplot (minus teorien bag).
• Normalfordelingen som approksimation til binomialfordelingen, herunder repetition af binomialfordelingen.
• Diskret stokastisk variabel vs. kontinuert stokastisk variabel.
• Punktsandsynlighed vs. intervalsandsynlighed.

Materiale:
Systime plus A2 stx: kapitel 4.6

Indhold

Kernestof:

Skriftligt arbejde:

Titel	Afleveringsdato
Mat Træning 8	12-12-2024

Omfang

Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9

Særlige fokuspunkter

Væsentligste arbejdsformer

Titel 22

Mere om lineær regression

Indhold

Gensyn med lineær regression, herunder:
• Indlæsning af data fra Excel til Maple.
• Punktplot, forklaringsgrad, residualer og residualplot.
• Vurdering af models anvendelighed ud fra ovenstående.
NYT:
• Er residualerne tilnærmelsesvis normalfordelte? (QQ-plot over residualerne).
• Konfidensinterval for hældning.
• Hældning tæt på 0, pas på!

Materiale:
Systime plus A2 stx: kapitel 4.7 (minus residualspredning)

Indhold

Kernestof:

Skriftligt arbejde:

Titel	Afleveringsdato
Mat Træning 9	15-01-2025

Omfang

Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 3

Særlige fokuspunkter

Væsentligste arbejdsformer

Titel 23

Cirkler og ellipser

INDHOLD

Cirklen
• Cirklens ligning + bevis.
• Omskrivning af cirklens ligning vha. kvadratkomplettering.
• Tangent til cirkel, herunder bestemme tangentligning samt afgøre om linje er tangent.
• Skæring mellem linje og cirkel.

Ellipsen
• Definition af ellipsen.
• Tegning af ellipse vha. snor og to søm.
• Storaksen a og lilleaksen b.
• Ligning for en ellipse med centrum i (0,0).
• Cirklen som specialtilfælde af ellipsen.
• Koordinatsæt for de to brændpunkter for en ellipse med centrum i (0,0).

Vi tegner cirkler og ellipser i GeoGebra i stedet for i Maple.

Materiale:
• Systime plus A1 stx: kapitel 6.10
• Forberedelsesmaterialet stx Mat A 2022 om keglesnit, s.8-11 (med overspringelser).
• Tegning af ellipse: https://www.youtube.com/watch?v=PIe9EZMNR1g&t=93s

Indhold

Kernestof:

Skriftligt arbejde:

Titel	Afleveringsdato
Mat Træning 10	22-01-2025

Omfang

Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 3

Særlige fokuspunkter

Væsentligste arbejdsformer

Titel 24	Funktioner af to variable 2 Indhold: Vi genopfrisker fra 2g: • Forskrift og graf for en funktion af to variable. • Snitfunktioner, herunder snitkurver. • Partielle afledede funktioner, herunder geometrisk betydning. • Stationære punkter og ekstrema med hjælpemidler. • Mindste kvadraters metode (bevis fra SRO). Nyt • Niveaukurver, herunder konturplot. • Gradient og dens længde samt geometrisk betydning. • Stationære punkter og ekstrema uden hjælpemidler, herunder dobbelte og blandede afledede. Materiale: Systime plus A3 stx: kapitel 4.
Indhold	Kernestof: I sidder i dag som I har lyst. Det er en god ide at kigge rettelser og modelbesvarelse af delprøve 2 i terminsprøven igennem inden modulet (se under opgaver). I sidder i makkerskabsgrupperne igen fra i dag: Færdiggør opgave 1 og 2 fra sidst nedenfor med papir og blyant. Færdiggør opgave 2 fra sidst (se nedenfor). Vi gennemgår eksamensspørgsmål 8 i modulet. Lektien er at forberede et kort oplæg om første del af spørgsmålet. Start med at læse op på begreberne residual, kvadratsum og mindste kvadraters metode. Bevis for linjens parameterfremstilling, 3g MAA.pdf I skal repetere beviset for linjens parameterfremstilling fra 2g, så I kan gennemgå for hinanden i små grupper (se vedhæftet).
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 6 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Titel 25

Vektorfunktioner

INDHOLD
• Gensyn med linjens parameterfremstilling (eksempel på vektorfunktion) + bevis.
• Definition af vektorfunktion, herunder koordinatfunktioner og banekurve.
• Omskrivning af funktion til vektorfunktion.
• Skæring med akserne og dobbeltpunkter.
• Differentiation af vektorfunktioner, herunder hastigheds- og accelerationsvektor samt fart.
• Tangent til banekurve, herunder tangentens ligning, vandrette og lodrette tangenter samt vinkel mellem tangenter.
• Cirklens parameterfremstilling + bevis.
• Bevis for at enhedscirklens hastigheds- og accelerationsvektor er ortogonale for alle t.

Supplerende:
• Matematik-historisk-perspektiv: Keplers Love - eksempel på anvendelse af cirkler og ellipser.
• Ligning og parameterfremstilling for en ellipse med centrum i (0,0) (uden bevis).
• Tangent til ellipse + bevis.

Bemærkning: beviserne er ikke i kapitel 3 i plus stx A3. Se jeres noter samt dokumenter/videoer på OneNote.

Materiale:
• Systime plus A3 stx: kapitel 3
• Forberedelsesmaterialet stx Mat A 2022 om keglesnit, s.11-13
• Keplers Love: uddrag fra https://fysikleksikon.nbi.ku.dk/k/keplerslove/ og https://videnskab.dk/rummet/store-opdagelser-johannes-keplers-planetlove/ (besøgt 17/3-25)

Indhold

Kernestof:

Skriftligt arbejde:

Titel	Afleveringsdato
Mat Træning 11	11-03-2025
Mat Træning 12	18-03-2025
Mat Test 3	26-03-2025

Omfang

Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 9

Særlige fokuspunkter

Væsentligste arbejdsformer

Titel 26

Forberedelsesmateriale (sandsynlighedsregning)

Indhold:
Vi arbejder med årets forberedelsesmateriale.
• Repetition af udfaldsrum, sandsynlighedsfunktion, sandsynlighedsfelt og hændelser.
• Venn-diagrammer til illustration af fælles-, forenings-, differens- og komplementær hændelse.
• Regning med sandsynligheder.
• Betinget sandsynlighed.
• Loven om total sandsynlighed.
• Bayes' sætning og Bayes' udvidede sætning.
• Sensitivitet og specificitet for test ved en sygdom.

Materiale:
Forberedelsesmateriale 2024 stx Mat A om sandsynlighedsregning.

Indhold

Kernestof:

Skriftligt arbejde:

Titel	Afleveringsdato
Mat Test 4	25-04-2025
Mat Træning 13	28-04-2025

Omfang

Estimeret: Ikke angivet
Dækker over: 5

Særlige fokuspunkter

Væsentligste arbejdsformer

Titel 27	Repetition Vi forbereder os til skriftlig og mundtlig eksamen.
Indhold	Kernestof: Medbring jeres formelsamling. Kan I medbringe noter fra følgende forløb (så bliver det nemmere for jer og et mere givende modul)?
Omfang	Estimeret: Ikke angivet Dækker over: 3 moduler
Særlige fokuspunkter
Væsentligste arbejdsformer

Vis samlet undervisningsbeskrivelse samt elevtilknytning til forløb